专题7.4 正切函数的图像与性质（六大题型）（高效培优专项训练）数学沪教版高一必修第二册

专题7.4 正切函数的图像与性质 题型一：求正切型函数的定义域 题型二：求正切型函数的周期 题型三：求正切型函数的单调性与值域 题型四：求正切型函数的奇偶性、对称性 题型五：知图求解析式 题型六：综合应用 题型一：求正切型函数的定义域 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山西运城·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·安徽滁州·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·四川泸州·开学考试）函数的定义域是________． 5．（25-26高一上·广东湛江·期末）函数的最小正周期为，则的定义域是___________. 6．函数的定义域是______． 题型二：求正切型函数的周期 1．（25-26高一下·黑龙江·开学考试）若函数图象的相邻两个对称中心的距离为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）已知函数的最小正周期是，且经过点，则，的值分别是（   ） A．1， B．1， C．3， D．3， 3．已知函数的最小正周期为，则为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的最小正周期为，则（   ） A．或1 B．-2或2 C．1 D．2 5．（25-26高二上·上海杨浦·开学考试）若在幂函数上且对任意均有，则x的值为________． 6．（24-25高一下·广西来宾·开学考试）若函数的最小正周期为，则__________. 7．已知函数的最小正周期为，则________. 题型三：求正切型函数的单调性与值域 1．函数的单调递增区间是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高三上·云南昆明·期中）若函数的最小正周期为，则的单调区间为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24高一下·江西·月考）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·甘肃兰州·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，其中，函数在不单调，则a的取值范围为______． 5．（24-25高三上·福建·月考）已知函数的图象关于点 对称，则的单调递增区间为_____________. 6．函数的值域是______. 7．（25-26高一上·广东佛山·月考）已知函数． (1)求的最小正周期、定义域、对称中心和单调区间； (2)若，求的取值范围． 8．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)记，求． 题型四：求正切型函数的奇偶性、对称性 1．（25-26高三上·江西南昌·期末）已知函数的部分图象如图所示，则不正确的是（ ） A． B．的图象与轴的交点坐标为 C． D．函数的图象关于点对称 2．（25-26高一上·四川成都·期末）下列是函数的对称中心是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏无锡·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·河南南阳·期末）若点为函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江苏南通·月考）若点（）为函数的图象的一个对称中心，则的最小值为______. 6．（23-24高一下·上海·期中）若函数，，则和在的所有公共点的横坐标的和为______. 7．（24-25高一下·四川绵阳·月考）已知，，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于对称，则的最大值为__________. 8．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，且函数的图象关于点中心对称，则______． 题型五：知图求解析式 1．（24-25高一下·四川资阳·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的图象与轴的交点坐标为 D．函数的图象关于直线对称 2．函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ）    A． B． C． D． 3．（25-26高三上·四川绵阳·月考）函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则（   ） A．1 B． C． D． 4．（24-25高一下·山东聊城·月考）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的个数是（    ） ①；②； ③的图象与y轴的交点坐标为；④函数的图象关于直线对称 A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知函数与函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为8，则的值为____________ 6．已知函数的部分图象如图所示，其中，则______；函数在不单调，则的取值范围为______． 7．已知函数的部分图象如图所示，则________，方程的解为________. 题型六：综合应用 1．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)若，求的值； (3)若，求的最大值. 2．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知，其中. (1)若，求函数的最小正周期及严格增区间； (2)若关于的方程在上至少存在2026个解，且的最小值不小于2026，求的取值范围. 3．（25-26高三上·山东·月考）已知函数，且的图象关于点中心对称. (1)求的最小正周期； (2)求的值域与单调递减区间. 4．（25-26高三上·江西·月考）已知函数，点和是曲线相邻的两个对称中心． (1)求的解析式； (2)若关于的方程在区间内恰有两个实根，求的取值范围． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.4 正切函数的图像与性质 题型一：求正切型函数的定义域 题型二：求正切型函数的周期 题型三：求正切型函数的单调性与值域 题型四：求正切型函数的奇偶性、对称性 题型五：知图求解析式 题型六：综合应用 题型一：求正切型函数的定义域 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求正切（型）函数的定义域 【分析】由正切函数的定义域结合题干条件即可求解. 【详解】由题意得，解得， 故选：D. 2．（25-26高一上·山西运城·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求正切（型）函数的定义域 【分析】结合正切函数的性质列不等式即可求出答案. 【详解】由题意得，即， 解得，即， 所以函数的定义域为. 故选：D. 3．（25-26高一上·安徽滁州·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求正切（型）函数的定义域 【分析】根据根式的性质可得即可利用正切函数的性质求解不等式得解. 【详解】由题意可得则，解得， 故选：B 4．（25-26高一下·四川泸州·开学考试）函数的定义域是________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】具体函数的定义域、求正切（型）函数的定义域 【详解】由，得， 所以， 所以， 所以函数的定义域是． 5．（25-26高一上·广东湛江·期末）函数的最小正周期为，则的定义域是___________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求正切（型）函数的定义域、由正切函数的周期求值 【分析】先根据最小正周期求出，整体法进行求解，得到函数定义域. 【详解】由题意得，解得，故， 令，解得， 故的定义域为. 故答案为： 6．函数的定义域是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、求含cosx型的函数的定义域、求正切（型）函数的定义域 【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，解不等式组即可. 【详解】由，可得，解得， 所以或， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 题型二：求正切型函数的周期 1．（25-26高一下·黑龙江·开学考试）若函数图象的相邻两个对称中心的距离为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求正切（型）函数的周期、由正切函数的周期求值 【分析】由题意可得该函数周期，即可得. 【详解】因为函数图象的相邻两个对称中心的距离为， 所以的最小正周期，又，所以. 故选：C. 2．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）已知函数的最小正周期是，且经过点，则，的值分别是（   ） A．1， B．1， C．3， D．3， 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】由正切函数的周期求值、由正切型函数的性质确定图象（解析式） 【分析】根据正切型函数的性质，，求出的取值，再带入点，结合的限制条件，求出的取值. 【详解】根据函数性质，，求得， 代入点得，又有，. 故选：A. 3．已知函数的最小正周期为，则为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求正切（型）函数的周期、由正切函数的周期求值 【分析】由正切函数的周期性，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 4．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的最小正周期为，则（   ） A．或1 B．-2或2 C．1 D．2 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】由正切函数的周期求值 【分析】根据正切函数周期公式求解. 【详解】根据题意，，可得或. 故选：A 5．（25-26高二上·上海杨浦·开学考试）若在幂函数上且对任意均有，则x的值为________． 【答案】或或，. 【难度】0.15 【知识点】求幂函数的解析式、由正切函数的周期求值、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据幂函数定义得出，从而建立方程，再结合二倍角公式求解，由以及正切函数的定义域的要求进行检查，得出符合题意的解. 【详解】由题，则有，而 化简得， 则有 故或或， 即或或或 解得或或或， 又对任意恒成立， 则有，，则，， 且，即，， 因此当时，； 当时，，当时，，则； 而时，满足且满足； 当或，或是符合题意的， 综上，或或，. 故答案为：或或，. 6．（24-25高一下·广西来宾·开学考试）若函数的最小正周期为，则__________. 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】特殊角的三角函数值、由正切函数的周期求值 【分析】结合正切型函数的周期公式求出，进而代值计算即可. 【详解】因为，所以，所以， 即. 故答案为：. 7．已知函数的最小正周期为，则________. 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】由正切函数的周期求值 【分析】根据正切函数周期公式求解即可. 【详解】依题意， 整理得，解得. 故答案为：1. 题型三：求正切型函数的单调性与值域 1．函数的单调递增区间是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】求正切型三角函数的单调性 【分析】解不等式，，可得出函数的递增区间. 【详解】因为正切函数的单调递增区间为，， 对于函数，由，， 解得，， 故函数的单调递增区间是，， 故选：B. 2．（25-26高三上·云南昆明·期中）若函数的最小正周期为，则的单调区间为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求正切（型）函数的周期、求正切型三角函数的单调性 【分析】根据周期求出，整体代换求单调区间. 【详解】由已知可得，解得，所以函数， 由，解得， 所以的单调区间为， 故选：B. 3．（23-24高一下·江西·月考）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值 【分析】先求出的范围，再由正切函数的性质求出范围，再乘以3即可. 【详解】 故选：C. 4．（25-26高一下·甘肃兰州·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，其中，函数在不单调，则a的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由图象确定正切（型）函数解析式、求正切型三角函数的单调性 【分析】根据给定条件，结合函数图象求出的解析式，再按和分类去绝对值符号化简函数解析式，结合正切函数单调性分析求解. 【详解】由，得函数的最小正周期，解得， 由图象得，且，则，， 当时，，，则， 当时，，，则， 由函数在不单调，得，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 5．（24-25高三上·福建·月考）已知函数的图象关于点 对称，则的单调递增区间为_____________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求正切型三角函数的单调性、正切函数对称性的应用 【分析】由对称中心求得，再通过正切函数的单调区间整体代换即可. 【详解】令， 可得：，结合， 令，可得，得，解得， 再令，可得， 所以的单调递增区间为， 故答案为：. 6．函数的值域是______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值 【分析】由题意，令，再根据正切函数的单调性，即可求出结果. 【详解】函数. ，令. 函数在上单调递增， ，即， ， 函数的值域为. 故答案为： 7．（25-26高一上·广东佛山·月考）已知函数． (1)求的最小正周期、定义域、对称中心和单调区间； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)，定义域为；对称中心为；单调递减区间为）无单调递增区间 (2) 【难度】0.65 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值、求正切（型）函数的定义域、求正切（型）函数的对称中心、求正切型三角函数的单调性 【分析】（1）根据的相关性质，整体法代入求解即可； （2）先求得，再求值域即可． 【详解】（1）解：的最小正周期为 由，解得， 故的定义域为； 由，解得， 故的对称中心为； 因为， 由，得， 所以函数的单调递减区间为）无单调递增区间. （2）， ． 8．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)记，求． 【答案】(1)递减区间为，无递增区间； (2)． 【难度】0.65 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值、解正切不等式、求正切型三角函数的单调性 【分析】（1）借助正切函数的单调区间列出不等式并求解即得； （2）求出函数在上的值域，由正切函数单调性解不等式，再求出并集. 【详解】（1）， ，解得， 函数的单调递减区间为，无递增区间； （2）当有， ，， 由得，， ， 又，，， 所以． 题型四：求正切型函数的奇偶性、对称性 1．（25-26高三上·江西南昌·期末）已知函数的部分图象如图所示，则不正确的是（ ） A． B．的图象与轴的交点坐标为 C． D．函数的图象关于点对称 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由图象确定正切（型）函数解析式、求正切（型）函数的对称中心、由正切函数的周期求值 【分析】根据图象求出最小正周期，即可判断C，再由图代入相关对称点坐标即可得到，则判断A；再计算即可判断B；最后利用代入验证法即可判断D. 【详解】对C，由图知函数的最小正周期，则，解得，故C正确； 则，由，可得， 又因为，则，故A错误； 对B，由A知，则，故B正确； 对D，因为函数的对称中心， 而，则函数关于点对称，故D正确 故选：A. 2．（25-26高一上·四川成都·期末）下列是函数的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.84 【知识点】求正切（型）函数的对称中心 【详解】令， 所以函数的对称中心是， 显然不存在使得，当时， 所以函数的一个对称中心为，选A. 3．（25-26高一上·江苏无锡·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正切函数对称性的应用、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据函数图象的平移变换，可得，根据函数图象关于原点对称的性质可列方程，得，再结合即可得解. 【详解】的图象向右平移个单位长度， 可得， 因为函数的对称中心为， 若平移后的图象关于原点对称， 则，得， 因为，故当时，取得最小值. 故选：C. 4．（25-26高三上·河南南阳·期末）若点为函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】正切函数对称性的应用、求正切（型）函数的对称中心 【分析】根据正切函数的对称中心求得，，进而有，，即可得解. 【详解】由，，得，， 因此函数图象的对称中心为， 而，则，，，， 所以，，，所以的最小值为. 故选：D 5．（25-26高一上·江苏南通·月考）若点（）为函数的图象的一个对称中心，则的最小值为______. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求正切（型）函数的对称中心 【分析】利用正切函数的性质求出函数图象的对称中心，再求出最小值. 【详解】由，，得，; 因此函数的图象的对称中心为（） 而，则，，，， ，，， 所以的最小值为. 故答案为：. 6．（23-24高一下·上海·期中）若函数，，则和在的所有公共点的横坐标的和为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求正切（型）函数的对称中心、正切函数对称性的应用 【分析】由正切和正弦函数的性质可知两函数的交点关于对称，作出图象，结合图象即可得出答案. 【详解】因为的对称中心为，， 的对称中心为，， 所以两函数的交点也关于对称，， 又因为函数，的最小正周期为， 作出两函数的在的图象，如下图， 由此可得两函数图象共6个交点，设这6个交点的横坐标依次为， 且， 其中关于对称，，关于对称，， 所以. 故答案为：. 7．（24-25高一下·四川绵阳·月考）已知，，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于对称，则的最大值为__________. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】正切函数对称性的应用、由正切型函数的性质确定图象（解析式）、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据已知可得，结合图象平移及对称中心得，即可求参数最大值. 【详解】函数的最小正周期，则，得，则， 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象， 要使该图象关于对称，则，所以， 又，当时，取得最大值，为. 故答案为： 8．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，且函数的图象关于点中心对称，则______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由正切函数的周期求值、正切函数对称性的应用 【分析】结合题意易得，进而结合正切函数的周期求解即可. 【详解】由题得，解得， 又，当时，，故， 因此函数的最小正周期为， 又，，， 则． 故答案为：. 题型五：知图求解析式 1．（24-25高一下·四川资阳·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的图象与轴的交点坐标为 D．函数的图象关于直线对称 【答案】D 【难度】0.6 【知识点】正切函数对称性的应用、由图象确定正切（型）函数解析式 【分析】根据正切函数的性质和图象逐项计算判断即可. 【详解】由图可知，的最小正周期，则，A错误； 由图象可知时，函数无意义，故， 由，得，即，则， 即的图象与轴的交点坐标为，B，C错误； 由于，则的图象关于点对称， 可得函数的图象关于直线对称． 故选：D. 2．函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】正切函数对称性的应用、由正切函数的周期求值 【分析】根据正切型函数的对称性分析可得，进而可求得，再代入点，运算求解即可. 【详解】如图所示，区域①和区域③面积相等， 故阴影部分的面积即为矩形的面积，可得， 设函数的最小正周期为，则， 由题意可得：，解得， 故，可得，即， 可知的图象过点，即， ∵，则， ∴，解得. 故选：A.    3．（25-26高三上·四川绵阳·月考）函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求正切（型）函数的周期、由图象确定正切（型）函数解析式 【分析】由正切函数的周期性及其图象，应用等面积法求得最小正周期为，结合图象所过的点求得参数，即可得的解析式，进而求函数值即可. 【详解】如图，由正切函数的周期性可知，①和②面积相等， 故阴影部分的面积即为矩形的面积，易知， 设函数的最小正周期为，则， 由题意得，解得，故，得，即. 的图象过点，即， 所以，则，所以，解得，则， 所以. 故选：B. 4．（24-25高一下·山东聊城·月考）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的个数是（    ） ①；②； ③的图象与y轴的交点坐标为；④函数的图象关于直线对称 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求正切（型）函数的周期、求正切（型）函数的对称中心、由图象确定正切（型）函数解析式 【分析】根据图象求周期，然后可判断①；根据正切函数定义域可判断②；代入验证可判断③；判断关于点对称，然后由图象的对称变换可判断④. 【详解】对①，由图可知，的最小正周期，则，故①正确； 对②，由图象可知时，函数无意义，故 由，得，即，故②错误； 对③，由，故③正确； 对④，由，则的图象关于点对称， 由图象对称变换可得函数的图象关于直线对称，故④正确． 故选：C. 5．已知函数与函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为8，则的值为____________ 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】余弦函数图象的应用、正切型三角函数图象的应用 【分析】由题意，阴影部分的面积等于矩形的面积，利用面积即可求得参数值. 【详解】如图，结合函数图象的对称性，阴影部分的面积等于矩形的面积， 对于函数，定义域为， 令，则，即， 由图知，过点C垂直于x轴的直线为，又，则， 则，解得. 故答案为：. 6．已知函数的部分图象如图所示，其中，则______；函数在不单调，则的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用正切函数的单调性求参数、由图象确定正切（型）函数解析式 【分析】根据函数周期可得，代入点可得；根据解析式，分和两种情况，去绝对值化简函数解析式，结合正切函数单调性分析求解即可. 【详解】由可知函数的最小正周期，解得， 又，故． 由图象得，且，则； 所以， 当时，，， 则， 当时，，， 则， 要使其不单调，只需，解得， 的取值范围是． 故答案为：；． 7．已知函数的部分图象如图所示，则________，方程的解为________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由图象确定正切（型）函数解析式、三角函数图象的综合应用 【分析】根据给定的函数图象，求出周期及、、，进而求出解析式，再将方程等价变形为，根据正弦函数和余弦函数性质求解即可. 【详解】由图可知，函数的最小正周期为，所以， 因为，则，则， 因为，所以，又，则， 方程，得，即， 即，所以或， 所以，解得， 故方程的解为. 故答案为：，. 题型六：综合应用 1．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)若，求的值； (3)若，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】三角恒等变换的化简问题、用和、差角的正切公式化简、求值、求正切（型）函数的定义域、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）由正切函数的定义域可解； （2）由差角的正切公式计算可得； （3）法一：拆角后得到，令，则，展开两边同除以，结合二倍角的正余弦和同角的三角函数关系化简可得； 法二：拆角后由诱导公式变形得到. 令，则，用和差角的正弦公式展开并整理，两边同除以再计算可得； 法三：前面同法一，得，再由辅助角公式化简后计算可得. 【详解】（1）令，得. 所以函数的定义域为. （2）因为， 所以. （3）法一：因为，所以. 令，则， 展开得， 两边同除以，得，所以. 从而， 因为，所以， 当且仅当时取到最大值. 法二：由， 得， 即， 所以. 令，则， 所以， 用和差角的正弦公式展开并整理，得， 两边同除以，得. 展开得，即. 所以， 当且仅当时取到最大值. 法三：前面同法一，得. 则.由辅助角公式得， 即，所以， 解得，所以的最大值为. 2．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知，其中. (1)若，求函数的最小正周期及严格增区间； (2)若关于的方程在上至少存在2026个解，且的最小值不小于2026，求的取值范围. 【答案】(1)，， (2) 【难度】0.4 【知识点】求正切（型）函数的周期、求正切型三角函数的单调性、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）根据正切函数的性质代入公式求解即可； （2）结合正切函数的性质，可知要使区间上至少存在2026个解，其区间长度的最小值为个周期，再代入运算即可. 【详解】（1）当时，，所以最小正周期. 由，得， 所以严格增区间为，. （2）因为，，， 与相差个周期，与相差个周期， 所以要使区间上至少存在2026个解，其区间长度的最小值为个周期，且最小值不小于， 故，即，所以，又, 所以. 3．（25-26高三上·山东·月考）已知函数，且的图象关于点中心对称. (1)求的最小正周期； (2)求的值域与单调递减区间. 【答案】(1) (2)， 【难度】0.65 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、辅助角公式、求正切（型）函数的周期、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）由正切函数的对称性可得，进而结合可得结果； （2）利用三角恒等变换化简，进而结合正弦函数的最值与单调性求解. 【详解】（1）因为的图象关于点中心对称，所以， 解得，又，所以， 所以的最小正周期. （2）由（1）知，， 于是 . 所以的值域为. 令， 得， 所以的单调递减区间为. 4．（25-26高三上·江西·月考）已知函数，点和是曲线相邻的两个对称中心． (1)求的解析式； (2)若关于的方程在区间内恰有两个实根，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由正切型函数的性质确定图象（解析式） 【分析】（1）先由已知得到周期信息、结合周期公式求出参数，再代点即可计算求解即可得解； （2）换元，将题设等价转换为函数在上存在两个零点，接着分和结合函数奇偶性、单调性和函数与方程思想数形结合分析函数零点个数即可求解. 【详解】（1）由题可知的最小正周期T满足，解得， 又由题意， 所以，即， 又，所以 ，所以． （2）设，函数，则， 因为关于的方程在区间内恰有两个实根， 所以函数在上存在两个零点， 因为对任意有， 所以为奇函数， （i）若，当时，，故在区间上无零点； 当时，一方面有， 另一方面，若存在使得，则， 若对任意，则， 故的零点个数为奇数，不合题意． （ii）若，当时，为增函数， 所以在区间上只有唯一零点0； 当时，函数分别为减函数和增函数，且恒成立， 又，时， 所以时，函数有唯一交点， 在区间上有唯一零点， 所以函数在上存在两个零点， 综上所述，的取值范围为． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $