7.3 相似三角形的性质（2）课件 2026-2027学年苏科版数学九年级下册

7.3 相似三角形的性质（2） ——相似三角形的周长与面积 戴泽初中 · 范和景 情境引入 如图 1，点 D、E、F 分别是 △ABC 各边的中点， (1) △DEF 与 △ABC 相似吗？为什么？ (2) 相似比是多少？ (3) 周长、面积有什么关系？ 图 1 情境引入 继续取 △DEF 的各边中点 M、N、P，得到图 2． (1) △MNP 与 △ABC 相似吗？为什么？ (2) 相似比是多少？ (3) 周长、面积有什么关系？ 图 2 F E 自主构建 根据刚才的探究，你有什么猜想？ 1．相似三角形周长的比等于相似比． 2．相似三角形面积的比等于相似比的平方． 怎样验证我们的猜想？ 如果 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，则 周长： ∵ AB = kA′B′，BC = kB′C′，CA = kC′A′， ∴ AB+BC+CA = k(A′B′+B′C′+C′A′)， ∴ C△ABC:C△A′B′C′ = k，即周长的比等于相似比； 面积： 过 A 作 AD⊥BC 于 D，过 A′ 作 A′D′⊥B′C′ 于 D′， 则 AD、A′D′ 是一组对应高，∴ AD:A′D′ = k ∴ S△ABC = ½·BC·AD = ½·kB′C′·kA′D′ = k²·S△A′B′C′， 即面积的比等于相似比的平方． 自主构建 小结：1．相似三角形周长的比等于相似比； 　　　　　2．相似三角形面积的比等于相似比的平方． 类似地：1．相似多边形周长的比等于相似比； 　　　　　　2．相似多边形面积的比等于相似比的平方． 于是，我们得到相似三角形的性质定理2: 互动体验 例 1．如图，在 △ABC 中，DE∥BC， ，△ABC的面积为 18，求四边形 BCED的面积． 解：∵ DE∥BC， ∴ △ADE∽△ABC． ∵ AD/BD = 1/2， ∴ AD/AB = 1/3（相似比 1:3）， ∴ S△ADE:S△ABC = 1:9（面积比 = 相似比的平方）， ∵ S△ABC = 18，∴ S△ADE = 2， ∴ S四边形BCED = 18−2 = 16． 互动体验 例 2．如图，在 △ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 边上，连接 DE、EF．已知四边形 BFED 是平行四边形，BC = 4DE． (1) 若 AB = 8，求 AD 的长； (2) 若 △ABC 的面积为 16，则 △ADE 的面积为____； (3)【拓展提升】若 △ADE 的面积为 2，求 ▱BFED 的面积． 互动体验 1.如图，在△ABC 中，点D，E分别在边AB，AC 上 ，AD:DB=1:2, DE//BC. 求△ADE与△ABC周长的比. 2. 两个相似多边形面积的比为9:16,其中较小的多边形的周长为36. 求另一个多边形的周长. 3.  如图，在△ABC中，∠C=90°, 矩形DEFG的顶点G，F分别在边AC，BC上，点D，E在边AB上 . 已知AG=5, AD=4.求△ADG与△FEB 面积的比. 4．如图，AC 为 ▱ABCD 的对角线，点 E 为 AB 的中点，点 F 在 AD 上，连接 EF 交 AC 于点 G，过点 E 作 EH∥AD 交 AC 于点 H，若 △AFG 与 △HEG 的面积比为 4:9，则 AF:BC 等于 . 5．如图，在矩形 ABCD 中，E 是边 AB 的中点，连接 DE 交对角线 AC 于点 F，则 △ADF 的面积 S1 与四边形 EFCB 的面积 S2 的比值为 . 能力提升 智慧建构 符号语言： ∵ △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k， ∴ C△ABC:C△A′B′C′ = k，S△ABC:S△A′B′C′ = k²． 推广：相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 知二求一：相似比 k ↔ 周长比 k ↔ 面积比 k²（面积比反求相似比要开方）． 通过这节课的学习,你有什么收获? 相似三角形周长比等于相似比． 相似三角形面积比等于相似比的平方． 1.相似三角形的性质定理1. 1．如图，在四边形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，EC∥AB，EB∥DC． (1) △ABE与△ECD 相似吗？为什么？ (2) 设 △ABE的边BE上的高为 h1，△CDE的边 CD上的高为 h2．若△ABE 的面积 9，△CDE的面积为 4，求 的值及△BCE的面积． 答：(1) 相似．∵ EC∥AB，∴ ∠ABE = ∠BEC； ∵ EB∥DC，∴ ∠BEC = ∠ECD，∠AEB = ∠EDC， ∴ △ABE∽△ECD． (2) 相似比 = √(9/4) = 3/2，即 BE:CD = 3:2． ∵ S△ABE = ½BE·h1 = 9，S△CDE = ½CD·h2 = 4， ∴ h1/h2 = (9/4)×(CD/BE) = (9/4)×(2/3) = 3/2； ∵ EB∥CD，∴ h2 是 BE 与 CD 间的距离， ∴ S△BCE = ½BE·h2．设 BE = 3t，由 ½·2t·h2 = 4， ∴ S△BCE = ½·3t·h2 = 6． 能力提升 能力提升 2．如图，直线 的图象与 x、y 轴交于 B、A 两点，与 的图象交于点 C，过点 C 作 CD⊥x轴于点 D．如果 S△BCD:S△AOD = 1:4，则 k 的值为____． 能力提升 3．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 的坐标为 (1,0)，B 为 y 轴上的动点，以 AB为边作矩形 ABCD，O 为坐标原点，S矩形ABCD = 3．连接 OD，则线段 OD 的最大值为 . 能力提升 4．如图，在 △ABC中，AB = 6，点 D 是AB上一动点（不与 A、B 重合），DE∥BC，交 AC于点 E．设△ABC的面积为 S，△DEC的面积为 S′，则 的最大值为____． 答：1/4．设 AD:AB = t（0＜t＜1）， ∵ DE∥BC， ∴ △ADE∽△ABC，相似比为 t， ∴ S△ADE = t²S， △ADE 与 △DEC 同高（D 到 AC 的距离）， 底 AE:EC = t:(1−t)， ∴ S′ = S△DEC = t²S×(1−t)/t = t(1−t)S， ∴ S′/S = t(1−t) = −(t−½)²+¼ ≤ ¼， 当 t = ½（D 为 AB 中点）时取最大值，∴ 最大值为 ¼． 能力提升 5．【感知】如图，在 △ABC中，点D是BC的中点，点E是AC的一个三等分点，且 ，连结 AD、BE，交于点 G，求 的值． 小明发现：过点 D 作DH∥AC交BE于H，可证明△AGE≌△DGH，再利用相似三角形的性质即可得到答案．下面是部分证明过程，请补全： 解：过点 D作 DH∥AC交 BE于 H， 则 ∠EAG = ∠HDG，∠AEG = ∠DHG． ∵ D是 BC的中点，∴ BD = CD， ∴ ，∴ BH = EH， ∴ ；∵ ，∴ ， ∴ AE = DH， ∴ △AGE≌△DGH（AAS）．……请你补全余下的证明过程． 能力提升 【尝试应用】(2) 如图②，在 △ABC 中，D为 AC上一点，AB = AD，连结 BD，若 AE⊥BD，交 BD、BC于点 E、F．若 AD = 9，CD = 3，AF = 8，则 AE的长为____． 答：AE = 7．∵ AB = AD，AE⊥BD， ∴ BE = DE（三线合一）． 过 D 作 DG∥BC 交 AF 于 G， 则 △DEG∽△BEF，∴ DG = BF； △ADG∽△ACF，∴ BF:FC = AD:AC = 3:4， ∴ BF:BC = 3:7，S△ABF = (3/7)S△ABC； 又 S△ABF = ½BE·AF = 4BE， ∴ S△ABC = 28BE/3； ∵ AD:DC = 3:1，∴ C 到 BD 的距离 = AE/3， ∴ S△ABC = ½BD·(AE+AE/3) = 2BE·(2AE/3)， ∴ 2BE·(2AE/3) = 28BE/3，∴ AE = 7． 能力提升 【拓展提高】(3) 如图③，在平行四边形 ABCD 中，点 E为BC的中点，点 F 为CD上一点，BF与AE、AC分别交于点G、M，若CF = DF，若 △BEG的面积为 2，则 ▱ABCD的面积为____． 答：40．延长 AE 交 DC 的延长线于 P， $