专题08 正切函数的性质与图象（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

专题08 正切函数的性质与图象 （题型突破·举一反三） 题型01 正切（型）函数的定义域问题 1 题型02 含正切函数的定义域问题 2 题型03 与正切函数有关的单调性问题 4 题型04 与正切函数有关的比较大小问题 6 题型05 与正切函数有关解不等式问题 8 题型06 正切（型）函数的值域及最值问题 9 题型07 含正切函数二次式的值域与最值问题 11 题型08 由正切（型）函数的值域求参数 13 题型09 与正切函数周期性有关的问题 14 题型10 与正切函数有关的奇偶性问题 16 题型11 与正切函数有关的对称性问题 18 题型12 与正切函数性质有关的综合问题 21 ▌题型01 正切（型）函数的定义域问题 1.正切函数y=tan x的定义域 2.遇到复合正切函数时，内层整体需满足该限制；同时结合分式、根式等附加限制条件，联立求解。注意k∈Z不可遗漏，最终解集规范写成集合形式，还要检验边界取值。 【典例1】（26-27高二上·贵州遵义·开学考试）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】要使函数有意义，则，即，所以函数的定义域为． 【变式1-1】（25-26高一下·上海·期中）函数的定义域为____________. 【详解】由可得. 【变式1-2】（25-26高一下·贵州遵义·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以的定义域为． 【变式1-3】（25-26高一下·陕西商洛·期中）函数定义域为___________. 【详解】由，，得，， 即函数的定义域为． 【变式1-4】求函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，需使， 所以且， 故的定义域为且. ▌题型02 含正切函数的定义域问题 1.正切函数y=tan x的定义域 2.求复合正切函数时，内层整体需满足该限制；同时结合分式、根式等附加限制条件，联立求解。注意k∈Z不可遗漏，最终解集规范写成集合形式，还要检验边界取值。 【典例2】（26-27高三·全国·一轮复习）函数的定义域为______． 【详解】由题意可知：，当有意义时， 所以函数的定义域为． 【变式2-1】（26-27高一上·全国·课后作业）函数的定义域是________． 【详解】依题意，，即， 结合正切曲线，可得， 即函数定义域为． 【变式2-2】（25-26高一下·河南·阶段检测）函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】令，得，解得，， 所以定义域为：， 【变式2-3】（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）在上，函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，又， ， 所以函数的定义域是. 【变式2-4】（25-26高一下·上海杨浦·期中）函数 的定义域为______． 【答案】 【详解】由题意，解得，所以. ▌题型03 与正切函数有关的单调性问题 1. 正切函数在每一个区间,k∈Z上单调递增,不能说在定义域上单调递增. 2. 处理复合函数时，先确定定义域，再利用换元法分析内层函数，结合正切单调区间列式求解，注意区间书写必须为开区间，不能写成闭区间。 【典例3】26-27高二·山东·学业考试模拟）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以函数的单调递增区间为． 【变式3-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法正确的是（   ） A．是增函数 B．在第一象限是增函数 C．在某一区间上是减函数 D．在区间上是增函数 【答案】D 【详解】有无数个递增区间，无递减区间，且在整个定义域上不是增函数， 故选：D. 【变式3-2】（25-26高三上·云南昆明·期中）若函数的最小正周期为，则的单调区间为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】由已知可得，解得，所以函数， 由，解得， 所以的单调区间为， 故选：B. 【变式3-3】（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【详解】因为，所以， 函数在上单调递增， 因为函数在上单调递增， 所以， 所以，即的最大值为. 故选：A 【变式3-4】（2026·江苏南京·三模）已知函数在上单调，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】由正切函数的单调递增区间为； 令，解得； 函数的单调递增区间为. 由()在上单调，得； ，解得； ，，解得； ，； ，得； 的最大值为. ▌题型04 与正切函数有关的比较大小问题 1.熟记y=tan x在每一个区间,k∈Z上单调递增,不能说在定义域上单调递增。 2.比较大小时先用诱导公式把角化到同一单调区间内，再依据单调性判断；若两角不在同一单调区间，需借助图像、正负性分析。 3.解题要优先判断角度范围，避免直接套用单调性导致错误。 【典例4】若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，， 因为在上单调递增，且，因此， 所以. 【变式4-1】（多选）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】选项A：在单调递增，，A正确. 选项B：，，. 所以，即，B错误. 选项C：，，，且在单调递增，所以， 又，所以，故，C正确. 选项D：在单调递减，，故，D错误. 【变式4-2】已知函数是定义域为R的奇函数，，且当时， ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数是定义域为R的奇函数，由，得， 即， 则，函数周期为4. 当时，，则， 因此当时，，函数在上单调递增. 对于AB，，而， 则，因此，AB错误； 对于C，， 而，因此，C错误； 对于D，， 而，因此，D正确. 【变式4-3】若，，，则a，b，c的大小关系为_____________．（用“”连接） 【详解】，，， ，， ，， 在区间上单调递增， 因为， 所以，即． ▌题型05 与正切函数有关解不等式问题 1.熟记正切函数y=tan x在每一个区间,k∈Z上单调递增,不能说在定义域上单调递增。 2.解不等式可借助正切曲线，先在一个周期内找到解集，再加上周期。 3.必须优先写出定义域，保证 \tan x 有意义，最后写成规范的集合形式，注意区间均为开区间。 【典例5】解不等式的解集为________. 【详解】由题得，， 所以，， 所以，. 所以不等式的解集为，. 【变式5-1】已知函数，使成立的x的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以，所以，即. 所以使成立的x的取值集合是. 故选：B. 【变式5-2】已知，则的取值范围是______. 【详解】因为，故，而， 故即，故的取值范围为. 【变式5-3】不等式在内的解集________. 【详解】，且，代入得：. 在内，恒成立，仅当时取等号，显然不在不等式解集内. 因此不等式等价于，即在内的解集， 由正切函数的图像与性质可得原不等式解集为. ▌题型06 正切（型）函数的值域及最值问题 1. 熟记正切函数y=tan x在每一个区间,k∈Z上单调递增,且在开区间上无最大值、最小值。 2. 求解时先确定自变量范围，再换元得到内层角的区间；若区间包含间断点，函数值域会被拆分。 3. 结合单调性画出简图，判断端点能否取到，最后写出值域，留意定义域限制。 【典例6】（26-27高一上·全国·课堂例题）求函数，的值域． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值 【详解】令， ∵，∴. ∵在上是增函数， ∴，即. ∴所求函数的值域为． 【变式6-1】（25-26高一下·安徽芜湖·阶段检测）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 因为，， 所以函数，的值域为． 【变式6-2】函数，的值域为____________ 【详解】设，因为，所以． 因为正切函数在上单调递增，且，， 所以． 故答案为： 【变式6-3】若函数的最大值为___________ 【详解】∵，且， ∴，∴， ∴， ∵在上单调递增，∴在上单调递减， ∴， 故答案为：. 【变式6-4】（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）求函数的定义域； （2）求函数的值域． 【详解】（1）由题意得，即， 在内，满足上述不等式的的取值范围是， 又的最小正周期为， 所以， 所以函数的定义域为. （2）令，，即， 又在上是增函数， 所以，即， 所以函数的值域为． ▌题型07 含正切函数二次式的值域与最值问题 1. 将tanx设为换元变量t，转化为普通二次函数；要先根据x的范围，求出t=tan x的取值范围，注意定义域带来的t间断限制。 2. 再分析二次函数开口方向、对称轴，结合t的定义域求值域；不能忽略t取不到的值，还要检验端点是否可达，最后还原作答。 【典例7】（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知的取值范围为，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，定义域为， 设，则，，所以. 则，当且仅当即时等号成立. 故当即（对应，满足定义域要求）时取到最小值3. 【变式7-1】 函数的值域为________． 【详解】设，则， 当时，. 所以的值域是． 故答案为：. 【变式7-2】函数，的值域为___________. 【详解】令，， 因为函数在上单调递增，当时，，即， 又因为函数在上单调递增， 当时，， 所以，函数，的值域为. 故答案为：. 【变式7-3】已知，求函数的最小值． 【详解】当时，，设，则， 则，当且仅当时等号成立． 所以的最小值为4. 【变式7-4】求函数的最大值和最小值. 【详解】解：①当时，； ②时，， 由可知， 当且仅当，即时等号成立，∴. ③当时，， 由知，当且仅当,故，即. 综上，的最大值为，最小值为. ▌题型08 由正切（型）函数的值域求参数 1.熟记正切函数y=tan x的定义域、周期与单调区间，其周期为π，在每一个区间,k∈Z上单调递增。 2.解题时优先锁定定义域，保证正切有意义；结合图像、单调性、值域条件列式，换元后转化为方程或不等式。 3.注意参数会改变内层角范围，要分类讨论，检验是否存在使正切无定义的自变量，排除增根。 【典例8】（25-26高一上·山东·阶段检测）若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为______. 【详解】因为命题“，”为真命题，所以， 因为，所以，所以， 所以，即实数a的取值范围为. 故答案为：. 【变式8-1】（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）已知函数在闭区间上的最大值为4，最小值为2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由在上单调递增，则单调递减， 所以在同一单调区间上也单调递减， 由在区间上单调递减，则， 所以，， 解得，，又，所以，因此. 【变式8-2】函数在上的最大值为4，则实数的值为______. 【详解】函数在上单调递增， 则当时，， 因此，解得， 所以实数为. 故答案为：. 【变式8-3】设，若函数在区间上的最大值为，则 _____. 【详解】因为，当时，，且， 所以，函数在区间上单调递增，且， 故，解得. 故答案为：. 题型09 与正切函数有关的周期性问题 1. 牢记基础公式：函数f(x)=Atan (ωx+φ),它的最小正周期T=，区别于正弦、余弦的周期公式。 2. 解题时先确定定义域，函数间断点会影响图像，不能只套用周期公式；结合换元法分析内层表达式，验证周期，区分“存在周期”与“最小正周期”，避免混淆。 【典例9】（26-27高三上·山东济宁·阶段检测）若函数的最小正周期为，则（    ） A．且为奇函数 B．且为奇函数 C．且为偶函数 D．且为偶函数 【答案】A 因为函数的定义域为关于原点对称. 又因为，所以为奇函数. 【变式9-1】（26-27高三上·安徽淮南·阶段检测）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的最小正周期为． 【变式9-2】（26-27高三上·广西南宁·开学考试）若函数与的最小正周期相等，则_________． 【详解】由题意得，解得. 【变式9-3】（25-26高一下·广西钦州·期末）已知函数（）的最小正周期为，则__________. 【详解】因为函数（）的最小正周期为， 所以，解得， 即， 则. 【变式9-4】（25-26高一下·上海·期中）若函数（其中常数）的最小正周期为3，则的值为__________． 【答案】 【详解】由题意可知：，解得：. ▌题型10 与正切函数有关的奇偶性问题 正切函数y=tan x是奇函数 1. 判断奇偶性第一步优先求定义域，定义域必须关于原点对称，这是必要前提。 2. 熟记y=tan x是奇函数，满足tan(-x)=-tan x，图像关于原点对称。 3.对于复合形式求正切型函数y=Atan (ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定义域时,要将“ωx+φ”视为一个整体.令ωx+φ≠kπ+,k∈Z,解得x. 【典例10】（26-27高三·全国·一轮复习）若函数为奇函数，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：函数为奇函数，其图象必关于原点对称 对于函数，其图象关于原点对称有两种情况： ① 原点是函数图象的一个对称中心 函数的对称中心为，故 令得 ② 轴是函数图象的一条渐近线 函数的渐近线为，故 令得 综上， 故选：C． 【变式10-1】（25-26高一上·河南周口·期末）已知函数，则（   ） A．是最小正周期为的奇函数 B．是最小正周期为的偶函数 C．是最小正周期为的奇函数 D．是最小正周期为的偶函数 【答案】C 【详解】由诱导公式得， 因为， 所以是奇函数，其最小正周期为. 故为最小正周期为的奇函数. 故选：C. 【变式10-2】（多选）（25-26高一上·江苏泰州·阶段检测）下列函数中，是奇函数的为（   ） A．f B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于选项A，∵，∴恒成立， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 由f， ∴f为奇函数，A正确； 对于选项B，，函数为偶函数，B错误； 对于选项C，函数的定义域为，因为， ，∴为奇函数，C正确； 对于选项D，，定义域关于原点对称，为奇函数，D正确. 故选：ACD. 【变式10-3】（25-26高一下·上海·期末）已知函数，且，则________． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】函数奇偶性的应用、由正切函数的奇偶性求函数值 【详解】令，定义域关于原点对称， 而， 则，可得是奇函数， 由题意得，则， 而，得到，解得， 则. 【变式10-4】（25-26高二下·上海松江·阶段检测）已知，满足，则__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、由正弦函数的奇偶性求函数值、由正切函数的奇偶性求函数值 【分析】构造函数，根据奇函数性质得到方程，求出答案. 【详解】，令， 由于， 显然，即， 所以. ▌题型11 与正切函数有关的对称性问题 1. 熟记正切函数y=tan x没有对称轴，只有对称中心，其对称中心坐标为对称中心(k∈Z)。 2. 处理函数y=Atan,可令ωx+φ=,k∈Z,解出x后可得对称中心横坐标；必须优先考察定义域，避开间断点，结合图像分析，不要与正弦、余弦的对称性混淆。 【典例11】（26-27高一上·全国·课后作业）下列坐标所表示的点不是函数图象的对称中心的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知令，解得， 当时，， 所以，，都是函数图象的对称中心， 当，解得， 所以不是函数图象的对称中心. 【变式11-1】（25-26高一下·河南南阳·期末）已知点同时是函数与的对称中心，则的最小正整数值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【详解】由正切函数的对称中心为，则，即， 故的对称中心为； 由余弦函数的对称中心为，则，即， 故的对称中心为； 因为点同时是函数与的对称中心， 故，解得； 故，解得； 故的最小正整数为5． 【变式11-2】（26-27高三上·河北衡水·开学考试）已知函数的最小正周期为，则下列选项中是图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由，得， 所以， 令， 解得， 令得，A正确， 令得，C正确， 令得，D正确. 【变式11-3】（26-27高三上·河北保定·阶段检测）函数的对称中心的坐标为______． 【详解】根据正切函数的对称中心坐标为其中， 所以，，求得，, 所以的对称中心的坐标为，. 【变式11-4】（26-27高三上·天津·开学考试）若满足的点是函数的图像的一个对称中心，则的最大值为________． 【详解】正切函数的对称中心为，. 令，，解得，， 所以的图像的对称中心为，. 由题意知，，， 所以，，解得，. 当取最大值时，取得最大值，此时，. 故的最大值为. ▌题型12 与正切函数性质有关的综合问题 1. 熟练掌握正切函数的定义域、周期、单调区间、奇偶性、对称中心，明确它无对称轴，在每个连续开区间单调递增。 2.面对综合题，先确定定义域，防止忽略间断点；运用换元法把当作整体分析；结合图像辅助，综合方程、不等式、值域求解，注意分类讨论，检验参数带来的限制条件，区分正切与正余弦性质，避免公式混淆。 【典例12】（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的定义域为且 B．函数的值域为 C．函数的最小正周期为 D．函数的图象关于直线对称 【答案】C 【详解】对于A，由正切函数的性质可得， 又由， 因此，函数的定义域为且，故A错误； 对于B，由 ， 因为函数的定义域为且， 所以且，即， 因此，所以，故B错误； 对于C，由上分析知，所以， 且的最小正周期为，因此函数的最小正周期为，故C正确； 对于D，由上分析知，所以， ， 显然等式不恒成立，因此函数的图象不关于直线对称，故D错误. 【变式12-1】（多选）（26-27高一上·全国·课后作业）关于函数，有以下命题，其中不正确的是（　　） A．函数的周期是 B．函数的定义域是且 C．是奇函数 D．的一个单调递增区间为 【答案】BCD 【详解】对于A，的周期，故A正确； 对于B，，解得， 故定义域为：且，故B不正确； 的定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数，故C不正确； 对于D，，解得， 故的单调递增区间为，，故D不正确． 【变式12-2】（多选）（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．函数定义域为 B．若，，则在区间上单调递增 C．若，，则的图象关于点对称 D．若，且在区间上的所有零点之和为，则不同零点共有个 【答案】BCD 【详解】对于A选项，由于，由得， 故函数的定义域为，A错； 对于B选项，若，，则， 当时，，故函数在区间上单调递增，B对； 对于C选项，若，，则， 所以，故的图象关于点对称，C对； 对于D选项，若，则， 因为，当时，， 令，则， 因为，则， 因为，所以函数在区间上不同零点共有个，D对. 【变式12-3】（多选）（26-27高三上·山西·阶段检测）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．是偶函数 D．曲线的对称中心为 【答案】ABD 【详解】对于选项A，由题意得，所以的最小正周期为，故A正确； 对于选项B，令，解得，所以的定义域为，故B正确； 对于选项C，由的定义域为，则的定义域为. 则的定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故C错误； 对于选项D，令，解得， 所以的对称中心为，故D正确. 【变式12-4】（多选）（26-27高三上·山东·阶段检测）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象与原来图象重合，则（    ） A． B．的定义域为 C．在内所有零点之和为 D．在内恰好有4个对称中心 【答案】BCD 【详解】已知将函数的图象向左平移个单位长度后， 所得图象与原来图象重合，所以是函数的一个周期，所以， 即，又因为，所以，错误； 已知，所以，解得，正确； 函数零点为，即，解得， 在区间中，的零点为，所以，正确； 正切函数的对称中心横坐标为，即，解得， 在区间中，的对称中心横坐标为，即对称中心共4个，正确. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 正切函数的性质与图象 （题型突破·举一反三） ▌题型01 正切（型）函数的定义域问题 【典例1】 【答案】C 【详解】要使函数有意义，则，即，所以函数的定义域为． 【变式1-1】 【详解】由可得. 【变式1-2】 【答案】B 【详解】由，得， 所以的定义域为． 【变式1-3】 【详解】由，，得，， 即函数的定义域为． 【变式1-4】 【详解】要使函数有意义，需使， 所以且， 故的定义域为且. ▌题型02 含正切函数的定义域问题 【典例2】 【详解】由题意可知：，当有意义时， 所以函数的定义域为． 【变式1-1】 【详解】依题意，，即， 结合正切曲线，可得， 即函数定义域为． 【变式1-2】 【答案】D 【详解】令，得，解得，， 所以定义域为：， 【变式1-3】 【答案】A 【详解】，又， ， 所以函数的定义域是. 【变式1-4】 【答案】 【详解】由题意，解得，所以. ▌题型03 与正切函数有关的单调性问题 【典例3】 【答案】B 【详解】由，得， 所以函数的单调递增区间为． 【变式3-1】 【答案】D 【详解】有无数个递增区间，无递减区间，且在整个定义域上不是增函数， 故选：D. 【变式3-2】 【答案】B 【详解】由已知可得，解得，所以函数， 由，解得， 所以的单调区间为， 故选：B. 【变式3-3】（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【详解】因为，所以， 函数在上单调递增， 因为函数在上单调递增， 所以， 所以，即的最大值为. 故选：A 【变式3-4】 【答案】C 【详解】由正切函数的单调递增区间为； 令，解得； 函数的单调递增区间为. 由()在上单调，得； ，解得； ，，解得； ，； ，得； 的最大值为. ▌题型04 与正切函数有关的比较大小问题 1.熟记y=tan x在每一个区间,k∈Z上单调递增,不能说在定义域上单调递增。 2.比较大小时先用诱导公式把角化到同一单调区间内，再依据单调性判断；若两角不在同一单调区间，需借助图像、正负性分析。 3.解题要优先判断角度范围，避免直接套用单调性导致错误。 【典例4】若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，， 因为在上单调递增，且，因此， 所以. 【变式4-1】（多选）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】选项A：在单调递增，，A正确. 选项B：，，. 所以，即，B错误. 选项C：，，，且在单调递增，所以， 又，所以，故，C正确. 选项D：在单调递减，，故，D错误. 【变式4-2】已知函数是定义域为R的奇函数，，且当时， ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数是定义域为R的奇函数，由，得， 即， 则，函数周期为4. 当时，，则， 因此当时，，函数在上单调递增. 对于AB，，而， 则，因此，AB错误； 对于C，， 而，因此，C错误； 对于D，， 而，因此，D正确. 【变式4-3】若，，，则a，b，c的大小关系为_____________．（用“”连接） 【详解】，，， ，， ，， 在区间上单调递增， 因为， 所以，即． ▌题型05 与正切函数有关解不等式问题 【典例5】 【详解】由题得，， 所以，， 所以，. 所以不等式的解集为，. 【变式5-1】 【答案】B 【详解】由，得， 所以，所以，即. 所以使成立的x的取值集合是. 故选：B. 【变式5-2】 【详解】因为，故，而， 故即，故的取值范围为. 【变式5-3】 【详解】，且，代入得：. 在内，恒成立，仅当时取等号，显然不在不等式解集内. 因此不等式等价于，即在内的解集， 由正切函数的图像与性质可得原不等式解集为. ▌题型06 正切（型）函数的值域及最值问题 【典例6】． 【答案】 【详解】令， ∵，∴. ∵在上是增函数， ∴，即. ∴所求函数的值域为． 【变式6-1】 【答案】C 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 因为，， 所以函数，的值域为． 【变式6-2】 【详解】设，因为，所以． 因为正切函数在上单调递增，且，， 所以． 故答案为： 【变式6-3】 【详解】∵，且， ∴，∴， ∴， ∵在上单调递增，∴在上单调递减， ∴， 故答案为：. 【变式6-4】 【详解】（1）由题意得，即， 在内，满足上述不等式的的取值范围是， 又的最小正周期为， 所以， 所以函数的定义域为. （2）令，，即， 又在上是增函数， 所以，即， 所以函数的值域为． ▌题型07 含正切函数二次式的值域与最值问题 【典例7】 【答案】A 【详解】由题意，定义域为， 设，则，，所以. 则，当且仅当即时等号成立. 故当即（对应，满足定义域要求）时取到最小值3. 【变式7-1】 【详解】设，则， 当时，. 所以的值域是． 故答案为：；. 【变式7-2】 【详解】令，， 因为函数在上单调递增，当时，，即， 又因为函数在上单调递增， 当时，， 所以，函数，的值域为. 故答案为：. 【变式7-3】 【详解】当时，，设，则， 则，当且仅当时等号成立． 所以的最小值为4. 【变式7-4】 【详解】解：①当时，； ②时，， 由可知， 当且仅当，即时等号成立，∴. ③当时，， 由知，当且仅当,故，即. 综上，的最大值为，最小值为. ▌题型08 由正切（型）函数的值域求参数 【典例8】 【详解】因为命题“，”为真命题，所以， 因为，所以，所以， 所以，即实数a的取值范围为. 故答案为：. 【变式8-1】 【答案】C 【详解】解：由在上单调递增，则单调递减， 所以在同一单调区间上也单调递减， 由在区间上单调递减，则， 所以，， 解得，，又，所以，因此. 【变式8-2】 【详解】函数在上单调递增， 则当时，， 因此，解得， 所以实数为. 故答案为：. 【变式8-3】 【详解】因为，当时，，且， 所以，函数在区间上单调递增，且， 故，解得. 故答案为：. 题型09 与正切函数有关的周期性问题 【典例9】 【答案】A 因为函数的定义域为关于原点对称. 又因为，所以为奇函数. 【变式9-1】 【答案】A 【详解】函数的最小正周期为． 【变式9-2】 【详解】由题意得，解得. 【变式9-3】 【详解】因为函数（）的最小正周期为， 所以，解得， 即， 则. 【变式9-4】 【答案】 【详解】由题意可知：，解得：. ▌题型10 与正切函数有关的奇偶性问题 【典例10】 【答案】C 【详解】解：函数为奇函数，其图象必关于原点对称 对于函数，其图象关于原点对称有两种情况： ① 原点是函数图象的一个对称中心 函数的对称中心为，故 令得 ② 轴是函数图象的一条渐近线 函数的渐近线为，故 令得 综上， 故选：C． 【变式10-1】 【答案】C 【详解】由诱导公式得， 因为， 所以是奇函数，其最小正周期为. 故为最小正周期为的奇函数. 故选：C. 【变式10-2】 【答案】ACD 【详解】对于选项A，∵，∴恒成立， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 由f， ∴f为奇函数，A正确； 对于选项B，，函数为偶函数，B错误； 对于选项C，函数的定义域为，因为， ，∴为奇函数，C正确； 对于选项D，，定义域关于原点对称，为奇函数，D正确. 故选：ACD. 【变式10-3】 【答案】 【详解】令，定义域关于原点对称， 而， 则，可得是奇函数， 由题意得，则， 而，得到，解得， 则. 【变式10-4】 【答案】 【分析】构造函数，根据奇函数性质得到方程，求出答案. 【详解】，令， 由于， 显然，即， 所以. ▌题型11 与正切函数有关的对称性问题 【典例11】 【答案】C 【详解】由已知令，解得， 当时，， 所以，，都是函数图象的对称中心， 当，解得， 所以不是函数图象的对称中心. 【变式11-1】 【答案】A 【详解】由正切函数的对称中心为，则，即， 故的对称中心为； 由余弦函数的对称中心为，则，即， 故的对称中心为； 因为点同时是函数与的对称中心， 故，解得； 故，解得； 故的最小正整数为5． 【变式11-2】 【答案】ACD 【详解】由，得， 所以， 令， 解得， 令得，A正确， 令得，C正确， 令得，D正确. 【变式11-3】 【详解】根据正切函数的对称中心坐标为其中， 所以，，求得，, 所以的对称中心的坐标为，. 【变式11-4】 【详解】正切函数的对称中心为，. 令，，解得，， 所以的图像的对称中心为，. 由题意知，，， 所以，，解得，. 当取最大值时，取得最大值，此时，. 故的最大值为. ▌题型12 与正切函数性质有关的综合问题 【典例12】 【答案】C 【详解】对于A，由正切函数的性质可得， 又由， 因此，函数的定义域为且，故A错误； 对于B，由 ， 因为函数的定义域为且， 所以且，即， 因此，所以，故B错误； 对于C，由上分析知，所以， 且的最小正周期为，因此函数的最小正周期为，故C正确； 对于D，由上分析知，所以， ， 显然等式不恒成立，因此函数的图象不关于直线对称，故D错误. 【变式12-1】 【答案】BCD 【详解】对于A，的周期，故A正确； 对于B，，解得， 故定义域为：且，故B不正确； 的定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数，故C不正确； 对于D，，解得， 故的单调递增区间为，，故D不正确． 【变式12-2】（多选）（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．函数定义域为 B．若，，则在区间上单调递增 C．若，，则的图象关于点对称 D．若，且在区间上的所有零点之和为，则不同零点共有个 【答案】BCD 【详解】对于A选项，由于，由得， 故函数的定义域为，A错； 对于B选项，若，，则， 当时，，故函数在区间上单调递增，B对； 对于C选项，若，，则， 所以，故的图象关于点对称，C对； 对于D选项，若，则， 因为，当时，， 令，则， 因为，则， 因为，所以函数在区间上不同零点共有个，D对. 【变式12-3】 【答案】ABD 【详解】对于选项A，由题意得，所以的最小正周期为，故A正确； 对于选项B，令，解得，所以的定义域为，故B正确； 对于选项C，由的定义域为，则的定义域为. 则的定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故C错误； 对于选项D，令，解得， 所以的对称中心为，故D正确. 【变式12-4】 【答案】BCD 【详解】已知将函数的图象向左平移个单位长度后， 所得图象与原来图象重合，所以是函数的一个周期，所以， 即，又因为，所以，错误； 已知，所以，解得，正确； 函数零点为，即，解得， 在区间中，的零点为，所以，正确； 正切函数的对称中心横坐标为，即，解得， 在区间中，的对称中心横坐标为，即对称中心共4个，正确. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 正切函数的性质与图象 （题型突破·举一反三） 题型01 正切（型）函数的定义域问题 1 题型02 含正切函数的定义域问题 2 题型03 与正切函数有关的单调性问题 3 题型04 与正切函数有关的比较大小问题 4 题型05 与正切函数有关解不等式问题 5 题型06 正切（型）函数的值域及最值问题 6 题型07 含正切函数二次式的值域与最值问题 7 题型08 由正切（型）函数的值域求参数 8 题型09 与正切函数周期性有关的问题 9 题型10 与正切函数有关的奇偶性问题 10 题型11 与正切函数有关的对称性问题 11 题型12 与正切函数性质有关的综合问题 12 ▌题型01 正切（型）函数的定义域问题 1.正切函数y=tan x的定义域 2.遇到复合正切函数时，内层整体需满足该限制；同时结合分式、根式等附加限制条件，联立求解。注意k∈Z不可遗漏，最终解集规范写成集合形式，还要检验边界取值。 【典例1】（26-27高二上·贵州遵义·开学考试）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】要使函数有意义，则，即，所以函数的定义域为． 【变式1-1】（25-26高一下·上海·期中）函数的定义域为____________. 【变式1-2】（25-26高一下·贵州遵义·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一下·陕西商洛·期中）函数定义域为___________. 【变式1-4】求函数的定义域. ▌题型02 含正切函数的定义域问题 1.正切函数y=tan x的定义域 2.求复合正切函数时，内层整体需满足该限制；同时结合分式、根式等附加限制条件，联立求解。注意k∈Z不可遗漏，最终解集规范写成集合形式，还要检验边界取值。 【典例2】（26-27高三·全国·一轮复习）函数的定义域为______． 【详解】由题意可知：，当有意义时， 所以函数的定义域为． 【变式2-1】（26-27高一上·全国·课后作业）函数的定义域是________． 【变式2-2】（25-26高一下·河南·阶段检测）函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-3】（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）在上，函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【变式2-4】（25-26高一下·上海杨浦·期中）函数 的定义域为______． ▌题型03 与正切函数有关的单调性问题 1. 正切函数在每一个区间,k∈Z上单调递增,不能说在定义域上单调递增. 2. 处理复合函数时，先确定定义域，再利用换元法分析内层函数，结合正切单调区间列式求解，注意区间书写必须为开区间，不能写成闭区间。 【典例3】26-27高二·山东·学业考试模拟）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以函数的单调递增区间为． 【变式3-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法正确的是（   ） A．是增函数 B．在第一象限是增函数 C．在某一区间上是减函数 D．在区间上是增函数 【变式3-2】（25-26高三上·云南昆明·期中）若函数的最小正周期为，则的单调区间为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-3】（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2026·江苏南京·三模）已知函数在上单调，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 ▌题型04 与正切函数有关的比较大小问题 1.熟记y=tan x在每一个区间,k∈Z上单调递增,不能说在定义域上单调递增。 2.比较大小时先用诱导公式把角化到同一单调区间内，再依据单调性判断；若两角不在同一单调区间，需借助图像、正负性分析。 3.解题要优先判断角度范围，避免直接套用单调性导致错误。 【典例4】若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，， 因为在上单调递增，且，因此， 所以. 【变式4-1】（多选）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知函数是定义域为R的奇函数，，且当时， ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】若，，，则a，b，c的大小关系为_____________．（用“”连接） ▌题型05 与正切函数有关解不等式问题 1.熟记正切函数y=tan x在每一个区间,k∈Z上单调递增,不能说在定义域上单调递增。 2.解不等式可借助正切曲线，先在一个周期内找到解集，再加上周期。 3.必须优先写出定义域，保证 \tan x 有意义，最后写成规范的集合形式，注意区间均为开区间。 【典例5】解不等式的解集为________. 【详解】由题得，， 所以，， 所以，. 所以不等式的解集为，. 【变式5-1】已知函数，使成立的x的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知，则的取值范围是______. 【变式5-3】不等式在内的解集________. ▌题型06 正切（型）函数的值域及最值问题 1. 熟记正切函数y=tan x在每一个区间,k∈Z上单调递增,且在开区间上无最大值、最小值。 2. 求解时先确定自变量范围，再换元得到内层角的区间；若区间包含间断点，函数值域会被拆分。 3. 结合单调性画出简图，判断端点能否取到，最后写出值域，留意定义域限制。 【典例6】（26-27高一上·全国·课堂例题）求函数，的值域． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值 【详解】令， ∵，∴. ∵在上是增函数， ∴，即. ∴所求函数的值域为． 【变式6-1】（25-26高一下·安徽芜湖·阶段检测）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】函数，的值域为____________ 【变式6-3】若函数的最大值为___________ 【变式6-4】（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）求函数的定义域； （2）求函数的值域． ▌题型07 含正切函数二次式的值域与最值问题 1. 将tanx设为换元变量t，转化为普通二次函数；要先根据x的范围，求出t=tan x的取值范围，注意定义域带来的t间断限制。 2. 再分析二次函数开口方向、对称轴，结合t的定义域求值域；不能忽略t取不到的值，还要检验端点是否可达，最后还原作答。 【典例7】（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知的取值范围为，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，定义域为， 设，则，，所以. 则，当且仅当即时等号成立. 故当即（对应，满足定义域要求）时取到最小值3. 【变式7-1】 函数的值域为________． 【变式7-2】函数，的值域为___________. 【变式7-3】已知，求函数的最小值． 【变式7-4】求函数的最大值和最小值. ▌题型08 由正切（型）函数的值域求参数 1.熟记正切函数y=tan x的定义域、周期与单调区间，其周期为π，在每一个区间,k∈Z上单调递增。 2.解题时优先锁定定义域，保证正切有意义；结合图像、单调性、值域条件列式，换元后转化为方程或不等式。 3.注意参数会改变内层角范围，要分类讨论，检验是否存在使正切无定义的自变量，排除增根。 【典例8】（25-26高一上·山东·阶段检测）若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为______. 【详解】因为命题“，”为真命题，所以， 因为，所以，所以， 所以，即实数a的取值范围为. 故答案为：. 【变式8-1】（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）已知函数在闭区间上的最大值为4，最小值为2，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】函数在上的最大值为4，则实数的值为______. 【变式8-3】设，若函数在区间上的最大值为，则 _____. 题型09 与正切函数周期性有关的问题 1. 牢记基础公式：函数f(x)=Atan (ωx+φ),它的最小正周期T=，区别于正弦、余弦的周期公式。 2. 解题时先确定定义域，函数间断点会影响图像，不能只套用周期公式；结合换元法分析内层表达式，验证周期，区分“存在周期”与“最小正周期”，避免混淆。 【典例9】（26-27高三上·山东济宁·阶段检测）若函数的最小正周期为，则（    ） A．且为奇函数 B．且为奇函数 C．且为偶函数 D．且为偶函数 【答案】A 因为函数的定义域为关于原点对称. 又因为，所以为奇函数. 【变式9-1】（26-27高三上·安徽淮南·阶段检测）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（26-27高三上·广西南宁·开学考试）若函数与的最小正周期相等，则_________． 【变式9-3】（25-26高一下·广西钦州·期末）已知函数（）的最小正周期为，则__________. 【变式9-4】（25-26高一下·上海·期中）若函数（其中常数）的最小正周期为3，则的值为__________． ▌题型10 与正切函数有关的奇偶性问题 正切函数y=tan x是奇函数 1. 判断奇偶性第一步优先求定义域，定义域必须关于原点对称，这是必要前提。 2. 熟记y=tan x是奇函数，满足tan(-x)=-tan x，图像关于原点对称。 3.对于复合形式求正切型函数y=Atan (ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定义域时,要将“ωx+φ”视为一个整体.令ωx+φ≠kπ+,k∈Z,解得x. 【典例10】（26-27高三·全国·一轮复习）若函数为奇函数，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：函数为奇函数，其图象必关于原点对称 对于函数，其图象关于原点对称有两种情况： ① 原点是函数图象的一个对称中心 函数的对称中心为，故 令得 ② 轴是函数图象的一条渐近线 函数的渐近线为，故 令得 综上， 故选：C． 【变式10-1】（25-26高一上·河南周口·期末）已知函数，则（   ） A．是最小正周期为的奇函数 B．是最小正周期为的偶函数 C．是最小正周期为的奇函数 D．是最小正周期为的偶函数 【变式10-2】（多选）（25-26高一上·江苏泰州·阶段检测）下列函数中，是奇函数的为（   ） A．f B． C． D． 【变式10-3】（25-26高一下·上海·期末）已知函数，且，则________． 【变式10-4】（25-26高二下·上海松江·阶段检测）已知，满足，则__________. ▌题型11 与正切函数有关的对称性问题 1. 熟记正切函数y=tan x没有对称轴，只有对称中心，其对称中心坐标为对称中心(k∈Z)。 2. 处理函数y=Atan,可令ωx+φ=,k∈Z,解出x后可得对称中心横坐标；必须优先考察定义域，避开间断点，结合图像分析，不要与正弦、余弦的对称性混淆。 【典例11】（26-27高一上·全国·课后作业）下列坐标所表示的点不是函数图象的对称中心的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知令，解得， 当时，， 所以，，都是函数图象的对称中心， 当，解得， 所以不是函数图象的对称中心. 【变式11-1】（25-26高一下·河南南阳·期末）已知点同时是函数与的对称中心，则的最小正整数值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式11-2】（26-27高三上·河北衡水·开学考试）已知函数的最小正周期为，则下列选项中是图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（26-27高三上·河北保定·阶段检测）函数的对称中心的坐标为______． 【变式11-4】（26-27高三上·天津·开学考试）若满足的点是函数的图像的一个对称中心，则的最大值为________． ▌题型12 与正切函数性质有关的综合问题 1. 熟练掌握正切函数的定义域、周期、单调区间、奇偶性、对称中心，明确它无对称轴，在每个连续开区间单调递增。 2.面对综合题，先确定定义域，防止忽略间断点；运用换元法把当作整体分析；结合图像辅助，综合方程、不等式、值域求解，注意分类讨论，检验参数带来的限制条件，区分正切与正余弦性质，避免公式混淆。 【典例12】（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的定义域为且 B．函数的值域为 C．函数的最小正周期为 D．函数的图象关于直线对称 【答案】C 【详解】对于A，由正切函数的性质可得， 又由， 因此，函数的定义域为且，故A错误； 对于B，由 ， 因为函数的定义域为且， 所以且，即， 因此，所以，故B错误； 对于C，由上分析知，所以， 且的最小正周期为，因此函数的最小正周期为，故C正确； 对于D，由上分析知，所以， ， 显然等式不恒成立，因此函数的图象不关于直线对称，故D错误. 【变式12-1】（多选）（26-27高一上·全国·课后作业）关于函数，有以下命题，其中不正确的是（　　） A．函数的周期是 B．函数的定义域是且 C．是奇函数 D．的一个单调递增区间为 【变式12-2】（多选）（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．函数定义域为 B．若，，则在区间上单调递增 C．若，，则的图象关于点对称 D．若，且在区间上的所有零点之和为，则不同零点共有个 【变式12-3】（多选）（26-27高三上·山西·阶段检测）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．是偶函数 D．曲线的对称中心为 【变式12-4】（多选）（26-27高三上·山东·阶段检测）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象与原来图象重合，则（    ） A． B．的定义域为 C．在内所有零点之和为 D．在内恰好有4个对称中心 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $