30.3 正多边形与圆（知识清单，知识点&10易错&3题型）数学新教材人教版九年级上册

第三十章 直线与圆的位置关系 30.3 正多边形与圆 🔷知识点一　正多边形及其与圆的关系 1.正多边形的概念：各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形。例如正三角形就是等边三角形，正四边形就是正方形。本节学习的是凸正多边形，正边形的边数应该是大于或等于的整数。 2.正多边形与圆：每个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且两个圆的圆心重合。外接圆经过正多边形的所有顶点，内切圆与正多边形的各边都相切。一般多边形不一定同时具有这两种圆。 图1　（1）：圆的内接正六边形；（2）：圆的外切正六边形 3.由圆得到正多边形：把圆周分成段相等的弧，顺次连接各分点，得到圆的内接正边形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点，得到圆的外切正边形。等弧所对的弦相等，所以内接多边形的各边相等；相邻半径构成的等腰三角形全等，所以各顶点处的内角也相等。因此等分圆周后顺次连点，确实能得到正多边形。 ⚠️特别提醒 ①定义中的“各边相等”和“各角相等”必须同时满足。菱形各边相等，但不一定是正方形；长方形各角相等，但不一定是正方形； ②“圆的内接正多边形”对应“正多边形的外接圆”；“圆的外切正多边形”对应“正多边形的内切圆”。先看顶点在圆上，还是边与圆相切，不要只凭“内”“外”两个字判断。 💡 拓展延伸 各边相等的圆内接多边形是正多边形：各边对应的分段弧相等，便回到等分圆周的情形。注意这里增加了“圆内接”的条件，不能套到任意等边多边形；各角相等的圆内接多边形则不一定是正多边形，例如非正方形的长方形。 📌 归纳总结 正多边形要同时满足等边、等角。它的内切圆与外接圆同心；等分圆周后，顺次连点得内接正多边形，过分点作切线得外切正多边形。判断两种关系时认准顶点和边。 🔷知识点二　正多边形的有关概念与基本图形 1.相关概念：正多边形的中心是它的外接圆的圆心；外接圆的半径叫作正多边形的半径，通常记为；每一边所对的圆心角叫作中心角；中心到一边的距离叫作边心距，通常记为。 图2　OA=OB=R，OM=r，OM⊥AB，AM=MB=a/2 2.基本图形：如图2，、为正多边形相邻顶点，边长。连接、，过作。由垂径定理可得，；又，所以还平分。这样便可得到以半径为斜边、边心距和半边长为直角边的直角三角形，满足。。 由于各边所对的中心角相等，这些等腰三角形全等，所以中心到各边的垂距相等。因此边心距也是正多边形内切圆的半径。从中心向任意一边作垂线，都能得到同样的基本直角三角形。 ⚠️特别提醒 ①正多边形的半径指外接圆半径，边心距是内切圆半径，两者不能混用；注意； ②勾股定理中的有一条直角边是半边长，不是整条边长。求得后，要检查题目求的是还是。 📌 归纳总结 计算正多边形时常连半径、作边心距、取半边长，转化为直角三角形。记清、、，再使用勾股定理或特殊角的边角关系。 🔷知识点三　正多边形的角度与对称性 1.角度关系：正边形的个中心角把周角平均分成份；个外角的和为，因此： 角的名称 一个角的度数 使用时注意 中心角 顶点在中心，连接相邻顶点 外角 与相邻内角互补 内角 也等于 正多边形的中心角与外角相等，内角与外角互补。如图2的基本直角三角形中，，是中心角的一半。例如正六边形的中心角为，内角为，而。 已知一个中心角或外角为，可由求边数；已知一个内角为，应先求外角，再求。求出的边数还应为大于或等于的整数。 2.轴对称性：正边形有条对称轴，每条都经过中心。为奇数时，每条轴通过一个顶点和它所对边的中点；为偶数时，有条通过一对相对顶点，另有条通过一对相对边的中点。 图3　正五边形有5条对称轴；正六边形有6条对称轴 3.中心对称性：偶数边的正多边形是中心对称图形，奇数边的正多边形不是。例如正方形、正六边形的对称中心都是正多边形的中心；正三角形、正五边形没有对称中心。 💡 拓展延伸 正边形绕中心旋转就能与自身重合，这也是它的最小正旋转角。要旋转后重合，需要是的整数倍，即为偶数；这也说明为什么中心对称性取决于边数的奇偶。 📌 归纳总结 三个角记住中心角=外角=，内角=；基本直角三角形用半个中心角。对称轴有条，中心对称须看边数是否为偶数。 🔷知识点四　正多边形的周长与面积 1.周长与面积：设正边形的边长为，边心距为，周长为，面积为，则。连接中心与各顶点，把正多边形分成个全等的等腰三角形，每个三角形的底为、高为，所以：。这个公式也与上一节中学过的“面积等于半周长乘内切圆半径”一致，但其中的高是边心距，不是半径。 2.计算方法：已知半径时，先连接相邻顶点与中心，再根据中心角选合适的高。多数情形可作边心距，转化为图2的基本直角三角形；中心角为时，也可从一个顶点向另一条半径作垂线，直接求分割三角形的面积。 图4　正八边形中∠AOB=45°，作AP⊥OB，垂足为P 如图4的正八边形半径为m，、。过作，则为等腰直角三角形，。因此（m²）。这里是以为底时的高，它不等于正八边形的边心距。 ⚠️特别提醒 ①使用时，先认清周长与边心距；使用分割法时，先认清每个小三角形的底与对应的高，不能把两套底、高交叉代入； ②圆的面积是外接圆的面积，不是正多边形面积。正多边形在外接圆内部，不能直接用圆面积代替。 📌 归纳总结 周长用，面积常用，也可连接中心分成个全等三角形求和。面积计算的关键是底与高对应，半径不能随意充当高。 🔷知识点五　正多边形的画法 1.等分圆周的方法：已知圆的半径，画圆并确定圆心，用量角器依次作相等的圆心角，确定圆周上的个等分点，再顺次连接各分点，即可画出正边形。量角器等分圆周的方法可用于任意边数。 2.常见的尺规作图： ①正六边形：在半径为的圆上，从一点开始，用圆规以为半径依次截取相等的弦，把圆周六等分，再顺次连点；六个分点每隔一个取一点连接，可得正三角形； ②正方形：作两条互相垂直的直径，把圆周四等分，顺次连接四个端点。 图5 把已得的每段弧再平分，可继续增加分点：六等分的弧各平分一次，得到正十二边形；四等分的弧各平分一次，得到正八边形，再平分可得正十六边形。尺规平分弧时，可作相应弦的垂直平分线，取它与该段弧的交点。 ⚠️特别提醒 ①量角器法与尺规法要分清。不能把“按连续截弦”用于所有正多边形，这种取法的相邻中心角为，得到的是正六边形； ②“顺次连接”按圆周上的先后次序进行。五等分点顺次连成正五边形，连接其对角线可以画出五角星，但五角星不能代替正五边形的边界。 📌 归纳总结 画正多边形的核心是等分圆周后按顺序连点。量角器法用；尺规作正六边形用半径截弦，作正方形用互相垂直的直径，继续平分弧可得到更多分点。 易错点 1 只凭各边相等就判定为正多边形 · 错例：一个菱形的四边相等，就说它一定是正四边； · 错因：只检查了边长，漏掉各角也要相等的条件； · 规避方法：分别检查等边、等角。本例还须四个角都是，才是正方形；也可画一个有角的菱形作反例。 易错点 2 认为各角相等的圆内接多边形一定是正多边形 · 错例：一个长方形的四个顶点在同一圆上、四个角相等，就说它一定是正方形； · 错因：把“各边相等的圆内接多边形”的结论换成了“各角相等”； · 规避方法：取边长为和的长方形，它有外接圆且各角都为，但四边不等，不能判为正多边形。 易错点 3 混淆半径与边心距 · 错例：图2中把中心到边的垂线段叫作正多边形的半径，写； · 错因：没有区分圆经过顶点和圆与边相切这两种关系； · 规避方法：先标、，半径连顶点，边心距垂直边；内切圆半径才是。 易错点 4 把内角当成中心角求边数 · 错例：正多边形的一个内角为，写； · 错因：误把一个内角代入外角或中心角的公式； · 规避方法：先求外角，再得，应为正六边形。 易错点 5 在基本直角三角形中使用整个中心角 · 错例：正六边形中，、为相邻顶点，过中心作，却写； · 错因：忽略既是边心距，又平分等腰三角形的顶角； · 规避方法：先写，再标。求半边长时使用的是半个中心角。 易错点 6 认为所有正多边形都是中心对称图形 · 错例：正五边形边和角都相等，就说它绕中心旋转也能重合； · 错因：把轴对称、旋转对称与中心对称混为一谈； · 规避方法：检查边数奇偶，或验算是不是最小正旋转角的整数倍。正五边形有条对称轴，但不是中心对称图形。 易错点 7 求出半边长后直接作为整边长 · 错例：半径、边心距，由勾股定理求得，就写边长； · 错因：勾股定理算出的是垂足到顶点的距离，忘记垂足平分这一边； · 规避方法：先写，再得。把所求线段标在图上后再答。 易错点 8 把半径当作面积公式中的高 · 错例：正六边形半径为，写； · 错因：把半径当成边心距，底与高不对应； · 规避方法：先求、，再写。若改用分割法，也要重新确认底与垂直于底的高。 易错点 9 同一圆的内接与外切多边形套用同一边长 · 错例：圆半径为，就把内接正方形和外切正方形的边长都写成； · 错因：没有确认给定圆是外接圆还是内切圆； · 规避方法：内接正方形用，边长为；外切正方形用，边长为。先标圆与顶点、边的关系。 易错点 10 画不同正多边形时都用半径连续截弦 · 错例：要画正五边形，却在圆上依次以圆半径截取五条弦后连接； · 错因：把正六边形边长等于半径的特殊性质当成一般作图规则； · 规避方法：先算中心角：正五边形应五等分圆周，量角器法用；以半径连续截弦得到的是六等分，不能少取一个点来代替五等分。 题型一：正多边形的中心角 📝方法技巧 ①正边形的中心角，一个内角。已知内角与中心角的数量关系时，可利用两者之和为列方程，先求中心角，再求边数。 ②判断正多边形绕自身中心旋转后能否与原图形重合，关键看旋转角是否为中心角的整数倍。正边形的最小正旋转角为，不能将内角误认为旋转角。 ③多个正多边形组合时，通常先连接有关顶点与圆心，标出各自的中心角，再利用角的和差求解。结合半径相等、正多边形的边相等以及平行条件，可构造等腰三角形、等边三角形、菱形或全等三角形。遇到弧的中点，应考虑连接圆心与弧中点，利用等弧、等角及垂径定理寻找关系。 ④在坐标系中求正多边形顶点或中心的坐标，先确定图形的实际位置，再利用对称性、边的垂直平分线及特殊直角三角形求出水平距离和竖直距离，最后结合象限确定坐标的符号。注意坐标原点未必是正多边形的中心，不能仅凭字母判断点的位置。 ⑤求正多边形面积，通常连接中心与各顶点，将图形分成若干个全等的等腰三角形。求其中一个三角形的面积时，可根据已知条件选择边或半径作底，再作相应的高。 1．（2026·辽宁盘锦·模拟预测）若正五边形绕着它的中心旋转一定的角度后与原来位置重合，则这个角度可以是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·上海奉贤·二模）如果一个正多边形的内角等于中心角的3倍，那么这个正多边形是（  ） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 3．（2026·河南商丘·二模）正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁鞍山·二模）下列图形旋转后可以与原图形重合的是（    ） A．正六边形 B．正五边形 C．正方形 D．正三角形 5．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 6．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）青铜太阳轮为三星堆二号祭祀坑出土的商代青铜器，距今约3000年，如图所示，它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（26-27九年级上·全国·期末）如图，正六边形的外接圆的直径为，过圆心的直线与圆周交于，两点，则图中的阴影部分的面积和为___________． 8．（26-27九年级上·山东德州·开学考试）如图，点是正五边形的中心，，连接，则的度数为__________． 9．（25-26九年级上·云南·期末）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长是4，则它的内切圆圆心的坐标是_____． 10．（25-26九年级上·河北承德·期末）一张圆形纸片，圆周被24等分，等分点分别为，，，…，．由于这个纸片不小心被撕掉了两部分，剩下部分如图所示，连接并延长，交于点，，且该夹角位于点的右侧，则______． 11．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，正方形与等边内接于，，则的度数为_____． 12．（26-27九年级上·山西太原·阶段检测）阅读与思考 尺规作图一把直尺，一副圆规，就能开启奇妙的几何之旅、五种基本尺规作图，是构建万千图形的“钥匙”．尺规作图不仅能完成严谨的几何证明与图形绘制，还能设计出对称精美的几何图案．中国古代建筑藻井图案就是极具代表性的经典图案，它是一个正方形里面嵌套了多个正八边形．如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作出正方形的内嵌正八边形吗？ 课堂上同学们经过讨论，画出了下面的两个内嵌于正方形的正八边形的草图．    初步分析：从整体特征与元素特征两个角度回顾正八边形的性质． （1）整体特征：具有轴对称性和中心对称性． （2）元素特征：各边相等，各角相等且都等于… 深入分析：以图正方形内嵌正八边形为例分析，如图，连接，，，，发现的结论如下：    （1）点，，，分别是正方形各边的中点； （2）是顶角为，底角为的等腰三角形； （3）中，；… 动手作图：利用作垂直平分线和角平分线的方法作图． （1）如图，作边，的垂直平分线，分别交，，，于点，，，； （2）分别作和的角平分线，交于点；利用对称性作出点，，； （3）顺次连接这八个点． ∴八边形为正方形的内嵌正八边形． 类比阅读材料中对图的研究过程，分析图中图形的整体特征和元素特征，完成下列问题：    (1)从角的角度观察图，连接、，则_________，_________． (2)请你从边的角度观察，与有怎样的数量关系，并说明理由． (3)请根据你发现的几何结论，利用尺规作图，在图的正方形中作出图中的内嵌正八边形（不写作图步骤，保留作图痕迹）． 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知和上的一点A，求作的内接正六边形．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一个八角九层楼阁式砖塔，其塔基的形状是半径为的正八边形（如图）．求塔基的面积（结果保留小数点后一位）． 15．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，六边形是的内接正六边形，四边形是正方形，连接，，． (1)求的度数； (2)取劣弧的中点，连接，在图中找出和等长的线段，并说明理由． 题型二：已知中心角求边数 📝方法技巧 ①求正多边形的边数，先求相邻两个顶点所对应的中心角，再利用计算。所得边数应为不小于的整数；若不符合，应检查角的对应关系及计算过程。 ②题目没有直接给出中心角时，可连接一条边两端的半径，构造等腰三角形。若边长等于半径，则该三角形为等边三角形，可直接确定中心角；其他情况可结合底角、内角等条件求解。 ③利用圆周角求边数时，先看清圆周角所对的弧。若所对的是一条边对应的劣弧，则中心角为该圆周角的倍；若所对的弧由段相邻顶点间的小弧组成，则先求这段弧对应的圆心角，再除以，得到一个基本中心角。不能把跨越多条边的圆心角直接代入边数公式。 ④同一个圆中出现不同的正多边形时，可分别求出有关弦对应的圆心角，再根据各点在圆上的先后位置，用角的和差求出目标中心角。遇到弧的中点，可将相应圆心角平分；注意弧的中点与弦的中点不是同一个点。 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）若正边形的中心角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河南周口·一模）若正边形的半径等于它的边长，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如果一个正多边形的中心角是45°，那么这个正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 4．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，内接于，．若弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 5．（25-26九年级上·四川广安·期末）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 6．（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为______________． 7．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，弦，分别是的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接，也是的内接正n边形的一条边，则n的值是________． 8．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，正边形的两条对角线、的延长线交于点，若． （1）连接，则与的位置关系是_____； （2）的值是_____． 9．（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，正六边形内接于为上一点，连接． (1)求的度数； (2)当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 题型三：正多边形与圆的综合 📝方法技巧 ①解决正多边形的长度问题，常用辅助线是“连接半径、作边心距”。设边长为，外接圆半径为，边心距为，则半径、边心距和半边长组成直角三角形，有。结合半个中心角及特殊直角三角形，可实现这三个量之间的转化。 ②已知圆的周长，先利用求半径，再转化为正多边形的边长。已知对角线时，应先判断连接的是哪两个顶点；正六边形中，连接相对顶点的长对角线等于直径，也等于边长的倍，不能将这一结论用于所有对角线。 ③求角时，先判断所求角是中心角、圆周角还是正多边形的内角，再选择相应关系。圆内接四边形可利用对角互补；利用圆周角定理时，应确认所对的弧，不能只看角的两端字母就认定两个角相等。 ④圆与正多边形的边相切时，先连接圆心与切点，得到垂直关系。若圆与某个内角的两边相切，可将顶点、两个切点和圆心连成四边形，利用两个直角及四边形内角和求角。只给出圆与两条边相切，不能直接认定该圆是整个正多边形的内切圆。 ⑤求阴影面积，先认清每段圆弧的圆心、半径及对应角，再确定用扇形相加，还是用扇形减去三角形。特别注意，以正多边形顶点为圆心画出的扇形，其圆心角可能是多边形的内角，不能套用正多边形的中心角。 1．（24-25九年级上·云南德宏·期末）公园里有一个亭子，它的地基是边长为米的正六边形，则这个正六边形的边心距是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）正方形内接于，若半径为2，则正方形边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）正方形内接于，若的半径为，则该正方形边心距的长是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·浙江·中考真题）我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·四川成都·二模）如图，正五边形内接于，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·云南红河·一模）五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子中的微粒像足球一样团结在一起．一个烯分子由12个正五边形、20个正六边形组成（如图①所示）．如图②，在正六边形中，连接，若，则正六边形的边长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 7．（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）如图，已知正六边形的边长为1，分别以C，F为圆心，以边长为半径画弧（两条弧均经过正六边形的顶点），则图中阴影部分的面积为____________． 8．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，是正五边形的外接圆，P为上的一点，则的度数为_______． 9．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，正方形是的内接正方形，若，则正方形的边心距的长为________． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，半径为1的与正五边形的边，分别相切于点，，则的度数为_______． 11．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，正六边形内接于，已知的周长等于． (1)求的度数； (2)求正六边形的周长和面积． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）完成下表中有关正多边形的计算： 正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积 3 4 6 13．（26-27九年级下·全国·期末）如图，是正六边形的外接圆，，M是的中点，连结，，． (1)求正六边形的周长； (2)求的面积． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十章 直线与圆的位置关系 30.3 正多边形与圆 🔷知识点一　正多边形及其与圆的关系 1.正多边形的概念：各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形。例如正三角形就是等边三角形，正四边形就是正方形。本节学习的是凸正多边形，正边形的边数应该是大于或等于的整数。 2.正多边形与圆：每个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且两个圆的圆心重合。外接圆经过正多边形的所有顶点，内切圆与正多边形的各边都相切。一般多边形不一定同时具有这两种圆。 图1　（1）：圆的内接正六边形；（2）：圆的外切正六边形 3.由圆得到正多边形：把圆周分成段相等的弧，顺次连接各分点，得到圆的内接正边形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点，得到圆的外切正边形。等弧所对的弦相等，所以内接多边形的各边相等；相邻半径构成的等腰三角形全等，所以各顶点处的内角也相等。因此等分圆周后顺次连点，确实能得到正多边形。 ⚠️特别提醒 ①定义中的“各边相等”和“各角相等”必须同时满足。菱形各边相等，但不一定是正方形；长方形各角相等，但不一定是正方形； ②“圆的内接正多边形”对应“正多边形的外接圆”；“圆的外切正多边形”对应“正多边形的内切圆”。先看顶点在圆上，还是边与圆相切，不要只凭“内”“外”两个字判断。 💡 拓展延伸 各边相等的圆内接多边形是正多边形：各边对应的分段弧相等，便回到等分圆周的情形。注意这里增加了“圆内接”的条件，不能套到任意等边多边形；各角相等的圆内接多边形则不一定是正多边形，例如非正方形的长方形。 📌 归纳总结 正多边形要同时满足等边、等角。它的内切圆与外接圆同心；等分圆周后，顺次连点得内接正多边形，过分点作切线得外切正多边形。判断两种关系时认准顶点和边。 🔷知识点二　正多边形的有关概念与基本图形 1.相关概念：正多边形的中心是它的外接圆的圆心；外接圆的半径叫作正多边形的半径，通常记为；每一边所对的圆心角叫作中心角；中心到一边的距离叫作边心距，通常记为。 图2　OA=OB=R，OM=r，OM⊥AB，AM=MB=a/2 2.基本图形：如图2，、为正多边形相邻顶点，边长。连接、，过作。由垂径定理可得，；又，所以还平分。这样便可得到以半径为斜边、边心距和半边长为直角边的直角三角形，满足。 由于各边所对的中心角相等，这些等腰三角形全等，所以中心到各边的垂距相等。因此边心距也是正多边形内切圆的半径。从中心向任意一边作垂线，都能得到同样的基本直角三角形。 ⚠️特别提醒 ①正多边形的半径指外接圆半径，边心距是内切圆半径，两者不能混用；注意； ②勾股定理中的有一条直角边是半边长，不是整条边长。求得后，要检查题目求的是还是。 📌 归纳总结 计算正多边形时常连半径、作边心距、取半边长，转化为直角三角形。记清、、，再使用勾股定理或特殊角的边角关系。 🔷知识点三　正多边形的角度与对称性 1.角度关系：正边形的个中心角把周角平均分成份；个外角的和为，因此： 角的名称 一个角的度数 使用时注意 中心角 顶点在中心，连接相邻顶点 外角 与相邻内角互补 内角 也等于 正多边形的中心角与外角相等，内角与外角互补。如图2的基本直角三角形中，，是中心角的一半。例如正六边形的中心角为，内角为，而。 已知一个中心角或外角为，可由求边数；已知一个内角为，应先求外角，再求。求出的边数还应为大于或等于的整数。 2.轴对称性：正边形有条对称轴，每条都经过中心。为奇数时，每条轴通过一个顶点和它所对边的中点；为偶数时，有条通过一对相对顶点，另有条通过一对相对边的中点。 图3　正五边形有5条对称轴；正六边形有6条对称轴 3.中心对称性：偶数边的正多边形是中心对称图形，奇数边的正多边形不是。例如正方形、正六边形的对称中心都是正多边形的中心；正三角形、正五边形没有对称中心。 💡 拓展延伸 正边形绕中心旋转就能与自身重合，这也是它的最小正旋转角。要旋转后重合，需要是的整数倍，即为偶数；这也说明为什么中心对称性取决于边数的奇偶。 📌 归纳总结 三个角记住中心角=外角=，内角=；基本直角三角形用半个中心角。对称轴有条，中心对称须看边数是否为偶数。 🔷知识点四　正多边形的周长与面积 1.周长与面积：设正边形的边长为，边心距为，周长为，面积为，则。连接中心与各顶点，把正多边形分成个全等的等腰三角形，每个三角形的底为、高为，所以：。这个公式也与上一节中学过的“面积等于半周长乘内切圆半径”一致，但其中的高是边心距，不是半径。 2.计算方法：已知半径时，先连接相邻顶点与中心，再根据中心角选合适的高。多数情形可作边心距，转化为图2的基本直角三角形；中心角为时，也可从一个顶点向另一条半径作垂线，直接求分割三角形的面积。 图4　正八边形中∠AOB=45°，作AP⊥OB，垂足为P 如图4的正八边形半径为m，、。过作，则为等腰直角三角形，。因此（m²）。这里是以为底时的高，它不等于正八边形的边心距。 ⚠️特别提醒 ①使用时，先认清周长与边心距；使用分割法时，先认清每个小三角形的底与对应的高，不能把两套底、高交叉代入； ②圆的面积是外接圆的面积，不是正多边形面积。正多边形在外接圆内部，不能直接用圆面积代替。 📌 归纳总结 周长用，面积常用，也可连接中心分成个全等三角形求和。面积计算的关键是底与高对应，半径不能随意充当高。 🔷知识点五　正多边形的画法 1.等分圆周的方法：已知圆的半径，画圆并确定圆心，用量角器依次作相等的圆心角，确定圆周上的个等分点，再顺次连接各分点，即可画出正边形。量角器等分圆周的方法可用于任意边数。 2.常见的尺规作图： ①正六边形：在半径为的圆上，从一点开始，用圆规以为半径依次截取相等的弦，把圆周六等分，再顺次连点；六个分点每隔一个取一点连接，可得正三角形； ②正方形：作两条互相垂直的直径，把圆周四等分，顺次连接四个端点。 图5 把已得的每段弧再平分，可继续增加分点：六等分的弧各平分一次，得到正十二边形；四等分的弧各平分一次，得到正八边形，再平分可得正十六边形。尺规平分弧时，可作相应弦的垂直平分线，取它与该段弧的交点。 ⚠️特别提醒 ①量角器法与尺规法要分清。不能把“按连续截弦”用于所有正多边形，这种取法的相邻中心角为，得到的是正六边形； ②“顺次连接”按圆周上的先后次序进行。五等分点顺次连成正五边形，连接其对角线可以画出五角星，但五角星不能代替正五边形的边界。 📌 归纳总结 画正多边形的核心是等分圆周后按顺序连点。量角器法用；尺规作正六边形用半径截弦，作正方形用互相垂直的直径，继续平分弧可得到更多分点。 易错点 1 只凭各边相等就判定为正多边形 · 错例：一个菱形的四边相等，就说它一定是正四边； · 错因：只检查了边长，漏掉各角也要相等的条件； · 规避方法：分别检查等边、等角。本例还须四个角都是，才是正方形；也可画一个有角的菱形作反例。 易错点 2 认为各角相等的圆内接多边形一定是正多边形 · 错例：一个长方形的四个顶点在同一圆上、四个角相等，就说它一定是正方形； · 错因：把“各边相等的圆内接多边形”的结论换成了“各角相等”； · 规避方法：取边长为和的长方形，它有外接圆且各角都为，但四边不等，不能判为正多边形。 易错点 3 混淆半径与边心距 · 错例：图2中把中心到边的垂线段叫作正多边形的半径，写； · 错因：没有区分圆经过顶点和圆与边相切这两种关系； · 规避方法：先标、，半径连顶点，边心距垂直边；内切圆半径才是。 易错点 4 把内角当成中心角求边数 · 错例：正多边形的一个内角为，写； · 错因：误把一个内角代入外角或中心角的公式； · 规避方法：先求外角，再得，应为正六边形。 易错点 5 在基本直角三角形中使用整个中心角 · 错例：正六边形中，、为相邻顶点，过中心作，却写； · 错因：忽略既是边心距，又平分等腰三角形的顶角； · 规避方法：先写，再标。求半边长时使用的是半个中心角。 易错点 6 认为所有正多边形都是中心对称图形 · 错例：正五边形边和角都相等，就说它绕中心旋转也能重合； · 错因：把轴对称、旋转对称与中心对称混为一谈； · 规避方法：检查边数奇偶，或验算是不是最小正旋转角的整数倍。正五边形有条对称轴，但不是中心对称图形。 易错点 7 求出半边长后直接作为整边长 · 错例：半径、边心距，由勾股定理求得，就写边长； · 错因：勾股定理算出的是垂足到顶点的距离，忘记垂足平分这一边； · 规避方法：先写，再得。把所求线段标在图上后再答。 易错点 8 把半径当作面积公式中的高 · 错例：正六边形半径为，写； · 错因：把半径当成边心距，底与高不对应； · 规避方法：先求、，再写。若改用分割法，也要重新确认底与垂直于底的高。 易错点 9 同一圆的内接与外切多边形套用同一边长 · 错例：圆半径为，就把内接正方形和外切正方形的边长都写成； · 错因：没有确认给定圆是外接圆还是内切圆； · 规避方法：内接正方形用，边长为；外切正方形用，边长为。先标圆与顶点、边的关系。 易错点 10 画不同正多边形时都用半径连续截弦 · 错例：要画正五边形，却在圆上依次以圆半径截取五条弦后连接； · 错因：把正六边形边长等于半径的特殊性质当成一般作图规则； · 规避方法：先算中心角：正五边形应五等分圆周，量角器法用；以半径连续截弦得到的是六等分，不能少取一个点来代替五等分。 题型一：正多边形的中心角 📝方法技巧 ①正边形的中心角，一个内角。已知内角与中心角的数量关系时，可利用两者之和为列方程，先求中心角，再求边数。 ②判断正多边形绕自身中心旋转后能否与原图形重合，关键看旋转角是否为中心角的整数倍。正边形的最小正旋转角为，不能将内角误认为旋转角。 ③多个正多边形组合时，通常先连接有关顶点与圆心，标出各自的中心角，再利用角的和差求解。结合半径相等、正多边形的边相等以及平行条件，可构造等腰三角形、等边三角形、菱形或全等三角形。遇到弧的中点，应考虑连接圆心与弧中点，利用等弧、等角及垂径定理寻找关系。 ④在坐标系中求正多边形顶点或中心的坐标，先确定图形的实际位置，再利用对称性、边的垂直平分线及特殊直角三角形求出水平距离和竖直距离，最后结合象限确定坐标的符号。注意坐标原点未必是正多边形的中心，不能仅凭字母判断点的位置。 ⑤求正多边形面积，通常连接中心与各顶点，将图形分成若干个全等的等腰三角形。求其中一个三角形的面积时，可根据已知条件选择边或半径作底，再作相应的高。 1．（2026·辽宁盘锦·模拟预测）若正五边形绕着它的中心旋转一定的角度后与原来位置重合，则这个角度可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的旋转对称性，正n边形绕中心旋转后与自身重合，最小旋转角度为． 【详解】解：∴正五边形的最小旋转角为， ∴当旋转角度是的整数倍，即可与原位置重合， 选项中只有符合要求． 2．（2026·上海奉贤·二模）如果一个正多边形的内角等于中心角的3倍，那么这个正多边形是（  ） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 【答案】D 【分析】设正多边形的边数为，计算出正多边形内角和中心角，根据数量关系列出方程即可求解． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， ∵正边形的中心角总和为， ∴每个中心角为， ∵正边形的内角和为， ∴每个内角为， 根据题意得， 解得， ∴这个正多边形是正八边形． 3．（2026·河南商丘·二模）正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形中心角的计算． 利用正n边形中心角的计算方法，代入正方形边数即可求出结果． 【详解】解：∵正边形所有中心角的和为，每个中心角的度数为， 又∵正方形是边数的正多边形， ∴正方形中心角的度数为． 4．（2026·辽宁鞍山·二模）下列图形旋转后可以与原图形重合的是（    ） A．正六边形 B．正五边形 C．正方形 D．正三角形 【答案】A 【分析】根据旋转对称图形的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、正六边形的中心角为：，绕它的中心旋转后可以和原图形重合，符合题意； B、正五边形的中心角为：，绕它的中心旋转后不能和原图形重合，不符合题意； C、正方形的中心角为：，绕它的中心旋转后不能和原图形重合，不符合题意； D、正三角形的中心角为：，绕它的中心旋转后不能和原图形重合，不符合题意； 5．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据正多边形的中心角公式，得出，进而判定是等边三角形即可求解． 【详解】解：正六边形内接于，的半径为3， ，， 是等边三角形， ． 6．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）青铜太阳轮为三星堆二号祭祀坑出土的商代青铜器，距今约3000年，如图所示，它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形与圆，解题的关键是记住中心角．求出正五边形的中心角即可． 【详解】解：正五边形的中心角． 故选：C． 7．（26-27九年级上·全国·期末）如图，正六边形的外接圆的直径为，过圆心的直线与圆周交于，两点，则图中的阴影部分的面积和为___________． 【答案】 【分析】连接，，作于点，由中心对称图形的性质可知，阴影部分的面积等于弓形的面积，证明是等边三角形可得出，由勾股定理可得，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，连接，，作于点，则， 与正六边形都是中心对称图形， 阴影部分的面积和弓形的面积． ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 故阴影部分的面积和为． 8．（26-27九年级上·山东德州·开学考试）如图，点是正五边形的中心，，连接，则的度数为__________． 【答案】36 【分析】根据正五边形的性质求出中心角的度数及，由两组对边分别平行判定四边形为平行四边形，结合邻边相等判定为菱形，利用菱形的对角线平分对角的性质，即可求解． 【详解】解：∵点是正五边形的中心， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，平分， ∴． 9．（25-26九年级上·云南·期末）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长是4，则它的内切圆圆心的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查圆与正多边形、正多边形的中心角、等边三角形的判定和性质、勾股定理等，作出内切圆是解题的关键． 先作出正六边形的内切圆，确定的位置，连接，再根据垂直平分线的性质推出，，，然后证明为等边三角形，根据等边三角形的性质结合勾股定理，求出，即可求解圆心的坐标． 【详解】解：如图，分别作的垂直平分线，的垂直平分线的交点设为点，的垂直平分线与交于点，连接，以点为圆心，为半径作圆，即为正六边形的内切圆， ∵正六边形的边长是4， ∴， ∵的垂直平分线与交于点， ∴，，， ∵正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵在中， 根据勾股定理，， ∴点的坐标为． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·河北承德·期末）一张圆形纸片，圆周被24等分，等分点分别为，，，…，．由于这个纸片不小心被撕掉了两部分，剩下部分如图所示，连接并延长，交于点，，且该夹角位于点的右侧，则______． 【答案】11 【分析】本题主要考查了正多边形的性质及四边形内角和，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．根据正多边形的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，，． ， ， 延长，交于点，， ， ． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，正方形与等边内接于，，则的度数为_____． 【答案】/75度 【分析】本题考查了圆与正多边形的综合问题，涉及中心角的求解，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识点，解题的关键是正确添加辅助线，求出中心角的度数． 连接，先求出中心角，，然后证明，再由等腰三角形的性质求解的度数，最后由角度和差计算求解． 【详解】解：连接， 由题意得，，，， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（26-27九年级上·山西太原·阶段检测）阅读与思考 尺规作图一把直尺，一副圆规，就能开启奇妙的几何之旅、五种基本尺规作图，是构建万千图形的“钥匙”．尺规作图不仅能完成严谨的几何证明与图形绘制，还能设计出对称精美的几何图案．中国古代建筑藻井图案就是极具代表性的经典图案，它是一个正方形里面嵌套了多个正八边形．如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作出正方形的内嵌正八边形吗？ 课堂上同学们经过讨论，画出了下面的两个内嵌于正方形的正八边形的草图．    初步分析：从整体特征与元素特征两个角度回顾正八边形的性质． （1）整体特征：具有轴对称性和中心对称性． （2）元素特征：各边相等，各角相等且都等于… 深入分析：以图正方形内嵌正八边形为例分析，如图，连接，，，，发现的结论如下：   （1）点，，，分别是正方形各边的中点； （2）是顶角为，底角为的等腰三角形； （3）中，；… 动手作图：利用作垂直平分线和角平分线的方法作图． （1）如图，作边，的垂直平分线，分别交，，，于点，，，； （2）分别作和的角平分线，交于点；利用对称性作出点，，； （3）顺次连接这八个点． ∴八边形为正方形的内嵌正八边形． 类比阅读材料中对图的研究过程，分析图中图形的整体特征和元素特征，完成下列问题：    (1)从角的角度观察图，连接、，则_________，_________． (2)请你从边的角度观察，与有怎样的数量关系，并说明理由． (3)请根据你发现的几何结论，利用尺规作图，在图的正方形中作出图中的内嵌正八边形（不写作图步骤，保留作图痕迹）． 【答案】(1)， (2)解：． 理由：∵，， ∴， ∴； (3)如图， 【分析】（1）由正方形的性质得，由正八边形的性质得，，再根据求解即可； （2）证明即可； （3）连接相交于点O，以点B为圆心，以的长为半径画弧，交于点E，交于点H，同理作出点F，G，I，J，K，L，然后连接即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴． ∵八边形为正方形的内嵌正八边形， ∴，， ∴， ∴， （2）略； （3）略． 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知和上的一点A，求作的内接正六边形．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图，正六边形ABCDEF即为所求． 【详解】解：连接并延长交于点，分别以点、为圆心，以长为半径画弧，交分别于点、、、，进而构造内接正六边形即可． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一个八角九层楼阁式砖塔，其塔基的形状是半径为的正八边形（如图）．求塔基的面积（结果保留小数点后一位）． 【答案】 【分析】利用正八边形的性质可得，塔基的面积为，，如图，连接，过点A作于点P，则，即，利用勾股定理列方程可求得，易得的面积，进而确定塔基的面积． 【详解】解：∵塔基的形状是半径为的正八边形， ∴，塔基的面积为，， 如图，连接，过点A作于点P，则， ∴， 设， ∵， ∴，解得：（已舍去负值）， ∴， ∴， ∴塔基的面积为． 15．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，六边形是的内接正六边形，四边形是正方形，连接，，． (1)求的度数； (2)取劣弧的中点，连接，在图中找出和等长的线段，并说明理由． 【答案】(1) (2) 与是等长的线段， 理由：连接，， ∵是的中点， ∴垂直平分， 在正六边形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴ 【分析】（1）先求出，再证明是等边三角形，由等边三角形和正方形的性质得出是等腰三角形．，再由三角形内角和定理即可求出答案． （2）连接，，由垂径定理得出垂直平分，再证明，由平行线的性质得出，再证明，由全等三角形的性质即可得出． 【详解】（1）解：∵为正六边形的中心角， ∴． ∵， ∴是等边三角形，又四边形是正方形， ∴， ∴是等腰三角形． ∵，， ∴ ∴． （2）略 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆的综合，等边三角形的判定和性质，垂径定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 题型二：已知中心角求边数 📝方法技巧 ①求正多边形的边数，先求相邻两个顶点所对应的中心角，再利用计算。所得边数应为不小于的整数；若不符合，应检查角的对应关系及计算过程。 ②题目没有直接给出中心角时，可连接一条边两端的半径，构造等腰三角形。若边长等于半径，则该三角形为等边三角形，可直接确定中心角；其他情况可结合底角、内角等条件求解。 ③利用圆周角求边数时，先看清圆周角所对的弧。若所对的是一条边对应的劣弧，则中心角为该圆周角的倍；若所对的弧由段相邻顶点间的小弧组成，则先求这段弧对应的圆心角，再除以，得到一个基本中心角。不能把跨越多条边的圆心角直接代入边数公式。 ④同一个圆中出现不同的正多边形时，可分别求出有关弦对应的圆心角，再根据各点在圆上的先后位置，用角的和差求出目标中心角。遇到弧的中点，可将相应圆心角平分；注意弧的中点与弦的中点不是同一个点。 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）若正边形的中心角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查正多边形中心角的计算公式．正边形的中心角有个，每个中心角度数为． 【详解】解：已知正边形的中心角为，代入公式得． 2．（2026·河南周口·一模）若正边形的半径等于它的边长，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接、，证明是等边三角形，得，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵正边形的半径等于它的边长， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即该正边形的中心角为， 又∵正边形所有中心角的和为， ∴． 3．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如果一个正多边形的中心角是45°，那么这个正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的中心角性质，核心知识点为：正多边形的所有中心角之和为，且每个中心角的度数相等，因此正多边形的边数可通过“边数单个中心角度数”计算得出． 【详解】解：∵正多边形的中心角总和为，且每个中心角度数相等， ∴该正多边形的边数为； 故选：C． 4．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，内接于，．若弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 【答案】A 【分析】本题主要考查了正多边形的中心角，圆周角定理，先根据圆周角定理求出，再用除以中心角可得边长． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， 则， ∴这个正多边形是正十边形． 故选：A． 5．（25-26九年级上·四川广安·期末）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算，正多边形的所有中心角之和为，且每个中心角相等，因此边数n可由公式“中心角”计算得出． 【详解】解：∵正多边形的中心角和为，中心角为， ∴， ∴这个正多边形的边数为5． 故选：D． 6．（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为______________． 【答案】十二 【详解】解：设正多边形的外接圆为，连接，． ， ， 而， ∴这个正多边形为正十二边形． 7．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，弦，分别是的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接，也是的内接正n边形的一条边，则n的值是________． 【答案】12 【分析】连接、、，如图，利用正多边形与圆，分别计算的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到，，则，然后计算即可得到n的值． 【详解】解：连接、、，如图， ∵，分别为的内接正三角形和内接正方形的一条边， ∴，， ∴， ∵也是的内接正n边形的一条边， ∴． 8．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，正边形的两条对角线、的延长线交于点，若． （1）连接，则与的位置关系是_____； （2）的值是_____． 【答案】 平行 12 【分析】本题主要考查了正边形的知识，熟练掌握正边形的性质是解题的关键． （1）连接，假设正边形的外接圆为，根据正多边形的性质可得，根据圆周角定理得出，即可解答；（2）连接，根据，得，则正边形中心角为，即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，连接， 假设正边形的外接圆为， 根据正多边形的性质可得， ∴， ， 故答案为：平行； （2）如图，连接， ∵， ， ∴， ∴正边形中心角为， ， 故答案为：12． 9．（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，正六边形内接于为上一点，连接． (1)求的度数； (2)当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正六边形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． （1）连接，先根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，进行求解即可； （2）连接，，，求出圆心角的度数，再根据度数关系求边数即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， 正六边形内接于， ． ； （2）解：如图2，连接，，， 正六边形内接于， ． 点为的中点， ， ． 题型三：正多边形与圆的综合 📝方法技巧 ①解决正多边形的长度问题，常用辅助线是“连接半径、作边心距”。设边长为，外接圆半径为，边心距为，则半径、边心距和半边长组成直角三角形，有。结合半个中心角及特殊直角三角形，可实现这三个量之间的转化。 ②已知圆的周长，先利用求半径，再转化为正多边形的边长。已知对角线时，应先判断连接的是哪两个顶点；正六边形中，连接相对顶点的长对角线等于直径，也等于边长的倍，不能将这一结论用于所有对角线。 ③求角时，先判断所求角是中心角、圆周角还是正多边形的内角，再选择相应关系。圆内接四边形可利用对角互补；利用圆周角定理时，应确认所对的弧，不能只看角的两端字母就认定两个角相等。 ④圆与正多边形的边相切时，先连接圆心与切点，得到垂直关系。若圆与某个内角的两边相切，可将顶点、两个切点和圆心连成四边形，利用两个直角及四边形内角和求角。只给出圆与两条边相切，不能直接认定该圆是整个正多边形的内切圆。 ⑤求阴影面积，先认清每段圆弧的圆心、半径及对应角，再确定用扇形相加，还是用扇形减去三角形。特别注意，以正多边形顶点为圆心画出的扇形，其圆心角可能是多边形的内角，不能套用正多边形的中心角。 1．（24-25九年级上·云南德宏·期末）公园里有一个亭子，它的地基是边长为米的正六边形，则这个正六边形的边心距是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】连接、，作于点，容易判断是等边三角形，利用等边三角形的性质与勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图，连接、，作于点， ∵六边形是边长为米的正六边形， ∴，米， 又∵， ∴是等边三角形， ∴米， ∵， ∴米， 在中，（米）， ∴这个正六边形的边心距是米． 2．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）正方形内接于，若半径为2，则正方形边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】连接，，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵半径为2， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 正方形的边长是． 3．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）正方形内接于，若的半径为，则该正方形边心距的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先连接圆心与正方形相邻顶点，得到等腰直角三角形，利用圆半径和勾股定理求出正方形边长；再借助三角形面积的两种表达形式，通过等面积法，求出边心距． 【详解】解：如图，连接、，过点作于点，则为边心距， ∵正方形内接于，的半径为， ∴，， 在中， ， ∵， ∴ 解得． 4．（2026·浙江·中考真题）我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接圆心和正六边形的顶点，将阴影部分转化为扇形面积减去等边三角形面积进行计算． 【详解】解：设圆的圆心为，正六边形的一条边为，连接， 多边形为正六边形， 圆心角 正六边形的边长为， 圆的半径 为等边三角形 过点作于点，则 在中， 阴影部分的面积． 5．（2026·四川成都·二模）如图，正五边形内接于，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正五边形的性质求出圆心角的度数，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，如下图： ∵五边形是正五边形， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 故选：D． 6．（2026·云南红河·一模）五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子中的微粒像足球一样团结在一起．一个烯分子由12个正五边形、20个正六边形组成（如图①所示）．如图②，在正六边形中，连接，若，则正六边形的边长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了正六边形的性质；解题的关键是掌握正六边形对顶点连线（长对角线）的长度等于边长的2倍．由正六边形的对称性知对顶点连线经过中心，长度为2倍边长，由直接求得边长为9． 【详解】解：设正六边形的边长为， 正六边形的六个顶点均匀分布在圆周上，中心角为， 正六边形的对顶点连线（长对角线）经过中心，长度为边长的2倍， 为正六边形的一组对顶点， ， ， ， ． 7．（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）如图，已知正六边形的边长为1，分别以C，F为圆心，以边长为半径画弧（两条弧均经过正六边形的顶点），则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】/ 【分析】求出阴影部分扇形的圆心角，再求出扇形面积即可解答； 【详解】解：∵正六边形的边长为1， ∴，, ∴． 8．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，是正五边形的外接圆，P为上的一点，则的度数为_______． 【答案】/度 【分析】先计算正五边形的内角的度数，再根据圆内接四边形对角互补求出的度数． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． 9．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，正方形是的内接正方形，若，则正方形的边心距的长为________． 【答案】 【分析】利用圆内接四边形的性质求出，然后分别在、中，根据勾股定理求出、即可． 【详解】解：∵正方形是半径为R的⊙O内接四边形， ， ∵， ， ． 在中，，， ， ， 在中，， ， ， 即正方形的边心距为． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，半径为1的与正五边形的边，分别相切于点，，则的度数为_______． 【答案】/度 【分析】根据正五边形性质及多边形内角和公式求出，再根据圆的切线性质得，最后再根据四边形内角和为即可求出的度数． 【详解】解：如图， ∵五边形是正五边形， ∴， ∵与正五边形的边，分别相切于点，， ∴， ∴， ∴的度数为． 11．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，正六边形内接于，已知的周长等于． (1)求的度数； (2)求正六边形的周长和面积． 【答案】(1) (2)正六边形的周长为18cm，面积为 【分析】（1）连接，根据中心角定义求出的度数，然后根据圆周角定理求解即可； （2）过点作于点，证明是等边三角形，结合的周长可求出的长度，然后根据正六边形的性质、三角形的面积公式计算. 【详解】（1）解：如图，连接． ∵正六边形内接于， ， ； （2）解：如图，过点作于点， ． 的周长等于， 的半径为． ，， 是等边三角形，， ， ， ， ， ， 正六边形的周长为，面积为． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）完成下表中有关正多边形的计算： 正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积 3 4 6 【答案】表格如下： 正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积 3 4 6 【详解】解：如图1，正三角形，设为中点，连接， ∵内角，，， ∴中心角，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得半径（负值舍去），边心距， 周长为，面积为； 如图2，正方形，设为中点，连接， ∵半径， ∴内角，中心角为，边长，边心距，周长为，面积为； 如图3，正六边形，设为中点，连接， ∵边心距， ∴内角，中心角， 同图1可知半径，边长，周长为，面积为． 表格略． 13．（26-27九年级下·全国·期末）如图，是正六边形的外接圆，，M是的中点，连结，，． (1)求正六边形的周长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连结，，可得是等边三角形，，即可求解． （2）连结，根据M是的中点，利用等边三角形三线合一，求出的长度，再根据，得出，进一步得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连结，． ∵六边形是正六边形， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴正六边形的周长为； （2）解：如图，连结， ∵M是的中点，， ∴，， ∴．                     ∵， ∴． ∴， ∴． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $