湖南永州市第一中学2026-2027学年高一上学期期中数学试题

永州一中2026年下期高一期中数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.) 1.已知全集U={x∈N1x≤6，集合A={L,3,5},集合B={2,3,4},则C(AUB)=(). A.{0,6} B.{6 C.3,6} D.{1,3} 2.屋数)=兰+6x-川的院义线为() A. B.（G制 C. D. 3.若器函数f()的图象经过点4石 则f(-3)=() A B. C.9 D.27 4行码致=a)为有买数，则a() A.-1 B.1 C._1 2 5.函数f(因)=ar+(aeR)的图象不可能是() B 6已知a,eR.对>是右办的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4 7.若存在x>0y>0,且x+y=6,使得 +1≤2m+1成立，则实数m的取值范围是(） x+1y+2 1 A.m20 B.m218 D.m24 试卷第1页（共4页） 8.己知定义在0+m)上的函数闭满足对任意的正数x,,都有)+f0)=o),若f9+兮-6， 则f(2025)=() A.12 B.6 C.-6 D.-12 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.下列函数f(x)与g(x)表示的不是同一个函数的是() A.f(x)=x°，g(x)=1 38()=x+3 B.fx)=-9 C.f(x)=x.x+1,g(x)=Vx2+x D.f(x)=x,g(x)= 10已知函数儿创-司则《) A.f(f(I)=-1 B.f(x-1)+f(-x-1)=2 C.函数f(x)在定义域内单调递增 D.f(x)≥2的解集为{x-3≤x<-l 11.高一课外兴趣小组通过课本的推论，探究到函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条 件是y=f(x+a)-b是奇函数，函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是y=f(x+a) 是偶函数.则下列说法正确的是() A.f(x)=x3+3x2+3x-2图象的对称中心为点(-1，-3) B.f(x)=x4-4x3+7x2-5x+2的图象关于直线x=1对称 。.-图家的对称中心为点行习列 Γ3x-1 D.f()=+6x+10 2x+6 的图象关于点(-3,0)对称 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.已知10°=2,10=5，则103a-2b的值为 13.已知函数f(x)=4x2+x-8在[「-1,2上具有单调性，则实数k的取值范围是 14.函数f()=2+2x+口2-1，若对于任意5,5∈(2，o),当飞≠6时，都有)-f>0,则 2-x 实数a的取值范围是 试卷第2页（共4页） 四、解答题（本题共5题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 15.计算（需写出化简过程） oia02a>0.6>0: (2)33×1.5×12+1-V2)9 16.给定函数f(x)=x2-2x,g(x)=x-2,x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中的较大者，记为 M(x)=max{f(x),g(x)). 5 2 5-4-3-2-11 12345x (1)求函数y=M(x)的解析式并画出其图象： (2)对于任意的x∈[2，+o),不等式M(,)≥(a-2)x-1恒成立，求实数a的取值范围. 17.随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器 械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某 产品.己知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产x台，需另投入成本G(x)万 2x2+80x,0<x≤40 元，且G(x)= /201x+3600 2100,40<x≤100' 由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内 生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润W(x)万元关于年产量x台的函数解析式（利润=销售收入一总成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 试卷第3页（共4页） 18.已知函数f(x)=x2-(a+1)x+a (1)当a=2时，求关于x的不等式f(x)>0的解集： (2)a∈[0，]，关于x的方程f(x)=2x2-(b+1)x+a在x∈[0，+o)总有两个不同实数解，求实数b的取值范围： (3)若f(x)+2x≥0在区间(1，+o)上恒成立，求实数a的取值范围. 19.已知函数y=(),若对于其定义减D中任意给定的实数x,都有)+/ =1,就称函数y=f(x) 满足性质Q (1)写出一个满足性质Q的函数，并注明定义域： ②若y=了问满足性质Qf(在(0，+o)上单调，且f)>对x∈(Q,)都成立，解关于x的不等式 fa+x-@)-j<0; (3)在（2)的条件下，己知x,x2∈(0，+o),x≠x2,若f(x)+f(x)=1,证明：x+x2>2 试卷第4页（共4页） 永州一中2026年下期高一期中测试答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B D A D ABC ABD AD 1.B【详解】全集U={x∈N1x≤6={1,2,3,4,5,6，根据并集的定义，AUB={L,3,5}U{2,3,4}={L,2,3,4,5},故 C,(AUB)={6. 2.B【详解】若f(x)有意义，则{ 0解得x(》传 1-x>0 故B正确， 3.B【详解】由题意，可设f(x)=x,由4“= =16→a=-2,所以()=所以f(-3)=(←3)2=号 +D【详解】圣致因的定义球为4-且x学号}因为两数内为商圣数。所以五数闪的定义装关于原点 对称，所以口+0，解得a号（校验）当a时，定义城为引 定义域关于原点对称， 2（2.2-3 厨数f(为奇后数综上，a=号 4(-x)-1 -4x2-1 4x2-1 5.A【详解】当a=0时，f(x)=,对应图象是B选项当a>0时，对应图象是D选项 当a<0时，f(x)在(-o,0),(0,+o)上单调递减，对应图象是C选项.所以不可能的是A选项.故选：A 6B【详解判断充分性：取a山，b=山，满足心>N,但b无意义，推不出么<充分性不成立 11 断必要性：若G<6则0>b>0,一定有>R,必要性成立所以>是婴 ”的必要不充分条件， 选项B符合题意. 7A【分】已短系闲02小-9，将代数式+中2与+00+2]瑰，展开后利廷 本不特式求的发小。根指温意可得甜关于网的不学式的之同 【详解】因为x>0,y>0,且x+y=6,则x+1+y+2=9,则+20，+>0， x+1 y+2 2e06+训-+2s周 y+2 4(y+2)x+1 x+1y+2 当鼠仪当9时当=5=1时所以+中2的故小值为1， x>0y>0 答案第1页（共6页） 因为 4+1≤2m+1有解，所以2m+1≥1，解得m之0，所以实数m的取值范围是m≥0. x+1y+2 8.D【分析】根据f)+f0)=f),令x=y=1可得f0的值，令y,可得f码=-f),进而可得 f(9)+f(5)=6.令y=x,可得2f)=fx2),fx)=4f(x),即可求解. 【详解】：对任意的正数x,y,都有f(x)+f(y)=f(y),.令x=y=1可得f)+f)=f),解得f①)=0： 令y京可得四+-⑩=0，∴=-0/得-f0)-16)=6,即f+7创=6 令y=x,可得2f(x)=f(x2),∴.f2025)=f(92×5)=f(92)+f(5)=2f(9)+2f(5)=2[f(9)+f(5)]=-12 9.ABC.对于A:函数f(x)的定义域为{xx≠0}，函数g(x)的定义域为R,两个函数的定义域不相同，所以表示 的不是同一函数；对于B:函数f(x)的定义域为{xx≠3，函数g(x)的定义域为R,两个函数的定义域不相同， 所以衣示的不是同函数：对于C:要使/八四有忘义，测女解得≥0叫，要彼买数8问有意义，则父+：之0。 即x(x+I)≥0解得{xx≤-1或x2O},两个函数的定义域不相同，所以表示的不是同一函数：对于D:函数f(x)和 g(x)的定义域都为R,两个函数的定义域相同，又g(x)==x,即对应关系也相同，所以表示同一函数 10.ABD【详解1A:f0='2-0,所以)=0)=-1，放A正： s0-长2,4--2，s c国-1则英定义城为-，因了0)=1K2=,放c错灵 x+1 D:由之2.即220，化筒得40， J(x+3)(x+1)≤0 ,解得-3≤x<-1,故D正确故选：ABD. x+1 +1 x+1≠0 11.AD【详解】A选项，f(x)=x+3x2+3x-2, 设g(x)=f(x-1)+3=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)-2+3=x2，g(-x)=(-x)°=-x3=-g(x)为奇函数，所以 f(x)=x+3x2+3x-2图象的对称中心为(-1，-3)，所以A选项正确：B选项，f(x)=x-4x3+7x2-5x+2, 设g(x)=f(x+1)=(x+1)-4x+)3+7x+1)2-5(x+1)+2=x+x2+x+1,g(-x)=x+x2-x+1≠8(x), 所以g(x)不为偶函数，所以f(x)=x4-4x3+7x2-5x+2的图象不关于x=1对称，所以B选项不正确： c选威.-2-+引2-子国.创为商数f对 3x-1 称中心为居小嘴以C滋项碳：D花玩)0模小-)有0 2x+6 2(x-3)+62x 答案第2页（共6页） 8到 =-g(x),所以g(x)是奇函数，所以D选项正确故选：AD, 分【详解10-1 12. (10） 238 1026 10)2 52251 (小数形式答案0.32) 13.(←0，-16U8,+∞）【详解)函数f付=42+-8为开口向上的二次函数对称轴为x=-:若函数在区间[-1,2] 8 上具有单调性，则对称轴不能落在区何(12)内部，需满足令≤-1或-名之≥2，解得长≥8或k≤-16 故k的取值范围是(-∞，-16U[8,+∞) 14.{a-V5≤a≤⑤【详解】不妨设2<x<,因为对于任意x,x∈(2，+o), 当5+5时，都有/飞)-/0，即x任）x(5)>0,所以儿儿在(，+四)上恒成立. x2-x1 x> 令g(f儿因=x+-+2,则当2<5<5时，恒有g6,)>gk).即s冈在2，o)上单调递增， 当a2-1≤0，即-1≤a≤1时，显然符合题意，当a2-1>0时， 由对勾函数性质可知，g(x)在Va-1,+∞上单调递增，由题意可得、V-i≤2，解得-5≤a<-1或1<a≤V5 综上.{a1sa≤ua5sa<-u{al<as5}-{a-5≤a≤v5故答案为：{a5sas5 :9如t】式-o到{2n: …6分 2尿-ga1=3x8份il-3g1-941=10 …13分 16.(1) [x-2,1<x<2 M(x)= 图象如下解折：②(-一 x2-2x,x≤1或x≥ 【详解】(1)①当x2-2x<x-2即1<x<2时，f(x)<g(x),则M(x)=x-2, ②当x-2≤x2-2x即x≤1或x≥2时，g(x)≤f(x),则M(x)=x2-2x,故 x-2,1<x<2 图象如下： M(x)= 1x2-2x,x≤1或x22 W .6 .5 .4 …8分 2 1 -41 -3 -2 -1 0 34 -2 答案第3页（共6页） (2)方法1：由（1)得，当x∈[2，+∞)时，M(x)=x2-2x, 则M()≥(a-2)x-1在[2，+o)上恒成立等价于x2-ax+1≥0在[2，+o)上恒成立. 令h(x)=x2-a+1,x∈[2，+o),原问题等价于h(x)=x2-ax+1在[2，+oo)上的最小值h(x)mim≥0 ①当号2即a≤4时，)=-x+1在2+m)上单调递增，则=Q=2-2a+1≥0，救枚a≤号 ②当>2即a>4时，M)=-+1在2上单调递减，在o)上单调递增。 则h以=-1由a>4时1-<0，不合题 综上所述，实数a的取值范围为(o, 5 …15分 方法2：分离参数 方法3： (2)对于任意的x∈[2，+o∞)，不等式M(x)≥ (a-2)x-1恒成立， 可得M(x)的图象恒在h(x)=(a-2)x-1的上 (2)当x∈[2，+o∞)时，M(x)=x2-2x。 方， 不等式M(x)≥(a-2)x-1恒成立，即： 因为h(x)=(a-2)x-1恒过定点(0，-1)， x2-2x≥(a-2)x-1 整理得： 6 2+1≥ax 因为x≥2，则x>0,两边同时除以x得： 3 1 a≤x+元 设h()=x+品，其在2，+o∞)上单调递增， 所以当x=2时，h(x)取得最小值： -7-6-5-4-3-2-942345671 Mam=h2)=2+号-号 -2上 -3 所以： -4 a≤号 -5 即实致a的取值范围为(-6心，引， 0-(-1)=1 结合图象可得a-2≤2一-0 1 解得0≤号 即实数a的取值范围是(-0o, [-2x2+120x-300,0<x≤40 17.(1)W(x) 3600 x+ +180,40<x≤100：（②）年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元 【详解】(1)当0<x≤40时，W(x)=200x-(2x2+80x)-300=-2x2+120x-300: 当40<x≤100时，W(x)=200x- 201x+360-210-300=- 3600 +1800, -2x2+120x-300,0<x≤40 W(x)= 3600 …7分 x+ +1800,40<x≤100 答案第4页（共6页） (2)若0<x≤40，W(x)=-2(x-30)2+1500,当x=30时，W(x)mx=1500万元： 若40<x≤10，m()=x+3600 +1800≤-2， x 3600+1800=-120+1800=1680, 当且仅当x=3600时，即x=60时，W=1680万元， 由于1680>1500，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.…15分 18.1)(-0,1)U(2,+∞)：(2)(1，+∞)：(3)0,22+3 【分析】(1)a=2,f(x)=x2-3x+2>0从而求解： (2)由题意得x2-(a+1)x+a=2x2-(b+1)x+a化简得x2+(a-b)x=0,则b-a>0恒成立，从而可求解： (3)由题意得fx)+2x≥0在(，+切)上恒成立，得a≤+x,然后令1=x-1u>0)并结合基本不等式从而求解 x-1 【详解】(1)当a=2时，则f(x=x2-3x+2, 由f(x)>0,则x2-3x+2>0,解得x<1或x>2: 所以不等式f(x)>0的解集为(-0，)U(2,+∞）.…4分 (2)由题意得x2-(a+1)x+a=2x2-(b+l)x+a在x∈[0，+oo)总有两个不同实数解， 即x2+(a-b)x=0在[0，+o)总有两个不同实数解， 由x2+(a-b)x=0解得x=0或x=b-a,所以b-a>0,则b>a, 因为对Va∈[0，]时f(x)=2x2-(b+l)x+a在x∈[0，+o)总有两个不同实数解恒成立，所以b>1, 故b的取值范围为（们，0）… …10分 (3)由f()+2x≥0即r+x-(x-)a20在(，+o)上恒成立，得a≤+x x-1 令1=x-1>0,则+-++1+1-1+2+3222+3=22+3， x-1 当且仅当t=√2，即x=√2+1时取等号，所以a≤2√2+3. 故实数a的取值范围为-0,22+3.…17分 19.0(=e(0小u0+》答案不唯，)x+幸0)了()x0)电是正确的 (2)①当a=0时，不等式解集为(1，+o): ②当a=-1时，不等式解集为0： ⑧当-1Ka<0时，不等式解年为- 答案第5页（共6页） ④当a<时，不等式解集为 ⑤a>0时，不等式解集为m) 6期：已测x6ea+ox若)r,+阳-1.s)- “f(x)在(0，+o)上是单调函数，x= ’3=l,x+为>25=2. 【详都1a)两数fe(a0小@e加 答案不唯，化)=x士计x≠0，e-x≠0小E是正瑞的： …3分 (2)若y=f(x)满足性质9，且定义域为(0，+o) 若()在(Q+m上单调，且y=f)在xe(Q,)时恒有f)> 而x=1时，)+f)=1得到02 ()在(0+o上单调，y=()在x∈(0时恒有f(>2f0=2 所以f(x)在(0，+o∞)上是单调函数，只能是单调递减函数，…5分 far2+x-a0得到f(r+x-a水即(ar+x-a水f0. …7分 因为f(x)在(0，+∞)上是单调减函数，所以ax2+x-ar>1, 即a2+(1-ax-1>0,即(x-1)(a+1)>0,… …9分 ①当a=0时，不等式为x-1>0,不等式解集为(1，+o): ②当-。1时，即a=-1时，不等式为(x-<0,不等式解集为0： ®当-1a<0时，一合1，不等式解类为-》月 ④当a<-1时，-<1，不等式解集为 何a>0时，不等式解失为%日儿+o）…14分 (3)证明：已知x,x2∈(0+o),x≠x2,若f(x)+f(x)=1, s*,- …15分 f()刻在(0，+）上是单调函数，=，=l，x+5>26=2.…17分 答案第6页（共6页）