7.2.3相似三角形的判定（三边成比例）课件2026-2027学年苏科版数学九年级下册
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内容正文：
7.2 相似三角形的判定
第3课时 三边成比例的两个三角形相似
一、问题：三边成比例
如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形是否相似？
全等里对应的一条是 SSS：三边分别相等的两个三角形全等.
把“相等”换成“成比例”，就得到今天要证的猜想.
前两课时我们已经用过两次“截取法”——这次还是它.
先把已知写下来 已知：.
要证：.
三条边全都给齐了，反倒不知道该从哪一个角下手——那就照旧造一个“桥”.
二、验证：截取法第三次
如图 7-25，在和中，
.
假设.在边上截取，
过点作，交于点，
于是，与对应角分别相等，对应边成比例，
所以.
和前两课时比一比 定理 1、定理 2、定理 3 的证明，第一步都是这一刀：
在大三角形里截出一块，让它既能相似、又能全等.
三、证明：两个连等式对接
所以.
又，，
可得，.
这样，（SSS），
所以.
关键的一推 第一条连等式来自相似，第二条连等式是已知.
两条串在一起，两边同乘同一个量，
两条边就分别相等了——全等的 SSS 到位.
三步：相似（平行线）→ 全等（SSS）→ 相似（传递）.
四、判定定理 3
于是，我们得到相似三角形的判定定理 3：
三边成比例的两个三角形相似.
符号语言：
在与中，
，
.
三条判定齐了 定理 1 两角｜定理 2 两边夹一角｜定理 3 三边——与全等的 ASA、SAS、SSS 一一对应.
四、即时辨析 ① 成比例要按顺序
三边成比例，指的是三组对应边的比都相等——
1. 在与中，，，；，，.它们相似吗？
2. 在上面两个三角形中，若写成，对应的顶点顺序是什么？
方法点拨 第 1 题：，三边成比例，相似.
第 2 题：按、、的写法，对、对、对.
五、例 3：嵌套的两个三角形
例 3 如图 7-26，在和中，点，分别在边，上，
.
与相似吗？为什么？
四个量里挑三个 题目给了四个比，、、三条边正好围成
；、、围成.
先把这两个小三角形证相似，就有了.
剩下的与，留给第二步的“两边夹一角”.
五、例 3 解答
.理由如下：
在和中，
，
（三边成比例的两个三角形相似）.
.
在和中，
，，
（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）.
这道题在教什么 判定定理 3 先啃下“嵌在里面”的一对小三角形，换来一个角相等；
再拿这个角配上一组比，用判定定理 2 收尾——两条定理接力.
五、即时辨析 ② 为什么先证小的
同样的条件，换个下手的地方——
1. 例 3 中，能不能直接用判定？
2. 判定定理 3 用不上时，通常缺的是什么？
3. 的三边是 ，，；的三边是 ，，.它们相似吗？
方法点拨 第 1 题：题目没有给与的关系，第三条比拿不到，定理 3 用不上.
第 2 题：多半缺的是“第三组比”——这时先找角，改走定理 1 或定理 2.
第 3 题：，三边成比例，相似比为.
六、探究：只有两边成比例呢
仅有两边成比例的两个三角形相似吗？
如果这两个三角形是直角三角形呢？
一般情形：不一定.两条边的比定了，夹角还是可以张可合，
第三边跟着变长变短，形状就变了.
直角三角形情形：多了一个的角，情况就不同了.
直角三角形的特殊待遇 两条直角边成比例 → 夹角是直角，用判定定理 2 直接得相似；
斜边与一条直角边成比例 → 由勾股定理，另一条直角边也成同一比例，
于是三边成比例，用判定定理 3 得相似——这正是全等里 HL 的翻版.
七、课本练习（第 1 题）
1. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，，
将各顶点的横坐标、纵坐标都乘 2，得相应的点，，的坐标.
（1）画出.
（2）与相似吗？为什么？
，，.
算三条边：，；，；
，——三组比都是 2.
一句话思路 横纵坐标同时乘 2，就是以原点为位似中心的放大——相似是必然的.
七、课本练习（第 2 题）
2. 如图，在中，点，在边上，
.
与相等吗？为什么？
三个比里，、、围成，
、、围成——注意对的是.
按对应关系写：.
先问：相等意味着什么 若，则，三个比就都是 1，两个三角形全等.
所以本题真正要判断的是：这两个三角形能不能全等.
七、课本练习（第 3 题）
3. 如图，点，，在一条直线上，交于点，
.
与相等吗？为什么？
三个比对应的边：—、—、—，
所以（三边成比例）.
于是，两边同减即得.
角相等怎么落到位 由相似得，两边都减去公共的，
剩下的与相等——再看它与的关系.
八、习题 7.2（第 1—2 题）
1. 如图，在中，点，分别在边，上，
且.图中有几对相似三角形？是哪几对？
2. 如图，，.
（1）与相似吗？为什么？
（2）如果，，那么的长为多少？
找角的两条路 第 1 题：一组相等的角 + 公共角，就能凑出两角；第 2 题：把两组已知角加上公共角.
八、习题 7.2（第 3—4 题）
3. 如图，是的内接三角形，是弧的中点，
交边于点，连接.
与相似吗？为什么？
4. 在中，，，；
在中，，.
试确定的长，使.
两题各一句 第 3 题：弧的中点带来，圆周角再送一对——两角.
第 4 题：是夹角，与成对，
要相似就得，即.
第 4 题还要注意：也可能与错开，若按另一组对应配，答案会变.
八、习题 7.2（第 5—6 题）
5. 如图，在中，点在边上，
且.
与是否相等？为什么？
6. 如图，在中，，.
（1）试在边上确定点的位置，使.
（2）试在边的延长线上确定点的位置，使.
此时，与有怎样的位置关系？为什么？
两题的关键动作 第 5 题：把改写成，配上公共角.
第 6 题：先按“两边成比例且夹角相等”定出、，再看与的位置关系.
八、习题 7.2（第 7—8 题）
7. 在中，，；
在中，，.
当与的比值为多少时，？
8. 如图，，分别是和的角平分线，
且.
判断与是否相似，并说明理由.
第 7 题：，，
再用三边成比例，第三组也必须是 2，即.
（若对应之外的边，答案另当别论.）
第 8 题的路子 三个比围出与，先证它们相似；
得，再配上收尾.
九、课堂小结
判定定理 3 三边成比例的两个三角形相似.
三条判定凑齐：两角｜两边夹一角｜三边.
1. 三条边都给齐，就用定理 3；只给两条边，先确认是不是夹角.
2. 比例的对应关系看边的字母：、、.
3. 三个比不够时，先证“嵌在里面”的小三角形，换来一组角.
4. 直角三角形多一个，条件可以再减一条.
方法上的一句话 三条判定的证明是同一个模子：截取 → 相似 → 全等 → 相似.
全等的 ASA、SAS、SSS 换成“成比例”，就长成相似的定理 1、2、3——
记住这个对应，三条判定就不会记混.
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