6.4 用二次函数解决问题(2) 课件 2026-2027学年苏科版数学九年级下册

6.4 用二次函数解决问题(2) 兴化市戴泽初中 范和景 ——抛物线型问题 1 如图，喷灌设备的喷头B高出地面1.2米，若喷出的抛物线形水流的水平距离x米与高度y米之间的关系为二次函数 .问水流落地点D与喷头底部A的距离. y O(A) B D x 情境创设 请你说一说如何解决这个问题？ 例1.研究显示，沫蝉跳跃的最大高度可以达到体长的一百多倍.已知一只沫蝉从起跳开始，跳跃过程中的高度y(mm)与起跳时间t(s)  满足二次函数关系.下表是由高速相机拍摄的沫蝉某次跳跃过程中的数据，求沫蝉这次跳跃的最大高度. 合作探究 解：根据题意，可设跳跃高度y(mm)和起跳时间t(s)之间的函数表达式为 y=at²+bt+c. 因为当t=0时，y=0,  所以c=0, 把t=0.5，y=500 与t=0.75，y=0分别代入函数表达式，得 解这个方程组得 所以当t=0.375时，y的值最大，最大值为562.5.  所以y=-4000t²+3000t=-4000(t—0.375)²+562.5. 答：沫蝉这次跳跃的最大高度为562.5 mm. 例2.河上有一座抛物线形的拱桥，水面宽为6m时，水面离桥拱顶部3m．因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为多少（精确到0.1m）？ 【分析】要解决这个实际问题，先要把它数学化---恰当地建立平面直角坐标系，把抛物线形的桥拱看作一个二次函数的图像，并写出这个函数的表达式，然后根据题设条件求解. 合作探究 解：如图，以桥拱的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立平面直角坐标系.抛物线形的桥拱是二次函数y=ax2的图像. 因为当水面宽AB=6m时，水面离桥拱顶部3m， 所以点A的坐标是（3，-3）. 建立坐标系解决实际问题 把x=3，y=-3代入y=ax2，得-3=a×32， 解得 把y=-2代入 得 解得 所以点C，D的坐标分别为 答：水位上升1m时，水面宽约为4.9m. 建系法 合作探究 建立坐标系解决实际问题 1.恰当地建立平面直角坐标系，把实际问题数学化，坐标化； 2.把抛物线图形看作二次函数的图像，求出这个二次函数表达式； 3.然后根据题设条件利用图像性质求解. 自主构建 建立平面直角坐标系 图像性质 抛物线问题 拱桥等实际问题 解决问题 互动体验 1.赵州桥距今已有1400多年历史，在世界建筑史上占有极其重要的地位.如图，假设赵州桥的桥拱是抛物线形，已知石拱跨径约37.02m, 拱圈矢高约7.23m. 试建立恰当的平面直角坐标系，把拱桥看作一个二次函数的图像的一部分，求这个函数的表达式（系数保留两位小数）.   x y （O） 则 A(-18.51, 0)，B(18.51, 0)，顶点 C(0, 7.23). 顶点在 y 轴上，设 y = ax² + 7.23.把 B(18.51, 0) 代入得 0=a×18.512+7.23 ∴a ≈ −0.02 所以函数表达式为：y=−0.02x2+7.23(−18.51≤x≤18.51) 解：以 AB 所在直线为 x 轴，拱高 CD 所在直线为 y 轴，D为原点. 互动体验 2.渡槽是水利水电工程中一种重要的架空输水建筑物，我国南水北调工程就广泛使用了这一技术.某槽体内部呈抛物线形，截面图如图所示.水深 0.6m 时，测得水面宽度为 4 m.  求当水深 4 m 时的水面宽度（结果精确到 0.1m）.   x y O 解：以抛物线顶点（槽底最低点）为原点，对称轴为 y 轴，设抛物线为 y = ax²（a > 0）. 代入得0.6=a×22 ∴a=0.15 求水深 4m 时的宽度：当 y = 4 时，0.15x2=4​ ∴x ≈ 5.16 ∴水面宽 = 2x ≈ 10.33 ≈ 10.3 m. 水深0.6 m 时水面宽4 m，即点 (2, 0.6) 在抛物线上. ∴y = 0.15x². 3.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a(x-6)2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m． （1）当h=2.6时，求y与x的关系式； （2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围． 能力提升 球会出界 ​ 二次函数图象问题 抛物线型问题 建系法 通过这节课的学习,你有什么收获? 智慧建构 建模思想 数形结合 1.设计师以y=2x2-4x+27的图像为灵感设计杯子如图所示，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE等于 . 11 能力提升 2. 正常水位时，抛物线形拱桥下的水面宽为20m.  水面上升3m 达到警戒水位时，桥下水面宽10m. （1）建立恰当的平面直角坐标系，把抛物线形的桥拱看作一个二次函数的图像的一部分，求这个函数的表达式； （2）如果水位以0.2 m/h的速度持续上涨，那么达到警戒水位 后，再过多长时间此桥拱将被淹没？ 能力提升 3.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m.隧道最高点E到坐标原点O的距离为4m. （1）请求出这条抛物线的函数表达式. （2）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？ （3）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？ 能力提升 　　4.如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系． 　　(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； 　　(2)求这条抛物线的解析式； 　　(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－DC－CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？ 能力提升 $