培优专题01 直线、射线、线段12种热考题型（题型专练）（题型专练）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 聚焦直线、射线、线段12类热考题型，以“概念辨析-数量计算-实际应用-动态探究”为逻辑主线，提炼分类讨论、模型转化等解题方法，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义辨析|1典例+3变式|概念对比法，抓射线端点与方向|从直线、射线、线段定义出发，构建几何图形认知基础| |数量计算|1典例+3变式|分类计数法，区分直线/射线/线段特征|结合图形点数，推导计数公式，培养空间观念| |实际应用|1典例+3变式|模型转化法，将车票问题转化为线段计数|应用“两点之间线段最短”，体现数学与生活联系| |动态探究|1典例+3变式|参数表示法，用代数式刻画动点位置|从静态计算过渡到动态变化，发展推理意识|

培优专题01 直线、射线、线段12种热考题型 （题型突破·举一反三） 题型01 直线、射线、线段的定义 题型02 直线、射线、线段的数量 题型03 线段的应用 题型04 画直线、射线、线段 题型05 点与线的位置关系 题型06 利用数学知识解决生活中的常见现象 题型07 线段中点的相关计算 题型08 线段的和与差 题型09 线段n等分点的有关计算 题型10 线段之间的数量关系 题型11 与线段有关的动点问题 题型12 比较线段的长短 ▌题型01 直线、射线、线段的定义 射线、线段都是直线的一部分，线段向一方无限延伸就成为射线，向两方无限延伸就成为了直线，射线向反方向无限延伸就成为直线. 【典例1】（25-26七年级上·福建泉州·期中）下列说法不正确的个数有（　　） ①三条直线相交，有三个交点；②相等的角是对顶角；③射线与射线是同一条射线；④连接两点间的线段，叫做这两点的距离；⑤如果线段，则点是线段的中点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，点A，B，C在直线l上．下列说法正确的是（   ） A．点A在线段上 B．射线与射线是同一条射线 C．点C在线段的延长线上 D．图中共6条射线 【变式2】（25-26七年级上·山西大同·阶段检测）已知点A，B，C在同一条直线上，则下列说法正确的有（    ） ①若，则点A是线段的中点； ②A，C两点间线段的长度叫做A，C两点间的距离； ③若，则点C在点B的右侧； ④若，则射线与射线不是同一条射线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，点，，在直线上，下列说法正确的是（  ） A．点在线段上 B．射线与射线是同一条射线 C．点在线段的延长线上 D．直线与直线不是同一条直线 ▌题型02 直线、射线、线段的数量 【典例2】（25-26七年级上·重庆·阶段检测）如图，该图形中共有（   ）条不同的射线 A．16 B．14 C．15 D．12 【变式1】（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）若平面内有点A、B、C、D，过其中任意两点画直线，则关于可以画的直线条数，下列说法中错误的是（    ） A．可能画1条 B．可能画3条 C．可能画4条 D．可能画6条 【变式2】（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）过平面上五个点中的任意两点画一条直线，最多可以画（     ）条． A．11 B．10 C．9 D．8 【变式3】（25-26七年级上·天津滨海新区·期末）如图，图中直线有________条；以点为端点的射线有________条；线段有________条． ▌题型03 线段的应用 该问题可以转换为线段计数问题，由于线段没有方向，在实际应用中，从A地B地和从B地A地方向是不同的，那么在票务印制中，所制的票务也是不同的.即当一条直线上有n(n>1)个不同的点时，有条线段，需要印制 n(n-1)类车票. 【易错点】注意火车行驶是单向的还是往返的，单向印制种车票，双向印制n(n-1)种车票. 【典例3】（25-26七年级上·全国·周测）如图，往返于两地的火车，从地到地时，需要准备________种不同的车票，在往返的过程中，需要准备________种不同的车票，最多有________种不同的票价（距离相等时，票价相同）． 【变式1】（23-24七年级上·河北廊坊·期末）已知往返于汕头与广州东的D7150次列车，运行途中须停靠汕头、潮汕、普宁、深圳北、东莞南、东莞、广州东7个站点，那么该次列车共有______种不同的车票．一列火车往返于，两个城市，若共有个站点，则需要______种不同的车票． 【变式2】（24-25七年级上·福建福州·阶段检测）如图，在一条公路上有五个车站，依次为A，M，C，N，B． (1)车站要准备车票，一共要准备 种车票． (2)现在准备在其中一个车站处建加油站，使这五个车站各站到此加油站的总路程最短，加油站应建在 处． (3)如果公路的路程为80千米，M，N分别是的中点，求路段的长度． 【变式3】（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，线段上的点数与以这些点为端点的线段的总数有如下关系：    (1)当线段上有3个点时，以这些点为端点的线段总共有________条；当线段上有4个点时，以这些点为端点的线段总共有________条；当线段上有5个点时，以这些点为端点的线段总共有________条； (2)当线段上有个点时，以这些点为端点的线段总共有多少条？ (3)根据上述信息解决下面的问题： ①某学校七年级共有20个班级进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两个班赛一场），那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？ ②乘火车从站出发，沿途经过10个车站方可到达站，那么在，两站之间需要设置多少种不同的车票（仅考虑车票的起点站与终点站之分）？ ▌题型04 画直线、射线、线段 【典例4】（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，已知平面上三点A，B，C． (1)画直线； (2)画射线； (3)画线段． 【变式1】（26-27七年级上·全国·课后作业）读下列语句，并画出相应的图形： (1)点A在直线l上，点B在直线l外 (2)任意画一点P，过点P画直线． (3)任意画A、B两点，过A、B两点画直线． (4)任意画A、B、C三点，过A、C两点画直线l，此时点B是否一定在这条直线上？ 【变式2】（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）如图，平面上有A，B，C，D四个点，根据下列语句画图． (1)画射线相交于点F． (2)连接，并将其反向延长． (3)连接，并延长到点P，使得． (4)取一点Q，使点Q到A，B，C，D四点的距离之和最小． 【变式3】（25-26六年级下·山东威海·期末）如图，平面内有四个点，，，，根据下列语句用尺规画图（保留画图痕迹，不写画法）： (1)画直线、线段、射线； (2)在平面内确定一个点，使到，，，的距离之和最小，请在图中画出点的位置，并说明理由：_________________________； (3)在直线上取点，使，请画出点；若，则___________． ▌题型05 点与线的位置关系 【典例5】（25-26七年级上·河北衡水·期末）根据语句“直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点”，画出的图形正确的是（   ） A．B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，下列说法错误的是（    ） A．点在直线上 B．直线与相交于点 C．直线经过点 D．直线不经过点 【变式2】（25-26七年级上·浙江衢州·期末）如图，，三点在直线上依次排列，关于点位置的描述，正确的是（   ） A．点在线段上 B．点在线段的延长线上 C．点在直线上 D．点在射线上 【变式3】（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）M所在的位置如图，的位置是点 _____，的位置是点 _____． ▌题型06 利用数学知识解决生活中的常见现象 【典例6】（2022七年级上·江苏徐州·专题练习）生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（     ） A．均用两点之间线段最短来解释 B．均用经过两点有且只有一条直线来解释 C．现象用两点之间线段最短来解释，现象用经过两点有且只有一条直线来解释 D．现象用经过两点有且只有一条直线来解释，现象用两点之间线段最短来解释 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）在下列现象中，不能用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A．木匠弹墨线 B．打靶瞄准 C．弯曲公路改直 D．拉绳插秧 【变式2】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下列4个现象中，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的有（  ） ①两个钉子可以把木条固定在墙上 ②小狗看到远处的食物，总是径直奔向食物 ③弯曲的河道改直，可缩短航程 ④工人砌墙时，用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上 A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【变式3】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）湘超“火”爆岳阳，“看湘超，游岳阳”成为了当下最时尚的游玩选择．外地游客小智在观看完湘超比赛后，准备打卡岳阳楼景区和君山岛景区．导航上显示两地之间的直线距离为，但实际导航时却显示路长为，能解释这一现象的数学知识是_____． ▌题型07 线段中点的相关计算 线段的中点把这条线段分为相等的两条线段，也就确立了题目中相关线段的数量关系，在不同的前提条件下，学生需要仔细观察图形，充分利用线段的相等关系. 注意：题目如果没有图形，计算时，要讨论字母的顺序，可能有多种情况. 【典例7】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知线段，直线上有一点C．且，点M是线段的中点，则的长是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【变式1】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，两点把线段分成的三部分，分别是的中点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·山东聊城·期末）同一条直线上有三点，，且线段，点是的中点，厘米，则线段的长为______________厘米． 【变式3】（25-26七年级上·陕西安康·期末）如图，已知线段，延长至点C，．点D为线段的中点，则线段的长度用含a的代数式表示为（   ） A． B． C． D． ▌题型08 线段的和与差 【典例8】（25-26七年级上·山西太原·期末）如图，点是线段上两点（点在点左侧），点为的中点，已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，点C，D把线段三等分，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，，点C是的中点，点D在所在直线上，且，那么______． 【变式3】（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，已知线段，，点在线段上，且，点是的中点，在线段上另找一点，使满足条件，求的长． ▌题型09 线段n等分点的有关计算 线段的三等分点有两个，四等分点有三个，且这些点都在线段上. 【典例9】（2025八年级上·全国·专题练习）线段，点是的一个七等分点，则的长度不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24六年级下·山东济南·期末）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 【变式2】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）已知数轴上三点，，表示的数分别为，0，4，动点从点出发，沿数轴向右运动．在运动过程中，点始终为线段靠近点的三等分点，点始终为靠近点的三等分点，点在从点出发往右运动的过程中，则线段的长度为_________． 【变式3】（22-23七年级上·河南新乡·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣： 如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______． (2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，，分别是，的中点，则______． ②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长． ③若，分别是，的等分点，即，，则______． ▌题型10 线段之间的数量关系 【典例10】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）已知线段上有两个动点C、D． (1)已知在的左侧，． ①如图1，求的长； ②如图2，M、N分别为和的三等分点，且，求的长； (2)若M、N分别为和的三等分点，且，请直接写出线段、、之间的数量关系：___________． 【变式1】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）已知在数轴上有，两点，点表示的数为，点在点的左边，且，若有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动的时间为秒． (1)写出数轴上点，所表示的数（用含的代数式表示）． (2)若点，分别从，两点同时出发，则点运动多少秒时，与点相距个单位长度？ (3)若为的中点，为的中点，当点在线段上运动的过程中，探索线段与线段的数量关系是_________．（请直接写出答案） 【变式2】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】 问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 【变式3】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知点，，，，在同一直线上． (1)是线段的中点，是线段上的点，， ①如图（1），若，求线段的长； ②如图（2），是线段上的点，是线段的中点．若，求线段的长； (2)C是线段上一点，是线段的中点．若，直接写出与的数量关系． ▌题型11 与线段有关的动点问题 【典例11】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）数轴上的点、、、所表示的数如图所示，点为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点沿数轴以每秒个单位长度向左平移．当点和点重合时同时停止运动、若在运动过程中始终满足，则的值为_____． 【变式1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为_______． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从A、M出发以、的速度沿直线向右运动（C在线段上，D在线段上）． (1)当点C、D运动了，求的长度； (2)若点C、D运动时，总有，则 ； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且满足，与的数量关系为 ． 【变式3】（2025七年级上·江苏·专题练习）点C在线段上，． (1)如图1，P、Q两点同时从C、B出发，分别以、的速度沿直线向左运动． ①在P还未到达A点时，的值为 ； ②当Q在P右侧时（点Q与C不重合），取中点M，的中点N，求的值； (2)若D是直线上一点，且，则的值为 ． ▌题型12 比较线段的长短 (1)度量法：利用刻度尺，量出每条线段的长度，再根据度量的结果比较两条线段的长短，这是从“数”的方面来进行比较，线段的长短关系和它们的长度大小关系是一致的. (2)叠合法：先把两条线段放在同一条直线上，使其一个端重合，另一个端在重合端同侧，再看另一端的位置，从而比较两条线段的长短，这是从“形”的方面来进行比较. (3)圆规法：用圆规直接度量其长短. 【典例12】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，用圆规比较两条线段的大小，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．没有刻度尺，无法确定 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示，比较线段和线段的长度，结果正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式】2（2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知，请先按要求画图，再比较线段的长短． (1)延长到点D，使，比较和的长短，并说明理由． (2)在上截取，比较和的长短，并说明理由． 【变式3】（23-24七年级上·吉林·期末）如图，已知平面上四个点A、B、C、D，请按要求作图：    (1)画直线，射线，连接； (2)线段与射线相交于点O； (3)比较大小： ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 培优专题01直线、射线、 线段12种热考题型 《题型突破·举一反三) 题型01直线。射线、线段的定义 典例精析 【典例1】D 举一反目 【变式1】D 【变式2】B 【变式3】B 题型02直线、射线线段的数量 典例精析 【典例2】A E 举一反三 【变式1】B 【变式2】B 【变式3】 【答案】 2 题型03线段的应用 典例精析 【典例3】 【答案】 10 20 10 举一反三 【变式1】 【答案】 42 n(n-1) 1/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式2】 【答案】(1)20 (2)C (3)40千米 【变式3】 【答案】(13,6,10 2)线段总共有2n(n-)条 (3)①该校七年级的辩论赛共要进行190场：②需要设置132种车票 题型04画直线射线、线段 典例精析 【典例4】 【答案】(1)直线AC如图所示： (2)射线BA如图所示： (B)线段BC如图所示. B 三举一反 【变式1】 B· 【答案】(1)- A (2)P 0 (3)A B B· (4)- A 成才含亡一，点B不一定在这条直线，上. 【变式2】 2/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1如图，射线AD,BC相交于点F,点F即为所求： F D C A B (2)如图，连接AC,并将其反向延长，CA即为所求： F D A B (3)如图，连接AB,DC,并延长DC到点P,使得DP=AB,即CP=DP-DC=AB-DC: D (4)如图，连接ACBD,交点为点Q,点Q即为所求 【变式3】 【答案】(1)直线BC、线段AB、射线AD如图所示. D B (2如图，点E即为所求.理由为：两点之间，线段最短. 3/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B (3)点F如图所示，CF=2或CF=6, D F 题型05点与线的位置关系 E 典例精析 【典例5】D 举一反至 【变式1】A 【变式2】C 【变式3】 【答案】 ② ④ 题型06利用数学知识解决生活中的常见现象 三 典例精析 【典例6】D 举一反三 【变式1】C 【变式2】C 【变式3) 【答案】两点之间，线段最短 题型07线段中点的相送计算 4/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 典例精析 【典例7】D 举一反 【变式1】B 【变式2】 【答案】5或1 【变式3】 题型08线段的和与差 三典例精析 【典例8】D 三举一反目 【变式1】C 【变式2】 【答案】1或36 【变式3】 【答案】8cm或l6cm 题型09线段n等分点的有关计算 典例精析 【典例9】D 举一反三 【变式1】D 【变式2】 【答案】8 【变式3】 【答案】(13 1 2 n-1 2)①20：②30：③ n a 5/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】(1)由AB=6,AC=2,得BC=AB-AC=4,根据M,N分别是AC,BC的中点，即得 CM=2 AC=1,CN=2 BC=2,MN=CM+CN=3: (2)①由M,N分别是AC,BC的中点，知CM=2AC,，CN=2BC,即得MN=2AC+2BC=2 1 AB,故MN=2a: 1 1 2 2 222 ②由M=3AC,BN=3BC,知CM=3AC,CW=-3BC,即得MN=CM+CN=3AC+3BC=3 2 AB'故MN=3a 1 n-1 n-1 n-1 ③由AM=nAC'BN=nBC,知CM=nAC'CN=nBC,即得MN=CM+CW=nAC+ n- n-1 n-1 nBC=nAB'故MN=na 题型10线段之间的数量关系 E 典例精析 【典例10】 【答案】(1)①6②14 2MN-2B-CD或MN=2B+CD 3 3 3 举一反目 【变式1】 【答案】(1)点P表示的数是8-3t,点9表示的数是4+21 14 (2)点p运动，秒或5秒时，与点0相距)个单位长度 (3)2MN+P9=12或2MW-P9=12 【变式2】 【答案】（①.3(2）OCM+CW=)4B②CM-CN=)4B(3)当运动时间为1或7或？秒时，点C是 719 2 点P与点Q的衍生点 【变式3】 【答案】(1)①CD=5:②CE=9 6/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)AB=2BE或AB=6BE 题型11与线段有送的动点问题 典例精析 【典例11】 【答案】4 举一反 【变式1】 1 5 【答案】 10或4 【变式21 【答案】(1)CM+BD=9cm (2)6 BW=AB或N=B 【变式3】 【答案】(1)①)：②4： 84 48 2)3或g或3或15： 题型12比较线段的长短 典例精析 【典例12】C 举一反三 【变式1】B 【变式】2 【答案】(1) 如图所示，在BA的延长线上作AD=AC, 7/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 理由：根据“两点间所有连线中线段最短”可得 B BA+AC>BC 因为BD=BA+AD=BA+AC,且BA+AC>BC, 所以BD>BC: (2) 如图所示，在BC上作BE=AB, A 理由：根据“两点间所有连线中线段最短”可得 AB+AC>BC 因为BC=BE+EC,BE=AB,且AB+AC>BC, 所以AC>CE, 【变式3】 【答案】(1) 解：如图，直线AD,射线CD,线段BC即为所求： (2) 解：如图，点O即为所求： B D (3)< 8/8 培优专题01 直线、射线、线段12种热考题型 （题型突破·举一反三） 题型01 直线、射线、线段的定义 题型02 直线、射线、线段的数量 题型03 线段的应用 题型04 画直线、射线、线段 题型05 点与线的位置关系 题型06 利用数学知识解决生活中的常见现象 题型07 线段中点的相关计算 题型08 线段的和与差 题型09 线段n等分点的有关计算 题型10 线段之间的数量关系 题型11 与线段有关的动点问题 题型12 比较线段的长短 ▌题型01 直线、射线、线段的定义 射线、线段都是直线的一部分，线段向一方无限延伸就成为射线，向两方无限延伸就成为了直线，射线向反方向无限延伸就成为直线. 【典例1】（25-26七年级上·福建泉州·期中）下列说法不正确的个数有（　　） ①三条直线相交，有三个交点；②相等的角是对顶角；③射线与射线是同一条射线；④连接两点间的线段，叫做这两点的距离；⑤如果线段，则点是线段的中点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查直线相交交点个数、对顶角定义、射线定义、两点距离定义、线段中点定义，需根据相关知识逐一判断各说法正确性. 【详解】解：①三条直线相交可能有一个、两个或三个交点，不一定有三个交点，①不正确； ②相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形底角相等但不是对顶角，②不正确； ③射线以A为端点向B方向延伸，射线以B为端点向A方向延伸，端点不同，③不正确； ④连接两点间的线段是图形，而两点距离是线段的长度，④不正确； ⑤当点A、B、C不在同一直线上时，但B不是中点，⑤不正确； ∴所有说法均不正确，共5个， 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，点A，B，C在直线l上．下列说法正确的是（   ） A．点A在线段上 B．射线与射线是同一条射线 C．点C在线段的延长线上 D．图中共6条射线 【答案】D 【分析】本题考查了线段、射线的相关概念，需要根据这些概念对每个选项逐一进行分析判断即可． 【详解】解：A．点A在线段外，故A错误； B．射线与射线的端点不同，方向不同，不是同一条射线，故B错误； C．点C在线段的延长线上，故C错误； D．从点A、点B、点C出发，各自有两条不同方向的射线，共有（条），故D正确， 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·山西大同·阶段检测）已知点A，B，C在同一条直线上，则下列说法正确的有（    ） ①若，则点A是线段的中点； ②A，C两点间线段的长度叫做A，C两点间的距离； ③若，则点C在点B的右侧； ④若，则射线与射线不是同一条射线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查点、线段、射线和距离的概念，根据几何定义逐一判断各说法是否正确即可．通过讨论三点在直线上的不同位置关系，可判断①和③，根据距离的概念可判断②，根据射线的概念可判断④，从而得出答案． 【详解】解：点A，B，C在同一条直线上， ①当时，点和重合或者点是的中点，故①错误； ②A，C两点间线段的长度叫做A，C两点间的距离，故②正确； ③当点在直线上的排列顺序为C、B、A时，满足，但无法判断点C在点B的右侧，故③错误； ④若，则点和在点的两侧，射线和射线方向相反，所以不是同一条射线，故④正确． ∴正确的说法有②和④，共2个． 故选：B． 【变式3】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，点，，在直线上，下列说法正确的是（  ） A．点在线段上 B．射线与射线是同一条射线 C．点在线段的延长线上 D．直线与直线不是同一条直线 【答案】B 【分析】本题考查了点与线段的关系，直线、射线和线段的认识和表示方法． 根据点与线段的关系，直线、射线和线段的认识和表示方法逐项判断即可． 【详解】解：A、点在线段的延长线上，故本选项错误，不符合题意； B、射线与射线是同一条射线，故本选项正确，符合题意； C、点C在线段的延长线上，故本选项错误，不符合题意； D、直线与直线是同一条直线，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． ▌题型02 直线、射线、线段的数量 【典例2】（25-26七年级上·重庆·阶段检测）如图，该图形中共有（   ）条不同的射线 A．16 B．14 C．15 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了射线：直线上的一点和它一旁的部分叫做射线，熟练掌握射线的定义是解题关键．根据射线的定义解答即可得． 【详解】解：以点为端点的射线有5条， 以点为端点的射线有4条， 以点为端点的射线有4条， 以点为端点的射线有3条， 所以该图形中不同的射线共有（条）， 故选：A． 【变式1】（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）若平面内有点A、B、C、D，过其中任意两点画直线，则关于可以画的直线条数，下列说法中错误的是（    ） A．可能画1条 B．可能画3条 C．可能画4条 D．可能画6条 【答案】B 【分析】本题考查了两点确定一条直线， 根据四个点的位置关系讨论直线条数：当所有点共线时可画1条；当三个点共线另一个点不共线时可画4条；当没有三个点共线时可画6条，即可判断． 【详解】解：∵ 四点共线时，过任意两点画直线，所有点均在一条直线上， ∴ 只能画1条直线； ∵ 有三点共线，第四点不在此直线上时，共线三点确定一条直线，第四点与共线三点各确定一条直线， ∴ 共可画4条直线； ∵ 任意三点不共线时，每两点确定一条直线， ∴ 可画6条直线； 综上，无法画出3条直线， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）过平面上五个点中的任意两点画一条直线，最多可以画（     ）条． A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】当五个点中任意三点不共线时，画出的直线数量最多，再计算总条数 【详解】解：∵ 要使画出的直线数量最多， ∴ 五个点中任意三点不能共线 ∵ 每个点可与其余4个点各画1条直线，5个点共计算得条 又∵ 每条直线被两个点分别计算1次，存在重复 ∴ 实际最多可画条 【变式3】（25-26七年级上·天津滨海新区·期末）如图，图中直线有________条；以点为端点的射线有________条；线段有________条． 【答案】 2 3 5 【分析】本题考查直线，射线，线段的识别，根据定义列举即可． 【详解】解：根据图形可知直线有：直线、直线共2条； 以点为端点的射线有：射线、射线、射线共3条； 线段有：线段、线段、线段、线段、线段共5条； 故答案为2，3，5． ▌题型03 线段的应用 该问题可以转换为线段计数问题，由于线段没有方向，在实际应用中，从A地B地和从B地A地方向是不同的，那么在票务印制中，所制的票务也是不同的.即当一条直线上有n(n>1)个不同的点时，有条线段，需要印制 n(n-1)类车票. 【易错点】注意火车行驶是单向的还是往返的，单向印制种车票，双向印制n(n-1)种车票. 【典例3】（25-26七年级上·全国·周测）如图，往返于两地的火车，从地到地时，需要准备________种不同的车票，在往返的过程中，需要准备________种不同的车票，最多有________种不同的票价（距离相等时，票价相同）． 【答案】 10 20 10 【分析】先求出线段条数，一条线段就是一种票价；考虑往返情况，乘以2就可以求解. 【详解】解：（种） （种） （种） 故答案为：． 【点睛】本题考查线段的定义，解决问题的关键是要求学生学会查找线段的条数，要做到不重不漏，以及知道来回车票是不一样的． 【变式1】（23-24七年级上·河北廊坊·期末）已知往返于汕头与广州东的D7150次列车，运行途中须停靠汕头、潮汕、普宁、深圳北、东莞南、东莞、广州东7个站点，那么该次列车共有______种不同的车票．一列火车往返于，两个城市，若共有个站点，则需要______种不同的车票． 【答案】 42 【分析】本题考查了线段、射线、直线等知识点． 从汕头要经过6个地方，所以要制作6种车票；从潮汕要经过5个地方，所以制作5种车票；以此类推，则应分别制作4、3、2、1种车票，因为是来回车票，所以车票数需要乘以2． 若A，B两个城市间有n个站，则第一个站要准备种车票，第二个站台要准备种车票，第三个站台要准备种车票，……，倒数第三个站台要准备2种车票，倒数第二个站台要准备1种车票，它们的和乘以2即可得出答案． 【详解】往返于汕头与广州东的D7150次列车，共制作车票为： （种） 若有n个站点，共制作车票为： （种）． 故答案为：42， 【变式2】（24-25七年级上·福建福州·阶段检测）如图，在一条公路上有五个车站，依次为A，M，C，N，B． (1)车站要准备车票，一共要准备 种车票． (2)现在准备在其中一个车站处建加油站，使这五个车站各站到此加油站的总路程最短，加油站应建在 处． (3)如果公路的路程为80千米，M，N分别是的中点，求路段的长度． 【答案】(1)20 (2)C (3)40千米 【分析】本题考查了直线、线段以及距离的计算，熟练掌握线段的和差是解答本题的关键． （1）计算有多少条线段即可； （2）分别计算出各点的距离之和进行比较即可； （3）利用线段的和差倍分计算出即可． 【详解】（1）解：（种）． 故答案为：20； （2）①建在A处，， ②建在M处，， ③建在C处，， ④建在B处，， ∴最短， ∴建在C处． 故答案为：C； （3）解：∵M，N分别是的中点， ∴， ∴（千米）． 【变式3】（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，线段上的点数与以这些点为端点的线段的总数有如下关系：    (1)当线段上有3个点时，以这些点为端点的线段总共有________条；当线段上有4个点时，以这些点为端点的线段总共有________条；当线段上有5个点时，以这些点为端点的线段总共有________条； (2)当线段上有个点时，以这些点为端点的线段总共有多少条？ (3)根据上述信息解决下面的问题： ①某学校七年级共有20个班级进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两个班赛一场），那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？ ②乘火车从站出发，沿途经过10个车站方可到达站，那么在，两站之间需要设置多少种不同的车票（仅考虑车票的起点站与终点站之分）？ 【答案】(1)3，6，10 (2)线段总共有条 (3)①该校七年级的辩论赛共要进行190场；②需要设置132种车票 【分析】（1）根据线段的定义进行求解即可； （2）根据（1）中的等式，得到以这些点为端点的线段总数共有条； （3）①根据（2）中的结论，进行求解即可；②根据（2）中的结论进行求解即可． 【详解】（1）当线段上有3个点时，以这些点为端点的线段总数共有（条）； 当线段上有4个点时，以这些点为端点的线段总数共有（条）； 当线段上有5个点时，以这些点为端点的线段总数共有（条）． 答案：3，6，10 （2）当线段上有个点时，以这些点为端点的线段总数共有（条）； 因为（条）， 所以（条）． 答：线段总共有条． （3）①当时，（场）． 答：该校七年级的辩论赛共要进行190场． ②当线段上（除两端点，）有10个点时， ∴，， ∴车票有（种）． 答：需要设置132种车票． 【点睛】本题考查图形类规律探究．解题的关键是得到一条线段上有个点，可以得到条线段． ▌题型04 画直线、射线、线段 【典例4】（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，已知平面上三点A，B，C． (1)画直线； (2)画射线； (3)画线段． 【答案】(1)直线如图所示； (2)射线如图所示； (3)线段如图所示． 【分析】（1）直线可向两端无限延伸，没有端点，过点A和点C作向两端无限延伸的直线，即为所求直线； （2）射线只有一个端点，以B为端点，向经过点A的一侧无限延伸，画出图形即为所求射线； （3）线段有两个端点，连接点B和点C，所得图形即为所求线段． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式1】（26-27七年级上·全国·课后作业）读下列语句，并画出相应的图形： (1)点A在直线l上，点B在直线l外 (2)任意画一点P，过点P画直线． (3)任意画A、B两点，过A、B两点画直线． (4)任意画A、B、C三点，过A、C两点画直线l，此时点B是否一定在这条直线上？ 【答案】(1) (2) (3) (4)或，点B不一定在这条直线上． 【详解】（1）解：如图所示，点A，B即为所求；图略． （2）解：如图所示，直线即为所求；图略． （3）解：如图所示，直线即为所求；图略． （4）解：如图所示，直线，点B即为所求．图略． ∴点B不一定在这条直线上． 【变式2】（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）如图，平面上有A，B，C，D四个点，根据下列语句画图． (1)画射线相交于点F． (2)连接，并将其反向延长． (3)连接，并延长到点P，使得． (4)取一点Q，使点Q到A，B，C，D四点的距离之和最小． 【答案】(1)如图，射线相交于点F，点F即为所求； (2)如图，连接，并将其反向延长，即为所求； (3)如图，连接，，并延长到点P，使得，即； (4)如图，连接，交点为点Q，点Q即为所求． 【分析】（1）根据射线的定义即可画射线相交于点F； （2）根据线段的定义即可连接，并将其反向延长； （3）连接，，并延长到点P，使得，即； （4）根据线段的性质连接，交点为点Q． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 【变式3】（25-26六年级下·山东威海·期末）如图，平面内有四个点，，，，根据下列语句用尺规画图（保留画图痕迹，不写画法）： (1)画直线、线段、射线； (2)在平面内确定一个点，使到，，，的距离之和最小，请在图中画出点的位置，并说明理由：_________________________； (3)在直线上取点，使，请画出点；若，则___________． 【答案】(1)直线、线段、射线如图所示． (2)如图，点即为所求．理由为：两点之间，线段最短． (3)点如图所示，或， 【分析】（1）根据直线、线段及射线的定义画图即可； （2）连接、，交于点，根据两点之间，线段最短解答即可； （3）根据求出，分点在点右侧和左侧两种情况求解即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：略 （3）解：∵，， ∴， 如图，当点在点右侧时，， 当点在点左侧时，． ▌题型05 点与线的位置关系 【典例5】（25-26七年级上·河北衡水·期末）根据语句“直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点”，画出的图形正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了画出直线、射线、线段，点与线的位置关系，根据题意画出的图形即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据语句“直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点”，画出的图形正确的是， ， 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，下列说法错误的是（    ） A．点在直线上 B．直线与相交于点 C．直线经过点 D．直线不经过点 【答案】A 【分析】本题主要考查了直线与点的关系， 根据直线b与直线c相交于点A，点A不在直线a上，可判断A，B，C，再根据直线不经过点A，说明D即可． 【详解】解：因为直线b与直线c相交于点A，点A不在直线a上， 所以A错误，B正确； 因为直线c经过点A， 所以C正确； 因为直线不经过点A， 所以D正确． 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·浙江衢州·期末）如图，，三点在直线上依次排列，关于点位置的描述，正确的是（   ） A．点在线段上 B．点在线段的延长线上 C．点在直线上 D．点在射线上 【答案】C 【分析】本题考查了点和线的关系，根据图形，即可求解． 【详解】解：根据图形可得点在直线上，或线段的延长线上，或射线上， 故选：C． 【变式3】（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）M所在的位置如图，的位置是点 _____，的位置是点 _____． 【答案】 ② ④ 【分析】本题考查了线段的倍数关系，熟悉掌握线段的长短变换时解题的关键． 通过分析点的位置即可解答． 【详解】解：∵，即点坐落在到的处， ∴此点为②； ∵，则点坐落在到的倍长度处，即在与的中间， ∴此点为④； 故答案为：②④． ▌题型06 利用数学知识解决生活中的常见现象 【典例6】（2022七年级上·江苏徐州·专题练习）生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（     ） A．均用两点之间线段最短来解释 B．均用经过两点有且只有一条直线来解释 C．现象用两点之间线段最短来解释，现象用经过两点有且只有一条直线来解释 D．现象用经过两点有且只有一条直线来解释，现象用两点之间线段最短来解释 【答案】D 【详解】解：现象：木板上弹墨线，可用“两点确定一条直线”来解释； 现象：把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释， 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）在下列现象中，不能用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A．木匠弹墨线 B．打靶瞄准 C．弯曲公路改直 D．拉绳插秧 【答案】C 【详解】解：选项A、B、D可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释， 选项C利用的是“两点之间线段最短”的知识． 【变式2】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下列4个现象中，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的有（  ） ①两个钉子可以把木条固定在墙上 ②小狗看到远处的食物，总是径直奔向食物 ③弯曲的河道改直，可缩短航程 ④工人砌墙时，用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上 A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查对直线和线段的两个基本事实的辨析，分清“两点确定一条直线”和“两点之间，线段最短”的应用场景即可解题． 【详解】解：∵①用两个钉子固定木条，④工人拉参照线使砖在一条直线上，都可以用基本事实“两点确定一条直线”解释； ②小狗径直奔向食物，③把弯曲河道改直缩短航程，都可以用基本事实“两点之间，线段最短”解释． ∴符合要求的是②③，故选C． 【变式3】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）湘超“火”爆岳阳，“看湘超，游岳阳”成为了当下最时尚的游玩选择．外地游客小智在观看完湘超比赛后，准备打卡岳阳楼景区和君山岛景区．导航上显示两地之间的直线距离为，但实际导航时却显示路长为，能解释这一现象的数学知识是_____． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查了线段的性质，解题的关键是理解两点之间线段最短的几何意义，并能将其应用到实际生活场景中． 分析直线距离与实际路线的本质区别，直线距离对应两点之间的线段长度，实际路线为连接两点的折线或曲线，根据线段性质可知线段长度是连接两点的所有线中最短的，因此实际路长大于直线距离． 【详解】解：∵ 两点之间的所有连线中，线段最短． ∴ 两地之间的直线距离（线段长度）为最短距离，而实际导航的路线为非线段的路径，其长度必然大于线段长度． 故答案为：两点之间，线段最短． ▌题型07 线段中点的相关计算 线段的中点把这条线段分为相等的两条线段，也就确立了题目中相关线段的数量关系，在不同的前提条件下，学生需要仔细观察图形，充分利用线段的相等关系. 注意：题目如果没有图形，计算时，要讨论字母的顺序，可能有多种情况. 【典例7】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知线段，直线上有一点C．且，点M是线段的中点，则的长是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 分两种情况进行讨论，即当点C在线段上时和当点C在线段的延长线上时，然后利用线段的和差以及线段中点的性质进行求解即可． 【详解】解：分两种情况： ①当点C在线段上时， ∵ ， ∴， 又∵ M是的中点， ∴； ②当点C在线段的延长线上时， ∵ ， ∴， 又∵ M是的中点， ， 综上，的长是或， 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，两点把线段分成的三部分，分别是的中点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查线段的和差运算，设，则，，得出，然后结合图形求解即可． 【详解】解：设，则，， 又∵分别是的中点， ∴； ∴， 解得， ∴． 故选B． 【变式2】（24-25七年级上·山东聊城·期末）同一条直线上有三点，，且线段，点是的中点，厘米，则线段的长为______________厘米． 【答案】或 【分析】需要根据三点在同条一直线的位置关系分类讨论求解，先根据中点性质求出的长度，再结合已知条件求出和的长度，最后分情况计算的长度． 【详解】解：点是的中点，厘米， 厘米， 厘米， ， 厘米， 当点位于点的左侧，三点顺序为时， 厘米； 当点位于点和点之间，三点顺序为时， 厘米； 综上所述，线段的长为或． 【变式3】（25-26七年级上·陕西安康·期末）如图，已知线段，延长至点C，．点D为线段的中点，则线段的长度用含a的代数式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的和与差．熟练掌握线段的中点性质，线段的和差关系，是解题的关键． 由题意可得，由中点性质得，得，即得． 【详解】解：∵线段， ． ∴， ∵延长至点C， ∴， ∵点D为线段的中点， ∴， ∴， ∴． 故选：B． ▌题型08 线段的和与差 【典例8】（25-26七年级上·山西太原·期末）如图，点是线段上两点（点在点左侧），点为的中点，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用已知线段长度，通过线段和差求出的长度；再根据中点定义得到的长度，最后通过计算出的长度． 【详解】解：∵，， ∴． 又∵， ∴． ∵点为的中点， ∴． ∴． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，点C，D把线段三等分，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差关系，线段三等分点的定义等知识，根据线段三等分点的定义得出，由，可求出，则，结合，，即可求解． 【详解】解：∵点C，D把线段三等分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，，点C是的中点，点D在所在直线上，且，那么______． 【答案】或 【分析】本题主要考查线段的中点、线段的比例关系以及线段的和差关系；找出线段之间的数量关系是解题的关键． 根据题意分当在线段上和当在线段延长线上两种情况，设，结合线段和差关系建立方程求解即可． 【详解】①如图，当在线段上时， 点C是的中点， ， ， 可设， ，解得， ； ②如图，当在线段延长线上时， 可设， ，解得， ， ； 综上，或． 故答案为：或． 【变式3】（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，已知线段，，点在线段上，且，点是的中点，在线段上另找一点，使满足条件，求的长． 【答案】或 【分析】根据题意，分两种情况：点在点左侧或点在点右侧，作出图形，数形结合，由相关线段的和差倍分关系求解即可得到答案． 【详解】解：分两种情况： 当点在点左侧时，如图所示： ，， ，， ， ， 点是的中点， ， ； 当点在点右侧时，如图所示： ，， ，， ， ， 点是的中点， ， ； 综上所述，的长为或． ▌题型09 线段n等分点的有关计算 线段的三等分点有两个，四等分点有三个，且这些点都在线段上. 【典例9】（2025八年级上·全国·专题练习）线段，点是的一个七等分点，则的长度不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查线段等分点的有关计算． 点是线段的七等分点，即将分成7等份，因此的长度应为长度的，计算可能值后与选项对比即可． 【详解】解：∵， ∴七等分后每份长为， ∴ 的长度可能为，，，，，， ∴选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意， 故选：D． 【变式1】（23-24六年级下·山东济南·期末）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查线段的中点有关的计算，先根据线段中点定义求得，再分和两种情况，画出图形，分别求解即可． 【详解】解：∵，点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的三等分点， 若，如图，则；    若，如图，则，    综上，的长为或， 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）已知数轴上三点，，表示的数分别为，0，4，动点从点出发，沿数轴向右运动．在运动过程中，点始终为线段靠近点的三等分点，点始终为靠近点的三等分点，点在从点出发往右运动的过程中，则线段的长度为_________． 【答案】8 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，数轴上两点的三等分点的计算公式，设运动时间为，点的运动速度为，则点表示的数为，再根据数轴上两点的三等分点的计算公式得到点表示的数和点表示的数，再求两个数差的绝对值即可． 【详解】解：设运动时间为，点的运动速度为，则点表示的数为， ∵点始终为线段靠近点的三等分点， ∴点表示的数为 点始终为靠近点的三等分点， 点表示的数 所以 故答案为8． 【变式3】（22-23七年级上·河南新乡·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣： 如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______． (2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，，分别是，的中点，则______． ②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长． ③若，分别是，的等分点，即，，则______． 【答案】(1)3 (2)①；②；③ 【分析】（1）由，，得，根据，分别是，的中点，即得，，故； （2）①由，分别是，的中点，知，，即得，故； ②由，，知，，即得，故； ③由，，知，，即得，故． 【详解】（1）解：，， ， ，分别是，的中点， ，， ； 故答案为：； （2）解：①，分别是，的中点， ，， ， ， ； 故答案为：； ②，， ，， ， ， ； ③，， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． ▌题型10 线段之间的数量关系 【典例10】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）已知线段上有两个动点C、D． (1)已知在的左侧，． ①如图1，求的长； ②如图2，M、N分别为和的三等分点，且，求的长； (2)若M、N分别为和的三等分点，且，请直接写出线段、、之间的数量关系：___________． 【答案】(1)①6 ②14 (2)或 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段的三等分点，解题的关键是掌握线段的和差以及分类讨论的思想． （1）①根据线段的和差进行求解即可； ②假设，，根据线段的三等分点表示出相关线段，然后利用线段的和差进行求解即可； （2）根据两个动点，分两种情况进行讨论，假设，，根据线段的三等分点表示出相关线段的长度，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②假设，则， 由（1）得， ∴； 假设，则， 由（1）得， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图2所示， 假设，则，； 假设，则，； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图3所示， 假设，则，； 假设，则，； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，线段、、之间的数量关系是或， 故答案为：或． 【变式1】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）已知在数轴上有，两点，点表示的数为，点在点的左边，且，若有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动的时间为秒． (1)写出数轴上点，所表示的数（用含的代数式表示）． (2)若点，分别从，两点同时出发，则点运动多少秒时，与点相距个单位长度？ (3)若为的中点，为的中点，当点在线段上运动的过程中，探索线段与线段的数量关系是_________．（请直接写出答案） 【答案】(1)点表示的数是，点表示的数是 (2)点运动秒或秒时，与点相距个单位长度 (3)或 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，线段之间的数量关系，解题的关键是根据题意画出图形，注意分情况进行讨论． （1）根据点的运动方式即可得出点、表示的数； （2）根据、两点的表示的数，可表示出，令列出方程求解即可； （3）分：当点在右侧时，当点在左侧时，两种情况讨论，根据线段之间的数量关系列式求解即可． 【详解】（1）解：点表示的数为，点在点的左边，且， 点表示的数是， 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 点表示的数是， 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动， 点表示的数是． （2）解：由（1）可知，， 令，则有或， 或， 点运动秒或秒时，与点相距个单位长度． （3）解：或，理由如下： 当点在右侧时，如图， 为的中点，为的中点， ，， ， ，即 ． 当点在左侧时，如图， 为的中点，为的中点， ，， ， ，即 ． 综上，线段与线段的数量关系是 或 ． 故答案为： 或 ． 【变式2】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】 问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 【答案】（1）3（2）①②（3）当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，线段中的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． （1）根据新定义，确定线段的长度，然后求点表示的数即可； （2）①利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； ②利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； （3）采用分类讨论的思想，根据动点的运动轨迹，结合新定义下的线段长度关系，列方程求解即可． 【详解】解：（1）， 根据题意得，， ∴表示的数是； （2）①点C在线段上时， 如图所示， ∵线段，的中点分别为点M，N， ∴， 又， ∴； ②点C在线段的延长线上时，当时，， 如图所示，此时，点是线段的中点，即点与点重合， ∵点为线段的中点， ∴， ∴； （3）点运动到终点所需时间为秒，点运动到终点所需时间是秒，设运动时间为秒，讨论如下： ①如图所示，当时，根据题意得， ， 解得； ②如图所示，当时，根据题意得， 解得； ③如图所示，当时，根据题意得， 解得（舍去）； ④如图所示，当点到达点折返回来后，时，根据题意得， 解得； 综上，当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 【变式3】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知点，，，，在同一直线上． (1)是线段的中点，是线段上的点，， ①如图（1），若，求线段的长； ②如图（2），是线段上的点，是线段的中点．若，求线段的长； (2)C是线段上一点，是线段的中点．若，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题考查的是两点间的距离的计算，正确理解线段中点的概念和性质是解题的关键． （1）①根据中点定义求得的长度，根据，即可求解； ②设，则，根据，求解即可； （2）分当点在点的右侧时和左侧两种情况，讨论即可求解； 【详解】（1）解：①是线段的中点 ， 又， ， ②设，则， 是线段的中点， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：根据题意，当点在点的左侧时，作图如下； 是线段的中点， ， ， ， 则， 则， ， ， ； 根据题意，当点在点的右侧时，作图如下； 是线段的中点， ， ， ， ， ， ， 则 综上所述，或 ▌题型11 与线段有关的动点问题 【典例11】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）数轴上的点、、、所表示的数如图所示，点为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点沿数轴以每秒个单位长度向左平移．当点和点重合时同时停止运动、若在运动过程中始终满足，则的值为_____． 【答案】4 【分析】本题考查了数轴上点的平移（动点问题），由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，，可得开始运动后，，即可求解． 【详解】解：由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，， 开始运动后，， ∵， ∴，整理得：； ∵在运动过程中始终满足， ∴，解得：． 故答案为：4 【变式1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点O右侧，据此讨论求解即可． 【详解】解：当点N与点M在点O左边相遇时， 则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时， 则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或， 故答案为：或． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从A、M出发以、的速度沿直线向右运动（C在线段上，D在线段上）． (1)当点C、D运动了，求的长度； (2)若点C、D运动时，总有，则 ； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且满足，与的数量关系为 ． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了线段的和差、两点间的距离． （1）根据题意，由运动时间和速度分别求出、的长，再根据，进而求出的长； （2）根据、的运动速度知，，再由已知，进而求得，再由，即，进而得出答案； （3）分两种情况分析：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时，由线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，当点、运动了时，，， ，， ， ； （2）解：由（1）可知，， ， ，即， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：分两种情况： 如图所示，当点在线段上时， ，， ， ， ； 如图所示，当点在线段的延长线上时， ，， ， 综上所述，与的数量关系为或， 故答案为：或． 【变式3】（2025七年级上·江苏·专题练习）点C在线段上，． (1)如图1，P、Q两点同时从C、B出发，分别以、的速度沿直线向左运动． ①在P还未到达A点时，的值为 ； ②当Q在P右侧时（点Q与C不重合），取中点M，的中点N，求的值； (2)若D是直线上一点，且，则的值为 ． 【答案】(1)①；②； (2)或或或； 【分析】本题考查线段的和差问题，距离与绝对值的关系，动点问题．画好线段图，分类讨论是解决本题的关键． （1）由线段的和差关系，以及， ，即可求解； （2）设，则，，点分五种位置进行讨论，①当D在A点左侧时，②当D在之间时，③当D在之间，且在中点的右侧时，④当D在之间，且在中点的左侧时，⑤当在的右侧时，结合图形求解． 【详解】（1）解：（1）①，， ∵，P、Q速度分别为、， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ②， ∵， ∴， ∴； （2）∵． 设，则， ∴， ①当D在A点左侧时， ， ∴， ∴； ②当D在之间时， ， ∴， ∴（不成立）， ③当D在之间，且在中点的右侧时， ， ∴， ∴， ∴， ④当D在之间，且在中点的左侧时， ， ∴， ∴， ∴； ⑤当在的右侧时， ， ∴， ∴． 综上所述，的值为或或或； 故答案为：或或或； ▌题型12 比较线段的长短 (1)度量法：利用刻度尺，量出每条线段的长度，再根据度量的结果比较两条线段的长短，这是从“数”的方面来进行比较，线段的长短关系和它们的长度大小关系是一致的. (2)叠合法：先把两条线段放在同一条直线上，使其一个端重合，另一个端在重合端同侧，再看另一端的位置，从而比较两条线段的长短，这是从“形”的方面来进行比较. (3)圆规法：用圆规直接度量其长短. 【典例12】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，用圆规比较两条线段的大小，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．没有刻度尺，无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查比较线段的长短．根据题意即可得出答案． 【详解】解：如图即可得出． 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示，比较线段和线段的长度，结果正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了线段的比较，根据刻度尺得出两条线段的长度，进而比较即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可知，，， ∴， 故选：． 【变式】2（2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知，请先按要求画图，再比较线段的长短． (1)延长到点D，使，比较和的长短，并说明理由． (2)在上截取，比较和的长短，并说明理由． 【答案】(1) 如图所示，在的延长线上作， 理由：根据“两点间所有连线中线段最短”可得． 因为，且， 所以； (2) 如图所示，在上作， 理由：根据“两点间所有连线中线段最短”可得． 因为，，且， 所以． 【分析】本题考查了两点之间线段最短，画一条线段等于已知线段，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据“两点间所有连线中线段最短”可得，由已知可得，而，通过等量代换可得，由此即可得到与的大小关系； （）同（）理即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】（23-24七年级上·吉林·期末）如图，已知平面上四个点A、B、C、D，请按要求作图：    (1)画直线，射线，连接； (2)线段与射线相交于点O； (3)比较大小： ． 【答案】(1) 解：如图，直线，射线，线段即为所求； (2) 解：如图，点O即为所求；    (3) 【分析】本题主要考查作图—画直线，线段，射线，两点之间，线段最短： （1）根据直线和射线的作法作图即可得； （2）取直线与射线的交点即可得； （3）根据“两点之间，线段最短”，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解： 根据“两点之间，线段最短”得：． 故答案为： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $