专题06 正弦函数、余弦函数的图象（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

专题06 正弦函数、余弦函数的图象 （题型突破·举一反三） 题型01 五点作图法作正弦函数、余弦函数的简图 1 题型02 含绝对值的三角函数的图象问题 2 题型03 利用三角函数图象解不等式 4 题型04 图象交点与解的个数问题 5 题型05 识图问题 7 ▌题型01 五点作图法作正弦函数、余弦函数的简图 用 “五点法” 画函数 或 在 上简图的步骤： （1）列表 0 或 0 （或 1） 1 （或 0） 0 （或-1） - 1 （或 0） 0 （或 1） 或 ( ) 或 或 (−A+b) 或 或 ( ) （2）描点:在平面直角坐标系中描出下列 5 个点: ， ， ，这里的 是通过函数式计算得到的. （3）连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接。 【典例1】（25-26高二上·江西南昌·月考）已知函数，用五点法画出长度为一个周期的闭区间上的简图． 【答案】答案见解析 【详解】根据五点法列表如下： 0 π x y 0 2 0 －2 0 【变式1-1】（25-26高二上·浙江绍兴·月考）用“五点法”画函数的图象时，应描出的五个点的横坐标依次是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦函数的图象与性质，分析即可得答案. 【详解】所描出的五个点的横坐标与函数的五个点的横坐标相同，即，． 【变式1-2】（25-26高二上·山西忻州·月考）用“五点法”画函数在的图象时，下列选项中不是关键点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦函数的性质即可求解. 【详解】五个关键点分别为，，，，故D选项不在函数图象上． 故选：D 【变式1-3】（25-26高二上·广东惠州·月考）用“五点法”作出下列函数的简图： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】1）利用五点作图法作图； （2）利用五点作图法作图； （3）利用五点作图法作图. 【详解】（1）找关键的五个点，列表如下： 0 0 1 0 －1 0 0 －1 0 1 0 描点作图，如图所示． （2）找关键的五个点，列表如下： 0 0 1 0 －1 0 0 1 0 1 0 描点并用光滑的曲线将它们连接起来，通过平移得到的图象，如图所示． （3）找关键的五个点，列表如下： 0 0 1 0 －1 0 －1 1 －1 －3 －1 描点作图，如图所示． ▌题型02 含绝对值的三角函数的图象问题 通过分类讨论的方法去掉绝对值，分段画出函数图象。 【典例2】（25-26高二上·河北邯郸·月考）对应的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题,为偶函数,且当时, 又为的图象沿轴翻折. 故选：C 【变式2-1】（25-26高二上·河北唐山·期中）函数在区间内的零点个数是 . 【答案】4 【详解】令，则， 设， 则当时，， 当时，， 画出函数的图象， ， 易知函数的图象与直线有4个不同的交点， 故答案为：4 【变式2-2】（25-26高二上·辽宁·月考）若函数的图象上存在两个不同点A，B关于原点对称，则称A，B为函数的一对友好点，记作，规定和是同一对友好点．已知，则函数的友好点共有(    ) A．3对 B．5对 C．7对 D．14对 【答案】C 【详解】因为函数的图象与函数的图象关于原点对称， 所以函数的友好点的对数即方程，的解的个数， 即函数与的图象的交点个数， 作出函数与的图象，如图所示:    可知共有7个交点，即函数的友好点共有7对. 故选:C． 【变式2-3】（25-26高二上·广东惠州·月考）已知是上的偶函数，，当时，，则函数的零点个数是（    ） A．12 B．10 C．6 D．5 【答案】B 【详解】解：由得函数周期是，又偶函数， 且在时，，因此可得， 是偶函数，作出函数与时，的图象， 由图象可知，当时，两函数图象有5个交点. 又函数与均为偶函数， 所以函数的零点个数是10.， 即函数的零点个数是10． 故选：B．    ▌题型03 利用三角函数图象解不等式 用三角函数图象解三角不等式的方法： （1）作出相应的正弦函数或者余弦函数在 上的图象。 （2）通过直线与图象的交点写出满足不等式在区间 上的解集。 （3）写出不等式在定义域内的解集。 【典例3】（25-26高二上·山西临汾·月考）函数的图象与直线，及轴所围成的图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作出函数的图象，如图所示， 利用割补法，将到部分的图象与轴围成的图形补到图中到处阴影部分，凑成一个长为，宽为的长方形，后面到，同理；∴的图象与直线，及轴所围成的面积为， 故选：C. 【变式3-1】（25-26高二下·上海·月考）若，，使得，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原问题转化为，区间与不等式的解集有交集，解出该不等式，借助数轴即可求解. 【详解】由，得，， 由，得，， 若，，使得， 则的区间长度要不小于的解集的区间长度， ， . 故选：B 【变式3-2】（25-26高二上·江西景德镇·期末）若x为锐角，且.则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得或，又因为x为锐角， 则， 即或， 解第一个不等式组得，则， 解第二个不等式组得，无解； 综上，x的取值范围是. 【变式3-3】（25-26高二上·江苏淮安·月考）已知函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，得，即， 则，即函数的定义域是. ▌题型04 图象交点与解的个数问题 画图抓周期，定区间看单调；平移对称找等量，数形结合数交点。 【典例4】（25-26高二上·河北石家庄·期中）函数的零点个数为（   ） A．4 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】画出函数和的图象，根据函数图象得到答案. 【详解】画出函数和的图象，其中，如图， 由图可知，当时，，两函数图象没有交点， 当时，两函数图象有3个交点， 当时，，两函数图象没有交点， 综上，函数和的图象有3个交点， 所以，函数零点的个数为3. 故选：D 【变式4-1】（2026·山东聊城·二模）函数，的图象与直线（a为常数）的交点个数不可能为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】作出在的图象，再根据数形结合法得出交点个数即可. 【详解】作出在的图象如下： 则可得当或时，与的交点个数为0； 当或时，与的交点个数为1； 当时，与的交点个数为2. 故选：A. 【变式4-2】（2026·陕西榆林·模拟预测）函数与图象的交点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用数形结合思想进行判断即可. 【详解】在同一直角坐标系中画出两个函数的图象如下图所示：    利用数形结合思想可以判断函数与图象的交点个数一共有个， 故选：D 【变式4-3】（2026·河南郑州·二模）关于函数，的图象与直线（为常数）的交点情况，下列说法正确的是（    ） A．当或，有0个交点 B．当或时，有1个交点 C．当，有2个交点 D．当时，有2个交点 【答案】B 【分析】在同一个坐标系内做出，的图象与直线的图象，根据交点的个数直接判断即可. 【详解】在同一个坐标系内做出，的图象与直线的图象如图示： 根据图象，进行判断： 对于A：当t=2时，有一个交点，故A错误； 对于B：当或时，有1个交点，故B正确； 对于C：当，有2个交点，当，有1个交点，故C错误； 对于D：当，有1个交点，故D错误. 故选：B ▌题型05 识图问题 利用排除法，从定义域、奇偶性、代数三个方面进行排除． 【典例5】函数，的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为定义域关于原点对称，又， 即为奇函数，所以选项A和B错误， 又当时，，当时，，此时， 又易知当时，，所以时，，结合图象可知选项C错误，选项D正确， 故选：D. 【变式5-1】（2026·重庆渝中·模拟预测）函数的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为R， 由，可得函数是R上的奇函数， 图象关于原点对称， AC错误； 当时，，且当或时取等号，则B不满足，D满足. 故选：D. 【变式5-2】（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 且定义域关于原点对称，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项A和C； 当时，，所以， 排除选项D，只有选项B符合题意. 故选：B. 【变式5-3】（2026·云南曲靖·模拟预测）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由且定义域为， 所以函数是奇函数，故排除A、D， 当趋向于且大于0时，趋向于，排除C. 故选：B. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 正弦函数、余弦函数的图象 （题型突破·举一反三） ▌题型01 五点作图法作正弦函数、余弦函数的简图 【典例1】 【答案】答案见解析 【详解】根据五点法列表如下： 0 π x y 0 2 0 －2 0 【变式1-1】 【答案】C 【分析】根据余弦函数的图象与性质，分析即可得答案. 【详解】所描出的五个点的横坐标与函数的五个点的横坐标相同，即，． 【变式1-2】 【答案】D 【分析】根据余弦函数的性质即可求解. 【详解】五个关键点分别为，，，，故D选项不在函数图象上． 故选：D 【变式1-3】 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】1）利用五点作图法作图； （2）利用五点作图法作图； （3）利用五点作图法作图. 【详解】（1）找关键的五个点，列表如下： 0 0 1 0 －1 0 0 －1 0 1 0 描点作图，如图所示． （2）找关键的五个点，列表如下： 0 0 1 0 －1 0 0 1 0 1 0 描点并用光滑的曲线将它们连接起来，通过平移得到的图象，如图所示． （3）找关键的五个点，列表如下： 0 0 1 0 －1 0 －1 1 －1 －3 －1 描点作图，如图所示． ▌题型02 含绝对值的三角函数的图象问题 【典例2】 【答案】C 【详解】由题,为偶函数,且当时, 又为的图象沿轴翻折. 故选：C 【变式2-1】 【答案】4 【详解】令，则， 设， 则当时，， 当时，， 画出函数的图象， ， 易知函数的图象与直线有4个不同的交点， 故答案为：4 【变式2-2】 【答案】C 【详解】因为函数的图象与函数的图象关于原点对称， 所以函数的友好点的对数即方程，的解的个数， 即函数与的图象的交点个数， 作出函数与的图象，如图所示:    可知共有7个交点，即函数的友好点共有7对. 故选:C． 【变式2-3】 【答案】B 【详解】解：由得函数周期是，又偶函数， 且在时，，因此可得， 是偶函数，作出函数与时，的图象， 由图象可知，当时，两函数图象有5个交点. 又函数与均为偶函数， 所以函数的零点个数是10.， 即函数的零点个数是10． 故选：B．    ▌题型03 利用三角函数图象解不等式 【典例3】 【答案】C 【详解】作出函数的图象，如图所示， 利用割补法，将到部分的图象与轴围成的图形补到图中到处阴影部分，凑成一个长为，宽为的长方形，后面到，同理；∴的图象与直线，及轴所围成的面积为， 故选：C. 【变式3-1】 【答案】B 【分析】原问题转化为，区间与不等式的解集有交集，解出该不等式，借助数轴即可求解. 【详解】由，得，， 由，得，， 若，，使得， 则的区间长度要不小于的解集的区间长度， ， . 故选：B 【变式3-2】 【答案】B 【详解】由题意得或，又因为x为锐角， 则， 即或， 解第一个不等式组得，则， 解第二个不等式组得，无解； 综上，x的取值范围是. 【变式3-3】 【答案】B 【详解】由题意，得，即， 则，即函数的定义域是. ▌题型04 图象交点与解的个数问题 【典例4】 【答案】D 【分析】画出函数和的图象，根据函数图象得到答案. 【详解】画出函数和的图象，其中，如图， 由图可知，当时，，两函数图象没有交点， 当时，两函数图象有3个交点， 当时，，两函数图象没有交点， 综上，函数和的图象有3个交点， 所以，函数零点的个数为3. 故选：D 【变式4-1】 【答案】A 【分析】作出在的图象，再根据数形结合法得出交点个数即可. 【详解】作出在的图象如下： 则可得当或时，与的交点个数为0； 当或时，与的交点个数为1； 当时，与的交点个数为2. 故选：A. 【变式4-2】 【答案】D 【分析】利用数形结合思想进行判断即可. 【详解】在同一直角坐标系中画出两个函数的图象如下图所示：    利用数形结合思想可以判断函数与图象的交点个数一共有个， 故选：D 【变式4-3】 【答案】B 【分析】在同一个坐标系内做出，的图象与直线的图象，根据交点的个数直接判断即可. 【详解】在同一个坐标系内做出，的图象与直线的图象如图示： 根据图象，进行判断： 对于A：当t=2时，有一个交点，故A错误； 对于B：当或时，有1个交点，故B正确； 对于C：当，有2个交点，当，有1个交点，故C错误； 对于D：当，有1个交点，故D错误. 故选：B 【典例5】 【答案】D 【详解】因为定义域关于原点对称，又， 即为奇函数，所以选项A和B错误， 又当时，，当时，，此时， 又易知当时，，所以时，，结合图象可知选项C错误，选项D正确， 故选：D. 【变式5-1】 【答案】D 【详解】函数的定义域为R， 由，可得函数是R上的奇函数， 图象关于原点对称， AC错误； 当时，，且当或时取等号，则B不满足，D满足. 故选：D. 【变式5-2】 【答案】B 【详解】因为，， 且定义域关于原点对称，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项A和C； 当时，，所以， 排除选项D，只有选项B符合题意. 故选：B. 【变式5-3】 【答案】B 【详解】由且定义域为， 所以函数是奇函数，故排除A、D， 当趋向于且大于0时，趋向于，排除C. 故选：B. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 正弦函数、余弦函数的图象 （题型突破·举一反三） 题型01 五点作图法作正弦函数、余弦函数的简图 1 题型02 含绝对值的三角函数的图象问题 3 题型03 利用三角函数图象解不等式 4 题型04 图象交点与解的个数问题 5 题型05 识图问题 5 ▌题型01 五点作图法作正弦函数、余弦函数的简图 用 “五点法” 画函数 或 在 上简图的步骤： （1）列表 0 或 0 （或 1） 1 （或 0） 0 （或-1） - 1 （或 0） 0 （或 1） 或 ( ) 或 或 (−A+b) 或 或 ( ) （2）描点:在平面直角坐标系中描出下列 5 个点: ， ， ，这里的 是通过函数式计算得到的. （3）连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接。 【典例1】（25-26高二上·江西南昌·月考）已知函数，用五点法画出长度为一个周期的闭区间上的简图． 【答案】答案见解析 【详解】根据五点法列表如下： 0 π x y 0 2 0 －2 0 【变式1-1】（25-26高二上·浙江绍兴·月考）用“五点法”画函数的图象时，应描出的五个点的横坐标依次是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·山西忻州·月考）用“五点法”画函数在的图象时，下列选项中不是关键点的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·广东惠州·月考）用“五点法”作出下列函数的简图： (1)； (2)； (3)． ▌题型02 含绝对值的三角函数的图象问题 通过分类讨论的方法去掉绝对值，分段画出函数图象。 【典例2】（25-26高二上·河北邯郸·月考）对应的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题,为偶函数,且当时, 又为的图象沿轴翻折. 故选：C 【变式2-1】（25-26高二上·河北唐山·期中）函数在区间内的零点个数是 . 【变式2-2】（25-26高二上·辽宁·月考）若函数的图象上存在两个不同点A，B关于原点对称，则称A，B为函数的一对友好点，记作，规定和是同一对友好点．已知，则函数的友好点共有(    ) A．3对 B．5对 C．7对 D．14对 【变式2-3】（25-26高二上·广东惠州·月考）已知是上的偶函数，，当时，，则函数的零点个数是（    ） A．12 B．10 C．6 D．5 ▌题型03 利用三角函数图象解不等式 用三角函数图象解三角不等式的方法： （1）作出相应的正弦函数或者余弦函数在 上的图象。 （2）通过直线与图象的交点写出满足不等式在区间 上的解集。 （3）写出不等式在定义域内的解集。 【典例3】（25-26高二上·山西临汾·月考）函数的图象与直线，及轴所围成的图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作出函数的图象，如图所示， 利用割补法，将到部分的图象与轴围成的图形补到图中到处阴影部分，凑成一个长为，宽为的长方形，后面到，同理；∴的图象与直线，及轴所围成的面积为， 故选：C. 【变式3-1】（25-26高二下·上海·月考）若，，使得，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·江西景德镇·期末）若x为锐角，且.则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二上·江苏淮安·月考）已知函数的定义域是（   ） A． B． C． D． ▌题型04 图象交点与解的个数问题 画图抓周期，定区间看单调；平移对称找等量，数形结合数交点。 【典例4】（25-26高二上·河北石家庄·期中）函数的零点个数为（   ） A．4 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】画出函数和的图象，根据函数图象得到答案. 【详解】画出函数和的图象，其中，如图， 由图可知，当时，，两函数图象没有交点， 当时，两函数图象有3个交点， 当时，，两函数图象没有交点， 综上，函数和的图象有3个交点， 所以，函数零点的个数为3. 故选：D 【变式4-1】（2026·山东聊城·二模）函数，的图象与直线（a为常数）的交点个数不可能为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式4-2】（2026·陕西榆林·模拟预测）函数与图象的交点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-3】（2026·河南郑州·二模）关于函数，的图象与直线（为常数）的交点情况，下列说法正确的是（    ） A．当或，有0个交点 B．当或时，有1个交点 C．当，有2个交点 D．当时，有2个交点 ▌题型05 识图问题 利用排除法，从定义域、奇偶性、代数三个方面进行排除． 【典例5】函数，的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为定义域关于原点对称，又， 即为奇函数，所以选项A和B错误， 又当时，，当时，，此时， 又易知当时，，所以时，，结合图象可知选项C错误，选项D正确， 故选：D. 【变式5-1】（2026·重庆渝中·模拟预测）函数的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·云南曲靖·模拟预测）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $