第12讲 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质专题练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第十二讲 正弦函数、余弦函数、正切函数图像和性质—专题练习 【知识点梳理】 正弦函数、余弦函数的图像 知识点、正弦函数与余弦函数的图像 1.正弦函数的图象 （1）根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象，如图所示. （2）五点法 观察图，在函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0)，(,1)，(π,0)，(,-1)，(2π,0)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”. 2.余弦函数的图象 （1）图象变换法作余弦函数的图象 由诱导公式六，我们知道y=cosx=sin(x+)，而函数y=sin(x+),x∈R的图象可以通过正弦函数y=sinx,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示. （2）五点法作余弦函数的图象 类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=cosx,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=cosx在[0,2π]上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1)，(,0)，(π,-1)，(,0)，(2π,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=cosx在[0,2π]上的简图，再通过左右平移(每次移动2π个单位长度)即可得到余弦函数y=cosx,x∈R的图象. 3.正弦曲线、余弦曲线 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线. 正弦函数、余弦函数的性质 知识点一、周期性 1.周期函数与周期 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期． 2.最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期． 注意：并不是所有的周期函数都存在最小正周期.如常数函数f(x)＝c没有最小正周期. 3.正弦函数、余弦函数的周期性 函数 y=sin x y=cos x 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π 2π 4.函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期 一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0) 的周期. 知识点二、正弦、余弦函数的奇偶性和对称性 1.正弦、余弦函数的奇偶性 函数 图像 定义域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 2.函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的奇偶性 （1）函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)，当φ＝kπ，k∈Z时为奇 函数；当φ＝+kπ，k∈Z时为偶函数. （2）函数y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)，当φ＝kπ，k∈Z时为偶 函数；当φ＝+kπ，k∈Z时为奇函数. 3.正弦函数和余弦函数的对称性 函数 对称性 对称轴方程： 对称中心： 对称轴方程： 对称中心： 知识点三、正弦、余弦函数的单调性 函数 图像 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 单调性 单调递增区间：， 单调递减区间：， 单调递增区间：， 单调递减区间：， 对称性 对称轴方程： 对称中心： 对称轴方程： 对称中心： 知识点四、正弦型、余弦型函数的单调性 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0) （1）定义域：R； （2）值域：[-A，A]； （3）单调性 ①当ω>0时，把ωx＋φ看作一个整体，由，解出x的取值范围即为函数的单调递增区间；由，解出x的取值范围即为函数的单调递减区间； ②当ω<0时，先由诱导公式转化为y＝－Asin(－ωx－φ)，则函数y＝Asin(－ωx－φ)的单调递减区间为原函数的单调递增区间，单调递增区间为原函数的单调递减区间. 2.函数y＝Acos(ωx＋φ)(A>0) （1）定义域：R； （2）值域：[-A，A]； （3）单调性 ①当ω>0时，把ωx＋φ看作一个整体，由，解出x的取值范围即为函数的单调递增区间；由，解出x的取值范围即为函数的单调递减区间； ②当ω<0时，先由诱导公式转化为y＝Acos(－ωx－φ)，再将－ωx－φ看作一个整体，利用余弦函数的单调性求解. 正切函数的性质与图像 知识点一、正切函数的图像和性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 最小正周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在每一个区间(k∈Z)上都单调递增 无单调递减区间 对称性 对称中心(k∈Z) 无对称轴 知识点二、三点两线法画正切曲线的简图 先描，（0，0），三点，再画，两条平行线，最后用平滑的曲线顺次连接这三点画出图像，这种方法称为“三点两线法”. 知识点三、正切型函数的性质 正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)（A≠0，ω≠0）的性质如下： （1）定义域：将ωx＋φ视为一个整体，令ωx＋φ(k∈Z)，求出其定义域. （2）值域：R （3）周期性：周期函数，最小正周期. （4）奇偶性：当φ=(k∈Z)时为奇函数，否则不具备奇偶性. （5）单调性：将ωx＋φ视为一个整体，由(k∈Z)求得其单调区间. （6）对称性：图像的对称中心的横坐标由ωx＋φ=(k∈Z)求得x=，即对称中心的坐标为(k∈Z)；其图像无对称轴. 【专题练习】 考点一：正弦函数、余弦函数的图像 1.用“五点法”作三角函数的图像 例1.用“五点法”作出下列函数的简图： （1）y＝sin x－1，x∈[0,2π]. （2）y＝－2cos x＋3，x∈[0,2π]． 随堂练习： 1.用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（   ） A．0，，，， B．0，，，， C．0，，，， D．0，，，， 2.(多选)用五点法画y＝3sin x，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点(　　) A. B. C．(π，0) D．(2π，3) 3.用“五点法”画函数在的图象时，下列选项中不是关键点的是（   ） A． B． C． D． 4.用“五点法”画函数y＝1＋sin x的图象时，首先应描出五点的横坐标是(　　) A．0，，，，π B．0，，π，，2π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 5.利用“五点法”作出函数y＝2＋cos x(0≤x≤2π)的简图． 6.用“五点法”作出下列函数的图象y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]． 7.作出下列函数的大致图像： （1），. （2）. 2.正、余弦函数图像的识别 例1.下列叙述正确的个数为(　　) ①y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称. ②y＝cos x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称. ③正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围． A．0 B．1 C．2 D．3 例2.函数的大致图象为（    ） A．   B．   C．   D．   随堂练习： 1.函数y＝sin |x|的图象是(　　) 2.函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是(　　) 3.下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是(　　) A．都可由[0,2π]内的图象向上、向下无限延展得到 B．都是对称图形 C．都与x轴有无数个交点 D．y＝sin(－x)的图象与y＝sin x的图象关于x轴对称 4.函数y＝－sin x，x∈[，]的简图是(　　) 5.函数图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   6.函数的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 3.正、余弦函数图像的应用 例1.当时，曲线与的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 例2.求函数y＝的定义域． 例3.函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，求的取值范围. 随堂练习： 1.不等式2sin x－1≥0，x∈[0,2π]解集为(　　) A.[0,] B.[0,] C.[,π] D.[,] 2.在[0,2π]内，不等式sin x<－的解集是(　 　) A．(0，π) B. C.(，) D.(，2π) . 3.在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4.函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝交点的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 5.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6.（多选）函数y＝sin x－1，x∈[0,2π]与y＝a有一个交点，则a的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．－2 7.函数定义域为（　　） A． B． C． D． 8.函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是 ． 9.函数y＝cos x＋4，x∈[0,2π]的图象与直线y＝4的交点的坐标为 . 10函数在区间[0,2π]内的零点个数是 . 11.根据y＝cos x的图象解不等式：≤cos x≤，x∈[0，2π]，则该不等式的解集为 ． 考点二：正弦函数、余弦函数的性质 1.正弦型、余弦型函数的周期及应用 例1.求下列函数的周期： （1）f(x)＝cos(2x+)； （2）f(x)＝|sin x|. 随堂练习： 1.下列函数，最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 2.设函数f(x)＝sin(2x)，x∈R，则f(x)是(　　) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 3.函数的最小正周期（    ） A． B． C． D． 4.函数f(x)＝sin()，x∈R的最小正周期为(　　) A. B．π C．2π D．4π 5.下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 6.设为正数，若函数的最小正周期为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.正弦型、余弦型函数的奇偶性和对称性 例1.判断下列函数的奇偶性． （1）f(x)＝sin xcos x. （2）f(x)＝＋. （3）f(x)＝|cos(x+)|. 例2.已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 随堂练习： 1.下列函数中周期为，且为偶函数的是(　　) A．y＝sin 4x B．y＝cos x C．y＝sin(4x+) D．y＝cos(x) 2.已知函数f(x)＝sin(x+)，则函数f(x)为(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 3.函数f(x)＝x2cos(x+)的奇偶性是________． 4.已知函数的图象关于直线对称，且，则的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 5.函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 6.已知函数是奇函数，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 7.下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 3.三角函数的奇偶性与周期性的综合应用 例1.（1）定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且 当x∈[0,)时，f(x)＝sin x，则f ()等于(　　) A. B. C. D. （2）把（1）中“偶函数”变成“奇函数”，其它不变，则f ()的值为 ． （3）若（1）中条件变为定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，f (x+)＝－f(x)，f ()＝1，则f ()的值为 ． 随堂练习： 1.函数y＝f(x)是R上的周期为3的偶函数，且f(－1)＝3，则f(2 020)＝ ． 2.已知f(x)为奇函数，且周期为，若 f()＝－1，则f ()＝ ． 3.奇函数f(x)满足f(x+)＝f(x)，当x∈(，0)时f(x)＝cos x，则f ()的值为 ． 4.函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，且f(－3)＝－3.则f(99)＝ . 5.已知f(x)是以π为周期的偶函数，当x∈[0,]时，，f(x)=1－sinx，则当x∈[,3π]时，f(x)= ． 6.设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝，则f() 的值等于 .. 7.已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．的图象关于直线对称 C． D．在上单调递减 4.求与正弦型、余弦型函数有关的函数的单调区间 例1.（1）求函数y＝2sin(x－)的单调区间． （2）求函数f(x)＝2sin(x－)，x∈[0,2π]的单调区间． （3）求函数y＝sin的单调递增区间． 例2.函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 随堂练习： 1.函数的单调递减区间是（    ） A．， B．， C．， D．， 2.函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 3.函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 4.函数f(x)＝cos()的单调递减区间是__________． 5.函数y＝sin，x∈[0,2π]的单调递减区间为 ． 6.函数f(x)＝sin()，x∈[0，π]的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . 5.利用单调性比较大小 例1.比较下列各组数的大小： （1）sin 220°与sin 230°； （2）cos与cos ； （3）sin()与cos(). 随堂练习： 1.若，则（   ） A． B． C． D． 2.下列关系式中正确的是(　　) A．sin 11°<cos 10°<sin 168° B．sin 168°<sin 11°<cos 10° C．sin 11°<sin 168°<cos 10° D．sin 168°<cos 10°<sin 11° 3.设，，，，则下列不等式正确的是( ) A. B. C. D. 4.(多选)下列不等式中成立的是(　　) A．sin()>sin() B．cos 400°>cos C．sin 3>sin 2 D．sin>cos  5.不通过求值，比较下列各组数的大小： （1）； （2）. 6.比较下列各组数的大小： （1）cos()与cos； （2）cos 1与sin 2. 6.求正弦型、余弦型函数的值域与最值及相关应用 例1.求下列函数的值域： （1）y＝cos(x+)，x∈[0,]； （2）y＝cos2x－4cos x＋5，x∈R. 例2.若函数在有最小值无最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3.若函数在上的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 随堂练习： 1.函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 2.已知函数的最小正周期为，则在的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 3.函数在上的值域为（     ） A． B． C． D． 4.若函数在上的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.已知函数在上的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6.函数y＝3－4cos(2x+)的最大值为 ，此时自变量的取值集合为 ． 7.函数f(x)＝3cos2x－4cos x＋1，x∈[，]，当x＝ 时，f(x)最小且最小值为 . 8.已知f(x)＝2sin＋1，x∈[0,]，求f(x)的最大值和最小值． 9.已知函数． (1)求的最小正周期和对称中心： (2)求在区间内的单调递增区间； (3)当时，求的最大及最小值． 7.已知单调性求参数的范围 例1.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 随堂练习： 1.已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2.已知直线是函数（其中）的图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 3.已知函数，，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是 . 考点三：正切函数的图像和性质讲义 1.正切函数的图像和性质 例1.如图所示的图形分别是①，②，③，④在内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是（ ） A.①②③④ B.①③④② C.③②④① D.①②④③ 例2.已知，部分图象如图，则f（）＝（　　） A．2 B． C． D． 随堂练习： 1.已知函数的部分图象如图所示，则ωφ＝（　　） A． B． C． D． 2.已知函数的部分图象如图，则（　　） A． B． C． D． 3.函数在一个周期内的图象是（ ） 4.已知函数f（x）＝4tan（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则不正确的 是（　　） A． B．f（x）的图象与y轴的交点坐标为 C．ω＝2 D．函数y＝f（x）的图象关于点对称 5.设函数f(x)＝tan. （1）求函数f(x)的最小正周期、对称中心； （2）作出函数f(x)在一个周期内的简图． 2.求正切函数的定义域和周期 例1.（1）函数的定义域为 . （2）函数的定义域为 . 例2.已知函数的最小正周期为π，则ω为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 随堂练习： 1.函数y＝tan(2x+)的最小正周期为(　　) A．2π B．π C. D. 2.函数f（x）＝tanωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则ω的值 是　　 ． 3.已知函数的相邻两个零点之间的距离是，则　 　． 4.函数y＝的定义域为 ． 5.函数f（x）的定义域为　 　． 6.若直线与函数图象相邻两个交点之间的距离为，则的值是 　． 7.函数f（x）＝3tan（4x）的定义域为　 　． 8.函数的最小正周期为 . 9.已知函数的最小正周期是2，则ω＝　　 ；此时函数f（x）的定 义域为　　 ． 3.正切函数的单调性及相关应用 例1.求函数的单调递增区间． 例2.当x∈[0，]时，函数y＝tan（2x）的值域为　 ． 例3.tan1、tan2、tan3的大小顺序是　 　． 随堂练习： 1.函数y＝tan（x）的单调递增区间是　 ． 2.比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)： ①tan ________tan ； ②tan ________tan(). 3.比较大小：tan45　 　tan31°（填“＞”或“＜”）． 4.函数y＝tan（），x∈（0，]的值域是　 　． 5.下列区间中，函数单调递减的区间是（　　） A． B． C． D．（0，π） 6.(多选)下列各式正确的有（ ） A. B. C. D. 7.已知函数，则其（ ） A.单调递增区间为 B.单调递增区间为 C.单调递减区间为 D.单调递减区间为 8.求下列函数的值域： （1）； （2）. 4.正切函数的奇偶性和对称性的应用 例1.已知函数为奇函数，则的最小正值是 . 例2.函数图象的对称中心坐标为（　 　） A． B． C． D． 随堂练习： 1.（多选题）函数图象的对称中心可以是（ ） A. B. C. D. 2.函数y＝tan（2x）的图象的一个对称中心的坐标为（　　） A．（，0） B．（，0） C．（，0） D．（，0） 3.函数图象的对称中心可能是（　　） A． B． C．（，0） D． 4.函数f(x)＝sin xtan x(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 5.已知，满足，则　　 ． 6.若曲线的一个对称中心为，则ω的最小值为　　 ． 7.若函数的图象的两个对称中心的最短距离为，则的值为 （　　） A． B． C． D． 8.若函数f（x）＝tan（ωx+φ）（ω＞0，φ＞0）图象的一个对称中心为，且最小正 周期为，则该函数的解析式可能为（　　） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十二讲 正弦函数、余弦函数、正切函数图像和性质—专题练习 【知识点梳理】 正弦函数、余弦函数的图像 知识点、正弦函数与余弦函数的图像 1.正弦函数的图象 （1）根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象，如图所示. （2）五点法 观察图，在函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0)，(,1)，(π,0)，(,-1)，(2π,0)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”. 2.余弦函数的图象 （1）图象变换法作余弦函数的图象 由诱导公式六，我们知道y=cosx=sin(x+)，而函数y=sin(x+),x∈R的图象可以通过正弦函数y=sinx,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示. （2）五点法作余弦函数的图象 类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=cosx,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=cosx在[0,2π]上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1)，(,0)，(π,-1)，(,0)，(2π,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=cosx在[0,2π]上的简图，再通过左右平移(每次移动2π个单位长度)即可得到余弦函数y=cosx,x∈R的图象. 3.正弦曲线、余弦曲线 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线. 正弦函数、余弦函数的性质 知识点一、周期性 1.周期函数与周期 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期． 2.最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期． 注意：并不是所有的周期函数都存在最小正周期.如常数函数f(x)＝c没有最小正周期. 3.正弦函数、余弦函数的周期性 函数 y=sin x y=cos x 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π 2π 4.函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期 一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0) 的周期. 知识点二、正弦、余弦函数的奇偶性和对称性 1.正弦、余弦函数的奇偶性 函数 图像 定义域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 2.函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的奇偶性 （1）函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)，当φ＝kπ，k∈Z时为奇 函数；当φ＝+kπ，k∈Z时为偶函数. （2）函数y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)，当φ＝kπ，k∈Z时为偶 函数；当φ＝+kπ，k∈Z时为奇函数. 3.正弦函数和余弦函数的对称性 函数 对称性 对称轴方程： 对称中心： 对称轴方程： 对称中心： 知识点三、正弦、余弦函数的单调性 函数 图像 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 单调性 单调递增区间：， 单调递减区间：， 单调递增区间：， 单调递减区间：， 对称性 对称轴方程： 对称中心： 对称轴方程： 对称中心： 知识点四、正弦型、余弦型函数的单调性 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0) （1）定义域：R； （2）值域：[-A，A]； （3）单调性 ①当ω>0时，把ωx＋φ看作一个整体，由，解出x的取值范围即为函数的单调递增区间；由，解出x的取值范围即为函数的单调递减区间； ②当ω<0时，先由诱导公式转化为y＝－Asin(－ωx－φ)，则函数y＝Asin(－ωx－φ)的单调递减区间为原函数的单调递增区间，单调递增区间为原函数的单调递减区间. 2.函数y＝Acos(ωx＋φ)(A>0) （1）定义域：R； （2）值域：[-A，A]； （3）单调性 ①当ω>0时，把ωx＋φ看作一个整体，由，解出x的取值范围即为函数的单调递增区间；由，解出x的取值范围即为函数的单调递减区间； ②当ω<0时，先由诱导公式转化为y＝Acos(－ωx－φ)，再将－ωx－φ看作一个整体，利用余弦函数的单调性求解. 正切函数的性质与图像 知识点一、正切函数的图像和性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 最小正周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在每一个区间(k∈Z)上都单调递增 无单调递减区间 对称性 对称中心(k∈Z) 无对称轴 知识点二、三点两线法画正切曲线的简图 先描，（0，0），三点，再画，两条平行线，最后用平滑的曲线顺次连接这三点画出图像，这种方法称为“三点两线法”. 知识点三、正切型函数的性质 正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)（A≠0，ω≠0）的性质如下： （1）定义域：将ωx＋φ视为一个整体，令ωx＋φ(k∈Z)，求出其定义域. （2）值域：R （3）周期性：周期函数，最小正周期. （4）奇偶性：当φ=(k∈Z)时为奇函数，否则不具备奇偶性. （5）单调性：将ωx＋φ视为一个整体，由(k∈Z)求得其单调区间. （6）对称性：图像的对称中心的横坐标由ωx＋φ=(k∈Z)求得x=，即对称中心的坐标为(k∈Z)；其图像无对称轴. 【专题练习】 考点一：正弦函数、余弦函数的图像 1.用“五点法”作三角函数的图像 例1.用“五点法”作出下列函数的简图： （1）y＝sin x－1，x∈[0,2π]. （2）y＝－2cos x＋3，x∈[0,2π]． 解：（1）列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 sin x－1 －1 0 －1 －2 －1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图． （2）列表： x 0 π 2π －2cos x －2 0 2 0 －2 －2cos x＋3 1 3 5 3 1 描点、连线得出函数y＝－2cos x＋3，x∈[0,2π]的图象． 随堂练习： 1.用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（   ） A．0，，，， B．0，，，， C．0，，，， D．0，，，， 解：由“五点法”作图知，令，解得，即为五个关键点的横坐标.故选：D． 2.(多选)用五点法画y＝3sin x，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点(　　) A. B. C．(π，0) D．(2π，3) 解：五个关键点的横坐标依次是0，，π，，2π.代入计算得B，C是关键点．故选：AD. 3.用“五点法”画函数在的图象时，下列选项中不是关键点的是（   ） A． B． C． D． 解：五个关键点分别为，，，，故D选项不在函数图象上． 故选：D. 4.用“五点法”画函数y＝1＋sin x的图象时，首先应描出五点的横坐标是(　　) A．0，，，，π B．0，，π，，2π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 解：所描出的五点的横坐标与函数y＝sin x的五点的横坐标相同，即0，，π，，2π. 故选B. 5.利用“五点法”作出函数y＝2＋cos x(0≤x≤2π)的简图． 解：列表： x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 2＋cos x 3 2 1 2 3 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图． 6.用“五点法”作出下列函数的图象y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]． 解：列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1＋2sin x 1 3 1 －1 1 描点、连线得出y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]的图象如图所示： 7.作出下列函数的大致图像： （1），. （2）. 解：（1）因为的定义域为，关于原点对称， ，故为偶函数， 又，所以函数是以为周期的周期函数. 列表 x 0 0 1 0 作图：先作出的图象，又原函数是偶函数，且周期为，将图象向两边延伸，即可得函数，的图象. （2）按五个关键点列表： 0 1 0 0 1 0 1 2 1 0 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来（如图）： 2.正、余弦函数图像的识别 例1.下列叙述正确的个数为(　　) ①y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称. ②y＝cos x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称. ③正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围． A．0 B．1 C．2 D．3 解：分别画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]和y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确．故选：D. 例2.函数的大致图象为（    ） A．   B．   C．   D．   解：当时，，所以，排除C，D； 当时，，所以，A正确，B错误. 故选：A. 随堂练习： 1.函数y＝sin |x|的图象是(　　) 解：y＝sin |x|＝，结合选项可知选B.故选：B. 2.函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是(　　) 解：y＝sin(－x)＝－sin x，y＝－sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称.故选B. 3.下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是(　　) A．都可由[0,2π]内的图象向上、向下无限延展得到 B．都是对称图形 C．都与x轴有无数个交点 D．y＝sin(－x)的图象与y＝sin x的图象关于x轴对称 解：由正弦、余弦函数图象知，B，C，D正确．故选：A. 4.函数y＝－sin x，x∈[，]的简图是(　　) 解：函数y＝－sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称.故选D. 5.函数图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   解：从四个选项中可以看出，函数的周期性、奇偶性、函数值的正负无法排除任一个选项， 但是，因此的图象关于直线对称，可排除AC，又，排除B.故选：D． 6.函数的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 解：函数的定义域为R， 由，可得函数是R上的奇函数， 图象关于原点对称， AC错误； 当时，，且当或时取等号，则B不满足，D满足. 故选：D. 3.正、余弦函数图像的应用 例1.当时，曲线与的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 解：曲线与的图像如下， 所以交点个数为3.故选：B. 例2.求函数y＝的定义域． 解：依题意有1－2cos x≥0，即cos x≤. 作出余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]以及直线y＝的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为. 例3.函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，求的取值范围. 解：大致图象如图所示. 若使函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，根据图象可得的取值范围是. 随堂练习： 1.不等式2sin x－1≥0，x∈[0,2π]解集为(　　) A.[0,] B.[0,] C.[,π] D.[,] 解：因为2sin x－1≥0，所以sin x≥. 在同一直角坐标系下，作函数y＝sin x，x∈[0,2π]以及直线y＝的图象．由函数的图象知，sin ＝sin ＝.所以根据图象可知，sin x≥的解集为[,].故选：D. 2.在[0,2π]内，不等式sin x<－的解集是(　 　) A．(0，π) B. C.(，) D.(，2π) 解：画出y＝sin x，x∈[0,2π]的草图如下． 当sin x＝－时，x＝或x＝，可知不等式sin x<－在[0,2π]上的解集是(，) .故选C. 3.在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 解：由题意得，解得，所以，即在内，函数的定义域为．故选：C. 4.函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝交点的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解：由函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象(如图所示)， 可知其与直线y＝有2个交点．故选：C. 5.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 解：对于函数，令，即，解得，所以函数的定义域为.故选：A. 6.（多选）函数y＝sin x－1，x∈[0,2π]与y＝a有一个交点，则a的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．－2 解：画出y＝sin x－1的图象．如图． 依题意a＝0或a＝－2.故选：BD. 7.函数定义域为（　　） A． B． C． D． 解：由题意，函数有意义，则满足，即 解得，所以函数的定义域. 故选：A. 8.函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是 ． 解：f(x)＝，图象如图所示． 结合图象可知1<k<3.故答案为：(1,3). 9.函数y＝cos x＋4，x∈[0,2π]的图象与直线y＝4的交点的坐标为 . 解：由，得cos x＝0，当x∈[0,2π]时，x＝或，∴交点坐标为(，4)，(，4). 故答案为：(，4)，(，4). 10函数在区间[0,2π]内的零点个数是 . 解：令f(x)＝0，则，设， 则当时，，当时，， 画出函数的图象， ， 易知函数的图象与直线有4个不同的交点，故答案为：4. 11.根据y＝cos x的图象解不等式：≤cos x≤，x∈[0，2π]，则该不等式的解集为 ． 解：函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象如图所示： 根据图象可得不等式的解集为. 故答案为：. 考点二：正弦函数、余弦函数的性质 1.正弦型、余弦型函数的周期及应用 例1.求下列函数的周期： （1）f(x)＝cos(2x+)； （2）f(x)＝|sin x|. 解：（1）方法一：∵f(x)＝cos(2x+)＝cos(2x++2π)＝cos[2(x+π)+]＝f(x＋π)， 即f(x＋π)＝f(x)，∴函数f(x)＝cos(2x+)的最小正周期T＝π. 方法二：∵y＝coscos(2x+)，∴ω＝2.又T＝＝π. ∴函数f(x)＝cos(2x+)的最小正周期T＝π. （2）方法一：∵f(x)＝|sin x|，∴f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝f(x)， ∴f(x)的最小正周期为π. 方法二：作出函数y＝|sin x|的图象如图所示． 由图象可知T＝π. 随堂练习： 1.下列函数，最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 解：函数的最小正周期为，故A不符合； 函数，其最小正周期为，故B不符合； 因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故C符合；因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故D不符合.故选：C. 2.设函数f(x)＝sin(2x)，x∈R，则f(x)是(　　) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 解：∵sin(2x)＝－sin()＝－cos 2x， ∴f(x)＝－cos 2x.又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，∴f(x)是最小正周期为π的偶函数． 故选：B. 3.函数的最小正周期（    ） A． B． C． D． 解：函数的最小正周期.故选：B. 4.函数f(x)＝sin()，x∈R的最小正周期为(　　) A. B．π C．2π D．4π 解：由题意T＝＝4π.故选：D. 5.下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 解：由正余弦型的三角函数的周期公式求解，要注意C项是绝对值函数的周期特点. 四个选项中的函数周期分别为，，，.故选：D． 6.设为正数，若函数的最小正周期为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 解：由，且为正数，可得，解得.故选：C. 2.正弦型、余弦型函数的奇偶性和对称性 例1.判断下列函数的奇偶性． （1）f(x)＝sin xcos x. （2）f(x)＝＋. （3）f(x)＝|cos(x+)|. 解：（1）函数的定义域为R，关于原点对称． ∵f(－x)＝sin(－x)cos(－x) ＝－sin xcos x＝－f(x)， ∴f(x)＝sin xcos x为奇函数． （2）由，得cos x＝1， ∴函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称． 当cos x＝1时，f(－x)＝0，f(x)＝±f(－x)． ∴f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数． （3）f(x)＝|cos(x+)|=|sinx|. f(x)的定义域为R，因为f(-x)=|sin(-x)|=|sinx|=f(x). 所以f(x)为偶函数. 例2.已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 解：对于A，因，则函数的图象关于点不对称，A不正确； 对于B，因，而，则数图象的一条对称轴是直线，B正确； 对于C，， 令，，，所以不是奇函数，C不正确； 对于D，取，显然有，而，，此时，D不正确.故选：B. 随堂练习： 1.下列函数中周期为，且为偶函数的是(　　) A．y＝sin 4x B．y＝cos x C．y＝sin(4x+) D．y＝cos(x) 解：显然周期为的有A和C，又因为y＝sin(4x+)＝cos 4x是偶函数.故选C. 2.已知函数f(x)＝sin(x+)，则函数f(x)为(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 解：函数的定义域为R，关于原点对称． 因为f(x)＝sin(x+)＝cos x，所以f(－x)＝cos(x)＝cos x＝f(x)，所以f(x)是偶函数． 故选：B. 3.函数f(x)＝x2cos(x+)的奇偶性是________． 解：f(x)＝x2cos(x+)＝－x2·sin x.f(x)的定义域为R， f(－x)＝－(－x)2sin(－x)＝x2sin x，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．故答案为：奇函数． 4.已知函数的图象关于直线对称，且，则的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解：方法1：由题设，知，， 于是，即. 又，且，故的最小值是2. 方法2：由题意可知，且，所以且.所以的最小值为2. 方法3：对称中心到相邻对称轴的距离为，显然当直线为与点相邻的对称轴时，周期最大，则最小，所以，得.故选：A. 5.函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 解：令，可得. 所以当时，，故满足条件.故选：A. 6.已知函数是奇函数，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 解：由是奇函数，则是偶函数， 所以，即，故当时，.故选：A． 7.下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 解：A选项，的定义域为R，且，故为奇函数，A错误； B选项，的定义域为R，且，故为奇函数，B错误； C选项，的定义域为R，且，故为偶函数，C正确； D选项，的定义域为R，且，故不是偶函数，D错误.故选：C. 3.三角函数的奇偶性与周期性的综合应用 例1.（1）定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且 当x∈[0,)时，f(x)＝sin x，则f ()等于(　　) A. B. C. D. 解：f ()＝f ()＝f ()＝f ()＝f ()＝f ()＝sin ＝.故选：D. （2）把（1）中“偶函数”变成“奇函数”，其它不变，则f ()的值为 ． 解：f()＝f ()＝f ()＝f ()＝f  ()＝－f ()＝－sin ＝.故答案为：. （3）若本例中条件变为定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，f (x+)＝－f(x)，f ()＝1，则f ()的值为 ． 解：∵f (x+)＝－f(x)，∴f(x＋π)＝－f (x+)＝－(－f(x))＝f(x)， ∴T＝π，∴f ()＝f ()＝f  ()＝f ()＝1.故答案为：1. 随堂练习： 1.函数y＝f(x)是R上的周期为3的偶函数，且f(－1)＝3，则f(2 020)＝ ． 解：T＝3，且f(x)为偶函数． 又2 020＝673×3＋1，∴f(2 020)＝f(673×3＋1)＝f(1)＝f(－1)＝3. 故答案为：3. 2.已知f(x)为奇函数，且周期为，若 f()＝－1，则f ()＝ ． 解：T＝，∴f ()＝f(8×)＝f()＝－ f()＝－(－1)＝1.故答案为：1. 3.奇函数f(x)满足f(x+)＝f(x)，当x∈(，0)时f(x)＝cos x，则f ()的值为 ． 解：∵f (x+)＝f(x)，∴T＝，∴f ()＝f ()＝f ()＝－f ()＝＝－cos ()＝－cos ＝.故答案为：. 4.函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，且f(－3)＝－3.则f(99)＝ . 解：T＝4，f(99)＝f(24×4＋3)＝f(3)＝－f(－3)＝3.故答案为：3. 5.已知f(x)是以π为周期的偶函数，当x∈[0,]时，，f(x)=1－sinx，则当x∈[,3π]时，f(x)= ． 解：当x∈[,3π]时，3π－x=[0,]. ∵当x∈[0,]时，，f(x)=1－sinx，∴f(3π－x)=1－sin(3π－x)=1－sinx. 又f(x)是以π为周期的偶函数，所以f(3π－x)=f(-x)=f(x)，所以当x∈[,3π]时，f(x)=1－sinx. 故答案为：f(x)=1－sinx. 6.设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝，则f() 的值等于 . 解： f () ＝f []＝f () ＝sin ＝.故答案为：. 7.已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．的图象关于直线对称 C． D．在上单调递减 解：对于A，由题意可得，故不是奇函数，则A错误. 对于B，因为，所以的图象不关于直线对称，故B错误. 对于C，若，则图象的对称中心为，而，故不是函数图象的对称中心，故C错误； 对于D，由，得，而在上为减函数，故在上单调递减，故D正确. 故选：D. 4.求与正弦型、余弦型函数有关的函数的单调区间 例1.（1）求函数y＝2sin(x－)的单调区间． 解：令z＝x－，则y＝2sin z. ∵z＝x－是增函数，∴y＝2sin z单调递增(减)时， 函数y＝2sin(x－)也单调递增(减)．由z∈[2kπ－，2kπ+](k∈Z)， 得x－∈[2kπ－，2kπ+](k∈Z)，即x∈[2kπ－，2kπ+](k∈Z)， 故函数y＝2sin(x－)的单调递增区间为[2kπ－，2kπ+](k∈Z)． 同理可求函数y＝2sin(x－)的单调递减区间为[2kπ+，2kπ+](k∈Z)． （2）求函数f(x)＝2sin(x－)，x∈[0,2π]的单调区间． 解：由例题知f(x)＝2sin(x－)的单调递增区间为[2kπ－，2kπ+](k∈Z)， 又∵x∈[0,2π]，∴0≤x≤或≤x≤2π， 同理函数f(x)＝2sin(x－)，x∈[0,2π]的单调递减区间为[，]. ∴函数f(x)＝2sin(x－)，x∈[0,2π]的单调递增区间为[0，]，[，]， 单调递减区间为[，]. （3）求函数y＝sin的单调递增区间． 解：y＝sin＝－sin(x－)， 令z＝x－，而y＝－sin z的单调递增区间是，k∈Z， ∴令＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z， 得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z， ∴函数y＝sin的单调递增区间为，k∈Z. 例2.函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 解：因为，且的单调递增区间为，， 所以函数的单调递减区间为，.故选：C． 随堂练习： 1.函数的单调递减区间是（    ） A．， B．， C．， D．， 解：已知， 令，，得，， 所以函数的单调递减区间为，.故选：. 2.函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 解：令,所以， 当，由于，故D正确，ABC均错误，故选：D. 3.函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 解：令，解得， 所以的单调递减区间为．故选：B. 4.函数f(x)＝cos()的单调递减区间是__________． 解：令2kπ≤≤π＋2kπ(k∈Z)，得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 即f(x)＝cos()的单调递减区间是[＋kπ,＋kπ](k∈Z)． 故答案为：[＋kπ,＋kπ](k∈Z)． 5.函数y＝sin，x∈[0,2π]的单调递减区间为 ． 解：y＝sin＝－sin， 令＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z， 又x∈[0,2π]，∴0≤x≤或≤x≤2π， ∴原函数的单调递减区间为[0,]，[,2π]. 6.函数f(x)＝sin()，x∈[0，π]的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . 解：f(x)＝－sin()，令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z， 即－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时，f(x)单调递减． 又0≤x≤π，所以0≤x≤，即f(x)的单调递减区间为[0，]，同理f(x)的单调递增区间为[，]， 所以f(x)在x∈[0，π]上的单调递减区间为[0，]，单调递增区间为[，]. 故答案为：[0，]，[，]. 5.利用单调性比较大小 例1.比较下列各组数的大小： （1）sin 220°与sin 230°； （2）cos与cos ； （3）sin()与cos(). 解：（1）因为函数y＝sin x在[90°，270°]上单调递减，且90°<220°<230°<270°，所以sin 220°> sin 230°. （2）cos ＝cos()＝cos ，cos ＝cos()＝cos . 因为函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，且0<<<π， 所以cos >cos ，故cos >cos . (3)sin()＝sin ＝－sin ，cos()＝cos ＝－cos ＝－sin . 因为函数y＝sin x在[]上单调递增，而<<<， 所以sin <sin ，所以－sin >－sin .故sin()>cos(). 随堂练习： 1.若，则（   ） A． B． C． D． 解：由题意可得， ， 又， 由于，故，即，故.故选：C. 2.下列关系式中正确的是(　　) A．sin 11°<cos 10°<sin 168° B．sin 168°<sin 11°<cos 10° C．sin 11°<sin 168°<cos 10° D．sin 168°<cos 10°<sin 11° 解：∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°. ∴由正弦函数的单调性，得sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.故选：C. 3.设，，，，则下列不等式正确的是( ) A. B. C. D. 解：因为，函数在上单调递减， 所以，即. 又，所以，即. 综上可得.故选：B. 4.(多选)下列不等式中成立的是(　　) A．sin()>sin() B．cos 400°>cos C．sin 3>sin 2 D．sin>cos  解：y＝sin x在[]上单调递增，又<，∴sin()<sin() ，故A不成立． cos 400°＝cos 40°>cos 50°＝cos(－50°)，故B成立． y＝sin x在(,)上单调递减，又<2<3<π，∴sin 2>sin 3，故C不成立． sin ＝－sin ，cos ＝－cos ＝－sin()＝－sin . ∵0<<<，且y＝sin x在[]上单调递增．∴sin <sin ，∴sin >cos ，故D成立． 故选：BD. 5.不通过求值，比较下列各组数的大小： （1）； （2）. 解：（1）因为，且函数在上单调递减，所以. （2）， 因为，且当时，函数单调递增，所以， 即. 6.比较下列各组数的大小： （1）cos()与cos； （2）cos 1与sin 2. 解：（1）cos()＝cos ＝cos()＝－cos ，而cos ＝－cos ， ∵函数y＝cos x在[0,]上单调递减，且0<<<，∴cos>cos. ∴－cos  <－cos ，∴cos()<cos . (2)∵1∈[0,]，∴cos 1＝sin(＋1)， ∵y＝sin x在[,]上单调递减， 又＋1,2∈[,]，且＋1>2， ∴sin＋1><sin 2，即cos 1<sin 2. 6.求正弦型、余弦型函数的值域与最值及相关应用 例1.求下列函数的值域： （1）y＝cos(x+)，x∈[0,]； （2）y＝cos2x－4cos x＋5，x∈R. 解：（1）由y＝cos(x+)，x∈[0,]，可得x＋∈[,]， 因为函数y＝cos x在区间[,]上单调递减，所以函数的值域为[,]. （2）y＝cos2x－4cos x＋5，令t＝cos x，x∈R，则－1≤t≤1. y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，－1≤t≤1， 当t＝－1时，函数取得最大值10； 当t＝1时，函数取得最小值2，所以函数的值域为[2,10]． 例2.若函数在有最小值无最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解：由，可得，又函数在有最小值无最大值，故，解得.故选：D. 例3.若函数在上的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解：当时，，且值域为， 所以，则.故选：B. 随堂练习： 1.函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 解：因为，则，故.故选：D. 2.已知函数的最小正周期为，则在的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 解：因为函数的最小正周期为，解得.故选：C. 3.函数在上的值域为（     ） A． B． C． D． 解：， 令，由，得，变为． 该二次函数开口向下，对称轴，在递增，递减． 当时，时，，所以值域为.故选：C. 4.若函数在上的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解：当时，，且值域为， 所以，则.故选：B. 5.已知函数在上的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 解：当时，，结合余弦函数的性质知，若则该函数值域会出现大于的情况，则.时，由值域为，， 所以，所以故选：A. 6.函数y＝3－4cos(2x+)的最大值为 ，此时自变量的取值集合为 ． 解：当2x＋＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z时，f(x)max＝3＋4＝7. 故答案为：7，. 7.函数f(x)＝3cos2x－4cos x＋1，x∈[，]，当x＝ 时，f(x)最小且最小值为 . 解：令t＝cos x，x∈[，]，∴t∈[，]，y＝3t2－4t＋1＝3. ∵y＝3－在t∈[，]上单调递减， ∴当t＝，即x＝时，ymin＝3×－4×＋1＝－.故答案为：，－. 8.已知f(x)＝2sin＋1，x∈[0,]，求f(x)的最大值和最小值． 解　∵x∈[0,]，∴－≤2x－≤， 当2x－＝－，即x＝0时，f(x)min＝－＋1， 当2x－＝，即x＝时，f(x)max＝3， 综上，当x＝0时，f(x)min＝－＋1， 当x＝时，f(x)max＝3. 9.已知函数． (1)求的最小正周期和对称中心： (2)求在区间内的单调递增区间； (3)当时，求的最大及最小值． 解：（1）由函数，可得函数的最小正周期为， 令，解得， 所以函数的对称中心为. （2）由，可得， 令，可得；令，可得， 所以函数的单调递增区间为. （3）解：由，可得， 当时，即时，函数取得最小值，最小值为； 当时，即时，函数取得最大值，最大值为， 所以函数在上的最大值为，最小值为. 7.已知单调性求参数的范围 例1.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解：因为，所以， 因为函数在区间上单调递增，且， 所以，解得，所以的取值范围是.故选：A. 随堂练习： 1.已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 解：由题意可得，，解得且，， 又，则，，则，故且，故.故选：A. 2.已知直线是函数（其中）的图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 解：由直线是函数的图象的一条对称轴，有，可得，又由函数在区间上单调，则，可得， 有，有，可得，.故选：A. 3.已知函数，，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解：函数，，函数在上单调递减，所以， 又，则，解得． 当时，， 当在上单调递减时，，， 解得， 当时，.故选：B. 4.已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 解：因为，，所以， 又因为函数在区间上单调递减， 所以，,即，故当时，.故选：A. 5.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是 . 解：方法1：由，得， 所以的单调递增区间是. 根据题意，得， 从而有即，易得，则.故的取值范围是. 方法2：易知函数为奇函数，图象关于原点对称. 因为在上单调递增，所以在上单调递增. 从而有，所以，所以.故的取值范围是. 故答案为：. 考点三：正切函数的图像和性质讲义 1.正切函数的图像和性质 例1.如图所示的图形分别是①，②，③，④在内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是（ ） A.①②③④ B.①③④② C.③②④① D.①②④③ 解：，其图象在轴上及其上方，只有图象a符合，即a对应①；在区间内的图象为b，即b对应②；，在区间上单调递减，只有图象d符合，即d对应③；只有图象c符合，即c对应④.故选：D. 例2.已知，部分图象如图，则f（）＝（　　） A．2 B． C． D． 解：由题意可得，得ω＝2，∴f（x）＝Atan（2x+φ）， 又图象过点，，又，， ∴．又图象过点（0，1），即，故A＝1，∴， 则f（）＝tan（）2．故选：D． 随堂练习： 1.已知函数的部分图象如图所示，则ωφ＝（　　） A． B． C． D． 解：由图知f（x）的最小正周期，所以， 又，所以．因为，所以，所以． 故选：D． 2.已知函数的部分图象如图，则（　　） A． B． C． D． 解：由函数的图象知，，解得T，所以， 把代入解析式得，tan（φ）＝0，解得φ＝kπ，k∈Z， 因为，取k＝1，得， 所以，则． 故选：B． 3.函数在一个周期内的图象是（ ） 解：一看周期：，锁定、项. 二代点：代入项的，发现符合，代入项的，发现不符合.故选：A. 4.已知函数f（x）＝4tan（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则不正确的 是（　　） A． B．f（x）的图象与y轴的交点坐标为 C．ω＝2 D．函数y＝f（x）的图象关于点对称 解：由函数的图象知最小正周期为T，则，解得ω＝2，选项C正确； 所以f（x）＝4tan（2x+φ），由2φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ，k∈Z，又因为0＜φ＜π，所以k＝1，φ，选项A错误； 由题意知f（x）＝4tan（2x），则f（0）＝4tan，选项B正确； 因为函数y＝tanx的对称中心（，0），k∈Z，由，则函数关于点对称，选项D正确．故选：A． 5.设函数f(x)＝tan. （1）求函数f(x)的最小正周期、对称中心； （2）作出函数f(x)在一个周期内的简图． 解：（1）∵ω＝，∴最小正周期T＝＝＝3π. 令(k∈Z)，得x＝π＋(k∈Z)， ∴f(x)的对称中心是(k∈Z)． (2)令＝0，则x＝π； 令＝，则x＝； 令＝，则x＝. 从而得到函数y＝f(x)在一个周期内的简图(如图)． 2.求正切函数的定义域和周期 例1.（1）函数的定义域为 . （2）函数的定义域为 . 解：（1）要使函数有意义，自变量的取值应满足，， 得，，所以函数的定义域为. 故答案为：. （2）由题意可得，即， 所以，所以， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 例2.已知函数的最小正周期为π，则ω为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 解：函数的最小正周期为π，由题意可得，解得ω＝1． 故选：A． 随堂练习： 1.函数y＝tan(2x+)的最小正周期为(　　) A．2π B．π C. D. 解：根据周期公式计算得T＝＝.故选：C. 2.函数f（x）＝tanωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则ω的值 是　　 ． 解：由题意知函数f（x）＝tanωx的最小正周期为，∴，∴ω＝8．故答案为：8． 3.已知函数的相邻两个零点之间的距离是，则　 　． 解：函数的相邻两个零点之间的距离是，∴ω＝3， f（x）＝tan（3x），则tantan1，故答案为：1． 4.函数y＝的定义域为 ． 解：令1－tan x≥0，即tan x≤1，由正切函数的图象知＋kπ<x≤＋kπ，k∈Z. 故答案为：. 5.函数f（x）的定义域为　 　． 解：∵函数f（x）， ∴tanx≥1，且 x2≤1，即 kπx＜kπ，k∈z，且﹣1≤x≤1． 解得 x≤1.故答案为[，1]． 6.若直线与函数图象相邻两个交点之间的距离为，则的值是 　． 解：类比正切函数的图象可知，直线被函数的图象所截得的每段线段的长度为一个周期长度，由此可得周期，则，则.故答案为：0. 7.函数f（x）＝3tan（4x）的定义域为　 　． 解：由题意得4x，k∈Z，所以x，k∈Z． 故答案为：{x|x，k∈Z}． 8.函数的最小正周期为 . 解： 其图象如图所示.由图象知其最小正周期为.故答案为：. 9.已知函数的最小正周期是2，则ω＝　　 ；此时函数f（x）的定 义域为　　 ． 解：因为函数f（x）＝tan（ωx）的最小正周期是T2，解得ω＝±； ω时，f（x）＝tan（x），令xkπ，解得x2k，k∈Z； ω时，f（x）＝tan（x）＝﹣tan（x），令xkπ，解得x2k，k∈Z；所以f（x）的定义域是{x|x2k且x2k，k∈Z}． 故答案为：±；{x|x2k且x2k，k∈Z}． 3.正切函数的单调性及相关应用 例1.求函数的单调递增区间． 解：对于函数， 由，解得， 所以函数f（x）的单调递增区间为． 例2.当x∈[0，]时，函数y＝tan（2x）的值域为　 ． 解：∵x∈[0，]，∴2x∈[0，]，2x∈[，]， 则tan（）≤tan（2x）≤tan，即﹣1≤tan（2x）≤1， 即函数的值域为[﹣1，1].故答案为：[﹣1，1]. 例3.tan1、tan2、tan3的大小顺序是　 　． 解：∵，根据正切函数的性质可得：y＝tanx在（）单调递增, ∴tan2＜tan3＜0，tan1＞0，tan1＞tan3＞tan2. 故答案为：tan1＞tan3＞tan2. 随堂练习： 1.函数y＝tan（x）的单调递增区间是　 ． 解：令，（k∈Z）；整理得：，（k∈Z）； 故函数的单调递增区间为（），（k∈Z）． 故答案为：（），（k∈Z）． 2.比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)： ①tan ________tan ； ②tan ________tan(). 解：①tan ＝tan ，且0<<<， 又y＝tan x在(0，)上单调递增， 所以tan <tan ，即tan <tan . ②tan ＝tan ，tan()＝tan ， 因为0<<<，又y＝tan x在(0，)上单调递增， 所以tan <tan ，则tan <tan(). 3.比较大小：tan45　 　tan31°（填“＞”或“＜”）． 解：因为0＜31°＜45°＜90°，且正切函数y＝tanx在（0，90°）上单调递增， 所以tan45°＞tan31°．故答案为：＞． 4.函数y＝tan（），x∈（0，]的值域是　 　． 解：由x∈（0，]，∴∈（，]结合正切函数的性质可得：1＜y． 故答案为：（1，]． 5.下列区间中，函数单调递减的区间是（　　） A． B． C． D．（0，π） 解：， 因为tanu的递增区间为， 而f（x）的递减区间对应的递增区间， 所以令：，解得（k∈Z）， 当k＝0时，单调递减区间为．故选：A． 6.(多选)下列各式正确的有（ ） A. B. C. D. 解：，， 因为，所以，即.故A正确. 因为，，所以，，所以.故B正确. 因为，正切函数在区间上单调递增，所以.故C错误. 因为，且，正切函数在区间上单调递增，所以，即.故D正确.故选：ABD. 7.已知函数，则其（ ） A.单调递增区间为 B.单调递增区间为 C.单调递减区间为 D.单调递减区间为 解：在函数中，令， 解得, 故函数的单调递增区间为, 故函数的单调递减区间为.故选：C. 8.求下列函数的值域： （1）； （2）. 解：（1）令，则， 故， 所以函数的值域为. （2）.因为，所以， 所以，所以， 所以，故函数的值域为. 4.正切函数的奇偶性和对称性的应用 例1.已知函数为奇函数，则的最小正值是 . 解：函数为奇函数的充要条件为。由，得的最小正值为。故答案为：。 例2.函数图象的对称中心坐标为（　 　） A． B． C． D． 解：令2x，k∈Z，解得x，k∈Z， 所以f（x）图象的对称中心坐标为，C项符合题意． 故选：C． 随堂练习： 1.（多选题）函数图象的对称中心可以是（ ） A. B. C. D. 解：对于函数，令，得， 所以图象的对称中心为。 令，得对称中心为； 令，得对称中心为； 令，得对称中心为； 若，则，故对称中心不可能是。故选：ABC. 2.函数y＝tan（2x）的图象的一个对称中心的坐标为（　　） A．（，0） B．（，0） C．（，0） D．（，0） 解：∵y＝tanx的对称中心为（，0），∴函数y＝tan（2x）图象的对称中心为（，0）（k∈Z）．当k＝1时，（，0）为函数y＝tan（2x）的图象的一个对称中心． 故选：A． 3.函数图象的对称中心可能是（　　） A． B． C．（，0） D． 解：由正切函数的对称中心可得2x，k∈Z，解得x，k∈Z， 将所给的选项代入代数式，有k为整数即可，只有x，此时k＝0．故选：C． 4.函数f(x)＝sin xtan x(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 解：f(x)的定义域为，关于原点对称， 又f(－x)＝sin(－x)·tan(－x)＝sin x·tan x＝f(x)，∴f(x)为偶函数．故选：B. 5.已知，满足，则　　 ． 解：令，则为奇函数。 又，所以。所以，所以。 故答案为：-5. 6.若曲线的一个对称中心为，则ω的最小值为　　 ． 解：因为曲线y＝2tan（ωx）的一个对称中心为， 即ω，解得ω＝3k+2，k∈Z；又因为ω＞0，所以ω的最小值为2． 故答案为：2． 7.若函数的图象的两个对称中心的最短距离为，则的值为 （　　） A． B． C． D． 解：∵函数的图象的两个对称中心的最短距离为， ∴T2π，∴ω＝1，∴f（x）＝tan（x）， ∴tan（）2．故选：A． 8.若函数f（x）＝tan（ωx+φ）（ω＞0，φ＞0）图象的一个对称中心为，且最小正 周期为，则该函数的解析式可能为（　　） A． B． C． D． 解：因为最小正周期为，所以ω＝4，f（x）＝tan（4x+φ）， 令，则， 又函数f（x）＝tan（ωx+φ）（ω＞0，φ＞0）图象的一个对称中心为， 所以，令k＝1可得，所以．故选：B． 1 学科网（北京）股份有限公司 $