25.2.3 因式分解法—解一元二次方程（知识清单，知识点&5易错&3题型）数学新教材人教版九年级上册

第二十五章 一元二次方程 25.2.3 因式分解法—解一元二次方程 🔷知识点一　因式分解的方法 常见的因式分解的方法： （1）提取公因式法：； （2）公式法： 平方差公式：； 完全平方公式： （3）十字相乘法： 对形似于的二次三项式，若且，则。 对形似于的二次三项式，若，，且，则。 例如：对因式分解 ，即 💡 拓展延伸 对十字相乘法因式分解的认知，不能只停留在“凑数”上，还要充分意识到当多项式中的元素增加，或出现整体结构时，需要利用整体思想对因式分解进行降维打击。 (Ⅰ)二元二次齐次式的“降维”分解 核心思想：将其中一个字母（如）视为“已知常数系数”，另一个字母（如）作为主元进行十字相乘法的因式分解。 常见形式： 例： 将看作中的常数项，在原十字相乘法的因式分解中，我们认为是由两个常数相乘得到的，因此在该例中，我们也同样认为，是由某两个含有的单项式相乘得到的，进而将拆分为，交叉验证，最终分解为 (Ⅱ)含参字母（系数）的“动态”十字相乘 核心思想：待定系数中不仅包含数字，还包含另一个字母（如），要求根据“交叉项”的系数反推因式分解的配凑 例： 这里的常数项为，可以将其拆分为，交叉验证恰好等于一次项系数，最终分解为 (Ⅲ)利用十字相乘解决“高次方程”的降次 核心思想：十字相乘法的因式分解不限于二次，当遇到可以分解的三次或四次方程，可以先提取公因式或换元，再用十字相乘法因式分解 例1： 先提取公因式，得,再对括号内的二次三项式十字相乘法因式分解，可得，进而直接求出方程的三个根 例2： 将视为整体，即，再对该式十字相乘因式分解可得，将回代，得到，再利用平方差公式彻底分解即可 ⚠️特别提醒 ①建立分解“工具”的优先级意识。因式分解的手法有：提取公因式法、公式法（平方差公式、完全平方式）、十字相乘法。在解题时，必须建立清晰的优先级思维：先看有无公因式可提，再看能否用公式，最后才尝试十字相乘。对于系数较大或较复杂的式子，切勿一上来就盲目拆项； ②十字相乘法的“符号判定”技巧：这是很多学生的“心理门槛”。当时，分解出的两个常数同号（且都与同号）；当时，分解出的两个常数异号（绝对值较大的那个与同号）。这是“符号预判法则”，能大幅降低试错成本。 📌 归纳总结 对二次三项式因式分解时，注意用法的优先级：提取公因式法、公式法、十字相乘法。当出现高次多项式时，可以采用分组分解法。其中，公式法最快；十字相乘法需要观察系数。 🔷 知识点二　因式分解法解一元二次方程 基本步骤： ①整理一元二次方程，对其进行移项，使得方程等号右边为 0 ； ②对方程等号左侧进行 因式分解 ，将其分解为两个或多个整式的乘积的形式； ③分别令等号左侧的整式等于 0 ，得到两个或多个一元一次方程； ④解这些一元一次方程，一元一次方程的解合并起来就是一元二次方程的解。 ⚠️特别提醒 在方程中，因式分解大前提为方程等号右边必须为“0”，若方程等号右边不为“0”,绝不能先分解左边再强行令因式乘积等于“0”，所以第一步必须是“移项、合并、归零”；； 📌 归纳总结 因式分解法解方程： 1 将方程先整理为一般式； 2 等号左侧因式分解，右侧等于0； 3 分别令左侧的整式等于0； 4 求解。 🔷 知识点三　整体法或换元法解一元二次方程 定义：在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用一个简单的字母表示，达到简化方程的目的，再解方程的方法叫做整体法或换元法。 例如：解方程 解：令，原方程可化为 对该式因式分解，可得 解得 或3 或，解得， 💡 拓展延伸 整体换元下的“大十字”结构 核心思想：当出现重复的代数式（如、）时，将其视为一个整体，先对十字相乘因式分解，再回代分解内部的因式。 · 类型：直接整体替换 例：解方程 解：令，原方程可化为 对该式因式分解，可得 解得或 将代回至中，可得或 分别对上式进行移项和因式分解，可得或 解该方程，可得，，， · 类型：互为倒数式 例：解方程 解： 原式可化为 即 令，原方程可化为 对该式因式分解，可得 解得或 将代回至中，可得或 解得， 📌 归纳总结 整体换元法的目的是将复杂的、重复出现的代数式视为一个“新字母”（设为），从而把高次方程降为低次方程，把分式方程化为整式方程，把复杂因式分解化为基本公式法或十字相乘法。换元前后，代数式的“结构关系”并没有发生改变，只是将“运算层级”降低。因此，整体换元法遵循设元、换元、解元、回代的步骤，其中回代是最容易遗忘的一步，需要重点关注。 易错点 1 “约分式”的致命错误 · 错例：求解方程时，两边直接除以，求得，漏掉 · 错因：潜意识认为未知数“天然不为0”，或默认字母代表非零数，忽视了是方程的一个解 · 规避方法：明确一个认知：未知数在未确定前，身份未知，可以等于0.凡含未知数的项，一律移项至等号一侧，提取公因式，禁止直接约去 易错点 2 未归零直接因式分解 · 错例：求解方程，直接携程，然后陷入死胡同 · 错因：机械记忆因式分解，忘记了解方程的基本流程，受“代数式化简”的思维负迁移影响 · 规避方法：做题第一步用红笔在等号右边画圈，写上“必须为0” 易错点 3 因式分解不彻底 · 错例：求解方程，只分解成或，漏掉可继续分解的因子 · 错因：提取公因式不彻底，因式分解的最终形式概念模糊，未化为“最简整式乘积” · 规避方法：定义因式分解的终点是“括号内不再有公因式，且不能再套公式”。每经过一次因式分解，都要检查系数和字母，是否还有能继续提取的项，再检查是否符合特殊公式形式（好比平方差公式、完全平方式），直到不能再提取，不能再分解为止 易错点 4 十字相乘符号全反 · 错例：对十字相乘因式分解，误分解成 · 错因：忽略了常数项与一次项系数的同号/异号匹配关系，靠盲猜试错 · 规避方法：十字相乘因式分解前，先看。若为正，因式同号，看定正负；若负，因式异号，看定绝对值大的符号。并在草稿纸上写出两数之和与两数之积的验证小算式。 易错点 5 对的忽视 · 错例：对于方程，直接两边除以或默认它为一元二次方程 · 错因：含参方程中，忽略最高次项系数为0的可能性，导致解法不严谨。 · 规避方法：分类讨论前置：虽然初三以整数系数为主，但遇到字母系数，须明确：当时，方程退化为一次方程，必须单独讨论；当时，才可用因式分解法 题型一：因式分解法—解一元二次方程 📝方法技巧 因式分解法解方程的步骤： ①整理一元二次方程，对其进行移项，使得方程等号右边为0； ②对方程等号左侧进行因式分解，将其分解为两个或多个整式的乘积的形式； ③分别令等号左侧的整式等于0，得到两个或多个一元一次方程； ④解这些一元一次方程，一元一次方程的解合并起来就是一元二次方程的解。 1.方程的根是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将方程移项得， 提取公因式得， 或，解得. 2.关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B． C． D．， 【答案】B 【分析】将方程整理后，通过提取公因式因式分解，得到方程的根． 【详解】解：， 移项得：， 提取公因式得：， 化简得：， ∴ ． 3.已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则它的另一个根是（     ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】将已知根代入原方程求出参数k的值，再解一元二次方程即可得到另一个根． 【详解】解：是方程的根， 将代入原方程得 ，化简得， 解得， 原方程为，对方程左边因式分解得， 解得或， 因此方程的另一个根为． 4.已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（    ） A．8 B． C．9 D． 【答案】C 【详解】解：解， 得， 时，原式， 时，原式， ． 5.方程的解为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得，． 6.已知1，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的定义求解，先将已知根代入原方程求出参数，再解一元二次方程得到另一个根，最后计算的值即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入方程得， 解得， ∴原方程为， 因式分解得， 解得， ∵是方程的两个实数根， ∴， ∴． 7.解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 所以方程的解为，． （2）解：， ， ， ， ， ， 所以方程的解为，． 8.解方程：． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 9.解方程． (1) (2) (3)； (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴ ∴，； （3）解： 或 ∴，； （4）解： 或 ∴，． 10.解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 因式分解得，， ∴或， 解得：，． （2）解： 因式分解得，， ∴或， 解得：，． 题型二：整体换元法解一元二次方程 📝方法技巧 在高次方程中，出现重复的项的时候，我们可以令该重复项为新的字母“”，将原方程转化为含有的一元二次方程后，求。最后将求出的的值，赋予重复项，再次解方程，即可得到方程的根。 1.已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 【答案】C 【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】解：设， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 2.当时，的值为（　　） A． B．1 C．1或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，原式化成关于的一元二次方程，解方程即可求解， 解题关键是能准确的找出可用替换的代数式，再用字母代替解方程． 【详解】解：设，则原方程可化为：， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 3.已知方程的解是或，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程解的意义以及换元法． 通过变量替换，将新方程转化为已知方程的形式求解. 【详解】解：设，则方程化为， 的解为或， ∴或， 解得或， 故选：C． 4.已知一元二次方程的两根分别为、1，则方程的两根分别为（    ）． A．、1 B．、3 C．、 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，设在方程中，，根据题意可得关于t的一元二次方程的两根分别为、1，则或，据此求解即可． 【详解】解：设在方程中，， ∴方程可整理为，即变形为关于的方程， ∵关于x的一元二次方程的两根分别为、1， ∴关于t的一元二次方程的两根分别为、1， ∴或， 解得或， ∴方程的两根分别为、3， 故选：B． 5.一元二次方程可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了换元法． 通过变量代换将原方程化为完全平方形式，再比较选项即可． 【详解】解：设，则原方程化为， ∴， ∴， 故原方程可化为． 故选：C． 6.已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 通过变量代换，将新方程转化为已知方程的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设，则新方程化为， ∵方程的解为，， ∴或， 解得或， ∴新方程的解为，． 故选：B． 7.若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，通过一元二次方程，变形为，再根据题意可得一元二次方程有一个根为，然后求解即可，掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴， ∵关于的一元二次方程有一根为， ∴一元二次方程有一个根为，解得， 故选：． 8.解方程： 【答案】，． 【分析】令，得到关于的方程，利用配方法求得，，进而求出的值即可． 【详解】解：令，代入方程得， ， ， ， ， ， 解得：，， 当时，， 当时，， 原方程的解为，． 9.解方程： 【答案】或或或 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 通过换元法，设，将原方程转化为关于y的二次方程求解，然后代回解关于x的方程． 【详解】解：设， 则， 因式分解，， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 综上，原方程的解为或或或． 10.解方程：． 【答案】，． 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，用到的知识点是因式分解法解方程，关键是通过换元得到关于的一元二次方程． 设，根据，得出，求出的值，再代入，即可得出答案． 【详解】解：设， ， ， ，， 或， ，． 11.降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答． （2）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴可以将看成一个整体，设， 则，原方程可化为， ∴ 解得，． 当时，，解得 当时，，解得． （2）解：∵， ∴可以将看成一个整体，设， 原方程可化为， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得 当时，， ∴， ∴， 解得． 综上：． 12.阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为：，解得，，当时，，，当时，，．∴原方程有四个根是：，，，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． 已知实数，满足，试求的值． 【答案】5 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，代数式求值，熟练掌握换元法是解题的关键．设，则原方程可化为，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设，则原方程可化为， 因式分解，得， ∴或， 解得， ∵，， ∴， ∴． 13.阅读下列例题的解答过程： 解方程：． 解：设，则原方程化为：， ，， ， ． 当时，，； 当时，，． 原方程的解为：． 请仿照上面的例题解决问题：若，求代数式的值． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键．设，则原方程化为，求出，再求出即可． 【详解】解：， 设，则原方程化为：， 即， ∴， ∴， ∴， 当时，； 当时，， ∵两个数的平方和具有非负性， ∴，即代数式的值为3． 14.安阳某初中数学小组在学完一元二次方程章节的内容后，对一道试题展开了交流，请你仔细阅读，并完成任务． 试题：已知，求的值． 小明：对于这道试题，我想到了一种“换元法”：设， 则原方程可变形为． 即；解得，，或． 小亮：你的这种方法非常有趣，而且它也是数学学习中常用的一种思想方法． 任务： (1)已知x、y满足，求的值． (2)若a、b满足，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程和整式的混合运算，掌握换元法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． （1）设，则原方程可变为，解方程即可得到结论； （2）设，则原方程可变为，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：设， ， ， ， 因式分解得， 解得，（舍去）， ． （2），设， ， ， 因式分解得， 解得，， 或． 15.阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得， ∴．∵，∴． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数x，y满足，求的值． (2)设a，b满足等式，求的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知换元法解方程是解题的关键． （1）设，则原方程变形为，解方程求出t的值即可得到答案； （2）设，则，解方程求出m的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设，则原方程变形为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴． 题型三：利用因式分解法求含有参数的一元二次方程 📝方法技巧 和整体换元法解一元二次方程的差异不大，无非就是在求出方程的根之后，根据题干所描述的根的特征，列出对应的不等式组。因此该题型可视为题型二的拓展延伸。 1.设是实数，已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若方程的两根都大于，求的取值范围． 【答案】(1)证明：， 该方程总有两个实数根； (2) 【分析】（1）求出根的判别式即可证明结论成立； （2）先用因式分解法求出方程的根，再根据方程的两根都大于列不等式组求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：由得， 或， ，． 方程的两根都大于， ， 解得， 的取值范围是． 2.已知关于的一元二次方程中，． (1)解：∵，． ∴， ∴______，此时______． (2)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，请求出方程的根． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式以及二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数非负和判别式与根的关系是解题的关键．先根据二次根式的被开方数非负求出c、b的值，再结合判别式求出a，进而求解方程的根． 【详解】（1）解：根据二次根式的性质：被开方数必须是非负数，所以对于和，需要满足： ， ∴， ∴， 将代入得 ； （2）解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ 将，代入判别式，得 ， 解得， 此时方程为， 即， 解得． 3.关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程的两个根中只有一个根小于4，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式、公式法解一元二次方程以及解一元一次不等式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据方程的系数结合根的判别式可得出，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用因式分解法解一元二次方程可得出x的值，结合方程有一个根小于4，即可得出m的取值范围． 【详解】（1）证明：， ∵，即， ∴关于x的一元二次方程总有实数根； （2）解：∵， ∴， 解得：，， ∵方程的两个根中只有一个根小于4， ∴． 答：m的取值范围是． 4.已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若a是非负数，且该方程的一根是负整数，求a的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)a的值为0 【分析】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，牢记“当时，方程有两个实数根”及利用因式分解法解方程是解题的关键 （1）根据方程的系数，结合根的判别式，可求出，进而可证出该方程总有两个实数根； （2）利用因式分解法，可求出方程的两根，结合该方程其中一根是负整数且a是非负数，即可求出a的值． 【详解】（1）证明： ， 该方程总有两个实数根； （2）解：， ， 解得：，， ∵方程其中一根是负整数， ， ， 又是非负数， 且a为整数， ， 的值为0． 答：的值为0． 5.已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何值时，方程总有实数根； (2)设方程的两个根分别为，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，得出，即可求解； （2）首先求出方程的解为或，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴不论取何值时，方程总有实数根； （2）∵ ∴ 解得或 ∵ ∴或 解得或（舍去） ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键． 6.已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个不小于4的根，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程： （1）根据题意只需要证明即可； （2）利用因式分解法求出方程的两个根为，再根据方程有一个不小于4的根列出不等式求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得， ， ∴无论取何值，方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， 解得， ∵方程有一个不小于4的根， ∴， ∴． 7.已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若该方程其中一个根为正数，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）求出的值即可求证； （）求出方程的解，再根据解的情况列出关于的不等式，解不等式即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， 解得，， ∵该方程有一个根为正数， ∴， ∴． 8.关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为非负数，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，理解题意，掌握以上知识点是解题的关键． （1）先表示出一元二次方程根的判别式，根据判别式大于等于 0 证明即可； （2）先用因式分解法解一元二次方程，或，由题意可知，然后解不等式即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵， ， 或， ∵方程有一个根为非负数， ， ． 9.关于的代数式，若存在实数，使得，则称为这个代数式的等根值． (1)代数式的等根值为____________； (2)已知关于的代数式． ①求证：无论取何值，此代数式总有两个不相等的等根值； ②已知是此代数式的一个等根值，求的值和这个代数式的另一个等根值． 【答案】(1)0或1 (2) ①令整理得： 因为 即， 所以有两个不相等的根， 即代数式总有两个不相等的等根值 ②的值为，另一个等根值为2 【分析】（1）根据“等根值”的定义，将问题转化为对应的一元二次方程，解方程即可； （2）①由题得到关于的一元二次方程，计算根的判别式，如果判别式恒大于0，那么方程总有两个不相等的实数根，即代数式总有两个不相等的等根值； ②将已知的等根值代入对应的方程求解的值，再将代回方程，再解方程求出另一个根即可． 【详解】（1）由题可得， 整理得， ， 解得，； （2）①略； ②由题意得 解得： 将代入 得 即： 解得：， 所以，该代数式的另一个等根值为2． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程 25.2.3 因式分解法—解一元二次方程 🔷知识点一　因式分解的方法 常见的因式分解的方法： （1）提取公因式法：； （2）公式法： 平方差公式：； 完全平方公式： （3）十字相乘法： 对形似于的二次三项式，若且，则。 对形似于的二次三项式，若，，且，则。 例如：对因式分解 ，即 💡 拓展延伸 对十字相乘法因式分解的认知，不能只停留在“凑数”上，还要充分意识到当多项式中的元素增加，或出现整体结构时，需要利用整体思想对因式分解进行降维打击。 (Ⅰ)二元二次齐次式的“降维”分解 核心思想：将其中一个字母（如）视为“已知常数系数”，另一个字母（如）作为主元进行十字相乘法的因式分解。 常见形式： 例： 将看作中的常数项，在原十字相乘法的因式分解中，我们认为是由两个常数相乘得到的，因此在该例中，我们也同样认为，是由某两个含有的单项式相乘得到的，进而将拆分为，交叉验证，最终分解为 (Ⅱ)含参字母（系数）的“动态”十字相乘 核心思想：待定系数中不仅包含数字，还包含另一个字母（如），要求根据“交叉项”的系数反推因式分解的配凑 例： 这里的常数项为，可以将其拆分为，交叉验证恰好等于一次项系数，最终分解为 (Ⅲ)利用十字相乘解决“高次方程”的降次 核心思想：十字相乘法的因式分解不限于二次，当遇到可以分解的三次或四次方程，可以先提取公因式或换元，再用十字相乘法因式分解 例1： 先提取公因式，得,再对括号内的二次三项式十字相乘法因式分解，可得，进而直接求出方程的三个根 例2： 将视为整体，即，再对该式十字相乘因式分解可得，将回代，得到，再利用平方差公式彻底分解即可 ⚠️特别提醒 ①建立分解“工具”的优先级意识。因式分解的手法有：提取公因式法、公式法（平方差公式、完全平方式）、十字相乘法。在解题时，必须建立清晰的优先级思维：先看有无公因式可提，再看能否用公式，最后才尝试十字相乘。对于系数较大或较复杂的式子，切勿一上来就盲目拆项； ②十字相乘法的“符号判定”技巧：这是很多学生的“心理门槛”。当时，分解出的两个常数同号（且都与同号）；当时，分解出的两个常数异号（绝对值较大的那个与同号）。这是“符号预判法则”，能大幅降低试错成本。 📌 归纳总结 对二次三项式因式分解时，注意用法的优先级：提取公因式法、公式法、十字相乘法。当出现高次多项式时，可以采用分组分解法。其中，公式法最快；十字相乘法需要观察系数。 🔷 知识点二　因式分解法解一元二次方程 基本步骤： ①整理一元二次方程，对其进行移项，使得方程等号右边为 0 ； ②对方程等号左侧进行 因式分解 ，将其分解为两个或多个整式的乘积的形式； ③分别令等号左侧的整式等于 0 ，得到两个或多个一元一次方程； ④解这些一元一次方程，一元一次方程的解合并起来就是一元二次方程的解。 ⚠️特别提醒 在方程中，因式分解大前提为方程等号右边必须为“0”，若方程等号右边不为“0”,绝不能先分解左边再强行令因式乘积等于“0”，所以第一步必须是“移项、合并、归零”；； 📌 归纳总结 因式分解法解方程： 1 将方程先整理为一般式； 2 等号左侧因式分解，右侧等于0； 3 分别令左侧的整式等于0； 4 求解。 🔷 知识点三　整体法或换元法解一元二次方程 定义：在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用一个简单的字母表示，达到简化方程的目的，再解方程的方法叫做整体法或换元法。 例如：解方程 解：令，原方程可化为 对该式因式分解，可得 解得 或3 或，解得， 💡 拓展延伸 整体换元下的“大十字”结构 核心思想：当出现重复的代数式（如、）时，将其视为一个整体，先对十字相乘因式分解，再回代分解内部的因式。 · 类型：直接整体替换 例：解方程 解：令，原方程可化为 对该式因式分解，可得 解得或 将代回至中，可得或 分别对上式进行移项和因式分解，可得或 解该方程，可得，，， · 类型：互为倒数式 例：解方程 解： 原式可化为 即 令，原方程可化为 对该式因式分解，可得 解得或 将代回至中，可得或 解得， 📌 归纳总结 整体换元法的目的是将复杂的、重复出现的代数式视为一个“新字母”（设为），从而把高次方程降为低次方程，把分式方程化为整式方程，把复杂因式分解化为基本公式法或十字相乘法。换元前后，代数式的“结构关系”并没有发生改变，只是将“运算层级”降低。因此，整体换元法遵循设元、换元、解元、回代的步骤，其中回代是最容易遗忘的一步，需要重点关注。 易错点 1 “约分式”的致命错误 · 错例：求解方程时，两边直接除以，求得，漏掉 · 错因：潜意识认为未知数“天然不为0”，或默认字母代表非零数，忽视了是方程的一个解 · 规避方法：明确一个认知：未知数在未确定前，身份未知，可以等于0.凡含未知数的项，一律移项至等号一侧，提取公因式，禁止直接约去 易错点 2 未归零直接因式分解 · 错例：求解方程，直接携程，然后陷入死胡同 · 错因：机械记忆因式分解，忘记了解方程的基本流程，受“代数式化简”的思维负迁移影响 · 规避方法：做题第一步用红笔在等号右边画圈，写上“必须为0” 易错点 3 因式分解不彻底 · 错例：求解方程，只分解成或，漏掉可继续分解的因子 · 错因：提取公因式不彻底，因式分解的最终形式概念模糊，未化为“最简整式乘积” · 规避方法：定义因式分解的终点是“括号内不再有公因式，且不能再套公式”。每经过一次因式分解，都要检查系数和字母，是否还有能继续提取的项，再检查是否符合特殊公式形式（好比平方差公式、完全平方式），直到不能再提取，不能再分解为止 易错点 4 十字相乘符号全反 · 错例：对十字相乘因式分解，误分解成 · 错因：忽略了常数项与一次项系数的同号/异号匹配关系，靠盲猜试错 · 规避方法：十字相乘因式分解前，先看。若为正，因式同号，看定正负；若负，因式异号，看定绝对值大的符号。并在草稿纸上写出两数之和与两数之积的验证小算式。 易错点 5 对的忽视 · 错例：对于方程，直接两边除以或默认它为一元二次方程 · 错因：含参方程中，忽略最高次项系数为0的可能性，导致解法不严谨。 · 规避方法：分类讨论前置：虽然初三以整数系数为主，但遇到字母系数，须明确：当时，方程退化为一次方程，必须单独讨论；当时，才可用因式分解法 题型一：因式分解法—解一元二次方程 📝方法技巧 因式分解法解方程的步骤： ①整理一元二次方程，对其进行移项，使得方程等号右边为0； ②对方程等号左侧进行因式分解，将其分解为两个或多个整式的乘积的形式； ③分别令等号左侧的整式等于0，得到两个或多个一元一次方程； ④解这些一元一次方程，一元一次方程的解合并起来就是一元二次方程的解。 1.方程的根是（     ） A． B． C． D． 2.关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B． C． D．， 3.已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则它的另一个根是（     ） A． B．3 C． D． 4.已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（    ） A．8 B． C．9 D． 5.方程的解为（    ） A．， B．， C．， D．， 6.已知1，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 7.解方程： (1)． (2)． 8.解方程：． 9.解方程． (1) (2) (3)； (4) 10.解方程： (1)； (2)． 题型二：整体换元法解一元二次方程 📝方法技巧 在高次方程中，出现重复的项的时候，我们可以令该重复项为新的字母“”，将原方程转化为含有的一元二次方程后，求。最后将求出的的值，赋予重复项，再次解方程，即可得到方程的根。 1.已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 2.当时，的值为（　　） A． B．1 C．1或 D．0 3.已知方程的解是或，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 4.已知一元二次方程的两根分别为、1，则方程的两根分别为（    ）． A．、1 B．、3 C．、 D．无法确定 5.一元二次方程可化为（   ） A． B． C． D． 6.已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 7.若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 8.解方程： 9.解方程： 10.解方程：． 11.降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 12.阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为：，解得，，当时，，，当时，，．∴原方程有四个根是：，，，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． 已知实数，满足，试求的值． 13.阅读下列例题的解答过程： 解方程：． 解：设，则原方程化为：， ，， ， ． 当时，，； 当时，，． 原方程的解为：． 请仿照上面的例题解决问题：若，求代数式的值． 14.安阳某初中数学小组在学完一元二次方程章节的内容后，对一道试题展开了交流，请你仔细阅读，并完成任务． 试题：已知，求的值． 小明：对于这道试题，我想到了一种“换元法”：设， 则原方程可变形为． 即；解得，，或． 小亮：你的这种方法非常有趣，而且它也是数学学习中常用的一种思想方法． 任务： (1)已知x、y满足，求的值． (2)若a、b满足，求的值． 15.阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得， ∴．∵，∴． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数x，y满足，求的值． (2)设a，b满足等式，求的值． 题型三：利用因式分解法求含有参数的一元二次方程 📝方法技巧 和整体换元法解一元二次方程的差异不大，无非就是在求出方程的根之后，根据题干所描述的根的特征，列出对应的不等式组。因此该题型可视为题型二的拓展延伸。 1.设是实数，已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若方程的两根都大于，求的取值范围． 2.已知关于的一元二次方程中，． (1)解：∵，． ∴， ∴______，此时______． (2)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，请求出方程的根． 3.关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程的两个根中只有一个根小于4，求m的取值范围． 4.已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若a是非负数，且该方程的一根是负整数，求a的值． 5.已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何值时，方程总有实数根； (2)设方程的两个根分别为，若，求的值． 6.已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个不小于4的根，求实数的取值范围． 7.已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若该方程其中一个根为正数，求的取值范围． 8.关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为非负数，求m的取值范围． 9.关于的代数式，若存在实数，使得，则称为这个代数式的等根值． (1)代数式的等根值为____________； (2)已知关于的代数式． ①求证：无论取何值，此代数式总有两个不相等的等根值； ②已知是此代数式的一个等根值，求的值和这个代数式的另一个等根值． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $