第2章 平面解析几何 章末复习课（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学讲义通过知识框架图系统构建了解析几何单元知识体系，梳理直线方程的五种形式、直线与圆位置关系、圆锥曲线性质及直线与圆锥曲线关系，突出重点如直线方程待定系数法、圆的几何法判断位置关系、圆锥曲线离心率等，呈现知识内在联系。 讲义亮点在于例题与跟踪训练结合，覆盖求直线方程、圆的最短弦长、椭圆离心率等题型，通过待定系数法、几何法等方法指导，培养逻辑推理和数学运算素养。基础题助学生掌握方法，综合题供深入探究，支持学生自主复习，教师可据此实施分层教学。

一、直线的方程 1.直线方程有五种形式：重点是点斜式、斜截式和一般式方程，直线是平面解析几何的核心内容，求直线的方程一般用公式法和待定系数法，注意五种方程的各自特点和优缺点，在利用待定系数法求直线方程时，选择哪种方程，注意讨论斜率是否存在，截距是否存在，是否为0等特殊情况，以免漏解. 2.掌握直线方程的五种形式，会求直线的方程，重点提升数学运算和逻辑推理素养. 例1　(1)若点A(4，－1)在直线l1：ax－y＋1＝0上，则l1与l2：2x－y－3＝0的位置关系是　　　　.  答案　垂直 解析　将点A(4，－1)的坐标代入ax－y＋1＝0， 得a＝－，则·＝－×2＝－1，∴l1⊥l2. (2)过点P(0，1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程. 解　设l1与l的交点为A(a，8－2a)， 则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上， 代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0， 解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上， 所以直线l的方程为x＋4y－4＝0. 反思感悟　求直线方程时，要根据给定条件，选择恰当的方法，常用以下两种方法求解 (1)直接法：直接选取适当的直线方程的形式，写出结果. (2)待定系数法：先以直线满足的某个条件为基础设出直线方程，再由直线满足的另一个条件求出待定系数，从而求得方程. 跟踪训练1　(1)若点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是，则实数a的值为(　　) A.－1 B.5 C.－1或5 D.－3或3 答案　C 解析　∵点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是， ∴，即|a－2|＝3， 解得a＝－1或a＝5，∴实数a的值为－1或5. (2)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋2＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行，则实数a的值为(　　) A.－1或2 B.0或2 C.2 D.－1 答案　D 解析　由l1∥l2知，a×a＝1×(a＋2)， 即a2－a－2＝0，∴a＝2或a＝－1. 当a＝2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去； 当a＝－1时，l1∥l2.∴a＝－1. 二、直线与圆 1.直线与圆在考试中是常考、必考题型，主要考查直线与圆的三种位置关系以及直线与圆相切，求直线与圆相交求弦长等问题. 2.掌握判断直线与圆的位置关系的两种方法：代数法和几何法，会求直线与圆相交的弦长，提升逻辑推理和数学运算素养. 例2　已知直线l：kx－y－4k＋3＝0(k∈R)，圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0.若直线l与圆C交于A，B两点，当弦长AB最短时，求此时直线l的方程. 解　直线l：kx－y－4k＋3＝0可化为(x－4)k－y＋3＝0，可得⇒ 所以直线l过定点M(4，3). 由圆的几何性质可知，当直线l⊥MC时，弦长最短， 因为直线MC的斜率为－1， 所以直线l的斜率为1，此时直线l的方程为x－y－1＝0. 反思感悟　直线与圆位置关系的判断方法主要有代数法和几何法.一般常用几何法，而不用代数法.因为代数法计算复杂，书写量大，易出错，而几何法较简单. 跟踪训练2　已知圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0相交于A，B两点，则线段AB的长度为　　　　.  答案　2 解析　由圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0相减可得， 公共弦的方程为x－2y＋4＝0， 又圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0的圆心为(1，－5)，半径为5，可得C1到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝3， 则|AB|＝2＝2. 三、圆锥曲线的性质 1.椭圆、双曲线、抛物线的几何性质是圆锥曲线的核心内容.主要考查由性质求方程，由基本量求离心率、渐近线等，其中离心率是重点，也是难点内容. 2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质并会简单应用，提升逻辑推理与数学运算素养. 例3　已知椭圆＝1(a>b>0)在第一象限上的一点P与椭圆的左、右焦点F1，F2恰好构成顶角为120°的等腰三角形，则椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为点P是椭圆＝1(a>b>0)上位于第一象限的点，|PF1|>|PF2|， 所以∠PF1F2为锐角， 因为△PF1F2是顶角为120°的等腰三角形， 但∠PF1F2<∠PF2F1，故∠PF2F1＝120°， 所以|PF2|＝|F2F1|＝2c， 由余弦定理可得|PF1|＝＝2c， ∴|PF1|＋|PF2|＝2c＋2c＝2a， 故. 反思感悟　常见具体类型 (1)已知基本量求离心率e或求离心率e的取值范围. (2)已知圆锥曲线的方程求参数的取值范围. (3)已知圆锥曲线的某些性质求圆锥曲线方程或求圆锥曲线的其他性质. 跟踪训练3　已知抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1(b>0)的一条渐近线的距离为，则该双曲线的方程为(　　) A.x2－y2＝1 B.x2－＝1 C.x2－＝1 D.x2－＝1 答案　C 解析　抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)， 双曲线x2－＝1(b>0)的渐近线为y＝±bx， 不妨取其中一条渐近线y＝bx，即bx－y＝0， 所以，解得b2＝3， 所以双曲线的标准方程为x2－＝1. 四、直线与圆锥曲线的关系 1.直线与圆锥曲线的位置关系是常考查题型，也是易错题型，特别是直线与双曲线，直线与抛物线相交问题，直线与圆锥曲线相交，求相交弦的弦长是重点内容，圆锥曲线的综合应用是考查的难点. 2.掌握直线与圆锥曲线的位置关系，会求相交弦的弦长并能简单地应用，提升逻辑推理和数学运算素养. 例4　已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，且焦距为8. (1)求C的方程； (2)设直线l的倾斜角为，且与C交于A，B两点，求△AOB(O为坐标原点)面积的最大值. 解　(1)依题意可知，解得 故C的方程为＝1. (2)依题意可设直线l的方程为y＝x＋m， 联立 整理得16x2＋10mx＋5m2－20＝0， 则Δ＝300m2－64(5m2－20)>0， 解得－8<m<8， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝， |AB|＝· ＝2， 原点到直线l的距离d＝， 则△AOB的面积 S＝d·|AB|＝×·＝， 当且仅当m2＝32，即m＝±4时，△AOB的面积有最大值，且最大值为2. 反思感悟　直线与圆锥曲线的综合问题，主要包括直线与圆锥曲线位置关系的判断问题、弦长问题、面积问题、定值定点探索性问题等，求解这类问题时，通常采用代数方法，将直线方程与圆锥曲线的方程联立，消去其中一个未知量，通过讨论所得方程的根的情况来确定位置关系，同时，还经常利用根与系数的关系，采取“设而不求”的方法求解弦长问题、面积问题. 跟踪训练4　(1)点P(8，1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的一般式方程为　　　　.  答案　2x－y－15＝0 解析　设弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则－4＝4，－4＝4， 两式相减得 (x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 因为线段AB的中点为P(8，1)， 所以x1＋x2＝16，y1＋y2＝2， 所以＝2， 所以直线AB的方程为y－1＝2(x－8)， 代入x2－4y2＝4满足Δ>0， 即直线方程为2x－y－15＝0. (2)已知以抛物线E：y2＝4x的焦点为圆心，与E的准线相切的圆交E于A，B两点，则|AB|等于(　　) A.2 B.4 C.2 D.6 答案　B 解析　∵y2＝4x， ∴焦点F(1，0)， 以F为圆心的圆与抛物线准线相切，由抛物线定义及对称性知AB为抛物线通径. ∴|AB|＝2p＝4. 学科网（北京）股份有限公司 $