2.8 直线与圆锥曲线的位置关系-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

2．8　直线与圆锥曲线的位置关系

[学习目标]

问题1.类比点与圆的位置关系，探究点与椭圆的位置关系时，如何确定点与椭圆的位置关系？

提示：将点的坐标代入椭圆的方程，看满足的不等关系．

问题2.类比直线与圆的位置关系，探究直线与椭圆的位置关系时，如何确定直线与椭圆的位置关系？

提示：联立直线与椭圆的方程，看公共解的个数．

知识点一　直线与圆锥曲线的位置关系

设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线的方程为F(x，y)＝0.

联立方程组消元(如消去y)得ax2＋bx＋c＝0.

(1)当a≠0时，则有

Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；

Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；

Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．

(2)当a＝0，b≠0时，则有直线与圆锥曲线有且只有一个交点；

若圆锥曲线为双曲线，则直线与双曲线的渐近线平行；

若圆锥曲线为抛物线，则直线与抛物线的对称轴平行或重合．

知识点二　弦长问题

设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有

|AB|＝ ·|x1－x2|

＝ ·，

或|AB|＝ ·|y1－y2|

＝ ·.

1．直线y＝x＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)

A．相交   B．相切   C．相离   D．无法判断

答案：A

解析：方法一：直线过点(0，1)，而0＋<1，即点(0，1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交．故选A.

方法二：联立直线与椭圆的方程，有消去y，得9x2＋10x－15＝0，Δ＝100－4×9×(－15)>0，所以直线与椭圆相交．故选A.

2．过原点作直线，与双曲线x2－y2＝1恰有一个交点的直线有(　　)

A．0条   B．1条   C．2条   D．4条

答案：A

解析：设过原点的直线l的方程为y＝kx.

由得(1－k2)x2＝1.显然方程不可能只有一个解．故过原点与双曲线x2－y2＝1恰有一个交点的直线有0条．故选A.

3．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a等于________．

答案：

解析：由消去y得ax2－x＋1＝0，

所以解得a＝.

4．过点Q(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，则弦AB所在直线的方程为________________________________________________________________________．

答案：4x－y－15＝0

解析：方法一：由题意知，当AB垂直于x轴时，不满足题意，故弦AB所在的直线的斜率存在，设该直线的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1(k≠0)．由消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，则y1＋y2＝.又y1＋y2＝2，所以＝2，解得k＝4.故所求弦AB所在直线的方程为4x－y－15＝0.

方法二：由题意知，当AB垂直于x轴时，不满足题意，故弦AB所在的直线的斜率存在．设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，则y＝8x1，y＝8x2，所以y－y＝8(x1－x2)，即(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．又因为AB中点为点Q(4，1)，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，所以2(y1－y2)＝8(x1－x2)．所以y1－y2＝4(x1－x2)，即4＝，则弦AB所在直线的斜率为4.故所求弦AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.

学生用书↓第111页

题型一　直线与圆锥曲线的位置关系问题

(链教材P168例2、P169例3)已知椭圆C：＋y2＝1.

(1)若(，n)在椭圆内，求实数n的取值范围；

(2)m为何值时，直线y＝x＋m与椭圆C相交、相切、相离？

[思路点拨]　对于(1)，利用点与椭圆的位置关系求解；对于(2)，将直线与椭圆联立，利用判别式求解．

解：(1)因为(，n)在椭圆内，

所以＋n2＜1，解得－＜n＜.

所以n的取值范围是.

(2)由得5x2＋8mx＋4m2－4＝0，