7.3.4&7.3.5 正切函数的性质和图象&已知三角函数值求角（题型专练）高一数学人教B版必修第三册

7.3.4&7.3.5 正切函数的性质和图象&已知三角函数值求角 题型一 判断函数的周期 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】ABC 题型二 函数的奇偶性判断问题 1．【答案】BD 2．【答案】ACD 题型三 根据函数奇偶性求（函数值）参数 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】/ 4．【答案】 题型四 函数的单调性（区间）问题 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】BC 题型五 比较大小问题 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】A 题型六 解三角函数不等式 1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】 题型七 根据函数周期求参数（函数值） 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】或 题型八 正切函数图象及图象的识别 1．【答案】C 2．【答案】答案见解析 【知识点】画出正切函数图象 【分析】根据五点作图法画图即可. 【详解】令，，可得，， 又，所以直线是该函数图象的一条渐近线． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 描点，，，，画虚线，根据正切曲线的趋势，画出简图，如图所示．    3．【答案】答案见解析 【知识点】正切函数的定义、画出正切函数图象、求正切（型）函数的周期、求正切（型）函数的值域及最值 【分析】根据正切函数的性质可以分别求解. 【详解】要使函数有意义， 必须且只需，，即，， ∴函数的定义域为． 设，由，知，， ∴的值域为，即的值域为． 由， ∴的周期为． 函数在区间内的图象如图下图所示： 题型九 正切（型）函数的对称中心、对称轴 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】 题型十 根据函数图象的对称性求参数 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】 题型十一 确定函数的解析式 1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】D 题型十二 已知三角函数值求角 1．【答案】或 2．【答案】 3．【答案】 题型一 函数的定义域问题 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】 题型二 函数的值域、最值问题 1．【答案】C 2．【答案】 3．【答案】 4．【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求正切型三角函数的单调性 【分析】首先令，根据得，进而结合二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】令，因为，所以， 则原函数等价于， 因为的图象的对称轴方程为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 所以当时，，当时，， 故函数的最大值与最小值之和为. 5．【答案】最大值为，最小值为. 【知识点】由正切（型）函数的值域（最值）求参数、基本不等式求和的最小值 【分析】结合分离常数法和基本不等式，然后分类讨论即可求解. 【详解】解：①当时，； ②时，， 由可知， 当且仅当，即时等号成立，∴. ③当时，， 由知，当且仅当,故，即. 综上，的最大值为，最小值为. 题型三 根据函数的定义域、值域（最值）求参数 1．【答案】 2．【答案】/ 题型四 正切函数的图象及应用 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】 4．【答案】/ 题型一   根据函数的单调性求参数范围 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】AD 4．【答案】2 题型二  正切函数图象和性质的综合问题 1．【答案】B 2．【答案】BCD 3．【答案】ABD 4．【答案】AD 5．【答案】1 6．【答案】①③ 7．【答案】(1)定义域为；值域为. (2)最小正周期；函数为非奇非偶函数；函数的递增区间为，没有递减区间. 【知识点】求正切型三角函数的单调性、求正切（型）函数的奇偶性、求正切（型）函数的定义域、求正切（型）函数的值域及最值 【分析】（1）（2）由正切函数的定义域、值域、最小正周期、奇偶性和单调区间得到函数的定义域、值域、最小正周期、奇偶性和单调区间. 【详解】（1）令，则， ∴的定义域为. ∵函数的值域为， ∴的值域为. （2）∵函数中，∴函数的最小正周期. 令，则， 即函数关于点中心对称， ∴函数为非奇非偶函数. 令，∴， 且函数中，. ∴函数的递增区间为，没有递减区间. 8．【答案】(1)定义域为；值域为； (2)；对称轴方程为； (3)单调减区间为；单调增区间为． 【知识点】具体函数的定义域、正切函数图象的应用、求正切型三角函数的单调性、求正切（型）函数的周期 【分析】（1）根据条件，利用的性质，即可求解； （2）根据图象变换，利用的图象作出的图象，数形结合，即可求解； （3）利用的图象与性质及图象，即可求解. 【详解】（1）由，得到， 又因为的值域为，所以的值域为， 则函数的定义域为，值域为. （2）因为的周期为， 且的图象可由的图象将轴下方图象关于轴翻折上去，上方图象不变得到， 又将图象上所有点向右平移个单位，得到， 再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到的图象， 再将图象所点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变，得到， 则的图象如图所示， 由图知的周期为， 又由，得到，所以函数的对称轴方程为. （3）因为在区间上单调递增， 由，得到， 由，得到， 所以的减区间为，增区间为. 9．【答案】(1) (2)单调递增区间为，无单调递减区间 (3) 【知识点】求正切型三角函数的单调性、解正切不等式、由正切型函数的性质确定图象（解析式） 【分析】（1）根据函数图象过点，结合，可得； （2）根据正切型函数的单调性即可求出答案； （3）根据正切型函数的单调性解不等式即可求出答案. 【详解】（1）因为的图象过点， 所以，解得 ， 因为，所以. （2）由（1）知， 令， 即， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间． （3）不等式，即， 解得，即， 所以不等式的解集为. 10．【答案】(1)递减区间为，无递增区间； (2)． 【知识点】求正切型三角函数的单调性、解正切不等式、求正切（型）函数的值域及最值 【分析】（1）借助正切函数的单调区间列出不等式并求解即得； （2）求出函数在上的值域，由正切函数单调性解不等式，再求出并集. 【详解】（1）， ，解得， 函数的单调递减区间为，无递增区间； （2）当有， ，， 由得，， ， 又，，， 所以． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3.4&7.3.5 正切函数的性质和图象&已知三角函数值求角 题型一 判断函数的周期 1．（25-26高一上·山东泰安·月考）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏常州·月考）函数的最小正周期是（   ） A． B． C．2 D．4 3．（多选）（24-25高一下·贵州遵义·月考）下列函数中，以为最小正周期的是（   ） A． B． C． D． 题型二 函数的奇偶性判断问题 1．（多选）（23-24高一下·河南驻马店·月考）下列函数中，最小正周期为，且为偶函数的有（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高一上·江苏泰州·月考）下列函数中，是奇函数的为（   ） A．f B． C． D． 题型三 根据函数奇偶性求（函数值）参数 1．（24-25高一上·湖南常德·期末）已知函数，若，则=（   ） A． B． C．1 D．2 2．（25-26高二上·河南·月考）若的图象关于原点对称，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·重庆沙坪坝·月考）若函数为奇函数，则的最小值为 . 4．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，且，则 . 题型四 函数的单调性（区间）问题 1．（25-26高一上·河南·月考）函数 的一个单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）下列四个函数，以为最小正周期且在区间上单调递增的函数是（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高一上·江苏镇江·期末）下列四个函数中，周期为，且在区间上单调递增的有（   ） A． B． C． D． 题型五 比较大小问题 1．（25-26高一上·全国·单元测试）若，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江西宜春·月考）已知函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·山东济南·月考）下列关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型六 解三角函数不等式 1．（24-25高一下·广东·月考）利用三角函数图象，求出中的取值范围（    ） A．， B．， C． D．， 2．（24-25高一下·贵州·期中）已知定义在上的函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）不等式，的解集为 . 题型七 根据函数周期求参数（函数值） 1．（25-26高三上·福建福州·开学考试）若函数的图象与直线的相邻两个交点的距离为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（25-26高三上·江苏扬州·月考）函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海·月考）已知函数的最小正周期为2，则实数ω的值为 ． 题型八 正切函数图象及图象的识别 1．（25-26高一上·重庆·月考）函数的部分图象如图所示，则可能是（　　）    A． B． C． D． 2．（22-23高一·全国·课堂例题）画出函数在上的简图． 3．（20-21高一·全国·课后作业）求函数的定义域、值域和周期，并作出它在区间内的图象． 题型九 正切（型）函数的对称中心、对称轴 1．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）曲线的对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期末）“”是“函数的图象关于点对称”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025高一上·江苏南通·专题练习）函数图象的对称中心坐标为 . 题型十 根据函数图象的对称性求参数 1．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·云南曲靖·月考）若函数的图象的一个对称中心的横坐标为1，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河北·期中）若函数图象的对称中心都是函数图象的对称中心，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知函数在区间上有定义，且其图象在区间上至少有两个对称中心，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的对称中心、正切函数对称性的应用 【分析】利用整体代换法可求得，结合题意可求出及，又在区间上至少有两个对称中心则可得在区间上至少有两解，从而可求解. 【详解】当，， 若函数（）在区间上有定义， 则，解得， 函数的对称中心满足，，整理得，， 其图象在区间上至少有两个对称中心，则在区间上至少有两解， 整理得至少存在两个值使，， 故至少有两个取值，所以， 综上，的取值范围为. 故答案为:. 题型十一 确定函数的解析式 1．（25-26高一上·北京海淀·期末）将的图象上每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的函数为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·甘肃天水·期末）已知函数是在上单调递增的奇函数，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·黑龙江·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（　　）    A． B． C． D． 题型十二 已知三角函数值求角 1．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知，且，则的值是 . 2．（25-26高一上·上海·月考）方程在内的解集是 . 3．（24-25高三上·陕西商洛·期末）已知，且，则 ． 题型一 函数的定义域问题 1．（25-26高一上·天津·月考）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·吉林·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·湖北·期末）已知函数 的定义域为[-1,1]，则函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·北京·期中）函数的定义域为 题型二 函数的值域、最值问题 1．（2024高一上·全国·专题练习）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的值域是 . 3．（25-26高一上·全国·单元测试）函数（且）的值域是 ． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）求函数的最大值与最小值之和. 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最大值和最小值. 题型三 根据函数的定义域、值域（最值）求参数 1．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数在上的最大值为4，则实数的值为 . 2．（24-25高一下·上海·月考）设，若函数在区间上的最大值为，则 . 题型四 正切函数的图象及应用 1．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）已知函数的最小正周期是，且经过点，则，的值分别是（   ） A．1， B．1， C．3， D．3， 2．（2025高一上·全国·专题练习）函数在区间内的图象是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海·期中）函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则 ． 4．（2025高一上·江苏·专题练习）已知函数与函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为8，则的值为 题型一   根据函数的单调性求参数范围 1．（25-26高三上·吉林长春·月考）已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河北衡水·期中）已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，若图象相邻的两条曲线与轴分别交于点和，且在区间上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·陕西·期末）设，若函数在区间上单调递增，则的最大值为 ． 题型二  正切函数图象和性质的综合问题 1．（25-26高一上·甘肃庆阳·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的图象与轴的交点坐标为 D．函数的图象关于点对称 3．（多选）（25-26高一上·陕西西安·月考）（多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数图象的对称中心为， D．函数的单调递增区间为， 4．（多选）（25-26高一上·重庆·月考）下列命题正确的是（   ） A．函数的周期可以是 B．函数的对称中心是， C．函数与的图像交点是， D．函数，当有实数解，则的取值范围是 5．（24-25高一下·辽宁大连·期末）将函数的图象向左平移个单位，得到函数.图象，若函数为奇函数，则的最小值是 . 6．（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O按逆时针方向旋转至在旋转的过程中，记为x，OP所经过的正方形ABCD内部的区域（阴影部分）的面积为对于函数给出以下4个结论： ；函数在为减函数； ；的图象关于直线对称． 其中正确结论的序号为 . 7．（24-25高一上·天津·期末）已知函数. (1)求的定义域、值域； (2)求的最小正周期，奇偶性和单调区间. 8．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）已知函数．（画出函数草图，直接写出结论即可．） (1)求函数的定义域与值域； (2)求函数的周期及对称轴方程； (3)求函数的单调区间． 9．（25-26高一上·新疆·月考）已知函数的图象过点． (1)求出的值， (2)求出的单调区间； (3)求不等式的解集． 10．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)记，求． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3.4&7.3.5 正切函数的性质和图象&已知三角函数值求角 题型一 判断函数的周期 1．（25-26高一上·山东泰安·月考）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求正切（型）函数的周期 【分析】算出的最小正周期，再根据加绝对值后，函数之间的最小正周期关系得到的最小正周期． 【详解】对于，，因此它的最小正周期为， 加上绝对值后，图像会将x轴下方的部分翻折到x轴上方，如图所示，    由图可知，加上绝对值后，周期不变，所以的最小正周期与一致，均为． 故选：D． 2．（25-26高一上·江苏常州·月考）函数的最小正周期是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【知识点】求正切（型）函数的周期 【分析】根据正切型函数的周期性求解最小正周期即可. 【详解】函数的最小正周期是. 故选：C. 3．（多选）（24-25高一下·贵州遵义·月考）下列函数中，以为最小正周期的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的最小正周期、求正切（型）函数的周期 【分析】利用周期的计算公式即可. 【详解】对于A选项，，所以A正确； 对于B选项，，所以B正确； 对于C选项，，所以C正确； 对于D选项，，所以D错误. 故选：ABC. 题型二 函数的奇偶性判断问题 1．（多选）（23-24高一下·河南驻马店·月考）下列函数中，最小正周期为，且为偶函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求正弦（型）函数的最小正周期、求含tanx的函数的奇偶性、求正切（型）函数的周期 【分析】依次判断函数的周期和奇偶性得到答案. 【详解】A.，函数周期为，非奇非偶函数，故A错误； B.，函数周期为，偶函数，故B正确； C.，函数周期为，偶函数，故C错误； D.，函数周期为，偶函数，故D正确. 故选：BD. 2．（多选）（25-26高一上·江苏泰州·月考）下列函数中，是奇函数的为（   ） A．f B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、诱导公式五、六、求正弦（型）函数的奇偶性、求正切（型）函数的奇偶性 【分析】先对每个解析式化简、求定义域，再根据奇偶性的定义判断. 【详解】对于选项A，∵，∴恒成立， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 由f， ∴f为奇函数，A正确； 对于选项B，，函数为偶函数，B错误； 对于选项C，函数的定义域为，因为， ，∴为奇函数，C正确； 对于选项D，，定义域关于原点对称，为奇函数，D正确. 故选：ACD. 题型三 根据函数奇偶性求（函数值）参数 1．（24-25高一上·湖南常德·期末）已知函数，若，则=（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、求正切（型）函数的奇偶性 【分析】求出的值即可求解. 【详解】由题可得：, 所以， 故选：B 2．（25-26高二上·河南·月考）若的图象关于原点对称，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由正切（型）函数的奇偶性求参数、由奇偶性求参数 【分析】根据题意，得到函数为奇函数，结合，列出方程，得到恒成立，即可求解. 【详解】因为函数的图象关于原点对称， 所以函数为奇函数，则满足，且定义域关于原点对称， 又因为， 所以在定义域上恒成立， 因为在定义域上不恒为，所以， 可得在定义域上恒成立，所以. 故选：D. 3．（24-25高一下·重庆沙坪坝·月考）若函数为奇函数，则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】由正切（型）函数的奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的定义,求得,再根据,即可得答案. 【详解】因为函数为奇函数,所以 由得,, 即,所以, 解得,,因为,取,得,所以的最小值为. 故答案为: 4．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，且，则 . 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、由正切（型）函数的奇偶性求参数 【分析】结合奇函数的性质求解即可. 【详解】由，， 设函数，， 则， 即函数为奇函数，则， 所以， 则，即. 故答案为：. 题型四 函数的单调性（区间）问题 1．（25-26高一上·河南·月考）函数 的一个单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求正切型三角函数的单调性 【分析】利用正切函数的单调性求解即可 【详解】令 ，得 ， 故 的单调递增区间为 ， 令,则函数 的一个单调递增区间是. 故选：B 2．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）下列四个函数，以为最小正周期且在区间上单调递增的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的最小正周期、求正切（型）函数的周期、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据三角函数的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，因为的周期为， 当时，， 此时不单调递增，故A错误； 对于B，因为的周期为，且函数在区间上单调递增，故B正确； 对于C，因为的周期为，不满足题意，故C错误； 对于D，作出的部分图象，如图所示： 由此可得函数的周期为，在区间上单调递减，故D错误. 故选：B. 3．（多选）（24-25高一上·江苏镇江·期末）下列四个函数中，周期为，且在区间上单调递增的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】求含cosx的函数的单调性、求余弦（型）函数的最小正周期、求含tanx的函数的单调性、求正切（型）函数的周期 【分析】根据正弦、余弦、正切函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A：当时，，所以， 但是在上单调递减，所以在上单调递减，故A错误； 对于B：函数的最小正周期， 当时，，又在上单调递增， 所以在上单调递增，故B正确； 对于C：函数的最小正周期且在上单调递增，故C正确； 对于D：函数的最小正周期，故D错误. 故选：BC 题型五 比较大小问题 1．（25-26高一上·全国·单元测试）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较正弦值的大小、比较正切值的大小 【分析】先用诱导公式将化成同名三角函数，再根据单调性比较大小，再结合特殊值判断得出. 【详解】根据诱导公式，可得．因为当时，函数单调递增， 所以，得. 又当时，单调递增，所以，得，所以 故选：D. 2．（23-24高一下·江西宜春·月考）已知函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数对称性的应用、求含tanx的函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】由条件可得，，判断函数在上的单调性，结合单调性判断，，的大小，由此可得结论. 【详解】因为， 所以，， 因为函数，在上都单调递增， 所以函数在上单调递增， 又， 所以， 所以， 故选：D. 3．（25-26高一上·山东济南·月考）下列关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正切函数的诱导公式、三角函数的化简、求值——诱导公式、比较正弦值的大小、比较正切值的大小 【分析】根据三角函数的诱导公式及正弦函数和正切函数的单调性可得， 【详解】对于A，正弦函数在上单调递增，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C ，，C错误； 对于D，，D错误. 故选：A 题型六 解三角函数不等式 1．（24-25高一下·广东·月考）利用三角函数图象，求出中的取值范围（    ） A．， B．， C． D．， 【答案】D 【知识点】正切函数图象的应用、解正切不等式 【分析】根据给定条件，利用正切函数的图象与性质求解不等式. 【详解】由正切函数图象知，在内，满足不等式的取值范围是， 所以在整个定义域内满足不等式的取值范围是，. 故选：D 2．（24-25高一下·贵州·期中）已知定义在上的函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求含tanx的函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】由为奇函数化简不等式，再结合函数的单调性及定义域进行求解即可. 【详解】∵设，，所以为奇函数. 易知在区间上单调递增，所以在区间上单调递增. 因为不等式，即得， 所以，所以， 因为函数的定义域为，所以且， 所以， 又函数在区间上单调递增， ∴由得，，解得. 故选：A. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）不等式，的解集为 . 【答案】 【知识点】解正切不等式 【分析】作出函数的图象，数形结合可得. 【详解】根据题意，作出函数的图象，如图所示，由，可得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 题型七 根据函数周期求参数（函数值） 1．（25-26高三上·福建福州·开学考试）若函数的图象与直线的相邻两个交点的距离为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【知识点】由正切函数的周期求值 【分析】依题意可得的最小正周期，即可求出． 【详解】因为函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为， 所以的最小正周期，又，所以． 故选：C． 2．（25-26高三上·江苏扬州·月考）函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】诱导公式二、三、四、求正切（型）函数的周期 【分析】根据已知条件可得出函数的最小正周期，求出的值，代值计算可得的值. 【详解】由题意可知，函数的最小正周期为，解得，则， 故. 故选：A. 3．（24-25高一下·上海·月考）已知函数的最小正周期为2，则实数ω的值为 ． 【答案】或 【知识点】由正切函数的周期求值 【分析】根据正切型函数的周期公式计算得解. 【详解】由，解得. 故答案为：或. 题型八 正切函数图象及图象的识别 1．（25-26高一上·重庆·月考）函数的部分图象如图所示，则可能是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、求含sinx(型)函数的值域和最值、正切函数的定义 【分析】对于A，利用正切函数的定义域即可判断；对于B，利用该函数的奇偶性即可判断；对于C，D，根据两函数在上的函数值与函数的对应函数值的大小比较，结合图象即可判断. 【详解】对于A：若，因在处无定义，则函数图象在上应有间断，故A错误. 对于B：是偶函数，图象应关于轴对称，故B错误. 对于C，D：对于，当时，，， 即在上的图象应该分布在直线的下方，图形符合题意； 而对于，当时，，故， 即在上的图象应该分布在直线的上方，图形显然不合要求.故C正确，D错误. 故选：C.    2．（22-23高一·全国·课堂例题）画出函数在上的简图． 【答案】答案见解析 【知识点】画出正切函数图象 【分析】根据五点作图法画图即可. 【详解】令，，可得，， 又，所以直线是该函数图象的一条渐近线． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 描点，，，，画虚线，根据正切曲线的趋势，画出简图，如图所示．    3．（20-21高一·全国·课后作业）求函数的定义域、值域和周期，并作出它在区间内的图象． 【答案】答案见解析 【知识点】正切函数的定义、画出正切函数图象、求正切（型）函数的周期、求正切（型）函数的值域及最值 【分析】根据正切函数的性质可以分别求解. 【详解】要使函数有意义， 必须且只需，，即，， ∴函数的定义域为． 设，由，知，， ∴的值域为，即的值域为． 由， ∴的周期为． 函数在区间内的图象如图下图所示： 题型九 正切（型）函数的对称中心、对称轴 1．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）曲线的对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正切函数对称性的应用 【分析】根据正切函数图象性质得出对称轴表达式即可. 【详解】根据函数的图象可知曲线的图象如下图： 因此对称轴方程满足，即可得， 所以对称轴方程为. 故选：A 2．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期末）“”是“函数的图象关于点对称”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明、求正切（型）函数的对称中心 【分析】由充分条件、必要条件的定义，结合三角函数的性质判断即可. 【详解】正切函数的对称中心为，， 令，解得， 所以函数的对称中心为. 所以“”是“函数的图象关于点对称”的充要条件. 故选：C． 3．（2025高一上·江苏南通·专题练习）函数图象的对称中心坐标为 . 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的对称中心 【分析】整体代换求解对称中心. 【详解】对于函数， 令，，求得，， 故函数的图象的对称中心是. 故答案为： 题型十 根据函数图象的对称性求参数 1．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求正切（型）函数的对称中心 【分析】由进行求解． 【详解】依题意，得， 得， 当时，， 得的最小值为， 故选：D. 2．（25-26高三上·云南曲靖·月考）若函数的图象的一个对称中心的横坐标为1，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正切函数对称性的应用 【分析】根据正切型函数的性质，结合题意，可得的表达式，赋值即可得答案. 【详解】由函数的性质知， 其图象的对称中心的横坐标满足， 因为点是函数图象的一个对称中心， 所以， 又，故当时，， 所以的最小值为， 故选：C． 3．（25-26高三上·河北·期中）若函数图象的对称中心都是函数图象的对称中心，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求正切（型）函数的对称中心、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】求出函数图象的对称中心为，由题意可知函数图象相邻对称中心间的距离为，则存在，使得，解出的表达式，即可得出结果. 【详解】对于函数，由可得， 所以函数图象的对称中心为， 又因为函数图象的对称中心也为， 故函数图象的对称中心为， 对于正弦型函数，由可得， 故函数图象的对称中心为， 故函数图象相邻对称中心间的距离为， 易知函数图象相邻对称中心间的距离为， 且原点为函数、的一个公共对称中心， 因为函数图象的对称中心都是函数图象的对称中心， 故存在，使得，解得，C选项合乎要求. 故选：C. 4．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知函数在区间上有定义，且其图象在区间上至少有两个对称中心，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的对称中心、正切函数对称性的应用 【分析】利用整体代换法可求得，结合题意可求出及，又在区间上至少有两个对称中心则可得在区间上至少有两解，从而可求解. 【详解】当，， 若函数（）在区间上有定义， 则，解得， 函数的对称中心满足，，整理得，， 其图象在区间上至少有两个对称中心，则在区间上至少有两解， 整理得至少存在两个值使，， 故至少有两个取值，所以， 综上，的取值范围为. 故答案为:. 题型十一 确定函数的解析式 1．（25-26高一上·北京海淀·期末）将的图象上每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的函数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求图象变化前（后）的解析式 【分析】由三角函数的变换可直接求解. 【详解】由题可得将的图象上每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 可得，故A正确. 故选：A. 2．（24-25高一下·甘肃天水·期末）已知函数是在上单调递增的奇函数，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断一般幂函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性、求含tanx的函数的单调性、求正切（型）函数的奇偶性 【分析】根据常见函数的单调性、奇偶性判断即可. 【详解】函数的定义域为， 单调递增区间为，故A错误； 函数的定义域为，为奇函数，在上单调递减，故B错误； 函数的定义域为，为非奇非偶函数，故C错误； 函数的定义域为，为奇函数，在上单调递增，故D正确. 故选：D. 3．（25-26高一上·黑龙江·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由图象确定正切（型）函数解析式 【分析】利用三角函数的图像性质求出，从而得出结论. 【详解】由图知的最小正周期，所以. 又，所以. 因为，所以，所以. 故选：D. 题型十二 已知三角函数值求角 1．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知，且，则的值是 . 【答案】或 【知识点】特殊角的三角函数值、已知三角函数值求角 【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】由于，且，故或， 故答案为：或 2．（25-26高一上·上海·月考）方程在内的解集是 . 【答案】 【知识点】已知三角函数值求角 【分析】由先判断角所在的象限，再根据及诱导公式，求出在内符合条件的值，即可得解. 【详解】因为，所以角是第二或第三象限角. 又，由诱导公式可知 ， ， 且，， 所以方程在内的解集是. 故答案为： 3．（24-25高三上·陕西商洛·期末）已知，且，则 ． 【答案】 【知识点】已知三角函数值求角 【分析】利用已知条件与特殊角的正切值，可得答案. 【详解】因为，所以， ，所以． 故答案为：. 题型一 函数的定义域问题 1．（25-26高一上·天津·月考）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求正切（型）函数的定义域 【分析】由题意，结合正切函数的定义域，代入求解即可得答案. 【详解】由题意得， 则，解得. 故选：C 2．（25-26高一上·吉林·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求对数型复合函数的定义域、解正切不等式 【分析】结合对数函数的定义域得到，结合函数单调性，求出答案. 【详解】由题意得到，即或 故函数的定义域为 . 故选：B. 3．（24-25高一上·湖北·期末）已知函数 的定义域为[-1,1]，则函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】具体函数的定义域、求含tanx的函数的定义域、由正切（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】分别考虑和对取值的要求，取它们的交集得到函数的定义域. 【详解】已知函数的定义域为，对于，则有. 解得. 因为函数的定义域为，所以对于，有. 正切函数的周期是，在上单调递增，且，. 所以，. 解不等式，可得，即。； 解不等式，可得. 当时，；当时，. 综合前面两步，取与和的公共部分. 与的公共部分为；与的公共部分为. 所以函数的定义域为. 故选：B. 4．（24-25高一下·北京·期中）函数的定义域为 【答案】 【知识点】求含tanx的函数的定义域 【分析】根据函数定义域的求法结合正切函数性质进行求解即可. 【详解】由，得，    则，即． 所以函数的定义域为． 故答案为：. 题型二 函数的值域、最值问题 1．（2024高一上·全国·专题练习）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值 【分析】先求出的范围，再由正切函数的性质求出范围，再乘以3即可. 【详解】 故选：C. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的值域是 . 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值 【分析】由题意，令，再根据正切函数的单调性，即可求出结果. 【详解】函数. ，令. 函数在上单调递增， ，即， ， 函数的值域为. 故答案为： 3．（25-26高一上·全国·单元测试）函数（且）的值域是 ． 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值 【分析】求出在的范围即可求解. 【详解】当时，，∴； 当时，，∴． 即当时，函数的值域是． 故答案为： 4．（25-26高一上·全国·课后作业）求函数的最大值与最小值之和. 【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求正切型三角函数的单调性 【分析】首先令，根据得，进而结合二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】令，因为，所以， 则原函数等价于， 因为的图象的对称轴方程为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 所以当时，，当时，， 故函数的最大值与最小值之和为. 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最大值和最小值. 【答案】最大值为，最小值为. 【知识点】由正切（型）函数的值域（最值）求参数、基本不等式求和的最小值 【分析】结合分离常数法和基本不等式，然后分类讨论即可求解. 【详解】解：①当时，； ②时，， 由可知， 当且仅当，即时等号成立，∴. ③当时，， 由知，当且仅当,故，即. 综上，的最大值为，最小值为. 题型三 根据函数的定义域、值域（最值）求参数 1．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数在上的最大值为4，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】由正切（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】利用正切函数单调性求出最大值即可得解. 【详解】函数在上单调递增， 则当时，， 因此，解得， 所以实数为. 故答案为：. 2．（24-25高一下·上海·月考）设，若函数在区间上的最大值为，则 . 【答案】/ 【知识点】由正切（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】由可求得，分析函数在上的单调性，结合可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，当时，，且， 所以，函数在区间上单调递增，且， 故，解得. 故答案为：. 题型四 正切函数的图象及应用 1．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）已知函数的最小正周期是，且经过点，则，的值分别是（   ） A．1， B．1， C．3， D．3， 【答案】A 【知识点】由正切函数的周期求值、由正切型函数的性质确定图象（解析式） 【分析】根据正切型函数的性质，，求出的取值，再带入点，结合的限制条件，求出的取值. 【详解】根据函数性质，，求得， 代入点得，又有，. 故选：A. 2．（2025高一上·全国·专题练习）函数在区间内的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正切型三角函数的单调性、求正切（型）函数的值域及最值、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，化简函数解析式，利用正切函数和正弦函数的单调性和性质，结合选项，即可求解. 【详解】由函数 当时，可得， 所以， 此时函数为单调递减函数，且，可排除选项C、D； 当时，可得， 所以， 此时函数为单调递增函数，且，可排除选项A． 故选：B． 3．（24-25高一下·上海·期中）函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则 ． 【答案】 【知识点】诱导公式二、三、四、正切函数图象的应用、求正切（型）函数的周期 【分析】根据阴影面积得出，再结合诱导公式求出函数值. 【详解】函数的最小正周期， 由图可知，，函数， 所以， 故答案为： 4．（2025高一上·江苏·专题练习）已知函数与函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为8，则的值为 【答案】/ 【知识点】余弦函数图象的应用、正切型三角函数图象的应用 【分析】由题意，阴影部分的面积等于矩形的面积，利用面积即可求得参数值. 【详解】如图，结合函数图象的对称性，阴影部分的面积等于矩形的面积， 对于函数，定义域为， 令，则，即， 由图知，过点C垂直于x轴的直线为，又，则， 则，解得. 故答案为：. 题型一   根据函数的单调性求参数范围 1．（25-26高三上·吉林长春·月考）已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用正切函数的单调性求参数 【分析】由的范围，求出的范围，由正切函数的单调性可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为，所以， 函数在上单调递增， 因为函数在上单调递增， 所以， 所以，即的最大值为. 故选：A 2．（25-26高三上·河北衡水·期中）已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用正切函数的单调性求参数 【分析】由，得到，结合正切函数的性质，求得，即可得到答案. 【详解】由函数，因为，可得， 又因为在上单调递增，可得， 解得， 因为，所以，可得，所以的最大值为． 故选：B． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，若图象相邻的两条曲线与轴分别交于点和，且在区间上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】求正切型三角函数的单调性、求正切（型）函数的周期、由图象确定正切（型）函数解析式 【分析】利用最小正周期求得，利用单调性可得，根据对称中心求得或，分别验证可得结论. 【详解】正切函数图象与轴的相邻两交点之间的距离即为最小正周期， 则，由，得，即. 由于存在单调递减区间，则， 所以. 因为函数的对称中心，所以，得， 又，所以或， 当时，， 由，得， 则函数的单调递减区间为， 令，则的一个单调递减区间为，又， 则函数在上单调递减，所以满足题意； 当时，， 由，得， 则函数的单调递减区间为， 令，则的一个单调递减区间为，又， 则函数在上单调递减，所以满足题意. 综上可得，或. 故选：AD. 4．（25-26高三上·陕西·期末）设，若函数在区间上单调递增，则的最大值为 ． 【答案】2 【知识点】利用正切函数的单调性求参数 【分析】根据正切型函数的单调性进行求解即可. 【详解】令，， 可得，． 因为在区间上单调递增， 所以，， 解得，， 由，得， 当时，可得，故的最大值为2． 故答案为：2 题型二  正切函数图象和性质的综合问题 1．（25-26高一上·甘肃庆阳·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用正切函数的单调性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】利用平移变换求出，进而求出其单调递增区间，再利用集合的包含关系列式求解. 【详解】依题意，， 由，得，又函数在上单调递增， 而函数的单调递增区间为， 因此，则， 解得，而，所以. 故选：B 2．（多选）（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的图象与轴的交点坐标为 D．函数的图象关于点对称 【答案】BCD 【知识点】正切函数图象的应用、由正切函数的周期求值、求正切（型）函数的对称中心、由图象确定正切（型）函数解析式 【分析】A选项，由图象可以看出函数的最小正周期，求出；B选项，将代入，结合得到；C选项，计算出，C正确；D选项，计算出，得到D正确. 【详解】A选项，由图象可以看出的最小正周期为， 又故，A错误； B选项，将代入得，解得， 因为，所以只有时，满足要求， 故，B正确； C选项，， 的图象与轴的交点坐标为，C正确； D选项，时，， 由于的一个对称中心为， 故函数的图象关于点对称，D正确. 故选：BCD 3．（多选）（25-26高一上·陕西西安·月考）（多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数图象的对称中心为， D．函数的单调递增区间为， 【答案】ABD 【知识点】求正切型三角函数的单调性、求正切（型）函数的周期、求正切（型）函数的对称中心、求正切（型）函数的定义域 【分析】由正切函数定义域，周期，单调区间，对称性结合题意可得答案. 【详解】对于A，的最小正周期满足：，故A正确； 对于B，定义域满足， 则定义域为：，故B正确； 对于C，对称中心的横坐标满足：，则对称中心为： ，其中，故C错误； 对于D， 单调递增区间满足： ， 其中，则单调递增区间为，.故D正确. 故选：ABD 4．（多选）（25-26高一上·重庆·月考）下列命题正确的是（   ） A．函数的周期可以是 B．函数的对称中心是， C．函数与的图像交点是， D．函数，当有实数解，则的取值范围是 【答案】AD 【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、求正切（型）函数的对称中心 【分析】利用周期定义即可判断选项A，利用正切函数的对称性即可判断选项B，根据方程的解与函数图像交点以及函数零点之间的转化关系即可判断选项CD. 【详解】对于A，因， 所以函数的周期可以是，A正确； 对于B，函数的对称中心是，，B错误； 对于C，在内，使的的值有和， 所以函数与的图像交点是或，C错误； 对于D，，令， 则有实数解转化为在内有解， 又，可得， 由于函数在内的范围为， 所以，所以，D正确. 故选：AD 5．（24-25高一下·辽宁大连·期末）将函数的图象向左平移个单位，得到函数.图象，若函数为奇函数，则的最小值是 . 【答案】1 【知识点】由正切（型）函数的奇偶性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】求出平移后的解析式，根据函数的奇偶性得到方程，求出，进而得到最小值. 【详解】的图象向左平移个单位， 得到函数， 因为为奇函数，所以，解得， 又，故当时，取得最小值，最小值为1. 故答案为：1 6．（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O按逆时针方向旋转至在旋转的过程中，记为x，OP所经过的正方形ABCD内部的区域（阴影部分）的面积为对于函数给出以下4个结论： ；函数在为减函数； ；的图象关于直线对称． 其中正确结论的序号为 . 【答案】①③ 【知识点】求函数值、分段函数的性质及应用、求含tanx的函数的单调性、正切函数对称性的应用 【分析】由题意，分段整理函数的解析式，根据正切函数的性质，逐项计算并检验，可得答案. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 对于①，显然，则，故①正确； 对于②，由，函数为增函数， 当时，，则函数在该范围上单调递增， 当时，，则函数在该范围上单调递增， 并且， 综上可得：函数在上单调递增，故②错误； 对于③，当时，则，可得， 同理可得当取其他值时，等式都成立，故③正确； 对于④，由，则函数的图象关于成中心对称. 故答案为：①③. 7．（24-25高一上·天津·期末）已知函数. (1)求的定义域、值域； (2)求的最小正周期，奇偶性和单调区间. 【答案】(1)定义域为；值域为. (2)最小正周期；函数为非奇非偶函数；函数的递增区间为，没有递减区间. 【知识点】求正切型三角函数的单调性、求正切（型）函数的奇偶性、求正切（型）函数的定义域、求正切（型）函数的值域及最值 【分析】（1）（2）由正切函数的定义域、值域、最小正周期、奇偶性和单调区间得到函数的定义域、值域、最小正周期、奇偶性和单调区间. 【详解】（1）令，则， ∴的定义域为. ∵函数的值域为， ∴的值域为. （2）∵函数中，∴函数的最小正周期. 令，则， 即函数关于点中心对称， ∴函数为非奇非偶函数. 令，∴， 且函数中，. ∴函数的递增区间为，没有递减区间. 8．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）已知函数．（画出函数草图，直接写出结论即可．） (1)求函数的定义域与值域； (2)求函数的周期及对称轴方程； (3)求函数的单调区间． 【答案】(1)定义域为；值域为； (2)；对称轴方程为； (3)单调减区间为；单调增区间为． 【知识点】具体函数的定义域、正切函数图象的应用、求正切型三角函数的单调性、求正切（型）函数的周期 【分析】（1）根据条件，利用的性质，即可求解； （2）根据图象变换，利用的图象作出的图象，数形结合，即可求解； （3）利用的图象与性质及图象，即可求解. 【详解】（1）由，得到， 又因为的值域为，所以的值域为， 则函数的定义域为，值域为. （2）因为的周期为， 且的图象可由的图象将轴下方图象关于轴翻折上去，上方图象不变得到， 又将图象上所有点向右平移个单位，得到， 再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到的图象， 再将图象所点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变，得到， 则的图象如图所示， 由图知的周期为， 又由，得到，所以函数的对称轴方程为. （3）因为在区间上单调递增， 由，得到， 由，得到， 所以的减区间为，增区间为. 9．（25-26高一上·新疆·月考）已知函数的图象过点． (1)求出的值， (2)求出的单调区间； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，无单调递减区间 (3) 【知识点】求正切型三角函数的单调性、解正切不等式、由正切型函数的性质确定图象（解析式） 【分析】（1）根据函数图象过点，结合，可得； （2）根据正切型函数的单调性即可求出答案； （3）根据正切型函数的单调性解不等式即可求出答案. 【详解】（1）因为的图象过点， 所以，解得 ， 因为，所以. （2）由（1）知， 令， 即， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间． （3）不等式，即， 解得，即， 所以不等式的解集为. 10．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)记，求． 【答案】(1)递减区间为，无递增区间； (2)． 【知识点】求正切型三角函数的单调性、解正切不等式、求正切（型）函数的值域及最值 【分析】（1）借助正切函数的单调区间列出不等式并求解即得； （2）求出函数在上的值域，由正切函数单调性解不等式，再求出并集. 【详解】（1）， ，解得， 函数的单调递减区间为，无递增区间； （2）当有， ，， 由得，， ， 又，，， 所以． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $