7.1.4相似多边形课件 2026-2027学年苏科版数学九年级下册

7.1 相似多边形 第4课时　相似多边形的定义 一、位似之后，还能问什么 如图 7-16，当四边形与四边形位似时， 它们的对应边有什么关系？对应角呢？ “我觉得对应边平行，对应边成比例.” “我觉得对应角相等.” 两句话都只是猜想　位似只保证“对应边成比例、连线交于一点”， 角到底等不等，还得动手证. 二、先说角：由比到平行 回到图 7-16，已知 —— 能推出什么？ 在图 7-16 中，由⁠， 可得⁠，所以⁠. 同理，⁠，于是⁠. 同理可得两个四边形的其他对应角也相等. 用的是哪个旧知识　推⁠，用的正是上一课时的逆命题： 截得的对应线段成比例，则与第三边平行. 二、再说边：把四组比串起来 由⁠，且在中截出，可得 ⁠. 同理， ⁠，⁠， ⁠. 所以　⁠. 即两个四边形的对应边成比例. 三、相似多边形的定义 一般地，对应角分别相等、对应边成比例的两个多边形称为相似多边形（similar polygons）. 多边形位似是多边形相似的特殊情形. 三、记法与读法 在图 7-17 中，与相似， 记作“”，读作“相似于”； 四边形与四边形相似， 记作“四边形四边形”， 读作“四边形相似于四边形”. 写法的规矩　和表示三角形全等一样，表示两个多边形相似， 应把对应顶点的字母写在对应的位置上. 就告诉我们：对⁠，对⁠，对⁠. 三、性质与相似比 根据相似多边形的定义，可得： 相似多边形的对应角相等，对应边成比例. 相似多边形对应边的比叫作相似比（similarity ratio）. 特别地，如果两个三角形的相似比是 1，那么它们是全等三角形. 把三件事串起来　全等相似（相似比 1）；位似相似（还要连线交于一点）. 三、即时辨析 ①　对应位置 ∽ 号两边，字母的位置就是对应关系—— 1. 已知⁠，⁠，⁠，求⁠. 2. 若把上题写成⁠，还是吗？ 方法点拨　对应⁠，而⁠. 换成⁠，对⁠、对⁠、对——对应关系变了，答案才对不上号. 四、讨论：全等是不是相似 与图 7-16 中的全等的三角形与有什么关系？ 与位似，比小于 1，所以小一些. 如果把它放大到与一样大—— 两个三角形就全等了，只是位置还差着. 想明白这件事　全等，就是相似比为 1 的相似. 五、例 4：求角与边 例 4　如图 7-18，四边形四边形⁠， 求的大小和的长. 两条路　角：由“对应角相等”，∠直接等于⁠； 边：由“对应边成比例”，只有对应的边才能配成比. 图上给出的量：⁠，⁠，⁠，⁠. 要求⁠，就得找一条含已知三条边的比式. 五、例 4 解答 解　四边形四边形⁠，⁠， ⁠， （相似多边形的对应角相等，对应边成比例）. ⁠，⁠，⁠， ⁠. 为什么这么配比　与是一对，与是一对—— 先按 ∽ 号两边的字母顺序把四对边对好，比式就不会写错. 五、例 5：中点三角形 例 5　如图 7-19，⁠，⁠，分别是三边的中点. 与相似吗？为什么？ 分析　根据相似多边形的定义， 需要判断这两个三角形的对应角是否分别相等， 对应边是否成比例. 手上有什么　⁠，⁠，是中点 → 中位线 → 平行 + 一半长. 平行出角相等，一半长出比例，两件事正好凑成定义. 五、例 5 解答 解　⁠.理由如下： ⁠，⁠，分别是三边的中点， ⁠，⁠，⁠， ⁠，⁠，⁠. 四边形是平行四边形， ⁠. ⁠. 同理，⁠，⁠. （相似多边形的定义）. 回头看　角相等、边成比例，两条都验过了，才敢下“相似”的结论. 五、即时辨析 ②　相似比的方向 同一个相似比，从哪边看过去？ 1. 例 5 中与的相似比是多少？反过来呢？ 2. 若的相似比是⁠，那么是的几分之几？ 方法点拨　⁠，所以与的比是⁠； 反过来与的比就是 2.写比之前先说清“谁比谁”. 六、课本练习（第 1 题） 1. 如图，四边形四边形⁠. 求⁠，的大小和的长. 先对号　对⁠，对⁠； 与是一对，与是一对. 四边形内角和是——求时别忘了先算或⁠. 六、课本练习（第 2、3 题） 2. 根据下列要求画图： （1）如图（1），以的中点为位似中心， 把矩形按相似比 缩小； （2）如图（2），以点为位似中心， 把按相似比 放大. 3. 已知⁠，⁠. 与相似吗？为什么？ 两题各一句话　第 2 题：相似比 是缩小，新顶点落在与顶点之间； 是放大，要延长出去. 第 3 题：相似可以“传递”——把两个比乘起来，就得到第一个与第三个的比. 七、课堂小结 位似是相似的特殊情形；相似多边形，则是“角全相等、边成比例”的多边形. 这一课把“位似”推到了“相似”. 1. 定义：对应角分别相等、对应边成比例的两个多边形称为相似多边形. 2. 性质：对应角相等，对应边成比例（定义反过来用就是性质）. 3. 相似比：对应边的比；相似比为 1 时，两个三角形全等. 4. 记法：∽ 两边按对应顶点顺序写，位置一错，比就配错. 下一站：判定两个三角形相似，有没有比“逐条验”更快的办法？（7.2） 八、习题 7.1（第 1—2 题） 1. 已知⁠，且⁠.求⁠，⁠，的值. 2. 如图，设线段⁠. （1）过点画⁠，使⁠；连接⁠，以点为圆心、的长为半径画弧交于点⁠；以点为圆心、的长为半径画弧交于点⁠. （2）在所画的图中，点是线段的黄金分割点吗？为什么？ A C （第 2 题） 提示　第 1 题：设比值为⁠，三个量都用表示，再加起来等于 68； 第 2 题：的长度里含⁠，这正是黄金分割的尺规作法. 八、习题 7.1（第 3—4 题） 3. 如图，⁠，直线⁠，与⁠，⁠，分别相交于点⁠，⁠，和点⁠，⁠，⁠. 设⁠，⁠，⁠，求的长. 4. 如图，在中，点⁠，分别在边⁠，上，⁠. 已知⁠，⁠，⁠.求的长. 两题的解法是同一个：找到那组平行线，把对应的线段配成比，再解方程. 八、习题 7.1（第 5—6 题） 5. 如图，在中，点⁠，分别在边⁠，的延长线上，⁠. 与各边成比例吗？为什么？ 6. 如图，在平行四边形中，对角线⁠，相交于点⁠，⁠，⁠，⁠，分别是⁠，⁠，⁠，的中点，连接⁠，⁠，⁠，⁠. 四边形与四边形位似吗？为什么？ 第 5 题注意点⁠，的位置在延长线上；第 6 题要把“位似”的两个条件都验到. $