2.8 直线与圆锥曲线的位置关系-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

2．8　直线与圆锥曲线的位置关系 [学习目标] 知识层面 1.通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系．　2.会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题． 素养层面 通过判断直线与圆锥曲线的位置关系，求相关弦长、定点、定值、最值、范围等，提升逻辑推理、数学运算素养. 问题1.类比点与圆的位置关系，探究点与椭圆的位置关系时，如何确定点与椭圆的位置关系？ 提示：将点的坐标代入椭圆的方程，看满足的不等关系． 问题2.类比直线与圆的位置关系，探究直线与椭圆的位置关系时，如何确定直线与椭圆的位置关系？ 提示：联立直线与椭圆的方程，看公共解的个数． 知识点一　直线与圆锥曲线的位置关系 设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线的方程为F(x，y)＝0. 联立方程组消元(如消去y)得ax2＋bx＋c＝0. (1)当a≠0时，则有 Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离． (2)当a＝0，b≠0时，则有直线与圆锥曲线有且只有一个交点； 若圆锥曲线为双曲线，则直线与双曲线的渐近线平行； 若圆锥曲线为抛物线，则直线与抛物线的对称轴平行或重合． 知识点二　弦长问题 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 |AB|＝ ·|x1－x2| ＝ ·， 或|AB|＝ ·|y1－y2| ＝ ·. 1．直线y＝x＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 答案：A 解析：方法一：直线过点(0，1)，而0＋<1，即点(0，1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交．故选A. 方法二：联立直线与椭圆的方程，有消去y，得9x2＋10x－15＝0，Δ＝100－4×9×(－15)>0，所以直线与椭圆相交．故选A. 2．过原点作直线，与双曲线x2－y2＝1恰有一个交点的直线有(　　) A．0条 B．1条 C．2条 D．4条 答案：A 解析：设过原点的直线l的方程为y＝kx. 由得(1－k2)x2＝1.显然方程不可能只有一个解．故过原点与双曲线x2－y2＝1恰有一个交点的直线有0条．故选A. 3．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a等于________． 答案： 解析：由消去y得ax2－x＋1＝0， 所以解得a＝. 4．过点Q(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，则弦AB所在直线的方程为________________________________________________________________________． 答案：4x－y－15＝0 解析：方法一：由题意知，当AB垂直于x轴时，不满足题意，故弦AB所在的直线的斜率存在，设该直线的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1(k≠0)．由消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，则y1＋y2＝.又y1＋y2＝2，所以＝2，解得k＝4.故所求弦AB所在直线的方程为4x－y－15＝0. 方法二：由题意知，当AB垂直于x轴时，不满足题意，故弦AB所在的直线的斜率存在．设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，则y＝8x1，y＝8x2，所以y－y＝8(x1－x2)，即(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．又因为AB中点为点Q(4，1)，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，所以2(y1－y2)＝8(x1－x2)．所以y1－y2＝4(x1－x2)，即4＝，则弦AB所在直线的斜率为4.故所求弦AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0. 学生用书↓第111页 题型一　直线与圆锥曲线的位置关系问题 (链教材P168例2、P169例3)已知椭圆C：＋y2＝1. (1)若(，n)在椭圆内，求实数n的取值范围； (2)m为何值时，直线y＝x＋m与椭圆C相交、相切、相离？ [思路点拨]　对于(1)，利用点与椭圆的位置关系求解；对于(2)，将直线与椭圆联立，利用判别式求解． 解：(1)因为(，n)在椭圆内， 所以＋n2＜1，解得－＜n＜. 所以n的取值范围是. (2)由得5x2＋8mx＋4m2－4＝0， Δ＝64m2－4×5×(4m2－4)＝16(4m2－5m2＋5) ＝16(5－m2)． 当Δ＝16(5－m2)＞0，即－＜m＜时，直线与椭圆相交； 当Δ＝16(5－m2)＝0，即m＝±时，直线与椭圆相切； 当Δ＝16(5－m2)＜0，即m＞或m＜－时，直线与椭圆相离． 方法技巧 解决有关直线与圆锥曲线有公共点的问题时，将直线方程代入圆锥曲线方程得到关于x(或y)的一元二次方程，一定要先考虑判别式Δ≥0(若有两个交点，则Δ>0；若相切，则Δ＝0)，千万不要忘记考虑判别式．　　 对点练1．已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 解：(1)由消去y， 得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) 当1－k2＝0，即k＝±1， 直线l与双曲线的渐近线平行，方程化为2x＝5， 故方程(*)只有一个实数解， 即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点． 当1－k2≠0，即k≠±1时， Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)． ①当即－<k<， 且k≠±1时， 方程(*)有两个不同的实数解， 即直线与双曲线有两个不同的公共点． ②当即k＝±时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且只有一个公共点． ③当即k<－或k>时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点． 综上所述，(1)当－<k<－1或－1<k<1或1<k<时，直线与双曲线有两个公共点． (2)当k＝±1或k＝±时，直线与双曲线有且只有一个公共点． (3)当k<－或k>时，直线与双曲线没有公共点． 对点练2．设直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C相切、相交、相离． 解：联立方程组消去y， 整理得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0. 若k≠0，方程k2x2＋(2k－4)x＋1＝0为一元二次方程． 所以Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)． (1)当Δ＝0，即k＝1时，l与C相切． (2)当Δ>0，即k<1时，l与C相交． (3)当Δ<0，即k>1时，l与C相离． 若k＝0，直线l方程为y＝1，显然与抛物线C交于点. 综上所述，当k＝1时，l与C相切；当k<1时，l与C相交，当k>1时，l与C相离． 题型二　中点弦问题 已知点P(4，2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，求直线l的方程． [思路点拨]　本题涉及弦的中点，属于中点弦问题，常联立直线方程与椭圆方程，得到一元二次方程，然后用韦达定理求解，或者直接代入两点坐标，作差求解． 解：方法一：根与系数关系法 由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)， 而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0. 将直线方程代入椭圆方程有 (4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0. 所以x1＋x2＝＝8，解得k＝－. 所以直线l的方程为y－2＝－(x－4)， 即x＋2y－8＝0. 方法二：点差法 设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以 两式相减，有(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0. 又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以＝－， 即k＝－.所以直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0. 方法技巧 解决椭圆中点弦问题的两种方法 1．根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决． 2．点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．　　 学生用书↓第112页 对点练3．已知双曲线x2－＝1，问：过点A(1，1)能否作直线l，使l与双曲线交于P，Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 解：假设符合题意的直线l存在，并设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则 由①－②，得(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)．右右右③ 因为A(1，1)为线段PQ的中点， 所以 将④⑤代入③，得x1－x2＝(y1－y2)．右右右⑥ 易知直线PQ的斜率存在，故x1≠x2， 则直线l的斜率k＝＝2. 所以若符合题设条件的直线l存在，其方程为2x－y－1＝0. 而由得2x2－4x＋3＝0. 根据Δ＝－8<0，说明所求直线不存在． 对点练4．斜率为的直线经过抛物线x2＝8y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长． 解：由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则对于抛物线x2＝8y， 焦点弦长|AB|＝p＋(y1＋y2)＝4＋(y1＋y2)． 因为直线AB的斜率为，且过抛物线x2＝8y的焦点(0，2)，所以直线AB的方程为y＝x＋2，代入抛物线方程x2＝8y，消去x，整理得y2－6y＋4＝0，从而y1＋y2＝6，所以|AB|＝10.故线段AB的长为10. 题型三　直线与圆锥曲线的综合应用问题 已知双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，离心率e＝，顶点到渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限．若＝λ，λ∈，求△AOB面积的取值范围． [思路点拨]　(1)根据已知条件列方程组解决；(2)结合图形可知，由于∠AOB为定值，故三角形面积仅仅与线段OA，OB的长度有关，结合点A，B在两条渐近线上，点P在双曲线上和＝λ，建立三角形面积关于λ的函数关系式． 解：(1)由题意知，双曲线C的顶点(0，a)到渐近线ax－by＝0的距离为， 所以＝，即＝. 由得 所以双曲线C的方程为－x2＝1. (2)由(1)知双曲线C的两条渐近线方程为y＝±2x. 设A(m，2m)，B(－n，2n)，m>0，n>0. 由＝λ， 得P点的坐标为. 将P点坐标代入－x2＝1，化简得mn＝. 设∠AOB＝2θ，则tan＝2， 所以tan θ＝，解得sin θ＝，cos θ＝， 所以sin 2θ＝. 又|OA|＝m，|OB|＝n， 所以S△AOB＝|OA|·|OB|·sin 2θ ＝2mn＝＋1. 记S(λ)＝＋1，λ∈， 易知S(λ)在λ∈上递减，在[1，2]上递增， 又S(1)＝2，S＝，S(2)＝， 故当λ＝1时，△AOB的面积取得最小值2， 当λ＝时，△AOB的面积取得最大值. 所以△AOB面积的取值范围是. 方法技巧 有些题目在解答时要引入参数，根据题目的具体情况，参数的个数可以是一个，也可以是多个，基本的原则是在便于解答问题的前提下，个数越少越好．　　 对点练5．顺次连接椭圆C：＋＝1(a>b>0)的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为2的菱形． (1)求椭圆C的方程； (2)过点Q(0，－2)的直线l与椭圆C交于A，B两点，kOA·kOB＝－1，其中O为坐标原点，求|AB|. 解：(1)由题可知2ab＝2，a2＋b2＝3，解得a＝，b＝1. 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 当直线l的斜率不存在时，显然不符合题意，故设l的方程为y＝kx－2(k≠0)，代入方程＋y2＝1， 整理得(1＋2k2)x2－8kx＋6＝0. 由Δ＝64k2－24(2k2＋1)>0， 解得k2>，由韦达定理可知， x1＋x2＝，x1x2＝. kOA·kOB＝ ＝＝－1， 解得k2＝5.所以|AB|＝＝. 学生用书↓第113页 易错点1　直线与圆锥曲线中，混淆“相切”与“只有一个公共点”而致错 已知直线l经过点A，且与抛物线y2＝2px(p>0)只有一个公共点，求直线l的方程． [正解]　当直线与抛物线相切时，显然其斜率存在，设斜率为k，则直线l的方程为y－p＝k. 由消去x并整理，得ky2－2py＋(2＋3k)p2＝0. (1)当k≠0时，因为直线与抛物线只有一个公共点，所以Δ＝4p2－4k(2＋3k)p2＝0，解得k＝或k＝－1. 故直线l的方程为2x－6y＋9p＝0或2x＋2y＋p＝0. (2)当k＝0，即直线与x轴平行时，直线与抛物线也只有一个公共点，此时直线方程为y＝p. 故满足条件的直线有三条，它们的方程是2x－6y＋9p＝0或2x＋2y＋p＝0或y＝p. [易错探因]　直线与抛物线只有一个公共点时，直线与抛物线有两种位置关系：(1)相切；(2)直线与抛物线的对称轴平行或重合．在求解本题时，有些学生容易只考虑相切的情况，从而导致漏解． [误区警示]　当直线与圆锥曲线有唯一公共点时，不可忽略直线与抛物线的对称轴平行或重合以及直线与双曲线的渐近线平行的情况，这两种情况均是直线与圆锥曲线相交，而不是相切． 易错点2　涉及弦长问题时，忽视判别式Δ>0这一隐含条件而致误 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)． (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程． (2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． [错解]　(1)将点(1，－2)的坐标代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，所以p＝2， 故所求抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为y＝－2x＋t， 由直线OA与直线l的距离等于可得＝， 所以t＝±1. 所以符合题意的直线l存在，其方程为y＝－2x＋1或y＝－2x－1. [正解]　(1)将点(1，－2)的坐标代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，所以p＝2，故所求抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l， 设其方程为y＝－2x＋t， 由得y2＋2y－2t＝0. 因为直线l与抛物线C有公共点， 所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－. 由直线OA与直线l的距离等于可得＝， 所以t＝±1.因为－1∉，1∈， 所以符合题意的直线l存在，其方程为y＝－2x＋1，即2x＋y－1＝0. [易错探因]　错解中解出t的值后忽略了对t是否满足直线与抛物线有交点的条件的验证． [误区警示]　在解与直线和抛物线的交点个数有关的参数问题时，根据条件求出参数的值后，一定要将参数代入看是否满足直线和抛物线的交点个数的条件，对不满足的情况要舍去． 学科网（北京）股份有限公司 $