专题07 正弦函数、余弦函数的性质（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07 正弦函数、余弦函数的性质 (题型突破举一反三) 题型01正弦函数、余弦函数的单调区间 三 典例精析 【典例】 【答案】A 【分析】根据正余弦函数的性质逐项判断即可求解. π] 【详解】A.当x2严时，y=cosx单调递减，y=sinr单调递减，故A正确： D当[引时 ，y=cosx单调递增，y=sinr单调递减，故D错误； 故选：A 三 举一反三 【变式11】 【答案】A 【分折】利用正弦函数的性城，令2版一子s2x+了s2m+ 3 2(化∈Z)即可求函数的递增区间，进而判断各选 项是否符合要求 【详解】令2m-)≤2x+≤2m+元 3 W∈Z):可得饭-仍≤S+ 12 12(k∈Z) 5ππ 当k=0时， 12'12是f)的一个单调增区间，而其它选项不符合 故选：A 1112 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式1-2】 【答案】D 【分析】由余弦函数的单调区间直接求解即可 【解1y6m-2m2-到 令2x-骨ep,2a+kez则[a+a+]ke 所以函数y=cos -2的单读区同是[+a+]ke 3 【变式1-3】 【答案】 [2m-元，2km](k∈Z 2a受2ace☑ 【分析】解三角不等式snx≤0，即可求定义域，再结合正弦函数的单调性即可求第二空 【详解】由-2sinx≥0，得sinx≤0， 解得：2km-π≤x≤2kπ(k∈Z 即函数的定义域是[2km-π，2km(k∈Z :y=√-2sinx与y=sinx的单调性相反， 又y=6i血x的单调通增区间为2加-受2x+受1ke☑ 再结合y=√-2sinx的定义域为[2km-元，2km(k∈Z) ∴函数y=√2sinx的单调递减区间 c) 故答案为： [2k红-元，2km](k∈Z: 2a-2ake 题型02根据正弦函数、余弦函数的单调性求参数 典例精析 【典例2】 【答案】日 【详解】令 工+2km≤2x元≤元+2km,k∈乙，则及+km≤x≤3r+mkeZ一 42 2112 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 因f()在区间-a](a>0)上单调递增，则a≥-+aas 8 +kn, 即a≤ga且a 3江+km且a>0' 若k>0,则不等式组的解集为空集； 若k=0:则0<a≤g: 若k<0,则不等式组的解集为空集， 则a的最大值为g 故答案为：8 举一反目 【变式21】 2335 【答案】 12'12 【详解】因为xe0,对”所以2ox- 又函数fe)=sm2ar-写》(@>0在D上有且仅有2个零点， <2m 所以2 π11 3 [2335 2，解得12 1. ≤0< 3 即。的取值范围是12'12 2335 故答案为： 12'12 【变式22】 【答案】 0, π 4」 【详解】由 哥sx≤，可得+s3x+ps+p, 4 又P是三角形的一个内角，所以0<p<π， 故一3 3+p 2πTπ 344 4 因为函数y=2sin(6x+o)在区间-g'12 上单调递增， 3112 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 +p 3 解得 +psπ π’又 4 6 0<p<π 所以p的值范为， π 故答案为： 0,4 【变式2-3】 【答案】[9,14] ππ 【详解】由x∈ 12'8: 得@r+ 4 12 4’84, [0m+≥-元+2k 12+4 因为 在（元 上单调递增，所以 (k∈Z), f(x)12'8 om+L≤2k 8+4 [o≥-15+24k 得1。≤-2+16k (k∈Z) [-2+16k>0, 则-15+24k3-2+16keZ), 1 解得令k乙，则k比故的取值范围为，S 故答案为：[9,14] 题型03利用正选函数余弦函数的单调性比较大小 三 典例精析 【典例3】 【答案】B 【分析】利用正弦函数的单调性即可判断大小。 【详解】由正弦函数的单调性可知： y=6inr在0引t单河格，又易如0ePcr1受，所以 sinl°<sinπ°<sinl. 故选：B 4112 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 举一反三 【变式31】 【答案】C 【分析】利用正弦函数、余弦函数的单调性可得答案. 【详解】因为sin <6m-24<s如- 3 425 32 所以b<a, 1 nπ5.4 c=cos->cos-= ->-=0, 3 °625 所以c>a,所以b<a<c 故选：C 【变式3-2】 【答案】b<a<c 【分析】利用y=lgx,y=snx和y=2的单调性，再结合条件，即可求解。 【详解1因为)=3在定义拔上单调递，则1>a=g5>g而-分 π1 又y=sinx在 , 上单调递增，则b=sin<sin 7 62 又y=2在定义域上单调递增，则c=21>2°-1，所以b<a<c 故答案为：b<a<c. 【变式33】 【答案】a<b<c 【分析】利用正弦函数的单调性，即可判断a,b,C的大小. 【详解】由b=cos55°=sim(90°-55）=sin35°， a=sin33°，c=tan35°， 当0°<x<90°时，y=sinx单调递增，且90°>35°>33°>0°，cos35°<1， 则m3<sn35<0=m3S,改<bc 故答案为a<b<c 题型04正弦函数、余弦函数的对称性 5112 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 典例精析 【典例4】 【答案】 n-kxez0.0l--ez0 【译解1白题壁+间)=0等价于m2m+胃}-2a*骨引2n哥引 所以2m+=-2n-+2kkeZ或2m+号-2n-21eZ, 3 解行m=n骨akeZ,或m=n++eZ。 3 所以n-m=2n +骨keZ,n-m=leZ, 放所求范国为=2n+号hzhcZn>-01>0Ut:=子deZ>0 故答案为： 举一反三 【变式41】 【答案】2 【详解】白E花强放蔗得f回的片架为7-空x, 如图，由题意得直线y=m与函数f(x)图像的相邻的三个交点， 从左自右依次为A、B、C, VA v-m 则4C=T=元，因为AB=2BC,所以BC+2BC=元， 解得B8C=号.令2x+p子+2ke乙，解得=子+a-号keZ, 2 2 6112 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由正弦离数性质得分八C关于x=浮+： 2对称，且设B的横坐标为x, 则x=牙+m-号工=石+m-9,keZ, 4 2612 21 而g的纵坐标为m'代入解析式中得到m=4sim2(5+m-号+0] 12 21 :4sin +2ka-p+p=4sin(交+2km)=4sinT=2】 6 6 6 故答案为：2 【变式42】 【答案】205 【详解】由于0<x<x,所以0<2r<2了2x-< 33 由m2}>0，所以0<2-<， 3 根据正弦函数的性质可 +2x3-x+32 2x π _π_π 2 5π 所以+x2= 6 sin(+x 故答案为：2 【变式43】 【答案】2 【详解】由函数在 引上单调且)=- 7π T_7ππ_π 所以函数的一条对称轴x=1径，一个对称点为写0，且4行号香 2π 所以T= =π，可得o上2，故正数。的值为2， 故答案为：2 7112 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型05正弦函数、余弦函数的奇偶性 典例精析 【典例5】 【答案】0或2 【详解】因为∫(x)是偶函数，所以它的定义域关于原点对称， 所以不等式>0的解朱关于原点对称。 所以不等式(x-mx+)<0的解集关于原点对称， 所以方程(x-m)(x+)=0的根互为相反数， 所以m=1,此时定义域为(-1,1)， 设)=n), 则函数g()的定义域为(-1,1)，定义域关于原点对称， 又8(-)=n） 所以e(g-)=hn)-h1-o, 所以8(x)=-8(),所以函数8(x)为奇函数，又f(x)是偶函数， 所以sin(x+p)g(x)=sin(-x+p)g(-x)=-sin(-x+p)g(x)恒成立， 所以y=sin(x+p)是奇函数，于是p=kπ(k∈Z), 此时cosp=±l,于是cosp+m=0或2. 故答案为：0或2 举一反三 【变式51) 【答案】2024 【详解】设g()=2025sinx+2025nx+V+,则g(-x)=2025sim(←x)+20251n-x+P+). g(←x)+g()=2025sn(-x)+2025hn(x+vF+可+2025smx+2025hc+VP+i） =2025sin(←x)+sin对+2025h-x+vF++VP+l=0, 8112 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以8(x)是奇函数，f(-2025)=g(-2025)+2025=2026,则g(-2025)=1, 所以g(2025)=-1,f(2025)=g(2025)+2025=2024 故答案为：2024 【变式52】 【答案】奇函数 【详解】解析 f(x)=sin2x+x2sinr」 .xER,f(-x)=sin(-2x)+(-x)'sin(-x)=-sin2x-x2sinx=-f(x), f(x)是奇函数 故答案为：奇函数 【变式5-3】 【答案】C 【分析】利用奇偶性的定义证明函数f(x)为奇函数，再由周期的定义证明函数∫()的周期为π 【详解】f(-x)=sin(-x)+cos(-x)-sin(-x)-cos(-x) =-sinx+cosx--sinx-cosx=sinx-cosx-sinx+cosx=-f(x) 则函数f(x)为奇函数： f(x+x)=sin(x+x)+cos(x+x)-sin(x+x)-cos(x+x) =-sin x-cosx|-|-sinx+cosx sinx+cosx|-sinx-cosx =f(x), ∴π是函数f()的一个周期， 汉=2，而/任+到引f*( 可知)不是函数的周期， 故函数的最小正周期为π 题型06正弦函数、余弦函数的周期性 典例精析 【典例6】 9112 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】B 【分析】由余弦型函数周期性直接求解即可： 【详解】由余弦型函数周期性可知：f(x)的最小正周期T 2π- 42 故选：B. 举一反三 【变式61】 π，1 【答案】 【分析】由函数周期性与诱导公式求解， 【详解】由诱导公式可知，fx+罗sin(x+孕引+cos(x+Hcosx]+-lsinxHf(), 当0<a< 2时，f(x+a)sin(c+am)1+1cos(x+)1与f)不恒相等，故f的最小正周期为2， 故答案为： 2 【变式6-2】 【答案】A 【详解】最小正周期T-沿=，解得0=2 则/)-2m2x+ }2m2x+ =2×1=2 题型07正弦函数、余弦函数的最值（值域） 典例精析 【典例) 【答案】（-0,24 【详解】因为0<x< ,所以0<sin2x≤1： 10/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由题意 in2x-2os22x+l sin2x 2成立， 如2江t2+9分回am2x 即 9 sin2x sin2x +1≥m . 令t=sin2x∈(0,1) 因为关于，的函数y=21+? 在(0,1上单调递减， 所以2sin2x+ 9 sin2x 1的最小值为12，所以贺≤12， 解得m≤24， 即m的取值范围是(-o,24. 故答案为：（-0,24] 举一反目 【变式7-1】 π5π 【答案】 2'6) 【详解】a∈ 5π_π B0时，B-em-引 6L6 6 对于任意a∈ 5π_π 6,2 在K间问8存在呢一确定的g使得=@)e写引 π2π π5π 故答案为： 26 【变式72】 【答案】 2 2 【详解】因为f(x)=2imr]+2o则 所以 22 sinr=1,cosx=0或sinr=0,cosx=1时，f(x)=2m]+2o网=3； 11/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 sinr=-'cosx=0或sinr=0:cosx=-1时，f()=2m]+2= : 0<sinr<1,0<cosx<1时，f(y)=2m+2m=2: 0<sinr<1'-l<cosx<0或-1<sinr<0:0<cosr<1时，f()=2l+2网- 2 -1<six<0,-1<cosr<0时，f(x)=2m]+2-L, 所以的减为2 3 故答案为： 12/12 专题07 正弦函数、余弦函数的性质 （题型突破·举一反三） 题型01 正弦函数、余弦函数的单调区间 1 题型02 根据正弦函数、余弦函数的单调性求参数 3 题型03 利用正弦函数余弦函数的单调性比较大小 5 题型04 正弦函数、余弦函数的对称性 7 题型05 正弦函数、余弦函数的奇偶性 9 题型06 正弦函数、余弦函数的周期性 11 题型07 正弦函数、余弦函数的最值（值域） 12 ▌题型01 正弦函数、余弦函数的单调区间 1、求正弦函数、余弦函数单调区间的技巧 求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函数的单调区间时，若ω为负数，则要先把ω化为正数． 当A>0时，把ωx＋φ整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调递增区间内，求得的x的范围即函数的单调递增区间；整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调递减区间内，可求得函数的单调递减区间． 当A<0时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间． 最后，需将最终结果写成区间形式． 2、求y=Asin(ωx＋φ)和y= Acos(ωx＋φ)的单调区间，可以把ωx＋φ看作一个整体(保证ω>0)放入y=sinx和y=cosx的单调区间内，解不等式求得.尤其注意保证x的系数为正，否则应按“同增异减”的复合函数单调性求解. 【典例1】（2026高一·河南驻马店·阶段检测）函数和在下列哪个区间上都是单调递减的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正余弦函数的性质逐项判断即可求解. 【详解】A．当时，单调递减，单调递减，故A正确； B．当时，单调递减，单调递增，故B错误； C．当时，单调递增，单调递增，故C错误； D．当时，单调递增，单调递减，故D错误； 故选：A. 【变式1-1】（2026高一·广东佛山·阶段检测）函数的一个递增区间是（    ）． A． B． C． D． 【变式1-2】（2026高一·辽宁朝阳·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026高一·全国·课后作业）函数的定义域是_____________，单调递减区间是_____________． ▌题型02 根据正弦函数、余弦函数的单调性求参数 利用"子集思想"：已知f(x)在某区间上单调，则该区间必须是相应单调区间的子集。将ωx+φ的整体范围代入基本函数的单调区间，建立关于ω（或φ）的不等式组求解。关键技巧：取区间端点列不等式，注意单调区间的周期性，必要时结合图象确定ω的取值范围，防止漏解。 【典例2】（2026·湖南郴州·模拟预测）已知函数，若在区间上单调递增，则的最大值为 . 【答案】 【详解】令，则， 因在区间上单调递增，则， 即且且， 若，则不等式组的解集为空集； 若，则； 若，则不等式组的解集为空集， 则的最大值为. 故答案为： 【变式2-1】（2026高一·山东日照·阶段检测）已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围是 ． 【变式2-2】（2026高三·上海虹口·阶段检测）若是三角形的一个内角，且函数在区间上单调递增，则的取值范围为 . 【变式2-3】（2026高三·云南保山·期末）若函数在上单调递增则的取值范围为 . ▌题型03 利用正弦函数余弦函数的单调性比较大小 三步走：①用诱导公式将各角化到同一单调区间内（常化到[0,π/2]或利用正弦余弦的对称关系）；②若函数名不同，先用sinα=cos(π/2−α)统一函数名；③在同一单调区间上利用单调性比较。注意负角先用奇偶性化正，大角先用周期性缩小到基本区间。 【典例3】（2026高一·江西南昌·阶段检测），，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦函数的单调性即可判断大小. 【详解】由正弦函数的单调性可知：在上单调递增，又易知，所以. 故选：B 【变式3-1】（2026高一·江苏苏州·期末）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026高三·北京·阶段检测）已知，，，则，，三个数从小到大的顺序是__________. 【变式3-3】设，，，则，，的大小关系为__________按由小到大顺序排列 ▌题型04 正弦函数、余弦函数的对称性 正弦曲线对称中心为(kπ,0)，对称轴为x=kπ+π/2；余弦曲线对称中心为(kπ+π/2,0)，对称轴为x=kπ。对y=Asin(ωx+φ)：令ωx+φ=kπ求对称中心横坐标，令ωx+φ=kπ+π/2求对称轴。核心口诀："整体代换，对照基本函数"，注意对称中心是点坐标。 【典例4】（2026高一·全国·课后作业）已知函数，若，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意等价于， 所以或， 解得，或， 所以，， 故所求范围为. 故答案为：. 【变式4-1】（2026高三·云南保山·期末）直线与函数图像的相邻的三个交点从左自右依次为、、，若，则 ． 【变式4-2】（2026高三·福建·期中）若方程在上的解为，则 ． 【变式4-3】（2026高一·江西南昌·阶段检测）若函数在区间上单调，且，则正数的值为 ． ▌题型05 正弦函数、余弦函数的奇偶性 先看定义域是否关于原点对称。y=Asin(ωx+φ)为奇函数⇔φ=kπ；为偶函数⇔φ=kπ+π/2。y=Acos(ωx+φ)为偶函数⇔φ=kπ；为奇函数⇔φ=kπ+π/2。含参数时用f(−x)=±f(x)恒成立建立方程。注意：奇偶性结论对φ的取值是"充要"关系，解题时优先用整体代换验证。 【典例5】（2026高三·陕西咸阳·阶段检测）若是偶函数，则 【答案】0或2 【详解】因为是偶函数，所以它的定义域关于原点对称， 所以不等式的解集关于原点对称， 所以不等式的解集关于原点对称， 所以方程的根互为相反数， 所以，此时定义域为， 设，则函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以， 所以，所以函数为奇函数，又是偶函数， 所以恒成立， 所以是奇函数，于是， 此时，于是或. 故答案为：0或2 【变式5-1】（2026高三·北京·阶段检测）已知，且，则 ． 【变式5-2】（2026高一·全国·专题练习）函数的奇偶性是 ． 【变式5-3】（2026高一·上海·期中）函数是（　　） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 ▌题型06 正弦函数、余弦函数的周期性 基本结论：y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)的最小正周期T=2π/|ω|。求ω时用|ω|=2π/T。注意区分"周期"与"最小正周期"；若图象给出相邻对称轴距离d，则T=2d；相邻对称中心距离为T/2；对称轴与相邻对称中心距离为T/4。含绝对值时周期可能减半，需具体分析。 【典例6】（2026高一·四川绵阳·阶段检测）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦型函数周期性直接求解即可. 【详解】由余弦型函数周期性可知：的最小正周期. 故选：B. 【变式6-1】（2026高三·湖北荆州·阶段检测）函数的最小正周期为_________. 【变式6-2】（2026高二·云南文山·阶段检测）若函数 的最小正周期为，则 （ ） A．2 B． C．1 D．0 ▌题型07 正弦函数、余弦函数的最值（值域） 先化为一角一函数形式（辅助角公式），再整体代换u=ωx+φ，转化为求y=Asinu+b在给定u区间上的最值。步骤：①由x范围求u范围；②画正弦/余弦图象确定sinu（cosu）的取值范围；③代入求最值。注意区间的开闭影响端点取舍；含参数时需对区间与最值点的位置关系分类讨论。 【典例7】（2026高三·湖北荆州·阶段检测）当时，不等式成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，所以． 由题意得成立， 即，即． 令 因为关于的函数在上单调递减， 所以的最小值为12，所以， 解得，即的取值范围是． 故答案为：. 【变式7-1】（2026高一·全国·课后作业）设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数m的取值范围为 ． 【变式7-2】（2026·湖南·模拟预测）设，用表示不超过x的最大整数，称为取整函数.例如：，，已知函数，则 的值域为 . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 正弦函数、余弦函数的性质 （题型突破·举一反三） 题型01 正弦函数、余弦函数的单调区间 1 题型02 根据正弦函数、余弦函数的单调性求参数 3 题型03 利用正弦函数余弦函数的单调性比较大小 5 题型04 正弦函数、余弦函数的对称性 7 题型05 正弦函数、余弦函数的奇偶性 9 题型06 正弦函数、余弦函数的周期性 11 题型07 正弦函数、余弦函数的最值（值域） 12 ▌题型01 正弦函数、余弦函数的单调区间 1、求正弦函数、余弦函数单调区间的技巧 求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函数的单调区间时，若ω为负数，则要先把ω化为正数． 当A>0时，把ωx＋φ整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调递增区间内，求得的x的范围即函数的单调递增区间；整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调递减区间内，可求得函数的单调递减区间． 当A<0时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间． 最后，需将最终结果写成区间形式． 2、求y=Asin(ωx＋φ)和y= Acos(ωx＋φ)的单调区间，可以把ωx＋φ看作一个整体(保证ω>0)放入y=sinx和y=cosx的单调区间内，解不等式求得.尤其注意保证x的系数为正，否则应按“同增异减”的复合函数单调性求解. 【典例1】（2026高一·河南驻马店·阶段检测）函数和在下列哪个区间上都是单调递减的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正余弦函数的性质逐项判断即可求解. 【详解】A．当时，单调递减，单调递减，故A正确； B．当时，单调递减，单调递增，故B错误； C．当时，单调递增，单调递增，故C错误； D．当时，单调递增，单调递减，故D错误； 故选：A. 【变式1-1】（2026高一·广东佛山·阶段检测）函数的一个递增区间是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦函数的性质，令即可求函数的递增区间，进而判断各选项是否符合要求. 【详解】令，可得， 当时，是的一个单调增区间，而其它选项不符合. 故选：A. 【变式1-2】（2026高一·辽宁朝阳·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦函数的单调区间直接求解即可． 【详解】， 令，则． 所以函数的单调递减区间是. 【变式1-3】（2026高一·全国·课后作业）函数的定义域是_____________，单调递减区间是_____________． 【答案】 【分析】解三角不等式，即可求定义域，再结合正弦函数的单调性即可求第二空. 【详解】由，得， 解得：， 即函数的定义域是． 与的单调性相反， 又的单调递增区间为 再结合的定义域为 ∴函数的单调递减区间． 故答案为：； ▌题型02 根据正弦函数、余弦函数的单调性求参数 利用"子集思想"：已知f(x)在某区间上单调，则该区间必须是相应单调区间的子集。将ωx+φ的整体范围代入基本函数的单调区间，建立关于ω（或φ）的不等式组求解。关键技巧：取区间端点列不等式，注意单调区间的周期性，必要时结合图象确定ω的取值范围，防止漏解。 【典例2】（2026·湖南郴州·模拟预测）已知函数，若在区间上单调递增，则的最大值为 . 【答案】 【详解】令，则， 因在区间上单调递增，则， 即且且， 若，则不等式组的解集为空集； 若，则； 若，则不等式组的解集为空集， 则的最大值为. 故答案为： 【变式2-1】（2026高一·山东日照·阶段检测）已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，所以． 又函数在上有且仅有2个零点， 所以，解得，即的取值范围是． 故答案为：. 【变式2-2】（2026高三·上海虹口·阶段检测）若是三角形的一个内角，且函数在区间上单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由，可得， 又是三角形的一个内角，所以， 故，， 因为函数在区间上单调递增， ，解得，又， 所以的取值范围为， 故答案为：. 【变式2-3】（2026高三·云南保山·期末）若函数在上单调递增则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由，得. 因为在上单调递增，所以， 得， 则， 解得，则，故的取值范围为. 故答案为： ▌题型03 利用正弦函数余弦函数的单调性比较大小 三步走：①用诱导公式将各角化到同一单调区间内（常化到[0,π/2]或利用正弦余弦的对称关系）；②若函数名不同，先用sinα=cos(π/2−α)统一函数名；③在同一单调区间上利用单调性比较。注意负角先用奇偶性化正，大角先用周期性缩小到基本区间。 【典例3】（2026高一·江西南昌·阶段检测），，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦函数的单调性即可判断大小. 【详解】由正弦函数的单调性可知：在上单调递增，又易知，所以. 故选：B 【变式3-1】（2026高一·江苏苏州·期末）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦函数、余弦函数的单调性可得答案. 【详解】因为， 所以， ， 所以，所以. 故选：C. 【变式3-2】（2026高三·北京·阶段检测）已知，，，则，，三个数从小到大的顺序是__________. 【答案】 【分析】利用，和的单调性，再结合条件，即可求解. 【详解】因为在定义域上单调递增，则， 又在上单调递增，则， 又在定义域上单调递增，则，所以. 故答案为：. 【变式3-3】设，，，则，，的大小关系为__________按由小到大顺序排列 【答案】 【分析】利用正弦函数的单调性，即可判断，，的大小． 【详解】由， ，， 当时，单调递增，且，， 则，故． 故答案为． ▌题型04 正弦函数、余弦函数的对称性 正弦曲线对称中心为(kπ,0)，对称轴为x=kπ+π/2；余弦曲线对称中心为(kπ+π/2,0)，对称轴为x=kπ。对y=Asin(ωx+φ)：令ωx+φ=kπ求对称中心横坐标，令ωx+φ=kπ+π/2求对称轴。核心口诀："整体代换，对照基本函数"，注意对称中心是点坐标。 【典例4】（2026高一·全国·课后作业）已知函数，若，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意等价于， 所以或， 解得，或， 所以，， 故所求范围为. 故答案为：. 【变式4-1】（2026高三·云南保山·期末）直线与函数图像的相邻的三个交点从左自右依次为、、，若，则 ． 【答案】2 【详解】由正弦函数性质得的周期为， 如图，由题意得直线与函数图像的相邻的三个交点， 从左自右依次为、、， 则，因为，所以， 解得，令，解得， 由正弦函数性质得、关于对称，且设的横坐标为， 则， 而的纵坐标为，代入解析式中得到， . 故答案为： 【变式4-2】（2026高三·福建·期中）若方程在上的解为，则 ． 【答案】/0.5 【详解】由于，所以， 由于，所以， 根据正弦函数的性质可知， 所以， ， 故答案为：. 【变式4-3】（2026高一·江西南昌·阶段检测）若函数在区间上单调，且，则正数的值为 ． 【答案】2 【详解】由函数在上单调，且， 所以函数的一条对称轴，一个对称点为，且， 所以，可得，故正数的值为2. 故答案为：2 ▌题型05 正弦函数、余弦函数的奇偶性 先看定义域是否关于原点对称。y=Asin(ωx+φ)为奇函数⇔φ=kπ；为偶函数⇔φ=kπ+π/2。y=Acos(ωx+φ)为偶函数⇔φ=kπ；为奇函数⇔φ=kπ+π/2。含参数时用f(−x)=±f(x)恒成立建立方程。注意：奇偶性结论对φ的取值是"充要"关系，解题时优先用整体代换验证。 【典例5】（2026高三·陕西咸阳·阶段检测）若是偶函数，则 【答案】0或2 【详解】因为是偶函数，所以它的定义域关于原点对称， 所以不等式的解集关于原点对称， 所以不等式的解集关于原点对称， 所以方程的根互为相反数， 所以，此时定义域为， 设，则函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以， 所以，所以函数为奇函数，又是偶函数， 所以恒成立， 所以是奇函数，于是， 此时，于是或. 故答案为：0或2 【变式5-1】（2026高三·北京·阶段检测）已知，且，则 ． 【答案】2024 【详解】设，则， ， 所以是奇函数，，则， 所以，． 故答案为：2024 【变式5-2】（2026高一·全国·专题练习）函数的奇偶性是 ． 【答案】奇函数 【详解】解析  ， ， 是奇函数． 故答案为：奇函数 【变式5-3】（2026高一·上海·期中）函数是（　　） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】C 【分析】利用奇偶性的定义证明函数为奇函数，再由周期的定义证明函数的周期为. 【详解】 则函数为奇函数. ， 是函数的一个周期. 又，而，可知不是函数的周期， 故函数的最小正周期为. ▌题型06 正弦函数、余弦函数的周期性 基本结论：y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)的最小正周期T=2π/|ω|。求ω时用|ω|=2π/T。注意区分"周期"与"最小正周期"；若图象给出相邻对称轴距离d，则T=2d；相邻对称中心距离为T/2；对称轴与相邻对称中心距离为T/4。含绝对值时周期可能减半，需具体分析。 【典例6】（2026高一·四川绵阳·阶段检测）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦型函数周期性直接求解即可. 【详解】由余弦型函数周期性可知：的最小正周期. 故选：B. 【变式6-1】（2026高三·湖北荆州·阶段检测）函数的最小正周期为_________. 【答案】/ 【分析】由函数周期性与诱导公式求解， 【详解】由诱导公式可知，， 当时，与不恒相等，故的最小正周期为， 故答案为： 【变式6-2】（2026高二·云南文山·阶段检测）若函数 的最小正周期为，则 （ ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】A 【详解】最小正周期，解得， 则， ． ▌题型07 正弦函数、余弦函数的最值（值域） 先化为一角一函数形式（辅助角公式），再整体代换u=ωx+φ，转化为求y=Asinu+b在给定u区间上的最值。步骤：①由x范围求u范围；②画正弦/余弦图象确定sinu（cosu）的取值范围；③代入求最值。注意区间的开闭影响端点取舍；含参数时需对区间与最值点的位置关系分类讨论。 【典例7】（2026高三·湖北荆州·阶段检测）当时，不等式成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，所以． 由题意得成立， 即，即． 令 因为关于的函数在上单调递减， 所以的最小值为12，所以， 解得，即的取值范围是． 故答案为：. 【变式7-1】（2026高一·全国·课后作业）设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】时，则，故， 时，， 对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得， 故，解得. 故答案为： 【变式7-2】（2026·湖南·模拟预测）设，用表示不超过x的最大整数，称为取整函数.例如：，，已知函数，则 的值域为 . 【答案】 【详解】因为， 所以； ，或，时，； ，或，时，； ，时， ，或，时，， ，时，， 所以的值域为 故答案为：， 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $