26.1 二次函数的概念（知识清单，知识点&5易错&3题型）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学知识清单聚焦二次函数概念，系统梳理定义、含参条件及实际问题中的函数解析式。从二次函数定义（强调二次项系数不为0、整式等核心要素）出发，明确含参函数需满足的条件，进而掌握实际问题中“审设列”的解析式构建方法，形成从基础概念到应用的学习支架。 知识链路以定义辨析为起点，通过易错点剖析（如忽略系数不为0、未化简判断等）培养推理意识，结合实际问题题型（如利润、面积模型）强化模型意识。知识点逻辑清晰，习题覆盖识别、求参、列关系式等类型，助力学生构建完整的二次函数概念认知框架。

第二十六章 二次函数 26.1 二次函数的概念 🔷知识点一　二次函数的定义 定义：一般的，形如（，）的函数，叫作二次函数。其中，是自变量，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 ⚠️特别提醒 作为二次函数，其二次项系数务必不能等于“0”，这是二次函数的灵魂。反之，若，则不论等于几，函数会降为一次函数或常数函数。 📌 归纳总结 形如（，）的函数，叫作二次函数。 🔷知识点二　含参二次函数 当要求函数是一个二次函数时，需要同时满足以下条件： ①； ② 无特殊要求，一般情况下可以置之不理。 💡 拓展延伸 （）是二次函数的标准形式，因此，有以下三点要求需要额外留意： · 必须是整式（分母中不能含有，根号内不能含有）； · 需合并同类项后再进行判断，例如，化简后为，很明显不是二次函数； · 和可以等于“0”，也可以不为“0”。若且，该函数仍是二次函数，例如：。 📌 归纳总结 若想使一个含参函数为二次函数，要求：①二次项系数；②最高次项为二次项。 🔷知识点三　实际问题中的函数解析式 为了表示实际问题中各个数量间的函数解析式，步骤大致与一元二次方程应用题类似，但只有三步，即审设列。 ①审题：圈画出题干中已知的数量（比较常见的有人数、物品单价、长度等），明确各个数量之间的关系，并列出语言关系表达式； ②假设：一般情况下，题干中会给定假设好的量，在表示其他数量的时候，可以借助已知的数量去表达； ③列式：将已经表示出来的量代入语言关系表达式中。 📌 归纳总结 表示实际问题中的函数解析式时，遵循“审设列”三个步骤即可。 易错点 1 忽略的大前提 · 错例：认为是二次函数； · 错因：思维定势，只关注“有没有平方项”，完全忘了系数的“身份前提”； · 规避方法：看到函数后，自问三个问题：①最高次项是哪一项？②它的系数是谁？③这个系数能不能等于“0”？ 易错点 2 不化简直接判断类型 · 错例：认为是二次函数； · 错因：被表面形式迷惑，缺乏“合并同类项”的自觉，看不到“平方项抵消”的陷阱； · 规避方法：规定判断前必须先进行化简并写成降幂排列，化简后项还在才是二次函数。 易错点 3 忽视分母/根号对“整式”的限制 · 错例：认为或是二次函数； · 错因：对“整式”概念模糊，只机械记忆“最高次是 2”，不关注代数式的结构特征； · 规避方法：强调二次函数必须是关于的整式，既不能在分母上，也不能在根号内。例如和都不是二次函数。 易错点 4 实际问题漏写取值范围 · 错例：矩形面积，直接写，不写； · 错因：代数思维与数学建模思维脱节，认为“函数就是式子”，忽略了变量的现实意义； · 规避方法：凡是实际问题列出的函数解析式，必须检查在实际问题中，是否存在限制范围。若存在，则一定在解析式后紧跟一个括号写自变量的范围。 易错点 5 混淆自变量和函数值 · 错例：认为是二次函数； · 错因：对“函数”定义中“谁是自变量、谁是因变量”的概念不清，受字母符号干扰； · 规避方法：明确“自变量的次数”才是判断标准。函数以为自变量，必须写成的形式，这是关于的二次函数；若写成，则是关于的二次函数 · 题型一：二次函数的识别 📝方法技巧 判断函数是否为二次函数的核心特征以及做法： ①二次项系数不为0； ②存在最高次项为二次项； ③必须是整式，即自变量不能存在于根号下或分母上； ④若解析式中含有括号，则必须拆括号、合并同类项后才能判断是否为二次函数。 1.（25-26八年级下·山东东营·期中）下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 2.（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，，是常数，）的整式函数，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A. 不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意； B. ，该函数是一次函数，不是二次函数，故不符合题意； C. 符合（，，）的形式，是二次函数，故符合题意； D. ，不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意， 综上，选C． 3.（2026·河南周口·一模）下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，为常数）的整式函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是分式，不是整式，不符合定义，该选项不符合题意； B、整理得，符合，符合二次函数定义，该选项符合题意； C、中x的最高次数为1，是一次函数，该选项不符合题意； D、中，一个x对应两个不同的y值，y不是x的函数，该选项不符合题意． 4.（24-25九年级上·安徽合肥·期末）下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义（形如，其中、、为常数，，且等式右边是关于的整式）逐一分析选项． 【详解】解：A、是分式函数，不是整式函数，不符合二次函数定义． B、最高次项次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义． C、符合（，，）的形式，是二次函数． D、是根式函数，不是整式函数，不符合二次函数定义． 故选：C． 5.（25-26九年级下·云南昆明·阶段检测）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般的，形如（，，是常数，且）的函数叫做二次函数． 【详解】解：①符合定义，是二次函数． ②符合定义，是二次函数． ③，符合定义，是二次函数． ④不符合定义，不是二次函数． ⑤不符合定义，不是二次函数． ⑥，因为为常数，所以，符合定义，是二次函数． ⑦，符合定义，是二次函数． 综上所述，符合条件的二次函数共个，故选C． 6.（25-26九年级上·湖南怀化·阶段检测）下列函数解析式中，一定为二次函数的是 (     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，准确理解二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如（、、为常数，且）的函数是二次函数，需满足整式形式且最高次项为二次． 【详解】解：选项A：，为一次函数，不是二次函数； 选项B：，当时不是二次函数，因此不一定为二次函数； 选项C：，是整式，，一定为二次函数； 选项D：，含有分式，不是整式，因此不是二次函数； 故选C． 7.（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义即可判断，熟记二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是二次函数，故选项不符合题意； B、不是二次函数，故选项不符合题意； C、，是二次函数，故选项符合题意； D、，不是二次函数，故选项不符合题意； 故选：C． 8.（26-27九年级·上海·暑假作业）下列函数中，哪些是二次函数？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（为常数）． 【答案】（2），（3）是二次函数 【详解】解：（1）是一次函数，不是二次函数； （2），符合的形式，是二次函数； （3），符合的形式，是二次函数； （4），化简后自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数； （5）中，是否为0未知，若，则函数退化为一次函数或常数函数，因此不一定是二次函数． 结论：（2），（3）是二次函数． 题型二：根据二次函数的定义求参数 📝方法技巧 对于函数，若要求其为二次函数，则： ①； ②。 · 若对应的是一个新的一元二次式（假设是关于的），则需要令该一元二次式等于，即解该一元二次方程，求；其次，还要令，将不符合题意的解舍去。 1.（21-22九年级上·新疆哈密·期中）已知函数是二次函数，则m等于（     ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且， ∴且， ∴． 2．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数二次项系数不为的要求，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为，是二次函数， ∴， 解得． 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 4．（21-22九年级上·浙江绍兴·期中）若关于的函数是二次函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于的函数是二次函数，二次函数要求二次项系数不为0， ∴， 解得． 5．（21-22九年级上·江苏连云港·期末）已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A． B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】二次函数要求的最高次数为2，且二次项系数不能为0，据此列出关于的条件即可求解． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴，且， 解得， 解得， ∴． 6．（25-26九年级上·云南昭通·期末）若是二次函数，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义，二次函数的一般形式为()，根据定义列出关于的方程与不等式，进而求解的值． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且． 由，得，解得或． 又∵，即， ∴． 故选：A． 7．（2026·上海虹口·一模）已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，x的指数必须为2，且系数不为零，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵（为常数）是二次函数， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 8．（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）若是关于的二次函数，则的值为（　　） A．0 B．0或3 C．3 D．0或 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的函数是二次函数，据此可得，解之可得答案． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， 解得，， 故选：D． 9．（25-26九年级上·吉林松原·期中）若是关于的二次函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的定义，二次项系数不能为零，因此令系数即可求解． 【详解】∵函数是关于的二次函数， ∴二次项系数， ∴． 故选：D． 10．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）若是关于的二次函数，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义：一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数，叫做二次函数其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，（a，b，c为常数，）也叫做二次函数的一般形式． 根据二次函数的定义，最高次项必须为二次且系数不为零求解即可． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴且． 解方程得或． 又∵， ∴． ∴． 故选 ：A． 题型三：列二次函数的关系式 📝方法技巧 ①审题：圈画出重要的数量，写出语言关系表达式； ②设未知数：若题干中已有设定好的自变量，可以直接带入语言关系表达式；若题干中没有给定自变量，需要灵活假设，将式子尽可能表示的简洁； ③列等式：将因变量单独保留在等号一侧，另一侧是关于的一元二次式。 · 若问题背景是实际问题，需要明确是否有限定的范围，例如墙长有长度范围，或者墙有限定的高度，座位有限等等，如果有明确的限定范围，则自变量的取值范围至少要在这个限定范围里面。 1.（25-26九年级上·广东珠海·期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式． 【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x， ∴8月份的销售量为个， ∴9月份的销售量． 故选：A． 2．（25-26九年级上·天津河西·期末）一个扇形的圆心角为，则这个扇形的面积S与扇形所在圆的半径R之间的函数关系满足（    ） A．正比例关系 B．反比例关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数，利用扇形面积公式得到，进而求解即可． 【详解】解：∵扇形的圆心角为， ∴ ∴S是R的二次函数，满足二次函数关系． 故选：D． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售件，则每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列函数关系式，利润由每件利润乘以销售数量得出，每件利润为售价减成本，销售数量由题干给出，由此可解． 【详解】解：∵ 每件利润为元，每天销售件， ∴ 每天利润 ． 故选：A． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）某商店销售一种商品，每件成本为元，售价为元，每天可销售件，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利润问题中的函数关系建立，解题的关键是明确利润的计算公式． 根据利润的计算公式，利润每件利润销售数量，每件利润为元，销售数量为件，代入公式即可得到与之间的函数关系式． 【详解】解：每件利润为元，销售数量为件， 每天的利润， 即函数关系式为， 故选：． 5．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出降价后每斤的盈利及销售量，再相乘即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每降价元多售出斤， ∴降价元多售出斤， ∴销售量为斤， ∴， 故选：． 6．（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键； 根据连续两次降价，每次降价的百分率为，则两次降价后的价格等于原价乘以的平方． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是， ∴第一次降价后价格为， 第二次降价后价格为， ∴， 故选：B． 7．（25-26九年级上·河北沧州·期中）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得米，进而根据矩形的面积公式解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意得，米， ∴， 故选：． 8．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意得，正方形的边长为，然后通过面积差即可求解，掌握二次函数的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，正方形的边长为， ∴， 故选：． 9．（25-26九年级上·云南文山·期中）用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙面的边长为x米，矩形的面积为y平方米，根据题意，可列式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由围栏的全长及垂直于墙面的边长，可得出平行于墙面的边长为米，再利用矩形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式，此题得解，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键． 【详解】解：围栏的全长为12米，且设垂直于墙面的边长为x米， 平行于墙面的边长为米． 根据题意得：， 故选：C． 10．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）某商品的进货单价为元个，当销售单价为元个时，每天能卖出个，若销售单价每上涨元个，则每天的销量就减少个．设该商品的销售单价为元个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查销售问题的数量关系，根据利润（售价进价）销量列函数关系式即可． 【详解】解：设该商品的销售单价为元个， 则每个某商品的利润为：元，销量为：， 则每天的利润， 故选：D． 11．（25-26九年级上·广西钦州·阶段检测）下列变量具有二次函数关系的是（   ） A．圆的周长与半径 B．用长的绳子围成一个长方形，其中一边长与它邻边之间的关系 C．正三角形的面积与边长 D．匀速行驶的汽车，路程与时间 【答案】C 【分析】本题考查了列二次函数关系式，正确列出各选项之间变量之间的关系即可； 【详解】解：A：，故圆的周长与半径具有一次函数关系，不符合题意； B：由题意得：，即；故一边长与它邻边具有一次函数关系，不符合题意； C：由图可知： ，， ∴； 故正三角形的面积与边长具有二次函数关系，符合题意； D：匀速行驶的汽车，路程与时间成正比例函数关系，不符合题意； 故选：C 12．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，若墙的最大可用长度为8米，设花圃的宽为x米，面积为S平方米． (1)写出S与x的函数关系式，并化为一般形式； (2)求自变量的取值范围； (3)当这个花圃的面积为20平方米时，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，求自变量取值范围，二次函数与一元二次方程， 对于（1），先表示花圃的长，再根据面积相等列出函数关系式； 对于（2），根据墙的长度可得，求出解集即可； 对于（3），将代入函数关系式，求出解即可. 【详解】（1）解：∵为x米、篱笆长为24米， ∴花圃长为米， ∴ ； （2）解：∵墙的可用长度为8米， ∴， 解得； （3）解：当时， ， 解得， ∵， ∴. 13．（25-26九年级上·北京·课前预习）设圆柱的高为，底面半径为，底面周长为，圆柱的体积为． (1)分别写出关于、关于、关于的函数关系式； (2)这三个函数中，哪些是二次函数？ 【答案】(1)、、 (2)关于的关系式是二次函数，关于的关系式是二次函数． 【分析】本题考查了二次函数的定义．解题的关键是熟悉圆的面积公式、周长公式以及圆柱的体积公式． （1）根据圆的周长公式和圆柱的体积公式来列函数关系式； （2）根据二次函数的定义进行解答． 【详解】（1）解： 圆柱的底面半径为，底面周长为， ； 又圆柱的高为，底面半径为，圆柱的体积为， ． 设圆柱的高为，底面周长为，圆柱的体积为， ． 综上所述，关于、关于、关于的函数关系式分别是：、、． （2）解：根据二次函数的定义知，关于的关系式是二次函数，关于的关系式是二次函数． 14．（25-26七年级上·北京·随堂练习）已知正方体的棱长为，它的表面积为，体积为 (1)分别写出与、与之间的函数表达式； (2)这两个函数中，哪一个是关于的二次函数？ 【答案】(1)， (2)是关于的二次函数 【分析】此题主要考查了正方体的表面积和体积公式以及二次函数的定义，正确记忆二次函数的定义是解题关键． （1）直接利用正方体的表面积和体积公式分别求出即可； （2）利用二次函数的定义得出答案． 【详解】（1）解：正方体的棱长为，它的表面积为，体积为 ，； （2）解：依题意，是关于的二次函数． 15．（24-25九年级上·广东惠州·阶段检测）明明的爸爸要利用家里的一面墙和铁丝网围成一个矩形菜园，围墙足够长，其余的部分用铁丝网围成，在墙所对的边留一道米宽的门，已知铁丝网总长是米．如图所示，设的长为米，矩形面积为平方米． (1)用含的代数式表示． (2)当菜园的面积是平方米时，求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数关系式，二次函数的应用； （1）根据题意先求得，进而根据矩形面积公式，即可求解； （2）当时，，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设的长为米，矩形面积为平方米， ∴，， （2）解：当时， 解得： 16．（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）如图，用长为的篱笆(虚线部分)，两面靠墙围成矩形的苗圃．设矩形的一边为，面积为． (1)求关于的函数关系式为 ； (2)写出自变量的取值范围（墙足够长）； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2)自变量x的取值范围为 (3)的值为 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意求出二次函数解析式，是解题的关键． （1）篱笆只有两边，且其和为，设一边为，则另一边为，根据公式表示面积求解即可； （2）根据实际意义，矩形边长应大于0，列不等式组求解即可； （3）把代入解析式计算即可． 【详解】（1）解：由已知，矩形的另一边长为， 则； 即； （2）解：根据实际意义，得， 解得：． ∴自变量的取值范围为； （3）解：当时，则， 解得：， 即当时，的值为9． 17．（25-26九年级下·全国·课后作业）已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)(或)． (2) 【分析】（1）一直角边的长为，则另一直角边长为即可求出面积； （2）一直角边的长为，则另一直角边长为，即可表示出面积． 【详解】（1）解：已知一直角边的长为， 则另一直角边长为， 所以这个直角三角形的面积 （2）解：由题意，得另一条直角边的长为， 则． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数 26.1 二次函数的概念 🔷知识点一　二次函数的定义 定义：一般的，形如（，）的函数，叫作二次函数。其中，是自变量，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 ⚠️特别提醒 作为二次函数，其二次项系数务必不能等于“0”，这是二次函数的灵魂。反之，若，则不论等于几，函数会降为一次函数或常数函数。 📌 归纳总结 形如（，）的函数，叫作二次函数。 🔷知识点二　含参二次函数 当要求函数是一个二次函数时，需要同时满足以下条件： ①； ② 无特殊要求，一般情况下可以置之不理。 💡 拓展延伸 （）是二次函数的标准形式，因此，有以下三点要求需要额外留意： · 必须是整式（分母中不能含有，根号内不能含有）； · 需合并同 类项后再进行判断，例如，化简后为，很明显不是二次函数； · 和可以等于“ 0”，也可以不为 “0”。若且，该函数仍是二次函数，例如：。 📌 归纳总结 若想使一个含参函数为二次函数，要求：①二次项系数；②最高次项为二次项。 🔷知识点三　实际问题中的函数解析式 为了表示实际问题中各个数量间的函数解析式，步骤大致与一元二次方程应用题类似，但只有三步，即审设 列。 ①审题：圈画出题干中已知的数量（比较常见的有人数、物品单价、长度等），明确各个数量之间的关系，并列出语言关系表达式； ②假设：一般情况下，题干中会给定假设好的量，在表示其他数量的时候，可以借助已知的数量去表达； ③列式：将已经表示出来的量代入语言关系表达式中。 📌 归纳总结 表示实际问题中的函数解析式时，遵循“审设列”三个步骤即可。 易错点 1 忽略的大前提 · 错例：认为是二次函数； · 错因：思维定势，只关注“有没有平方项”，完全忘了系数的“身份前提”； · 规避方法：看到函数后，自问三个问题：①最高次项是哪一项？②它的系数是谁？③这个系数能不能等于“0”？ 易错点 2 不化简直接判断类型 · 错例：认为是二次函数； · 错因：被表面形式迷惑，缺乏“合并同类项”的自觉，看不到“平方项抵消”的陷阱； · 规避方法：规定判断前必须先进行化简并写成降幂排列，化简后项还在才是二次函数。 易错点 3 忽视分母/根号对“整式”的限制 · 错例：认为或是二次函数； · 错因：对“整式”概念模糊，只机械记忆“最高次是 2”，不关注代数式的结构特征； · 规避方法：强调二次函数必须是关于的整式，既不能在分母上，也不能在根号内。例如和都不是二次函数。 易错点 4 实际问题漏写取值范围 · 错例：矩形面积，直接写，不写； · 错因：代数思维与数学建模思维脱节，认为“函数就是式子”，忽略了变量的现实意义； · 规避方法：凡是实际问题列出的函数解析式，必须检查在实际问题中，是否存在限制范围。若存在，则一定在解析式后紧跟一个括号写自变量的范围。 易错点 5 混淆自变量和函数值 · 错例：认为是二次函数； · 错因：对“函数”定义中“谁是自变量、谁是因变量”的概念不清，受字母符号干扰； · 规避方法：明确“自变量的次数”才是判断标准。函数以为自变量，必须写成的形式，这是关于的二次函数；若写成，则是关于的二次函数 · 题型一：二次函数的识别 📝方法技巧 判断函数是否为二次函数的核心特征以及做法： ①二次项系数不为0； ②存在最高次项为二次项； ③必须是整式，即自变量不能存在于根号下或分母上； ④若解析式中含有括号，则必须拆括号、合并同类项后才能判断是否为二次函数。 1.（25-26八年级下·山东东营·期中）下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2.（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3.（2026·河南周口·一模）下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 4.（24-25九年级上·安徽合肥·期末）下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 5.（25-26九年级下·云南昆明·阶段检测）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6.（25-26九年级上·湖南怀化·阶段检测）下列函数解析式中，一定为二次函数的是 (     ) A． B． C． D． 7.（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 8.（26-27九年级·上海·暑假作业）下列函数中，哪些是二次函数？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（为常数）． 题型二：根据二次函数的定义求参数 📝方法技巧 对于函数，若要求其为二次函数，则： ①； ②。 · 若对应的是一个新的一元二次式（假设是关于的），则需要令该一元二次式等于，即解该一元二次方程，求；其次，还要令，将不符合题意的解舍去。 1.（21-22九年级上·新疆哈密·期中）已知函数是二次函数，则m等于（     ） A． B．2 C． D． 2．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 4．（21-22九年级上·浙江绍兴·期中）若关于的函数是二次函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 5．（21-22九年级上·江苏连云港·期末）已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A． B．2 C． D．0 6．（25-26九年级上·云南昭通·期末）若是二次函数，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 7．（2026·上海虹口·一模）已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 8．（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）若是关于的二次函数，则的值为（　　） A．0 B．0或3 C．3 D．0或 9．（25-26九年级上·吉林松原·期中）若是关于的二次函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）若是关于的二次函数，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．0 题型三：列二次函数的关系式 📝方法技巧 ①审题：圈画出重要的数量，写出语言关系表达式； ②设未知数：若题干中已有设定好的自变量，可以直接带入语言关系表达式；若题干中没有给定自变量，需要灵活假设，将式子尽可能表示的简洁； ③列等式：将因变量单独保留在等号一侧，另一侧是关于的一元二次式。 · 若问题背景是实际问题，需要明确是否有限定的范围，例如墙长有长度范围，或者墙有限定的高度，座位有限等等，如果有明确的限定范围，则自变量的取值范围至少要在这个限定范围里面。 1.（25-26九年级上·广东珠海·期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·天津河西·期末）一个扇形的圆心角为，则这个扇形的面积S与扇形所在圆的半径R之间的函数关系满足（    ） A．正比例关系 B．反比例关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系 3．（2025八年级上·全国·专题练习）某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售件，则每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）某商店销售一种商品，每件成本为元，售价为元，每天可销售件，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·河北沧州·期中）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·云南文山·期中）用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙面的边长为x米，矩形的面积为y平方米，根据题意，可列式为（ ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）某商品的进货单价为元个，当销售单价为元个时，每天能卖出个，若销售单价每上涨元个，则每天的销量就减少个．设该商品的销售单价为元个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·广西钦州·阶段检测）下列变量具有二次函数关系的是（   ） A．圆的周长与半径 B．用长的绳子围成一个长方形，其中一边长与它邻边之间的关系 C．正三角形的面积与边长 D．匀速行驶的汽车，路程与时间 12．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，若墙的最大可用长度为8米，设花圃的宽为x米，面积为S平方米． (1)写出S与x的函数关系式，并化为一般形式； (2)求自变量的取值范围； (3)当这个花圃的面积为20平方米时，求x的值． 13．（25-26九年级上·北京·课前预习）设圆柱的高为，底面半径为，底面周长为，圆柱的体积为． (1)分别写出关于、关于、关于的函数关系式； (2)这三个函数中，哪些是二次函数？ 14．（25-26七年级上·北京·随堂练习）已知正方体的棱长为，它的表面积为，体积为 (1)分别写出与、与之间的函数表达式； (2)这两个函数中，哪一个是关于的二次函数？ 15．（24-25九年级上·广东惠州·阶段检测）明明的爸爸要利用家里的一面墙和铁丝网围成一个矩形菜园，围墙足够长，其余的部分用铁丝网围成，在墙所对的边留一道米宽的门，已知铁丝网总长是米．如图所示，设的长为米，矩形面积为平方米． (1)用含的代数式表示． (2)当菜园的面积是平方米时，求出的值． 16．（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）如图，用长为的篱笆(虚线部分)，两面靠墙围成矩形的苗圃．设矩形的一边为，面积为． (1)求关于的函数关系式为 ； (2)写出自变量的取值范围（墙足够长）； (3)当时，求的值． 17．（25-26九年级下·全国·课后作业）已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $