7.1.2平行线分线段成比例课件2026-2027学年苏科版数学九年级下册

7.1 相似多边形 第2课时　平行线分线段成比例 一、从横格纸说起 作业本的横格纸上，横线互相平行，且相邻两条的间距都相等. 在上面任意画一条斜线，它被横线截成许多小段—— 这些小段的长度为什么总是一样长？ 再想一步：如果横线的间距不相等（有的宽、有的窄）， 斜线被截得的各段还一样长吗？比值又会怎样？ 本课要回答　两条直线被一组平行线所截，截得的线段之间到底有什么关系？ 二、活动：截出来的线段 在相邻横线都是等距离平行线的横格纸上任意画两条直线⁠，⁠，回答下列问题： （1）如图 7-5，直线被横线截得的各小段的长度相等吗？直线呢？ 二、活动：三组比值 （2）如图 7-6，任取三条横线，记为⁠，⁠，⁠，与⁠，的交点记为⁠，⁠，⁠，⁠，⁠，⁠. 与是否相等？ 与是否相等？　与是否相等？ 动手　在横格纸上真画一画、量一量：等距时三段都是 1 格，比值都是 1； 把某两条横线的间距改成 2 格，比值变了，但两个比仍然相等. 三、基本事实 一般地，有如下基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. （简单说成：平行线分线段成比例.） “对应”指同在一组平行线之间的线段之比：对⁠，对⁠. 即　⁠，⁠，⁠. 注意　平行线的间距不必相等——只要平行，对应线段就成比例； 但两条被截的直线不能平行（否则⁠，与这组平行线不会有交点）. 三、即时辨析 ①　对应关系 对应关系配错，比式就全错—— 1. ⁠，直线⁠，与它们分别交于点和⁠. 　　若⁠，⁠，⁠，求⁠、⁠. 2. 上题中与相等吗？为什么？ 方法点拨　配⁠、配——同在一组平行线之间，才是“对应”. 是⁠，是⁠；算出后代回去验一比，立刻知道对不对. 四、例 2：三角形里的比 例2　如图 7-7，在中，点⁠，分别在边⁠，上， ⁠.与对应边成比例吗？为什么？ 想一想　与不平行时用过什么办法？ 把“截三角形”化成“两条平行线截两条直线”——加一条辅助线就够. 关键　图中只有一组平行线， 还缺一组——过点作⁠. 四、例 2 解答 解　与对应边成比例.理由如下： 如图 7-8，过点作⁠，交边于点⁠. ⁠，⁠， ⁠，（平行线分线段成比例）. 四边形是平行四边形， ⁠. ⁠， 即与对应边成比例. 关键　为什么想到作⁠？——要把搬到一个“同样是的一部分”的位置上； 一次只能得到一组平行线，补一条就够用了. 五、平行于一边的直线 由例 2，我们得到如下结论： 平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 所截得的三角形与原三角形各边成比例. 用式子写就是：⁠. 注意左端两个比分母是整条边 ⁠，不是——这里最容易写错. 与上节连起来　这句话说的正是：与的三组对应边成比例—— 下一节判定相似三角形，就从这里出发. 五、即时辨析 ②　正用与反用 同一张图，正着用、反着用，结论一样吗？ 1. 在中，⁠，⁠，⁠，⁠，求⁠. 2. 若改为⁠，⁠，⁠，⁠，还能说吗？ 方法点拨　正用：有平行 → 比相等；求用⁠，别拿当分母. 反用要小心：比相等就一定平行吗？——这正是下面的“讨论”. 六、讨论：反过来成立吗 讨论　如图 7-9，在中，点⁠，分别在边⁠，上， ⁠.与平行吗？ 已知比相等，要证—— 这是“由数到形”，直接证不好下手. 思路　直接证平行没有工具，那就反着来：先假设不平行，推出矛盾. 这是初中阶段第一次正式使用反证法. 六、反证法：假设不平行 假设与 不平行，看会推出什么—— 可以在射线上找一点⁠，使⁠. 根据“平行线分线段成比例”，可知⁠. 又因为⁠， 可得⁠，所以点与点重合. 所以⁠，与假设矛盾. 于是，我们得到如下结论： 如果一条直线将三角形的两边截得的对应线段成比例，那么它与三角形的第三边平行. 七、课本练习（第 1 题） 1. 如图，在梯形中，点⁠，在腰上，点⁠，在腰上. 连接⁠，⁠，⁠，⁠， 连接⁠，分别交⁠，于点⁠，⁠，⁠.求的长. 思路　把看成一条被⁠，⁠，这组平行线所截的直线. 说明三个“间隔”一样，所以⁠. 七、课本练习（第 2 题） 2. 如图，根据基本事实“平行线分线段成比例”，作线段的三等分点. 在下面的线段上完成作图： A B 作法　过任作一条射线，在上面依次截取三段相等的线段；连第三点与⁠， 再过分点作它的平行线，交于两点——这两个点就把三等分. 八、方法归纳 这一课反复在用同一条思路： 见不到平行线，就造一组平行线（例 2 作⁠）. 1. 找对应：同在一组平行线之间的线段才能配对，不要跨组配. 2. 看分母：的分母是整条边，不是剩下的一段⁠. 3. 补平行：图中平行线不够，就过某点作一条，把分散的比串起来. 4. 善用反证：由“比相等”推“平行”，正面难走时先假设不成立. 一句话　平行线分线段成比例，是把“形”的信息翻译成“比”的信息. 九、课堂小结 一组平行线截两条直线，截得的对应线段成比例——这是本课的基本事实. 它把“平行”与“成比例”连在了一起. 1. 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 2. 对应：同在一组平行线之间的线段才能配对（对⁠，对⁠）. 3. 三角形中的结论：⁠. 4. 逆命题：截得的对应线段成比例与第三边平行（用反证法证）. 下一站：把图形放大或缩小，形状不变——图形的位似.（第 3 课时） 十、资料阅读：重差术 魏晋时期，刘徽为《九章算术》作注，又撰《海岛算经》， 用“重差术”测量海岛的高与远. 所谓“重差”，是立两根表（标杆）各测一次， 再把两次所得的差“重叠”起来推算——靠的正是对应线段成比例. 没有经纬仪、没有激光测距，古人靠一根标杆和一双眼睛， 把够不着的高度、量不到的距离，算了出来. 想一想　两次测量为什么要“立两根表”，只立一根不够吗？ 本册第 85 页的“综合与实践·测量”还会再遇到刘徽. $