7.2 相似三角形的判定（2）课件 2026-2027学年苏科版数学九年级下册

7.2 相似三角形的判定（2） ——相似三角形的判定 兴化市戴泽初中 · 范和景 情境引入 问题：已知 △ABC，作 △A′B′C′，使 ∠A′＝∠A， ，所作的 △A′B′C′ 与 △ABC 相似吗？为什么？ 由作图我们发现：两边成比例、且这两边的夹角相等时，两个三角形相似—— 本节课研究判定方法 2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 自主构建 探究：已知 （k＞0），∠A′＝∠A． 求证：△ABC∽△A′B′C′． 证明：在 △ABC的边 AB（或它的延长线） 上截取 AD＝A′B′， 过点 D 作 DE∥B′C′，交射线 AC于点 E． ∵ DE∥BC， ∴∠ADE = ∠B,∠AED = ∠C, ∴ △ADE∽△ABC， ∴ AB/AD＝AC/AE． 又∵ AD＝A′B′， ∴AB /A′B′＝AC/AE， 又∵ AB/A′B′=AC/A′C′ ∴ AC/AE＝AC/A′C′ ∴ AE＝A′C′ E D 在 △ADE 与 △A′B′C′中， ∵AD＝A′B′，∠A＝∠A′，AE＝A′C′， ∴ △ADE≌△A′B′C′（SAS）， ∴△A′B′C′∽ △ABC△ABC∽△A′B′C′ ． 自主构建 判定方法 2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． （简称：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．） 符号语言： ∵ ，∠A＝∠A′， ∴ △ABC∽△A′B′C′． 定义（回顾）：各角分别相等、各边成比例的两个三角形相似． 注意："夹角"必须是成比例的两边的夹角；若已知的是其中一边的对角，则不能直接判定． 互动体验 例1 .如图，在 △ABC 和 △ADE 中，已知 ， ∠BAD＝∠CAE．求证：△ABC∽△ADE． 证明：∵ ∠BAD＝∠CAE， ∴ ∠BAD＋∠BAE＝∠CAE＋∠BAE， 即 ∠BAC＝∠DAE． 又∵ AB/AC＝AD/AE， ∴ AB/AD＝AC/AE（比例的基本性质）， ∴ △ABC∽△ADE （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． 互动体验 变式：如图，已知 △ABC 和 △ADE 中，∠BAE＝∠CAD，AB＝3，AC＝6，AE＝2，AD＝4，这两个三角形相似吗？为什么？ 解：相似．∵ ∠BAE＝∠CAD， ∴ ∠BAE＋∠CAE＝∠CAD＋∠CAE， 即 ∠BAC＝∠DAE． 又 AB/AE＝3/2，AC/AD＝6/4＝3/2， ∴ AB/AE＝AC/AD， ∴ △ABC∽△AED （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． 互动体验 例2 .如图，已知 AD，BC 相交于点 O，AO＝4，DO＝8，BO＝3，CO＝6．求证：△AOB∽△DOC． 证明：∵ AO/DO＝4/8＝1/2， BO/CO＝3/6＝1/2， ∴ AO/DO＝BO/CO， ∵ ∠AOB＝∠DOC（对顶角相等）， ∴ △AOB∽△DOC （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． 互动体验 变式1：如图，已知线段 AB 与 CD 交于点 O，OA＝4，OD＝3，OC＝8，OB＝6，求证：△AOC∽△DOB． 证明：∵ AO/DO＝4/3， CO/BO＝8/6＝4/3， ∴ AO/DO＝CO/BO， ∵ ∠AOC＝∠DOB（对顶角相等）， ∴ △AOC∽△DOB （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． 互动体验 变式2：已知：如图，在 △ABC 中，D、E 分别在边 AB、AC 上， 连接 DE，AD＝6，EC＝1，BD＝6，AE＝8，求证：BC＝ DE． 证明：∵ AB＝AD＋BD＝12，AC＝AE＋EC＝9， ∴ AD/AC＝6/9＝2/3，AE/AB＝8/12＝2/3， ∴ AD/AC＝AE/AB． 又 ∠A＝∠A（公共角）， ∴ △ADE∽△ACB（两边成比例且夹角相等）， ∴ DE/CB＝AD/AC＝2/3， ∴ BC＝3/2 DE． 互动体验 变式3：如图，已知 AD·AC＝AB·AE，∠DAE＝∠BAC． 求证：△DAB∽△EAC． 证明：∵ AD·AC＝AB·AE， ∴ AD/AE＝AB/AC（比例的基本性质）． 又 ∵∠DAE＝∠BAC， ∴ ∠DAE－∠BAE＝∠BAC－∠BAE， 即 ∠DAB＝∠EAC， ∴ △DAB∽△EAC（两边成比例且夹角相等）． 互动体验 例3 如图，在 △ABC 中，AB＝4cm，BC＝8cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动．如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，经过几秒后，点 P，B，Q 构成的三角形与 △ABC 相似？ 解：设经过 t s，则 AP＝t，PB＝4－t，BQ＝2t． ∠B 为公共角，分两种情况： ① PB/BA＝BQ/BC，即 (4－t)/4＝2t/8， 解得 t＝2； ② PB/BC＝BQ/BA，即 (4－t)/8＝2t/4， 解得 t＝4/5． ∴ 经过 2 s 或 4/5 s 后，△PBQ 与 △ABC 相似． 互动体验 1．如图，△ABC 中，P 是 AB 上一点，连接 CP．请你补充一个条件________，使 △ABC∽△ACP． 答案：如 ∠ACP＝∠B （或 ∠APC＝∠ACB，或 AC²＝AP·AB 等）． 2．如图，在 △ABC 中，AB＝AC，D、E、B、C 在同一条直线上，且 AB²＝BD·CE，求证：△ABD∽△ECA． 证明：∵ AB＝AC， ∴ ∠ABC＝∠ACB， ∴ ∠ABD＝∠ECA， 又∵ AB²＝BD·CE， 即 AB/CE＝BD/AB＝BD/CA， ∴ △ABD∽△ECA（两边成比例且夹角相等）． 互动体验 3．如图，在正方形ABCD中 ，E是边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD.△ABE与△DEF 相似吗?为什么? 互动体验 4.如图，四边形 ABCD、CDEF、EFGH 都是正方形， ∠1＋∠2＝______°． 解：45．连结 AC．设正方形边长为 1，则 AC＝√2，CF＝1，AF＝√5；GC＝2，AG＝√10． ∵ AC/CG＝CF/CA＝AF/AG＝√2/2， ∴ △ACF∽△GCA（三边对应成比例）， ∴ ∠1＝∠AFC＝∠CAG， ∴ ∠1＋∠2＝∠CAG＋∠AGC ＝180°－∠ACG＝180°－135°＝45°． 智慧建构 通过这节课的学习，你有什么收获？ 判定定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． "两边"是对应边，夹角必须是这两边的夹角． 符号语言 ∵ A′B′/AB＝A′C′/AC，∠A＝∠A′，∴ △ABC∽△A′B′C′． 表示对应顶点的字母要写在对应的位置上． 常见模型 共角"A 字型"（例1）、"8 字型"（例2）、公共角型（作业2、4）等， 都是"两边成比例且夹角相等"判定的常见图形． 能力提升 1．如图，点 D、E 分别在线段 AB 和 AC 上，BE 与 CD 相交于点 O，AD·AB＝AE·AC，DF∥BE． 求证：△ADF∽△ACD． 证明：∵ AD·AB＝AE·AC， ∴ AB/AC＝AE/AD（比例的基本性质）， 又 ∠A＝∠A， ∴ △ABE∽△ACD（两边成比例且夹角相等）， ∴ ∠ABE＝∠ACD． ∵ DF∥BE， ∴ ∠ADF＝∠ABE（两直线平行，同位角相等）， ∴ ∠ADF＝∠ACD． 又∵ ∠A＝∠A（公共角）， ∴ △ADF∽△ACD（两角分别相等）． 能力提升 2．如图，反比例函数 的图象经过Rt△AOB 斜边的中点 P，与 AB 交于点 Q，连接 OQ．点 A 的坐标为 (12,6)． (1) 反比例函数的表达式为________； (2) 求证：△BOQ∽△BAO． 解：(1) ∵ P 是斜边 AO 的中点，A(12,6)， ∴ P(6,3)，∴ k＝6×3＝18，y＝． (2) 证明：∵ B 在 y 轴上，∠ABO＝90°， ∴ B(0,6)，AB∥x 轴，令 18/x＝6 得 x＝3， ∴ Q(3,6)，BQ＝3，BO＝6，BA＝12， ∴ BQ/BO＝3/6＝1/2，BO/BA＝6/12＝1/2， 又 ∠QBO＝∠ABO（同一个角）， ∴ △BOQ∽△BAO（两边成比例且夹角相等）． 补充习题 1．如图，已知 △ABC，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8，将 △ABC 沿图中的 DE 剪开，剪下的阴影三角形与△ABC 不相似的是（　　） A． B． C． D． D　 2．如图，点 P 在 △ABC 的边 AC 上，要判断 △ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　） A．∠ABP＝∠C　　 B．∠APB＝∠ABC C．　　 D．AB²＝AP·AC C　 3．如图，在 △ABC 中，D 在 AB 边上，连接 CD，AC＝4，AD＝2，BD＝6．求证：∠ACD＝∠B． 证明：∵ AB＝AD＋BD＝2＋6＝8， ∴ AD/AC＝2/4＝1/2，AC/AB＝4/8＝1/2， ∴ AD/AC＝AC/AB， 又∵ ∠A＝∠A（公共角）， ∴ △ACD∽△ABC（两边成比例且夹角相等）， ∴ ∠ACD＝∠B． 补充习题 4．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D 是边 AB 上一点，且 ． (1) 求证：△ACD∽△ABC． (2) 若 ∠A＝60°，AD＝2，求AB的长． 补充习题 5．如图，已知 ∠B＝∠E＝90°，AB＝6，BF＝3，CF＝5， DE＝15，DF＝25． (1) 求 CE 的长； (2) 求证：△ABC∽△DEF． 解：(1) 在 Rt△DEF 中，∠E＝90°， EF＝√(DF²－DE²)＝√(25²－15²)＝20， ∴ CE＝EF－CF＝20－5＝15． (2) 证明：∵ ∠B＝∠E＝90°， AB/DE＝6/15＝2/5，BC/EF＝8/20＝2/5， ∴ AB/DE＝BC/EF， ∴ △ABC∽△DEF（两边成比例且夹角相等）． 补充习题 $