2.8 直线与圆锥曲线的位置关系（高效培优讲义）高二数学人教B版选择性必修第一册

2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 教学目标 1.会用代数法判断直线与圆锥曲线的位置关系。 2.会由直线与圆锥曲线的位置关系求参数的取值范围。 教学重难点 1.重点 （1）用代数法判断直线与圆锥曲线的位置关系。 （2）会求直线与圆锥曲线相交的弦长。 2.难点 直线与圆锥曲线的定点、定值等综合问题。 知识点01 直线与圆锥曲线的位置关系的判定 (1)代数法: 把圆锥曲线方程与直线方程联立消去，整理得到关于的方程 方程的解 无解（含是双曲线的渐近线） 无公共点 有一解（含与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐进性平行） 一个交点 两个不等的解 两个交点 两个相等的解 一个切点 无实数解 无公共点 (2)几何法:在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系 【即学即练】 （26-27高三·全国·一轮复习）直线与椭圆总有交点，则取值范围（   ） A．且 B． C． D． 知识点02 直线与圆锥曲线相交求弦长 1.设斜率为()的直线与圆锥曲线相交于，两点，，，则 2.特别，若直线过抛物线的焦点，则弦长(为弦的倾斜角). 【即学即练】 （25-26高三·全国·一轮复习）已知，点P满足，记点P的轨迹为E．直线与轨迹E交于A，B两点，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 知识点03 中点弦问题 直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。 主要有以下几种问题： （1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线； 中点， ， 2、点差法 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ； 将两式相减，可得；整理得： 【即学即练】 例1：（2026·新疆·一模）在双曲线中，过左焦点的直线与双曲线同一支交于不同的两点，，线段的中点为．若直线的斜率为，则直线的一般式方程为___________． 例2：（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）已知椭圆的离心率，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆上的两点，关于直线对称，求弦的中点坐标． 题型01 直线与圆锥曲线的位置关系判断 【典例1】（25-26高二下·上海浦东新·期中）直线与曲线的公共点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（25-26高二上·重庆·期末）过点的直线与椭圆交点个数有（    ） A．0 个 B．1 个 C．1 个或 2 个 D．2 个 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式3】（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知双曲线过点，则下列结论正确的是（   ） A． B．双曲线的离心率为 C．双曲线的渐近线方程为 D．直线与双曲线仅有一个交点 【变式4】（2026高三·全国·专题练习）已知点为椭圆上任意一点，直线，点F为椭圆C的左焦点． (1)求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标； (2)求证：直线与椭圆C相切； 题型02 根据直线与圆锥曲线的位置关系求参数 【典例1】（25-26高二下·甘肃平凉·期末）已知椭圆的长轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值． 【变式1】（2026·山东临沂·二模）（多选）已知曲线与直线只有一个公共点，则m，n可能的取值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（25-26高二上·四川成都·期末）（多选）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则k的值可以是（ ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·山西太原·期末）（多选）已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l与抛物线C相切 C．当时，直线l与抛物线C有两个公共点 D．当直线l与抛物线C无公共点时，或 题型03 求圆锥曲线的切线方程 【典例1】（26-27高二上·全国·课后作业）若过点的直线与椭圆有且仅有一个公共点，则直线的方程为________． 【变式1】（24-25高三上·湖南永州·阶段检测）过点可以作双曲线的两条切线，则点坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三下·北京·强基计划）已知椭圆，过点作椭圆的两条切线互相垂直，则的值为________． 【变式3】（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知点在抛物线上，过点作抛物线的切线交轴于点． (1)求抛物线及切线的方程； (2)过抛物线的焦点F作直线，且与交于两点，求的面积． 题型04 圆锥曲线的弦长问题 【典例1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A、B两点，则弦的长为________． 【变式1】（2026·甘肃金昌·三模）双曲线的右焦点为，右顶点为是的一条渐近线，点到的距离为，点到的距离为，直线与交于点，则__________. 【变式2】（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知椭圆：的焦距为4，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于、两点，求弦的长度． 【变式3】（26-27高二上·重庆江北·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，过作垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，． (1)求抛物线的方程； (2)过作斜率为2的直线与抛物线交于，两点，求． 题型05 圆锥曲线的中点弦问题 【典例1】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）设直线l与椭圆相交于A，B两点，且的中点为，则直线l的斜率为______. 【变式1】（26-27高二上·全国·课后作业）过点的直线与双曲线相交于，两点，且为的中点，则直线的方程为______． 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，则线段AB中点M的轨迹方程是_______． 【变式3】（25-26高二下·甘肃·期末）已知抛物线与圆相交于、两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若、是上两点，且线段的中点为，求． 题型06 根据圆锥曲线的弦长求参数 【典例1】（26-27高三上·福建福州·阶段检测）椭圆的离心率为，且椭圆与直线相交于，两点，，则________． 【变式1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的左顶点为，过点的直线交于另一点．若，则直线的斜率为__________________． 【变式2】．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则_______． 【变式3】（24-25高三上·青海西宁·阶段检测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ． (1)求椭圆 的离心率； (2)过点 的直线 与椭圆 交于 两点，若 ，求直线 的方程． 题型07 直线与圆锥曲线中的面积（定值）问题 【典例1】（26-27高二上·江苏·阶段检测）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为______. 【变式1】（26-27高三上·甘肃酒泉·开学考试）已知为双曲线的上焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点．若（为坐标原点），则的面积为______． 【变式2】（25-26高二上·上海虹口·期中）已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的离心率是__________． 【变式3】（2025·陕西榆林·模拟预测）设双曲线的左､右焦点分别为，，为双曲线上一点，且，若的面积为3，则__________. 【变式4】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知双曲线，过作倾斜角分别为的两条直线，且分别与C交于不与P重合的A，B两点，则的面积为______． 题型08 直线与圆锥曲线中的面积（最值、范围）问题 【典例1】（2027高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为和，由和四个点构成了一个高为，面积为的等腰梯形．则椭圆的方程________．若过点的直线与椭圆交于两点，则面积的最大值是________． 【变式1】（26-27高二上·全国·课后作业）从椭圆上的动点作圆的两条切线，切点为和，直线与轴和轴的交点分别为和，则面积的最小值为________． 【变式2】（26-27高二上·全国·课后作业）已知椭圆的两个焦点分别为，，且椭圆与直线相切．过作两条互相垂直的直线，，与椭圆分别交于点，及，，则四边形面积的最大值与最小值分别为________． 【变式3】（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知点，点在双曲线上，记的面积为的面积为，则的最小值为_____． 题型09 圆锥曲线中的定点问题 【典例1】（2026高二上·全国·专题练习）已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上． (1)求的方程； (2)设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点． 【变式1】（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知过点的动直线与抛物线交于两点，定点不在上，若恒成立，则的值为__________. 【变式2】（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知椭圆C：（）的离心率，且椭圆C经过点. (1)求椭圆C的方程； (2)设P是椭圆C的上顶点，直线l交椭圆C于A，B两点（A，B均不与P重合），直线与的斜率之积为，探究：直线l是否过定点？若是，求该定点坐标；若不是，请说明理由. 【变式3】（26-27高三·全国·一轮复习）已知直线与抛物线相交于A，B两点，且． (1)求证：直线AB必过一定点； (2)求面积的最小值． 题型10 圆锥曲线中的定值问题 【典例1】（25-26高二下·云南文山·阶段检测）（多选）已知抛物线C：，过焦点的直线交于点，，则（   ） A．的坐标为 B． C．的最小值为3 D． 【变式1】（25-26高二下·云南·期中）已知抛物线：的焦点为圆：的圆心，过圆心的直线与抛物线和圆交于自上而下的四个点，，，，则的值是______. 【变式2】（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）已知椭圆：的离心率为，长轴长为4． (1)求的方程； (2)设的左顶点为，上两点，关于原点对称，且在第一象限，求直线与直线的斜率之积． 【变式3】（26-27高三上·广东惠州·阶段检测）已知椭圆的离心率，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于两点，设直线和的斜率分别为. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 题型11 圆锥曲线中的定直线问题 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）如图，已知抛物线，过点任作一直线与相交于两点，过点作轴的平行线与直线相交于点（为坐标原点），则动点在定直线（    ）上    A． B． C． D． 【变式1】（25-26高三上·四川成都·阶段检测）（多选））已知分别是双曲线的左､右顶点，过点的直线交该双曲线的左，右两支于两点，下列说法正确的是（    ） A．该双曲线的渐近线方程为 B．若该双曲线的离心率与椭圆的离心率互为倒数，则 C．或 D．若直线AD与直线BE交于点Q，点Q在定直线上 【变式2】（25-26高二下·湖北·期中）已知椭圆焦距为4，短轴长为4． (1)求椭圆的方程． (2)若椭圆与轴的交点为A，B（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【变式3】（25-26高二上·北京西城·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，点是线段上一点，且满足.求证：点在一条定直线上. 题型12 圆锥曲线中的向量问题 【典例1】（2026·广东广州·模拟预测）已知，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）椭圆：（）的左右焦点分别为，，是上一点且．是内心，连接的直线交轴于．若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知椭圆的左右焦点是、，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值； (3)若为坐标原点，直线过且与椭圆交于、两点，求的最大值． 【变式3】（25-26高二上·浙江·期中）动点与定点的距离和它到定直线的距离比为． (1)求动点的轨迹方程； (2)若斜率为的直线与圆相切，与（1）中所求点的轨迹交于两点，且（其中为坐标原点），求的取值范围． 1．（2025高二上·河南安阳·专题练习）直线与椭圆的交点个数为（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 2．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知F是双曲线C：的上焦点，直线与双曲线C交于A，B两点，其中A在第一象限，，且，则双曲线C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高二下·四川德阳·阶段检测）（多选）已知抛物线，焦点为，准线为，为坐标原点，点、在上，直线过点，则下列说法正确的是（   ） A．焦点到准线的距离为 B．若，则点的纵坐标为 C． D． 4.（2026高三上·全国·专题练习）设直线l：关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A，B，点P为椭圆上动点，则使的面积为的点P的个数为______ 5．（24-25高二下·上海宝山·期中）若关于的方程有实数解，则实数的取值范围是__． 6．（25-26高二上·湖北荆州·阶段检测）已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦AB的中点，则直线l的方程为______． 7.（25-26高二上·天津河西·期末）已知直线与双曲线交于、两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是__________． 8.（25-26高二上·河北张家口·期末）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在直线的方程为______. 9.（26-27高二上·全国·课后作业）已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，则弦的中点的轨迹方程为________． 10．（2026·山西晋城·三模）已知直线与椭圆交于不同的两点A，B，若，则实数______． 11．（24-25高二上·全国·课后作业）过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于A，B两点，使得，若这样的直线有且只有两条，则实数的取值范围是_______. 12．（24-25高三·全国·二轮复习）抛物线的焦点为F过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若，则抛物线的方程为________________． 13．（26-27高二上·全国·课后作业）等腰直角三角形内接于抛物线，为抛物线的顶点，，则的面积是________． 14．（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为F，AB是过焦点F的弦．且AB的倾斜角为，则的面积为__________． 15．（25-26高二上·北京东城·期末）已知抛物线：的顶点为，焦点为，准线为，点在抛物线上.若点到准线的距离为2，则的面积为______. 16．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）已知抛物线的焦点为，的准线与轴的交点为，若过点的直线与交于两点，且，则的面积等于__________． 17．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为. (1)求C的方程； (2)已知是双曲线外一点，过P引双曲线C的两条切线为切点，求直线的方程. 18．（25-26高二下·上海黄浦·期末）若动点P满足到的距离等于到直线的距离，动点P的轨迹为曲线C，则求： (1)动点P的轨迹方程： (2)过点且与曲线C只有一个公共点的直线． 19．（2026·河北·二模）已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 20．（26-27高三上·广西南宁·开学考试）已知点在抛物线上． (1)求的方程； (2)过的焦点作斜率为的直线，且与交于两点，求． 21．（25-26高二下·海南·期末）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，且过点，过该抛物线的焦点且倾斜角为的直线，与抛物线相交于、两点． (1)求抛物线的标准方程和线段的长． (2)求的值． 22．（25-26高二下·海南·期末）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于． (1)求椭圆的离心率． (2)已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程． 23．（2026·四川广安·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，椭圆上的点到的距离最大值为. (1)求和的离心率； (2)过点的直线交于，两点，若为的中点，求的方程. 24．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）已知双曲线经过点 (1)求E的方程； (2)设直线经过E的右焦点，且与E交于不同的两点M，N，点N关于x轴的对称点为P，证明：直线过定点. 25．（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线C：的焦点与椭圆的焦点重合，此双曲线的离心率为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点作直线与曲线C相交于P，Q两点，点N能否是线段PQ的中点？若能，求直线PQ的方程；若不能，请说明理由. 26．（25-26高二下·广西贺州·期末）在平面直角坐标系中，已知定点和定直线：.动点到定点的距离等于它到定直线的距离，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设为坐标原点，点，是曲线上异于原点的两个动点，且满足. （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）求面积的最小值. 27．（26-27高三上·天津和平·阶段检测）已知椭圆的离心率为，且过点，点、分别为椭圆的左右焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设点为第一象限内椭圆上的点，若，求点的坐标； (3)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由． 28．（25-26高二下·青海海东·期末）已知双曲线：的左顶点为，离心率为． (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，直线与的左、右支分别交于点，，设直线，的斜率分别为，，求． 29．（25-26高二下·上海·期中）已知抛物线，过点的直线交抛物线于. (1)求证：为定值； (2)求面积的最小值. 30．（2026·江苏·模拟预测）已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点． (1)求的标准方程； (2)过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 31.（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知双曲线：（，）的右焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)已知直线过点且与双曲线交于，两点，若，求直线的方程． 32.（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知双曲线的一条渐近线的斜率为左、右焦点分别为 (1)求C的方程; (2)设x轴上方的点A，B分别在C的左支与右支上，若求直线的方程． 1．（26-27高三上·河南·阶段检测）过抛物线的焦点F作直线l，直线l交该抛物线于A，B两点（B在第一象限），且，若直线l的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，，，过且垂直于的直线与椭圆交于，两点，，则的周长是（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 3.（25-26高二上·四川成都·期末）已知，点F为椭圆的右焦点. 过点作的切线与椭圆Γ交于A、B两点，则的周长为（ ） A． B． C． D．5 4.（2025·内蒙古呼和浩特·一模）已知为双曲线上的一点，由向两渐近线作垂线，垂足分别为、，则的值为（    ） A． B． C． D．不确定 5．（25-26高二上·广东深圳·期中）（多选）已知双曲线M：过点，则下列结论正确的是（   ） A．M的焦距为4 B．M的渐近线方程为 C．M的离心率为 D．直线与M有两个公共点 6．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）（多选）已知双曲线过点，且与双曲线共渐近线，直线与双曲线交于两点，分别过点且与双曲线相切的两条直线交于点，则下列结论正确的是（） A．双曲线的标准方程是 B．若的中点为，则直线的方程为 C．若点的坐标为，则直线的方程为 D．若点在直线上运动，则直线恒过点 7．（26-27高三上·浙江·开学考试）过椭圆上一点作椭圆的切线分别交、轴于点、，，则_________． 8．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，以、两点为切点作抛物线的切线，两条切线交于点．当时，直线的方程为__________． 9．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知是抛物线的焦点，是上不同的两点，为坐标原点，若，垂足为，则面积的最大值为_____． 10．（24-25高二上·辽宁·期末）抛物线的一条弦的长度为10，过，两点分别作抛物线的切线交于点，则面积的最大值为_____． 11．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知分别是双曲线的左，右焦点，是双曲线上第一象限内的点，点是的内心，则点的横坐标是__________；的面积的取值范围是__________． 12．（25-26高三上·湖北·期中）已知双曲线Γ：，P为Γ的左顶点，过Γ的左焦点F作斜率为1的直线交Γ于A、B两点，若的面积为，则Γ的离心率为_______. 13．（25-26高二下·广西河池·期末）已知椭圆：的长轴长为，为坐标原点，为上顶点，为右焦点，为等腰直角三角形． (1)求椭圆的方程； (2)若过点的直线与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为． （ⅰ）求证：直线恒过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 14．（25-26高二下·广东深圳·期末） 已知点，是直线外的一个动点，，垂足为，且在线段外，，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)已知直线交于两点，关于轴的对称点为，若直线和的斜率之商为.求证：过定点； 15．（2026·浙江·三模）已知双曲线的左顶点到其渐近线的距离为，过右焦点的任意直线与双曲线的右支交于M，N两点，且直线AM，AN与直线分别交于P，Q两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线FP，FQ的斜率分别为，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 16．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，是平面上的动点，记直线，的斜率分别为，，且． (1)求动点形成的曲线的方程； (2)点在直线上，且与轴平行，设与交于点，证明：在直线上存在两个定点，，使得为定值． 17．（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）已知双曲线，右焦点为，左、右顶点分别为，，过垂直于轴的弦长为6. (1)求的方程； (2)过的直线与的右支交于，两点，直线，交于点，证明：在定直线上. 18．（2026高二上·全国·专题练习）设分别是椭圆的左、右焦点． (1)若是该椭圆上的一个动点，且，求点的坐标； (2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围． 19．（2026·福建漳州·模拟预测）已知动圆过点，且与圆相内切，记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为，若，求直线的方程. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 教学目标 1.会用代数法判断直线与圆锥曲线的位置关系。 2.会由直线与圆锥曲线的位置关系求参数的取值范围。 教学重难点 1.重点 （1）用代数法判断直线与圆锥曲线的位置关系。 （2）会求直线与圆锥曲线相交的弦长。 2.难点 直线与圆锥曲线的定点、定值等综合问题。 知识点01 直线与圆锥曲线的位置关系的判定 (1)代数法: 把圆锥曲线方程与直线方程联立消去，整理得到关于的方程 方程的解 无解（含是双曲线的渐近线） 无公共点 有一解（含与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐进性平行） 一个交点 两个不等的解 两个交点 两个相等的解 一个切点 无实数解 无公共点 (2)几何法:在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系 【即学即练】 （26-27高三·全国·一轮复习）直线与椭圆总有交点，则取值范围（   ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【分析】直线恒过定点，直线与椭圆恒有交点等价于定点在椭圆内部或椭圆上，将点代入椭圆不等式求出，再结合椭圆标准方程要求分母不相等，补充，得到取值范围． 【详解】直线恒过，要直线与椭圆总有交点， 所以定点在椭圆内部或椭圆上，即，解得， 又椭圆中，所以且． 知识点02 直线与圆锥曲线相交求弦长 1.设斜率为()的直线与圆锥曲线相交于，两点，，，则 2.特别，若直线过抛物线的焦点，则弦长(为弦的倾斜角). 【即学即练】 （25-26高三·全国·一轮复习）已知，点P满足，记点P的轨迹为E．直线与轨迹E交于A，B两点，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】由题意可知点P的轨迹是双曲线，通过联立方程组利用弦长公式求解. 【详解】由知，点P的轨迹E是以为焦点的双曲线， 设轨迹E的方程为，因为，所以， 故轨迹E的方程为， 设，由可得， 则则． 知识点03 中点弦问题 直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。 主要有以下几种问题： （1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线； 中点， ， 2、点差法 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ； 将两式相减，可得；整理得： 【即学即练】 例1：（2026·新疆·一模）在双曲线中，过左焦点的直线与双曲线同一支交于不同的两点，，线段的中点为．若直线的斜率为，则直线的一般式方程为___________． 【答案】 【分析】先根据方程求出焦点坐标，利用点差法及的斜率可求斜率，点斜式可求方程. 【详解】由双曲线的方程可知,设， 则，两式相减可得，即， 所以， 因为直线的斜率为，所以,所以， 直线的方程为，即，经检验符合题意. 故答案为： 例2：（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）已知椭圆的离心率，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆上的两点，关于直线对称，求弦的中点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点在椭圆上，结合离心率，以及，解出，，从而求出椭圆方程； （2）利用椭圆上的两点，关于直线对称，可得到线的斜率， 根据弦的中点在直线上，和线的斜率结合，求出点坐标. 【详解】（1）由离心率定义可知，，因此可得，即， 又，即，即，又因为点在椭圆上， 所以，即，解得，从而得到. 所以椭圆的标准方程为 （2）如图： 因为椭圆上的两点，关于直线对称， 所以直线与直线垂直，又直线的斜率为2， ； 设，，两点都在椭圆上，即在椭圆上， 因此，两式作差，整理得， 即. 设弦的中点为，故有，， 所以，即， 又因为，故有  ①， 又因为弦的中点为也在直线上， 所以  ②， 由①②可得：，. 因此弦的中点为. 题型01 直线与圆锥曲线的位置关系判断 【典例1】（25-26高二下·上海浦东新·期中）直线与曲线的公共点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】在同一坐标系中分别画出直线和曲线的图象，即可直观的看出公共点的个数. 【详解】曲线， 当时，变形为：，即：当时，曲线表示焦点，实轴长为，虚轴长为的双曲线； 当时，变形为：，即：当时，曲线表示焦点，长轴长为，短轴长为的椭圆； 当时，代入得：，即：当时，代表两个点：和. 在同一个直角坐标系中画出直线和曲线的图象如图所示： 由双曲线的特点可知：当时，直线与曲线没有公共点， 所以直线与曲线有1个交点. 【变式1】（25-26高二上·重庆·期末）过点的直线与椭圆交点个数有（    ） A．0 个 B．1 个 C．1 个或 2 个 D．2 个 【答案】C 【分析】判断点与椭圆的位置关系是点在椭圆上，则可判断出过点 的直线与椭圆交点个数. 【详解】，在椭圆上， 过点 的直线与椭圆交点个数有1 个或 2 个. 故选：C. 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】先判断点与抛物线的位置，再分类讨论直线的情况. 【详解】将代入，解得，因此点在抛物线上， 当直线与抛物线相切时，即过点抛物线的切线； 当直线与抛物线的对称轴平行时，此直线与抛物线也只有一个公共点， 又因过点，所以这条直线为； 综上过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有2条. 【变式3】（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知双曲线过点，则下列结论正确的是（   ） A． B．双曲线的离心率为 C．双曲线的渐近线方程为 D．直线与双曲线仅有一个交点 【答案】AD 【分析】将点的坐标代入双曲线方程，可求出的值，可判断A选项；求出、、的值，结合双曲线的离心率公式可判断B选项；根据双曲线的方程可求出渐近线方程，可判断C选项；将直线方程与双曲线方程联立，结合判别式可判断D选项. 【详解】双曲线的标准方程为， 对于A选项，将点的坐标代入双曲线的方程得，解得，A对； 对于B选项，由A选项可知，双曲线的标准方程为，则，，， 双曲线的离心率为，B错； 对于C选项，双曲线的渐近线方程为，C错； 对于D选项，联立可得，则， 所以直线与双曲线仅有一个交点，D对. 故选：AD. 【变式4】（2026高三·全国·专题练习）已知点为椭圆上任意一点，直线，点F为椭圆C的左焦点． (1)求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标； (2)求证：直线与椭圆C相切； 【答案】(1)，左焦点 (2) 由椭圆，可得，即 当时，直线的方程为或，此时直线与椭圆相切； 当时，联立方程组，可得， 即， 则， 所以直线与椭圆相切， 综上可得，直线与椭圆相切. 【分析】（1）根据题意，求得的值，进而求得离心率和椭圆的左焦点； （2）由椭圆的方程，得到，结合直线与椭圆的位置关系的判定方法，即可求解. 【详解】（1）由椭圆，可得，则， 所以椭圆的离心率为，左焦点为. （2）略 题型02 根据直线与圆锥曲线的位置关系求参数 【典例1】（25-26高二下·甘肃平凉·期末）已知椭圆的长轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用待定系数法求椭圆方程； （2）直线与椭圆方程联立，根据，求的取值. 【详解】（1）由题意可得解得，， 故椭圆C的方程为． （2）联立得． 由题可得， 解得，． 【变式1】（2026·山东临沂·二模）（多选）已知曲线与直线只有一个公共点，则m，n可能的取值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【分析】根据各选项的条件联立曲线和直线方程，结合判别式判断根的个数，即可确定. 【详解】A选项，，时，联立与得 ，解得，故与只有一个公共点，满足要求； B选项，，时，联立与得 ，解得，故与只有一个公共点，满足要求； C选项，，时，联立与得 ，，故有两个不相等的实根， 即与有两个公共点，C错误； D选项，，时，联立与得 ，，故有两个相等的实根， 即与只有一个公共点，D正确. 【变式2】（25-26高二上·四川成都·期末）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则k的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先判断直线经过定点，结合图象可得时直线与抛物线相交于一点，再由直线与抛物线方程联立，利用根的判别式等于0即可求得. 【详解】由直线方程可知直线经过定点， 而该点恰在抛物线的对称轴上，故时， 两者有且仅有一个公共点； 联立，消去，可得，由，可得. 此时直线方程为与，恰与抛物线相切，两者有且仅有一个公共点. 故k的值可以是0，. 故选：ACD. 【变式3】（24-25高二上·山西太原·期末）已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l与抛物线C相切 C．当时，直线l与抛物线C有两个公共点 D．当直线l与抛物线C无公共点时，或 【答案】BD 【分析】直接代入点的坐标到直线方程验证后判断A；利用特例判断C；由直线方程与抛物线方程组成方程组，由方程组的解的情况判断BD． 【详解】选项A，因为，因此不是直线所过定点，A错； 选项B，时，直线方程为，代入抛物线方程得，解得，从而， 又直线与抛物线的对称轴不平行，所以直线与抛物线相切，切点为，B正确； 选项C，时，直线方程为，它与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个公共点，C错； 选项D，由得，， 由，得或，D正确． 故选：BD． 题型03 求圆锥曲线的切线方程 【典例1】（26-27高二上·全国·课后作业）若过点的直线与椭圆有且仅有一个公共点，则直线的方程为________． 【答案】 【分析】先说明直线的斜率存在，设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程.根据已知有，列出方程，求解即可得出答案. 【详解】因为，所以点在椭圆上， 又点不是椭圆的顶点， 由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 与椭圆的方程联立，消去得， 令， 化简，得，解得， 所以直线的方程为，即． 【变式1】（24-25高三上·湖南永州·阶段检测）过点可以作双曲线的两条切线，则点坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线的方程与双曲线的方程联立判断过点作双曲线的切线情况即可. 【详解】对于A：设过点切线为：代入化简整理有：，，因为渐近线为：，故A错误； 对于B:设斜率为，则过点的直线方程为,联立得， 则由， 所以过点有两条切线，故B正确； 对于C:因为双曲线得两条渐近线为：，又因为在直线上，所以过点的切线有且只有一条，故C错误； 对于D:因为在双曲线上，所以过点的切线有且只有一条，故D错误. 故选：B.    【变式2】（25-26高三下·北京·强基计划）已知椭圆，过点作椭圆的两条切线互相垂直，则的值为________． 【答案】 【详解】设过点的椭圆切线方程为，联立椭圆得： ， 则，化简整理得， 方程的两根对应切线的两条斜率，由韦达定理得， 已知两条切线互相垂直，故， 故，解得． 【变式3】（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知点在抛物线上，过点作抛物线的切线交轴于点． (1)求抛物线及切线的方程； (2)过抛物线的焦点F作直线，且与交于两点，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将点的坐标代入解出可得抛物线的方程，联立后利用可求得切线的方程； （2）求出直线的方程为，设，，将与的方程联立，利用韦达定理及即可求解． 【详解】（1）将点的坐标代入，得，解得， 所以C的方程为， 显然切线的斜率存在，设其方程为， 由，消去得， 则，故， 因此切线的方程为． （2）由（1）得C的焦点为，由于，故直线的方程为， 设，， 由，消去得， 则，， 故， 又切线的方程为，则，故 因此的面积．    题型04 圆锥曲线的弦长问题 【典例1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A、B两点，则弦的长为________． 【答案】/ 【分析】依题意，写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求得. 【详解】由题意知，椭圆的右焦点的坐标为，直线的方程为． 联立方程，消去y整理得． 设，由根与系数的关系，得． 则. 【变式1】（2026·甘肃金昌·三模）双曲线的右焦点为，右顶点为是的一条渐近线，点到的距离为，点到的距离为，直线与交于点，则__________. 【答案】30 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式列式求得，求得双曲线的标准方程，将直线与双曲线方程联立，结合弦长公式求得答案. 【详解】设，渐近线的方程为， 则到的距离，到的距离， 所以，又，所以， 所以双曲线的标准方程为. 由，得， 设，则， ，所以， 所以. 【变式2】（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知椭圆：的焦距为4，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于、两点，求弦的长度． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由离心率和焦距列出等式，求得即可； （2）由弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题知得，， 所以椭圆的方程为． （2）椭圆的右焦点，所以直线的方程为：， 代入椭圆的方程，化简得，， 设，，由韦达定理知，，， 故． 由弦长公式，得， 即弦的长度为． 【变式3】（26-27高二上·重庆江北·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，过作垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，． (1)求抛物线的方程； (2)过作斜率为2的直线与抛物线交于，两点，求． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）求出过且垂直于轴的直线，与抛物线方程联立，结合求解即可. （2）根据直线的点斜式方程求出直线，与抛物线方程联立，代入弦长公式求解即可. 【详解】（1）抛物线：的焦点为. 过且垂直于轴的直线为，代入抛物线方程得，则. 所以，解得. 故抛物线的方程为. （2）由（1）知，，故直线的方程为. 与联立整理得，， 设，，则，. 所以. 故. 题型05 圆锥曲线的中点弦问题 【典例1】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）设直线l与椭圆相交于A，B两点，且的中点为，则直线l的斜率为______. 【答案】 【分析】利用点差法求解即可. 【详解】设，由的中点为，有， 直线l与椭圆相交于A，B两点，则， 两式作差变形得， 即，得， 所以直线l的斜率为. 故答案为： 【变式1】（26-27高二上·全国·课后作业）过点的直线与双曲线相交于，两点，且为的中点，则直线的方程为______． 【答案】 【分析】利用“点差法”求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即可． 【详解】设，，则，， 两式相减得, 因为为的中点，所以，, 所以，即所求直线的斜率为1， 所以直线的方程为，即． 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，则线段AB中点M的轨迹方程是_______． 【答案】 【分析】由题意，设直线方程为，，中点，应用点差法得到，结合在椭圆内部求自变量范围即可得. 【详解】倾斜角为，故直线斜率，    设直线方程为，，中点，则， 由在椭圆上，故，则， 由，，，可得， 联立椭圆方程，得，而中点在椭圆内部，故， 所以点M的轨迹方程为. 【变式3】（25-26高二下·甘肃·期末）已知抛物线与圆相交于、两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若、是上两点，且线段的中点为，求． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用抛物线与圆都关于轴对称，得到垂直轴，结合弦长求出点坐标，代入抛物线即可求出. （2）用点差法，根据中点纵坐标求出直线的斜率，写出直线方程；再联立抛物线方程，利用韦达定理和弦长公式求出. 【详解】（1）因为抛物线与圆都关于轴对称， 所以交点关于轴对称，弦垂直于轴， 因为，所以点纵坐标， 把代入圆方程：，解得， 因为，所以，所以， 将代入抛物线方程， 得到，解得，即， 抛物线的方程为：. （2）设，，两点都在抛物线上， 则有， 两式作差可得 ， 由中点，得， 直线斜率， 直线方程：，整理得， 联立， 把代入抛物线，得到 ， 由韦达定理可得：， 又 则， . 题型06 根据圆锥曲线的弦长求参数 【典例1】（26-27高三上·福建福州·阶段检测）椭圆的离心率为，且椭圆与直线相交于，两点，，则________． 【答案】6 【分析】先根据离心率以及得到的倍数关系，然后化简椭圆方程并联立直线与椭圆方程，利用韦达定理形式结合弦长公式表示出，由此求解出的值. 【详解】因为，所以，所以，， 所以椭圆方程为，设， 联立直线与椭圆方程得，消去y得， 所以， 由，得， 由弦长公式得：， 所以解得，满足，所以. 【变式1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的左顶点为，过点的直线交于另一点．若，则直线的斜率为__________________． 【答案】 【分析】根据题意，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，求出点的纵坐标，结合弦长公式可得出关于的方程，解出的值，即可得出直线的斜率. 【详解】由题意可得，若直线与轴重合，则，不符合题意， 设直线的方程为，设点，其中， 联立可得，解得， 由弦长公式可得， 整理可得，即，解得， 故直线的斜率为. 【变式2】．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则_______． 【答案】 【分析】联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据弦长公式求解. 【详解】设双曲线与直线交于两点， 由消去整理得，则，解得，且， 所以． 由，解得，所以． 故答案为： 【变式3】（24-25高三上·青海西宁·阶段检测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ． (1)求椭圆 的离心率； (2)过点 的直线 与椭圆 交于 两点，若 ，求直线 的方程． 【答案】(1)；(2) 或 ． 【分析】（1）主要考查根据椭圆的标准方程求离心率，代入离心率的公式，即可； （2）主要考查直线与椭圆的位置关系以及弦长公式，分类讨论直线的斜率存在还是不存在，当直线的斜率，存在的时候，联立直线与椭圆的方程，整理得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到和，进而得到，建立关于的方程，解出，得到直线的方程. 【详解】（1）由 的方程知 ，，所以 ， ．故离心率 ． （2）由（1）知 ． ① 当直线 的斜率不存在时，．代入 得 ，即 ，，此时 ，不合题意． ② 当直线 的斜率存在时，设 ．代入 并整理得 ．其判别式 ． 设 ， ，则 ，，． 所以 ． 由 得 ，即 ，解得 ，故 ． 所以直线 的方程为 ，即 或 ． 题型07 直线与圆锥曲线中的面积（定值）问题 【典例1】（26-27高二上·江苏·阶段检测）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为______. 【答案】 【分析】由椭圆的定义有，结合可得，，又，则三角形面积可求. 【详解】由椭圆，有. 由椭圆的定义有，又， 所以，，又. 在中，， 所以为直角三角形， 的面积为 . 【变式1】（26-27高三上·甘肃酒泉·开学考试）已知为双曲线的上焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点．若（为坐标原点），则的面积为______． 【答案】 【分析】设设圆与轴交于点两点，利用双曲线的性质可知焦点到渐近线的距离为，由垂径定理可知，再结合圆的切割定理可知 即,求解出，再代入双曲线方程中利用圆的性质求的面积. 【详解】双曲线的渐近线方程为即， 设，则，点到渐近线的距离为， 所以，由于，所以点位于轴上方， 如图所示，设圆与轴交于点两点，根据圆的切割定理可知， 即, 即 又， 所以，故，解得（负值舍去）， 所以双曲线方程为，，. 【变式2】（25-26高二上·上海虹口·期中）已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的离心率是__________． 【答案】/ 【分析】设的内切圆半径为，结合双曲线定义与三角形面积公式推导、的关系，进而求出离心率。 【详解】设的内切圆半径为, 根据双曲线的定义，点在双曲线右支上，故，双曲线的焦距, 由三角形面积公式可得 ，，, 代入题设条件， 得 ，得 ,由于，两边约去得， 故双曲线的离心率. 【变式3】（2025·陕西榆林·模拟预测）设双曲线的左､右焦点分别为，，为双曲线上一点，且，若的面积为3，则__________. 【答案】 【分析】整理双曲线为标准形式，求出焦距；设焦点到点B的距离，结合双曲线定义、勾股定理及三角形面积，联立方程求解得的值. 【详解】将双曲线方程整理为，则. 由，得，故. 设，，由双曲线定义得， 由得. 的面积为，故. 由，代入得， 即，解得，又，故. 故答案为： 【变式4】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知双曲线，过作倾斜角分别为的两条直线，且分别与C交于不与P重合的A，B两点，则的面积为______． 【答案】5 【分析】求得直线的方程，求得两点的坐标，判断出是直角三角形，进而计算出的面积. 【详解】将的坐标代入C的方程，成立，故点P在双曲线C上， 过点，倾斜角为，其斜率， 则的方程为，即， 代入C的方程，化简可得，解得或（舍）， 当时，，故点A的坐标为， 直线过点，倾斜角为，其斜率， 则的方程为，即， 代入C的方程，化简可得，解得（舍）或， 当时，，故点B的坐标为， 因为，所以，所以是直角三角形， 且， 故. 故答案为：5    题型08 直线与圆锥曲线中的面积（最值、范围）问题 【典例1】（2027高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为和，由和四个点构成了一个高为，面积为的等腰梯形．则椭圆的方程________．若过点的直线与椭圆交于两点，则面积的最大值是________． 【答案】 3 【分析】（1）由等腰梯形的高直接得，利用梯形面积公式得到，再结合椭圆关系式联立方程组，解出，写出椭圆标准方程. （2）设过焦点的直线，联立椭圆，由韦达定理求出，代入面积转化为以为底、为高，换元后利用函数单调性求得面积最大值. 【详解】（1）如图： 由条件，得，且，． 又，解得． ∴椭圆的方程为． （2）显然，直线的斜率不能为0，如图： 设直线的方程为，， 联立方程，得消去得，，∴， ． ． 令，设， 易知函数在上单调递增， ∴当，即时，，此时取得最大值，为3． 【变式1】（26-27高二上·全国·课后作业）从椭圆上的动点作圆的两条切线，切点为和，直线与轴和轴的交点分别为和，则面积的最小值为________． 【答案】 【分析】首先根据圆的切线方程，确定直线的直线方程，再求点的坐标，求三角形的面积，再根据基本不等式求最值. 【详解】设点，，，由题意知，． 直线和的方程分别为，， 因为点在直线和上，所以，． 可知，两点坐标都满足方程，所以直线的方程为． 由此可得直线与轴和轴的交点分别为和， 所以的面积． 因为，所以． 所以，当且仅当时，面积取得最小值，最小值为． 【变式2】（26-27高二上·全国·课后作业）已知椭圆的两个焦点分别为，，且椭圆与直线相切．过作两条互相垂直的直线，，与椭圆分别交于点，及，，则四边形面积的最大值与最小值分别为________． 【答案】2， 【详解】设椭圆方程为．因为它与直线只有一个公共点，所以方程组只有一组解，消去，整理得． 所以，化简得． 又焦点为，，所以，联立上式解得，， 所以椭圆的方程为．    若直线的斜率不存在（或为0），则四边形的面积为． 若直线的斜率存在且不为0，设为，则直线的斜率为． 所以直线的方程为，设，， 联立方程得化简得， 则，， ， 同理可得． 所以． 因为（当且仅当时，等号成立）， 所以，所以． 综上所述，四边形面积的最大值为2，最小值为． 【变式3】（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知点，点在双曲线上，记的面积为的面积为，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】利用点到直线的距离公式、两点间距离公式及三角形面积公式表示出三角形面积，进而表示出三角形面积和，结合基本不等式计算即可. 【详解】设点，则. 直线的方程：，即；直线的方程：，即. ， 点到直线的距离：， . ，点到直线的距离：， . 所以. 设，，则，. ，当且仅当，即时，等号成立. 因此的最小值为. 故答案为：. 题型09 圆锥曲线中的定点问题 【典例1】（2026高二上·全国·专题练习）已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上． (1)求的方程； (2)设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点． 【答案】(1) (2)证明：将椭圆按照向量平移， 则得到方程， 平移后，，设方程为， 即（构造齐次式）， 同除以得，， 因为点，的坐标满足这个方程， 所以，是这个关于的方程的两个根． 所以， 故过定点，平移回去可得过定点， 所以过定点． 【分析】 （1）根据给定条件，判断椭圆所过的三点，列出关于的方程求解即得. （2）按直线的斜率存在与不存在设出方程，再与椭圆的方程联立，借助韦达定理计算作答. 【详解】（1）根据椭圆的对称性，，，两点必在椭圆上， 又的横坐标为1，所以椭圆必不过， 所以，，，三点在椭圆上． 把，，代入椭圆， 得：， 解得，， 所以椭圆的方程为． （2）略 【变式1】（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知过点的动直线与抛物线交于两点，定点不在上，若恒成立，则的值为__________. 【答案】 【分析】设直线的方程为，联立抛物线，应用韦达定理及，得到含参数的方程，即可得. 【详解】由题意得，直线的斜率不为0，设直线的方程为， 联立，消元得，    设点，则， 由，得， 所以，即， 化简整理得， 所以对任意恒成立，则. 故答案为： 【变式2】（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知椭圆C：（）的离心率，且椭圆C经过点. (1)求椭圆C的方程； (2)设P是椭圆C的上顶点，直线l交椭圆C于A，B两点（A，B均不与P重合），直线与的斜率之积为，探究：直线l是否过定点？若是，求该定点坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1)；(2)过定点， 【分析】（1）由离心率及过定点列方程组，解出与，得椭圆方程； （2）先讨论斜率不存在情形并排除，再设直线方程，联立椭圆由韦达定理及斜率条件化简，得直线过定点. 【详解】（1）由题意可得， 解得，所以椭圆C的方程为． （2）显然，当直线的斜率不存在时， 设（且） 则，． ． 即当直线l的斜率不存在时，不符合要求． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为（）． 联立，消去得， 则， 设，， 所以，， 则 ， 则， 则， 整理得，解得（舍去）． 所以直线过定点． 【变式3】（26-27高三·全国·一轮复习）已知直线与抛物线相交于A，B两点，且． (1)求证：直线AB必过一定点； (2)求面积的最小值． 【答案】(1)证明：设直线AB方程：，，， 由消去x并整理得， ∴，，由得 解得或（舍去）．∴直线AB过定点． (2)4 【分析】（1）设直线AB方程：，与抛物线的方程联立，根据韦达定理，由垂直的向量表示，可得关于的方程，求解可得的值，从而得到直线所过定点； （2）由（1）可得面积， 根据韦达定理，并结合二次函数的最值求法可得面积的最小值． 【详解】（1）略 （2）由（1）得， ∴当时，的面积取得最小值为4． 题型10 圆锥曲线中的定值问题 【典例1】（25-26高二下·云南文山·阶段检测）（多选）已知抛物线C：，过焦点的直线交于点，，则（   ） A．的坐标为 B． C．的最小值为3 D． 【答案】BD 【分析】A根据抛物线的性质求焦点坐标可判断，B设直线，联立方程组结合根与系数的关系求可判断，C结合抛物线焦点弦公式求弦长的表达式，再求其最小值可判断，D根据抛物线定义利用表示，进一步计算可判断. 【详解】A，抛物线，设抛物线的焦点到准线的距离为，则， 故的坐标为，故A错误； B，设直线，联立，得， 方程的判别式，，， ，， 故，故B正确； C，因为， 所以时，弦的长度最小，最短弦的长度为4，故C错误； D，由，得，故D正确. 【变式1】（25-26高二下·云南·期中）已知抛物线：的焦点为圆：的圆心，过圆心的直线与抛物线和圆交于自上而下的四个点，，，，则的值是______. 【答案】1 【详解】由题可知，抛物线的焦点为，直线的斜率存在，设直线方程为：， 由消去得，设，， 由韦达定理得，则， 由抛物线的定义知，，， 所以，， 所以. 【变式2】（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）已知椭圆：的离心率为，长轴长为4． (1)求的方程； (2)设的左顶点为，上两点，关于原点对称，且在第一象限，求直线与直线的斜率之积． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据椭圆的基本性质：先根据长轴长求出长半轴，再由离心率公式算出半焦距，最后依靠椭圆中满足的平方关系求出，把、代入椭圆标准方程，就能写出椭圆方程； （2）先设出椭圆上点的坐标，利用原点对称写出点的坐标；借助斜率公式表示两条直线的斜率并相乘，再利用点在椭圆上这个条件，得到横纵坐标的关系式，将整体代入斜率乘积的式子，消去变量，化简后得到斜率之积的定值. 【详解】（1）由题意得：，解得， ∵，∴， 由，得：， 故椭圆的方程为. （2）∵椭圆的左顶点， 设，由、关于原点对称得， ∴， ， 在椭圆上，∴，即， 代入得：， 直线与直线的斜率之积为 . 【变式3】（26-27高三上·广东惠州·阶段检测）已知椭圆的离心率，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于两点，设直线和的斜率分别为. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)（i）由（1）知，所以右焦点， 设过点的直线方程为（），交椭圆于， 将直线方程代入椭圆方程， 得，化简得， 由判别式，得 ， 根据韦达定理， 直线的斜率分别为， 因为， 所以， 分子为，所以为定值； （ii） 【分析】（1）根据离心率可得的关系，将点代入椭圆方程，结合求出即可得到椭圆的标准方程； （2）（i）由（1）可知右焦点，设直线方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理表示交点的坐标关系，再计算斜率和，即可得证； （ii）三角形面积可以表示为，其中，利用韦达定理将用表示，通过换元求最值. 【详解】（1）由离心率，得， 所以，即， 将点代入椭圆方程，得， 将代入上式，得， 从而， 所以椭圆 的标准方程为. （2）（i）略； （ii）由于 在轴上，，直线过点，如图所示， 的面积为， ， 令，则，，， 由基本不等式，当且仅当（即）时取等号， 此时， 所以面积的最大值为. 题型11 圆锥曲线中的定直线问题 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）如图，已知抛物线，过点任作一直线与相交于两点，过点作轴的平行线与直线相交于点（为坐标原点），则动点在定直线（    ）上    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，的方程为，联立抛物线方程结合韦达定理有，联立方程得，从而由即可得解. 【详解】依题意可设的方程为，代入，得， 即，显然，设，则有， 直线的方程为的方程为，解得交点的坐标为， 注意到及，则有， 因此点在定直线上． 故选：A. 【变式1】（25-26高三上·四川成都·阶段检测）（多选））已知分别是双曲线的左､右顶点，过点的直线交该双曲线的左，右两支于两点，下列说法正确的是（    ） A．该双曲线的渐近线方程为 B．若该双曲线的离心率与椭圆的离心率互为倒数，则 C．或 D．若直线AD与直线BE交于点Q，点Q在定直线上 【答案】BCD 【分析】根据双曲线的方程，可得，代入渐近线公式，即可判断A的正误；求出双曲线离心率，由题意可得椭圆离心率，代入公式，求得a值，可判断B的正误；根据题意，可得，求出m的范围，可判断C的正误；设，表示出直线AD与直线BE的方程，联立求出交点Q的横坐标表达式，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理，代入化简，可判断D的正误. 【详解】选项A：由题意双曲线中，则， 所以渐近线方程为，故A错误； 选项B：双曲线的离心率， 所以椭圆的离心率， 所以，解得， 因为，所以，故B正确； 选项C：因为双曲线的渐近线为，直线变形为， 因为直线l交双曲线的左，右两支于两点， 所以，解得或，故C正确； 选项D：设，由题意， 联立，得， 所以， 又，则， ，则， 联立，得， 整理得， 又，代入上式， 化简可得 ， 所以直线AD与直线BE的交点Q在定直线上，故D正确. 故选：BCD 【变式2】（25-26高二下·湖北·期中）已知椭圆焦距为4，短轴长为4． (1)求椭圆的方程． (2)若椭圆与轴的交点为A，B（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)在定直线上 【分析】（1）根据条件，可得b，c的值，根据的关系，可得的值，即可得答案. （2）将直线l与椭圆联立，根据韦达定理，可得表达式，求出直线AN、BM的方程，联立求解，化简整理，即可得答案. 【详解】（1）依题意可得，解得，则， 所以椭圆的方程为； （2）点在定直线上，理由如下： 设点， 联立，与直线联立消去，整理得， 由，得 且， 所以， 易知，则， 两式作商得，解得， 故在定直线上． 【变式3】（25-26高二上·北京西城·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，点是线段上一点，且满足.求证：点在一条定直线上. 【答案】(1)； (2) 证明：由题可知直线l斜率存在，设直线， 联立， 则，即， 由题可设，， 则，且， 所以， ， 同理，， 所以由得即， 又由题意可知， 所以，所以，整理得， 所以，整理并化简得， 所以，在定直线上.    【分析】（1）由题设结合椭圆中的几何意义及其关系即可求解； （2）先由题设直线，与椭圆联立得韦达定理，将韦达定理代入转换化简后的代数式求出点T的横坐标为定值即可得证. 【详解】（1）由题可得即， 所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）略 题型12 圆锥曲线中的向量问题 【典例1】（2026·广东广州·模拟预测）已知，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆方程求出焦点坐标，设椭圆上点，利用坐标公式计算，结合椭圆方程消去，化简得到关于的函数；结合椭圆中的取值范围，求解数量积的取值范围. 【详解】由椭圆方程为，可得长半 ；短半轴 ； 所以椭圆的半焦距， 故椭圆的左、右焦点坐标分别 ，. 设椭圆上任意一点的坐标为，， 则向量，， ， 由椭圆方程，可得 ，代入数量积的表达式得： ， 由，可得： 当（即点在椭圆短轴端点处）时， 取得最小值； 当 （即点在椭圆长轴端点处）时， 取得最大值 . 所以 的取值范围是 . 【变式1】（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）椭圆：（）的左右焦点分别为，，是上一点且．是内心，连接的直线交轴于．若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，推出点在轴的右侧，由角平分线定理得，推出，，再在中，由余弦定理得出的关系， 【详解】如图所示； 是内心，是的角平分线，. 又，. 在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，，. ，，. 由椭圆的定义得，，，. 在中，由余弦定理得, ，化简得. 该椭圆的离心率为. 【变式2】（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知椭圆的左右焦点是、，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值； (3)若为坐标原点，直线过且与椭圆交于、两点，求的最大值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据条件确定的值，可得椭圆的标准方程. （2）利用弦长公式，可得的值. （3）设直线方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理，表示出，分离常数，可求的最大值. 【详解】（1）由题意，， 所以椭圆的标准方程为：. （2）将代入椭圆方程， 可得，整理得：. 由. 设直线与椭圆的交点为，， 则，， 所以. 又， 所以，故的值为. （3）如图， 当直线方程为时，； 当直线斜率不为0时，可设其方程为，代入椭圆方程， 得， 整理得：. 设，，则，， 所以， 所以， 当时，取得最大值，为. 【变式3】（25-26高二上·浙江·期中）动点与定点的距离和它到定直线的距离比为． (1)求动点的轨迹方程； (2)若斜率为的直线与圆相切，与（1）中所求点的轨迹交于两点，且（其中为坐标原点），求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用已知条件列方程并化简即可求出动点的轨迹方程； （2）设直线方程为，联立曲线方程，运用韦达定理结合已知向量关系得出关于的不等式，解不等求的取值范围． 【详解】（1）动点与定点的距离和它到定直线的距离比为 ，化简得：． 动点的轨迹方程为：． （2）设直线方程为，，， 直线与圆相切，，即， 联立，消去，得， ， 且， 由韦达定理得， , 即，， ，， ，解得， 解得或， ． 1．（2025高二上·河南安阳·专题练习）直线与椭圆的交点个数为（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先确定直线所过的定点，再结合点与椭圆的位置关系判定选项. 【详解】由直线的方程，得， 因为，所以，即直线过定点. 又因为，所以此定点在椭圆上，所以直线与椭圆有1个或2个交点. 故选：C. 2．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知F是双曲线C：的上焦点，直线与双曲线C交于A，B两点，其中A在第一象限，，且，则双曲线C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对称性可得，且，不妨设，由余弦定理可得，结合离心率公式即可求解. 【详解】直线与双曲线都关于原点对称，则它们的交点也关于原点对称，记C的下焦点为， 利用对称性，四边形为平行四边形，则，， 可得，且， 不妨设，，， 离心率． 3.（25-26高二下·四川德阳·阶段检测）（多选）已知抛物线，焦点为，准线为，为坐标原点，点、在上，直线过点，则下列说法正确的是（   ） A．焦点到准线的距离为 B．若，则点的纵坐标为 C． D． 【答案】ACD 【分析】求出的值，可判断A选项；利用抛物线的焦半径公式求出点的坐标，可判断B选项；设直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理以及抛物线的焦半径公式可判断C选项；利用平面向量数量积的坐标运算以及韦达定理可判断D选项. 【详解】对于抛物线，，则，故其焦点为，准线为， 设点、， 对于A选项，焦点到准线的距离为，A对； 对于B选项，，可得，则，解得，B错； 对于C选项，若直线与轴重合，则该直线与抛物线有且只有一个交点，不符合题意， 设直线的方程为，联立可得， ，由韦达定理可得，， 所以 ，C对； 对于D选项，，D对. 4.（2026高三上·全国·专题练习）设直线l：关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A，B，点P为椭圆上动点，则使的面积为的点P的个数为______ 【答案】2 【分析】求出直线为，与椭圆方程联立求出点A、B的坐标，设点，利用的面积为，可得或与分别联立，判别解的个数，即可选出答案. 【详解】直线关于原点对称的直线为 联立，解得或 则，，所以 又的面积为，所以边上的高为 设，则，点到直线的距离 化简得：或 联立，得，其中，故方程无解； 或，得，其中，方程有两个不同解. 即a有两个不相等的根，对应的b也有两个不等根，所以满足题意的点P的个数为2个. 5．（24-25高二下·上海宝山·期中）若关于的方程有实数解，则实数的取值范围是__． 【答案】 【分析】先将方程转化为函数形式，把方程有解的问题转化为函数图象有交点的问题，即等轴双曲线位于轴上方的部分与经过定点的动直线有交点的问题.通过计算直线与双曲线相切时的值，再结合双曲线渐近线的知识，从而确定实数的取值范围. 【详解】已知，两边同时平方可得，即. 因为根号下的数非负，所以，那么原问题就转化为等轴双曲线位于轴 上方的部分与经过定点的动直线有交点的问题. 将代入中，可得： 则则 因为直线与双曲线相切，所以此一元二次方程的判别式， 即 ，解得. 等轴双曲线的渐近线方程为. 当直线与双曲线有交点时，结合图象（如图所示）， 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 6．（25-26高二上·湖北荆州·阶段检测）已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦AB的中点，则直线l的方程为______． 【答案】 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，结合中点坐标公式和韦达定理即可求出直线的方程. 【详解】显然直线不垂直于轴，如图所示，故设直线的方程为, 联立直线的方程与抛物线方程得,消去得, 由弦AB的中点为，结合韦达定理和中点坐标公式得， 此时方程有两个不等实根， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 7.（25-26高二上·天津河西·期末）已知直线与双曲线交于、两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是__________． 【答案】 【分析】设出两点的坐标，利用点差法进行求解. 【详解】设，，则，，， 因为两点在双曲线上，所以， 两式相减得，则， ，故双曲线的渐近线方程是，经验证此时直线与双曲线有两个交点. 故答案为：. 8.（25-26高二上·河北张家口·期末）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在直线的方程为______. 【答案】 【分析】设弦所在直线与双曲线的交点分别为，，根据题意利用点差法运算求解. 【详解】设弦所在直线与双曲线的交点分别为，，显然， 则，即， 因为，两式作差得， 可得，可知弦所在的直线的斜率为， 故所求直线为，整理得， 联立方程，消去y可得， 则，符合题意. 故答案为：. 9.（26-27高二上·全国·课后作业）已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，则弦的中点的轨迹方程为________． 【答案】 【分析】方法一：设，，利用中点坐标公式结合点差法运算求解即可；方法二：设直线的方程为，，，利用韦达定理可得，消参即可. 【详解】方法一：设，，弦的中点为，则， 因为，两式相减可得， 即，可得， 显然，则有： 若，则，且， 即，整理可得； 若，检验可知符合； 故所求轨迹方程为． 方法二：由题意可知：直线的斜率不为0， 设直线的方程为，，， 联立方程，消去x可得， 则，则，， 可得， 设的中点为，则， 消去m可得，整理可得， 所以所求轨迹方程为． 10．（2026·山西晋城·三模）已知直线与椭圆交于不同的两点A，B，若，则实数______． 【答案】4 【详解】联立，得 ， 则，解得，且， 所以，解得． 11．（24-25高二上·全国·课后作业）过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于A，B两点，使得，若这样的直线有且只有两条，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【分析】根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①直线只与双曲线右支相交，②直线与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，综合可得答案． 【详解】解：过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于，两点， 如果在同一支上，则有；如果在两支上，则， 又与不可能同时等于6， 要使得，这样的直线有且只有两条， 则或，解得或． 则实数的取值范围是. 故答案为： 12．（24-25高三·全国·二轮复习）抛物线的焦点为F过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若，则抛物线的方程为________________． 【答案】 【分析】利用抛物线的焦点弦基于倾斜角的弦长公式即可求解. 【详解】，， 抛物线的方程为. 故答案为：. 13．（26-27高二上·全国·课后作业）等腰直角三角形内接于抛物线，为抛物线的顶点，，则的面积是________． 【答案】 【分析】由抛物线及等腰直角三角形的对称性可得直线的方程为，从而可得及，进而可得三角形的面积. 【详解】不妨设点在轴上方， 因为为等腰直角三角形，且，故， 又抛物线关于轴对称，因此两点关于轴对称，所以. 所以直线的方程为，由得，所以，． 所以. 14．（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为F，AB是过焦点F的弦．且AB的倾斜角为，则的面积为__________． 【答案】4 【分析】首先求出直线方程，再与抛物线联立，利用韦达定理求出的面积. 【详解】抛物线方程为：，焦点为，AB的倾斜角为， 所以所在的直线方程为：，联立消去整理得：， 由韦达定理得：，， 点到直线：的距离为：， 所以的面积为：. 15．（25-26高二上·北京东城·期末）已知抛物线：的顶点为，焦点为，准线为，点在抛物线上.若点到准线的距离为2，则的面积为______. 【答案】1 【分析】根据抛物线定义和到准线的距离为2求点的坐标，再根据三角形面积公式计算面积. 【详解】由：可得,则, 如图所示，不妨设点位于第一象限，过点向准线作垂线交准线于， 则，解得,则垂直于轴， 代入：，解得，则， 所以的面积为. 故答案为：1.    16．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）已知抛物线的焦点为，的准线与轴的交点为，若过点的直线与交于两点，且，则的面积等于__________． 【答案】 【分析】根据题意可得抛物线方程及点坐标，设出直线的方程并联立曲线，再由韦达定理和抛物线焦半径公式可解点，然后可求的面积. 【详解】如图，因为抛物线的焦点，所以，解得， 则抛物线的方程为，准线方程为，， 易知直线斜率存在，设方程为， 联立，整理得, 由韦达定理得，， 又，，且 ∴，即代入， 整理得，解得或（舍）， 所以，，所以， 的面积等于 故答案为：. 17．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为. (1)求C的方程； (2)已知是双曲线外一点，过P引双曲线C的两条切线为切点，求直线的方程. 【答案】(1)；(2)，， 【分析】（1）根据实轴长和右焦点F到渐近线的距离求出，进而求出双曲线方程； （2）设出切线方程，代入到双曲线方程中，根据判别式为求出斜率，从而得到切线方程和切点，进而求出直线的方程. 【详解】（1）由题可知，所以， 又，渐近线方程为，即， 所以F到渐近线的距离为， 所以双曲线的方程为； （2）过点且斜率不存在的直线方程为，代入中，得， 所以是双曲线C的一条切线，不妨令，所以直线的方程为； 当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即， 代入中，整理得， 因为与双曲线相切，故， 展开并化简得：，解得， 所以直线的方程为，即， 联立，解得， 所以直线的方程为. 18．（25-26高二下·上海黄浦·期末）若动点P满足到的距离等于到直线的距离，动点P的轨迹为曲线C，则求： (1)动点P的轨迹方程： (2)过点且与曲线C只有一个公共点的直线． 【答案】(1)；(2) 和 【分析】（1）利用抛物线的定义：平面内到定点与定直线的距离相等的点的轨迹为抛物线，可直接求出轨迹方程； （2）过定点与抛物线只有一个公共点的直线，包括抛物线的切线和与抛物线对称轴平行的直线两类，需分情况讨论斜率是否存在. 【详解】（1）根据抛物线的定义： 动点到定点的距离等于到定直线的距离， 因此曲线是以为焦点、直线为准线的抛物线. 设抛物线方程为， 由焦点坐标，得，即， 所以动点的轨迹方程为：. （2）设过点的直线为，分两种情况讨论： 当直线斜率不存在时，此时直线方程为，与抛物线只有一个公共点，符合条件. 当直线斜率存在，设为，直线方程为，即， 联立抛物线方程，得：， 当直线与抛物线相切时，方程有且仅有一个解，判别式， 即， 解得，此时直线方程为. 综上，过点且与曲线只有一个公共点的直线为： 和 . 19．（2026·河北·二模）已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 【答案】(1)；(2)4 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程得到与的关系，再将点的坐标代入双曲线方程，联立求解出，的值，进而求出的值，得到焦距； （2）先求出直线的方程，然后联立直线与双曲线的方程，利用弦长公式求出即可. 【详解】（1）由题意得： ， 又，可得， ，则双曲线的焦距为． （2）双曲线的方程为， 右焦点坐标为， 设直线的斜率为． 直线的方程为：， 联立，整理得， 因 设，则 ． 20．（26-27高三上·广西南宁·开学考试）已知点在抛物线上． (1)求的方程； (2)过的焦点作斜率为的直线，且与交于两点，求． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据条件，直接求出的值，即可求解； （2）根据条件，由（1）可得直线l的方程，联立直线与抛物线方程，再利用根与系数间的关系和抛物线的定义，即可求解. 【详解】（1）将点的坐标代入，得，解得， 所以的方程为． （2）由（1）得的焦点为， 所以直线l的方程为，设，． 由，消得， 则，，， 所以． 21．（25-26高二下·海南·期末）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，且过点，过该抛物线的焦点且倾斜角为的直线，与抛物线相交于、两点． (1)求抛物线的标准方程和线段的长． (2)求的值． 【答案】(1)抛物线的标准方程为，；(2) 【分析】（1）根据题意，设抛物线的标准方程为，将点的坐标代入抛物线方程，求出的值，即可得出该抛物线的标准方程，然后将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和焦点弦长公式可求得的值； （2）利用抛物线的焦半径公式和韦达定理可求得的值． 【详解】（1）由题意，设抛物线的标准方程为， 将点的坐标代入抛物线方程得，解得， 故该抛物线的标准方程为， 设点，，易知抛物线的焦点为，则直线的方程为， 联立可得，， 所以，， 故． （2）． 22．（25-26高二下·海南·期末）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于． (1)求椭圆的离心率． (2)已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据椭圆的定义可得，再求离心率即可； （2）先求得椭圆方程，设，，进而可得，，再利用作差法可得直线的斜率，然后根据点斜式求直线方程即可． 【详解】（1）椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为， ，， ． （2）， 椭圆的标准方程为； 设，． 因为是的中点，所以，， 即：，， 点和都在椭圆上：， 将相减；， 即：， 代入和， ， 即：， 因此，直线的斜率：， 直线过点，斜率为， 其方程为：，即． 23．（2026·四川广安·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，椭圆上的点到的距离最大值为. (1)求和的离心率； (2)过点的直线交于，两点，若为的中点，求的方程. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据条件列关系式可得； （2）设，与椭圆方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式可得. 【详解】（1）由题意可知，，得， 则的离心率为； （2）由（1）知，， 若直线斜率为或不存在，则线段的中点应在坐标轴上， 故设，， 联立，得， 则，得， 故的方程为. 24．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）已知双曲线经过点 (1)求E的方程； (2)设直线经过E的右焦点，且与E交于不同的两点M，N，点N关于x轴的对称点为P，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)由（1）知E的右焦点为，则， 联立消去y得，. 设，则，即， 故，. 因为点N关于x轴的对称点为P，所以， 则直线的方程为. 根据对称性可知，直线经过的定点必在x轴上， 令，得 . 当且时，， 所以直线过定点. 【分析】（1）由两点坐标代入方程，求解可得； （2）设，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理表示出直线的方程，由对称性知直线若过定点必在轴上，所以令，化简可得横坐标为定值，即直线过定点. 【详解】（1）由题意可得解得所以E的方程为. （2）略 25．（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线C：的焦点与椭圆的焦点重合，此双曲线的离心率为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点作直线与曲线C相交于P，Q两点，点N能否是线段PQ的中点？若能，求直线PQ的方程；若不能，请说明理由. 【答案】(1)；(2)不能是，理由见解析. 【分析】（1）椭圆标准方程求出椭圆的交点，且双曲线与椭圆焦点重合，得到双曲线的半焦距；根据双曲线的离心率，求得，，进而得到双曲线的标准方程； （2）假设是线段的中点，利用点差法、中点坐标公式，求出直线的斜率，得到直线的方程；再将直线方程与双曲线方程联立，判断是否有两个不同的交点，以此验证假设是否成立. 【详解】（1）由椭圆得，即. 双曲线C：的焦点与椭圆的焦点重合，. 双曲线的离心率为，，解得； 由，即，解得. 双曲线C的标准方程为，即. （2）点不能是线段的中点，理由如下： 设，. 假设是的中点，则，； ，是双曲线上的点，则，两式相减得，即. 设直线的斜率为，则. 直线的方程为，即. 联立，得. ，方程无解，即直线与双曲线无交点. 假设不成立，即点不能是线段的中点. 26．（25-26高二下·广西贺州·期末）在平面直角坐标系中，已知定点和定直线：.动点到定点的距离等于它到定直线的距离，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设为坐标原点，点，是曲线上异于原点的两个动点，且满足. （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）求面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）因为直线不垂直于轴，设其方程为：， 设，，联立直线与抛物线方程，，可得，， 因为，所以，得， 又因为，所以，即直线方程为，则过定点 . （ii）16 【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可； （2）（i）设直线的方程为：，联立直线与抛物线的方程，得出韦达定理，再代入计算即可. （ii）由（i）知直线过定点结合，结合基本不等式求得最小值. 【详解】（1）由已知得曲线是以为焦点，直线：为准线的抛物线，， 所以曲线的方程为：. （2）（i）略 （ii）由（i）知直线过定点，所以 故， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，即面积的最小值为16. 27．（26-27高三上·天津和平·阶段检测）已知椭圆的离心率为，且过点，点、分别为椭圆的左右焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设点为第一象限内椭圆上的点，若，求点的坐标； (3)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)存在使得为定值. 【分析】（1）根据离心率以及点，联立方程即可求解， （2）根据勾股定理以及椭圆的定义，结合等面积法即可求解， （3）联立直线与椭圆方程，得韦达定理，进而根据向量的坐标运算即可化简求解. 【详解】（1）根据题意可得，解得, 故椭圆方程为 （2）设,且， 由于，又，故, ，即可， 由于,故， 将代入椭圆方程可得,故. （3），设直线,， 将代入椭圆方程中化简可得， 设, 故,从而， ， 要使为定值，则需满足，故， 故存在使得为定值. 28．（25-26高二下·青海海东·期末）已知双曲线：的左顶点为，离心率为． (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，直线与的左、右支分别交于点，，设直线，的斜率分别为，，求． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由左顶点 得 ，离心率 得 ， 则 ， 故 的方程为 . （2）设 , ，联立直线与双曲线： 消去 得 ， 化简得 ， 由韦达定理 , ， 又 ， 所以 . 29．（25-26高二下·上海·期中）已知抛物线，过点的直线交抛物线于. (1)求证：为定值； (2)求面积的最小值. 【答案】(1)证明如下： 设过点的直线方程为，设， 联立直线与抛物线方程： 消去得一元二次方程：， 由韦达定理得： ， 所以， 因此， 故为定值，得证. (2)4 【分析】（1）设过点的直线方程，与抛物线联立后由韦达定理得到交点横纵坐标的关系，将坐标化后代入该关系，即可证明其为定值； （2）利用原点到直线的距离和弦长公式得到面积关于直线斜率的表达式，再通过均值不等式求最值即可得到面积的最小值. 【详解】（1）略 （2）因为，，，故， 所以， 由韦达定理， ，当（即）时，取得最小值， 即面积的最小值是.    30．（2026·江苏·模拟预测）已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点． (1)求的标准方程； (2)过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 【答案】(1) (2) 证明：由题意，直线的斜率存在， 设直线方程为：，，．    联立，消去，得， 由于，同号，所以，， ， 所以， 联立，解得， 所以， 所以直线的方程为，即， 联立，解得， 所以直线与直线的交点在定直线上． 【分析】（1）根据题中所给数据求解即可； （2）设直线方程为：，，，联立直线和双曲线方程，结合韦达定理可得，求出点坐标，直线方程，再联立直线和直线方程，求出交点坐标即可得证. 【详解】（1）由题意，，， 所以， 所以C的方程为． （2）略 31.（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知双曲线：（，）的右焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)已知直线过点且与双曲线交于，两点，若，求直线的方程． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，双曲线的半焦距， 双曲线的渐近线方程为，， 又，， 双曲线的方程为． （2）如图， 易知直线斜率存在，设直线的方程为（，）， 联立，消去，可得， 设，，则①，②， 又，可得③， 由①③可得，， 代入②，化简可得，解得， 则直线的方程为． 32.（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知双曲线的一条渐近线的斜率为左、右焦点分别为 (1)求C的方程; (2)设x轴上方的点A，B分别在C的左支与右支上，若求直线的方程． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）根据双曲线焦点坐标得，结合已知渐近线斜率得，再由双曲线关系求出、，即可得到双曲线的方程； （2）设出直线​的方程与点、的坐标，根据向量关系得到坐标间的倍数关系，将、坐标代入双曲线方程联立求解得到直线斜率，即可得到直线的方程. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，依题意，，可得， 由焦点坐标可知，而，即， 解得，所以， 所以的方程为． （2）设，，，而，， 则 由，得，解得,即得， 依题意，解得即， 又，所以直线的方程为，整理得． 1．（26-27高三上·河南·阶段检测）过抛物线的焦点F作直线l，直线l交该抛物线于A，B两点（B在第一象限），且，若直线l的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线的焦点为准线方程为， 过点分别作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义：抛物线上任一点到焦点距离等于到准线距离， ， 设直线的倾斜角为， ，， ，， ，， 由题意得，，代入得：， ，两边约去：， ，，， ， 故. 2．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，，，过且垂直于的直线与椭圆交于，两点，，则的周长是（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】先由与的关系推导椭圆离心率，结合垂直平分线性质将的周长转化为，再联立直线与椭圆方程利用弦长公式求，即可得到周长. 【详解】由题设，结合椭圆参数关系，得，即, 由椭圆性质得，又，故为等边三角形； 因为过且垂直于，所以是的垂直平分线，因此 ，， 则的周长为， 根据椭圆定义，对椭圆上任意点有，故，， 因此 ， 代入周长表达式得的周长为。 接下来求的值： 直线的斜率，则直线的斜率， 又过 ，则的方程为， 联立与椭圆方程 ，整理得 ， 设，由韦达定理得，， 由弦长公式， 代入数值计算得：， 由题设，得，解得，故的周长为. 3.（25-26高二上·四川成都·期末）已知，点F为椭圆的右焦点. 过点作的切线与椭圆Γ交于A、B两点，则的周长为（ ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据切线性质可得切线方程为，与椭圆方程联立可得韦达定理，利用弦长公式求，利用焦半径公式求，，即可得结果. 【详解】因为，所以点在上， 又因为，所以过点作⊙O 的切线斜率为， 所以切线方程为，即， 设，， 联立，消去整理得， 则， 所以； 由椭圆，可得，所以，所以， 所以右焦点， 则， 同理得， 所以， 所以. 4.（2025·内蒙古呼和浩特·一模）已知为双曲线上的一点，由向两渐近线作垂线，垂足分别为、，则的值为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】设点，利用点到直线的距离公式求出的值，利用三角恒等变换、诱导公式可求得的值，最后利用平面向量数量积的定义可求得的值. 【详解】双曲线的渐近线方程为，即，    设点，则， 设点在直线、的射影点分别为、， 则，，所以，， 设直线的倾斜角为，则为锐角，且， 则，所以，， 因为，故， 所以，， 由平面向量数量积的定义可得. 故选：A. 5．（25-26高二上·广东深圳·期中）（多选）已知双曲线M：过点，则下列结论正确的是（   ） A．M的焦距为4 B．M的渐近线方程为 C．M的离心率为 D．直线与M有两个公共点 【答案】AB 【分析】由题意先求出的值，得到双曲线的标准方程，确定的值，求出双曲线的焦距，离心率，渐近线方程即可判断选项A B C；将直线与双曲线的方程联立消，得到关于的一元二次方程，利用判别式即可判断选项D. 【详解】由双曲线过点，可得， 则双曲线的标准方程为：； 所以，因为双曲线的焦距为，所以选项A正确； 因为双曲线的渐近线方程为，所以选项B正确； 因为双曲线的离心率为，所以选项C不正确； 将直线与双曲线联立消可得：， 化简可得 ，此时 ，所以直线与双曲线只有一个公共点 ，所以选项D不正确； 故选：AB. 6．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）（多选）已知双曲线过点，且与双曲线共渐近线，直线与双曲线交于两点，分别过点且与双曲线相切的两条直线交于点，则下列结论正确的是（） A．双曲线的标准方程是 B．若的中点为，则直线的方程为 C．若点的坐标为，则直线的方程为 D．若点在直线上运动，则直线恒过点 【答案】ABC 【分析】对于A，根据两双曲线共渐近线设出双曲线方程，代入点即可得解；对于B，运用点差法求得直线的斜率，即可得出直线方程；对于C，设，将直线代入双曲线方程，由，结合，解得斜率代回可得直线的方程；对于，设点，类比选项，求出直线的方程，设出点代入直线的方程比较可得直线的方程，从而得解. 【详解】对于A：若双曲线与共渐近线，则可设双曲线， 代入，得，即，则，故A正确； 对于B：设，由在双曲线上，得，两式相减， 得，即， 又的中点为，所以， 得，所以， 直线的方程为，即，故B正确； 对于C：设直线，代入曲线的方程得： ， 又， 所以， 令，得，又因为， 故可转化为， 解得，则，结合， 整理得直线的方程为，故C正确； 对于D：设，由选项同理可得直线的方程为， 由点在直线上运动，可设， 因为点在与上，所以， 因此直线的方程为， 即，令，解得， 所以直线恒过点，故D错误. 故选：ABC. 7．（26-27高三上·浙江·开学考试）过椭圆上一点作椭圆的切线分别交、轴于点、，，则_________． 【答案】3 【分析】设切点，切线设为，联立椭圆方程，令判别式，得到，可求出切线方程，分别令和，得到切线与坐标轴的交点和，由，可解出点坐标，利用两点间距离公式可得的值. 【详解】设切点为， 因为切线分别交轴于两点，说明切线斜率存在且不等于0， 设切线方程为， 将切线方程代入椭圆方程， ， 因为直线与椭圆相切， ， 化简得：， 因为切点在切线上，所以，即， 将代入上面的关系式： ， 展开并整理得： ， ， 因为点在椭圆上，满足，可变形为： ，代入上面的的方程中： 方程两边同时乘以，得到： 观察发现这是一个完全平方式： 解得切线斜率： 利用点斜式，可得切线方程为： ， ， 因为，所以： 两边同除以36，即得切线方程：. 令，得，所以， 令，得，所以， 根据两点间距离公式： 展开得： ， 由椭圆方程知，代入上式： 故， 两边同乘：， 令，得， 分解因式得：， 解得或， 因为点在椭圆上，所以，故舍去， 因此， ， 根据两点间距离公式， ， ， 将和代入： ， 所以. 8．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，以、两点为切点作抛物线的切线，两条切线交于点．当时，直线的方程为__________． 【答案】或 【分析】设的方程为，，，利用切线方程联立即可求出，根据弦长公式求、，再根据，将代入即可求出结果. 【详解】抛物线的焦点的坐标为， 若直线的斜率为，则直线与抛物线有且只有一个交点，与条件矛盾， 所以可设的方程为，、， 联立，化简可得， 方程的判别式，故， 设抛物线在点处的切线方程为， 联立，化简可得， 由已知方程的判别式， 所以，即，所以， 抛物线在点处的切线方程为， 同理可得，抛物线在点处的切线方程为， 联立，即点. 根据弦长公式可得， 同理可得：， 所以， 又因为，所以解得，所以， 当时，，此时，直线的方程为， 当时，，此时，直线的方程为， 所以直线的方程为或. 9．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知是抛物线的焦点，是上不同的两点，为坐标原点，若，垂足为，则面积的最大值为_____． 【答案】1 【分析】求出抛物线焦点的坐标，设出直线AB的方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理及求出n的值，然后联立直线OM与直线AB的方程求出点M的坐标，代入面积公式，最后化简并利用基本不等式求最大值. 【详解】由题意知，可设直线AB的方程为，，    将代入，可得，即， 则，则， 因为，， 所以，化简得， 解得或（时直线过原点，舍去）， 则直线AB的方程为， 因为，所以设直线OM方程为：， 联立两直线方程， 所以， 因为函数为奇函数，且当时，（当且仅当时等号成立）， 所以，则（当且仅当时等号成立）. 所以面积的最大值为1. 故答案为：1 10．（24-25高二上·辽宁·期末）抛物线的一条弦的长度为10，过，两点分别作抛物线的切线交于点，则面积的最大值为_____． 【答案】 【分析】设弦所在直线方程为，联立方程，利用弦长求得，进而求得的切线方程，进而求得交点的坐标，求得点到直线距离的最大值，可求得最大面积. 【详解】因直线的斜率显然不为0，设弦所在直线方程为，， 联方，消去得， 所以， 由弦长公式可得， 化简整理得，所以， 设抛物线的一条切线方程为， 联立可得，消去得， 所以，解得，代入方程可得， 解得，所以， 所以抛物线在处的切线方程为，在处的切线方程为， 联立，解得且， 又，所以交点的坐标为， 所以点到直线的距离为 ， 当时，，所以面积的最大值为. 故答案为： 11．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知分别是双曲线的左，右焦点，是双曲线上第一象限内的点，点是的内心，则点的横坐标是__________；的面积的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先由双曲线的定义得到点在上垂足为右顶点，设出渐近线的倾斜角为，则，，则，求出，从而求出，求出△的面积的取值范围. 【详解】由题意知，，故， 设点，且在上垂足为H， 根据双曲线定义及切线长定理得， 又，解得， 所以点H坐标为，则横坐标为， 设渐近线的倾斜角为，则， 记，则， 所以，即， 又，解得或(舍)， 所以，则， 所以. 故答案为：， 12．（25-26高三上·湖北·期中）已知双曲线Γ：，P为Γ的左顶点，过Γ的左焦点F作斜率为1的直线交Γ于A、B两点，若的面积为，则Γ的离心率为_______. 【答案】 【分析】联立与双曲线方程，由弦长公式算出，由距离公式得出到的距离,则可表示出，结合双曲线中入消去，得到关于的二次式，同除以即可得关于的一元二次方程，求解即可. 【详解】，则直线方程为，联立双曲线方程，消去，得. 设，则． 所以． 到的距离, 所以， 代入化简得， 所以， 所以（负值舍去）． 故答案为：. 13．（25-26高二下·广西河池·期末）已知椭圆：的长轴长为，为坐标原点，为上顶点，为右焦点，为等腰直角三角形． (1)求椭圆的方程； (2)若过点的直线与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为． （ⅰ）求证：直线恒过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）设，，， 当直线斜率为时，直线与轴重合，，，三点共线， 直线恒过定点，定点在轴上， 当直线斜率不为时，设直线方程为， 依题意， 得，， ，， 所以，即得直线的方程为：①． 由图形的对称性可知，若动直线过定点，则定点一定在轴上， 所以令代入①，可得 ， 由（*）得， 所以得， 所以直线恒过定点． （ⅱ） 【分析】（1）由椭圆的性质列出方程解得参数即可写出椭圆方程； （2）（ⅰ）设交点坐标，讨论直线斜率，写出直线方程，联立方程组整理得到一元二次方程，由韦达定理得到交点坐标的关系式，从而写出直线的方程，由直线方程得到直线的定点坐标； （ⅱ）由（ⅰ）得并通过（ⅰ）中结论化简，通过换元法结合基本不等式求得面积的最大值. 【详解】（1）依题意可知， 解得，， 椭圆的标准方程为． （2）（i）略 （ⅱ）由（ⅰ）可知直线恒过定点， 所以， 将（*）代入得， 设，则． 因为，所以， 所以，当且仅当时取面积的最大值． 14．（25-26高二下·广东深圳·期末） 已知点，是直线外的一个动点，，垂足为，且在线段外，，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)已知直线交于两点，关于轴的对称点为，若直线和的斜率之商为.求证：过定点； 【答案】(1) (2)设，则． 显然的斜率不为零，否则有， 此时，而直线和的斜率之商为2，有矛盾． 故可设，由得， 依题意，且， ∴且．① 由得，（*） 由于和是方程（*）的两根，所以 令得，                因为直线和的斜率之商为2，所以       因为点在双曲线上，所以，即， 所以， 即 ③ 把① ②代入③得， 化简可得 解得 ： ，（舍去)． 此时， 恒成立， 所以  ，过定点． 【分析】（1）先设动点坐标，将几何关系转化为坐标关系后可得曲线的方程； （2）设直线方程并联立，代入双曲线方程得到关于的一元二次方程，利用韦达定理化简目标代数式后可得定点. 【详解】（1）设，因为，且，垂足为，则点坐标为． 则， 已知，即． 因为在线段外，所以，则， 整理可得曲线的方程为．               （2）略 15．（2026·浙江·三模）已知双曲线的左顶点到其渐近线的距离为，过右焦点的任意直线与双曲线的右支交于M，N两点，且直线AM，AN与直线分别交于P，Q两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线FP，FQ的斜率分别为，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)；(2)是， 【分析】（1）根据题意列方程求出即可； （2）直线，联立双曲线方程，结合韦达定理表示出化简即可得解. 【详解】（1）由渐近线方程为得， 左顶点坐标为，则点到渐近线的距离， 解得，则， 双曲线的标准方程为 （2）设点， 依题意知直线的斜率不为0，设直线，与双曲线联立， 化简得， 则，， 根据韦达定理，可得 点坐标为 直线与直线的交点坐标为， 同理可得点. 16．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，是平面上的动点，记直线，的斜率分别为，，且． (1)求动点形成的曲线的方程； (2)点在直线上，且与轴平行，设与交于点，证明：在直线上存在两个定点，，使得为定值． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）设，结合已知条件得出，结合构造方程，结合点与，不重合，求出曲线的方程为； （2）设点，求出直线的方程，求出，求出直线，联立直线与曲线的方程求出，再根据得出椭圆方程，进而求出焦点即为定点，，使得为定值． 【详解】（1）设，则，， ，整理得， 又点与，不重合， 曲线的方程为． （2） 设，则直线：， 令，可得， 则直线：， 联立直线与曲线的方程得， 消去，整理得， ，解得， 由题意可知，， ， 整理得，即点在椭圆上， 椭圆的焦点为， 椭圆的焦点为， 在直线上存在两个定点，，使得为定值． 17．（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）已知双曲线，右焦点为，左、右顶点分别为，，过垂直于轴的弦长为6. (1)求的方程； (2)过的直线与的右支交于，两点，直线，交于点，证明：在定直线上. 【答案】(1) (2) 证明：由（1）知双曲线 ，右焦点 ， 左顶点，右顶点 ， 设过 的直线方程为 （）， 代入双曲线方程得 整理得 设 ，，则 是上述方程的两个实根， 且 直线 的方程为， 直线 的方程为， 两式相除得， 代入 ， 计算： 由韦达定理，，代入得 ， 利用 ，解得 ， 代入得：， 因此 ，解得 ， 即 ，. 故交点 的横坐标恒为 ，即 在定直线 上. AI 【分析】（1）根据题意列方程，解方程即得答案； （2）设过 的直线方程为 ，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理可得到，利用两点式写出直线，两式相除得到点横坐标与的关系式，再利用韦达定理，可解出点横坐标，即得答案. 【详解】（1）由双曲线 的右焦点为 ，得 ， 即 ， 过 垂直于 轴的弦长为 6， 可得点在双曲线上，即 ， 联立，解方程组得：， 故双曲线 的方程为 （2）略 18．（2026高二上·全国·专题练习）设分别是椭圆的左、右焦点． (1)若是该椭圆上的一个动点，且，求点的坐标； (2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】 (1)    设出点的坐标后再根据及点在椭圆上求解出点的坐标； (2)    联立直线与椭圆的方程后根据为锐角利用向量夹角进行求解直线的斜率的取值范围． 【详解】（1）由题意知，，，，所以，， 设，则， 又，有，解得，所以； （2）显然不满足题意，设直线的方程为，设，， 联立，，解得，① ，，则， 又为锐角，则，即，， 所以， 解得，② 由①②，解得或， 所以实数的取值范围为． 19．（2026·福建漳州·模拟预测）已知动圆过点，且与圆相内切，记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设动圆圆心为，半径为，根据条件可得，再利用椭圆的定义即可求解； （2）设直线，，联立直线与椭圆方程，根据条件，利用根与系数间的关系求出，即可求解. 【详解】（1）设动圆圆心为，半径为，因为动圆过点，则， 圆的圆心为，半径为，又动圆与圆相内切， 则，所以， 则动圆圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，且，得到， 所以，则的方程为. （2）设直线，，易知， 由，消得到，即， 则，且①，②， 又，且，所以③， 由①③得到，由②③得到，所以， 整理得到，解得，满足， 所以直线的方程为或. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $