20.4 解直角三角形（第2课时）（教学课件）数学新教材北京版九年级上册

第二十章 解直角三角形 20.4 解直角三角形 第2课时 解非直角三角形 学 习 目 标 1 2 3 掌握双直角三角形问题的解法,会通过作高构造直角三角形，求斜三角形的边长和面积； 经历例题分析解答的过程，归纳总结"由小直角三角形求大直角三角形"和"作高构造直角三角形"两种技巧. 在解决综合问题中，体会数学的转化思想和建模思想，培养学生的总结能力。 旧知复习 回顾 在前面的课程我们学习了解直角三角形，你还记得解直角三角形的两种基本类型吗？ ①已知一边一锐角——先求角，再求边； ②已知两边——先求边，再求角。 解直角三角形关键是选择合适的三角函数关系式. 两种基本类型 A B C 解直角三角形的关键是什么？ 新知导入 探究 如图,已知钝角三角形, 点在的延长线上，连接 ,求 的值. 该问题中的三角形是一个普通的斜三角形，能不能用解直角三角形的方法来解决？怎么解决？ 可以作高，把斜三角形分成两个直角三角形。 今天我们就来学习如何解这些更复杂的直角三角形问题。 探究1：双直角三角形问题 新知探究 问题1 如图，在 Rt△ABC 中，，， 于点 ，，解 Rt△ABC. 解： 于点 ， . 在 Rt△ACD 中，，， ， 分析 分析：由 ， 于点 ，，可以先求出 ，然后再求 ，. 探究1：双直角三角形问题 问题1 如图，在 Rt△ABC 中，，， 于点 ，，解 Rt△ABC. . 在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，∠A = 60°， ∴ ∠B = 30°． ∵ sin B = ， ∴ AB = = = 4． ∴ BC = = = ． 新知探究 斜边上有高的图形会拆分出多个直角三角形，从有已知条件的小直角三角形入手. 探究1：双直角三角形问题 知识小结 技巧总结 双直角三角形问题的解题技巧 技巧1：找公共边——两个直角三角形的公共边是桥梁； 技巧2：先小后大——先在已知元素多的小直角三角形中求出公共边，再在大直角三角形中求其他元素； 技巧3：选对三角函数——在小直角三角形中，已知邻边求斜边用cos. 新知探究 双直角三角形问题 【分析】本题主要考查锐角三角函数，勾股定理，由题可知，根据，可得. 如图，在Rt 中，，，垂足为点D，，则______. 解：根据题意可知 . ， . . . . . . 探究2：非直角三角形问题 新知探究 问题2 如图，在△ABC 中，∠A = 45°，AB = 5，AC = 4，求△ABC 的面积. 分析 分析：要求△ABC 的面积，需要求出△ABC 中一条边上的高．根据 ∠A = 45°，AC = 4，可作 CD ⊥ AB 于点 D，构造 Rt△ACD 来解决问题． 解：过点 C 作 于点 D． 在 中， ， 新知探究 问题2 如图，在△ABC 中，∠A = 45°，AB = 5，AC = 4，求△ABC 的面积. = ． ∴ ． 解直角三角形的核心思想是转化——把未知转化为已知，把复杂转化为简单，把斜三角形转化为直角三角形. 探究2：非直角三角形问题 什么时候作高？——题目是斜三角形（非直角三角形），要求边长或面积时； 知识小结 技巧总结 作高构造直角三角形的技巧 作高的位置？——从已知角的顶点作对边的高 面积公式——S = ()×底×高，高就是我们作的那条高。 探究2：非直角三角形问题 新知探究 非直角三角形问题 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出 1．如图，在中，，，，则的长为__________ 解：如下图，作于， 在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 探究3：解直角三角形的常见模型 知识小结 类型总结 解直角三角形的常见模型 基本型——直接解直角三角形； 双直角三角形型——两个直角三角形共享一条公共边； 作高型——斜三角形作高分成两个直角三角形； 实际应用型——把实际问题转化为解直角三角形问题. 巩固训练1 双直角三角形问题 【分析】本题考查了解直角三角形；根据直角三角形的性质、同角的余角相等得到，根据正切的定义计算即可. 如图，，垂直于，，，则为多少？ 解：， ， ， ， ， 在中， ， 。 巩固训练1 双直角三角形问题 变式题 1.如图，在中，于点，那么______. 解：， 设，则 由勾股定理得，即 解得， ， 又 巩固训练1 双直角三角形问题 变式题 2.如图，在中，，，垂足为D，． (1)求的长； (2)求的正切值． （1）解：∵在中，，， ∴， ∴； ∵， ∴在中，； 2.如图，在中，，，垂足为D，． (1)求的长； (2)求的正切值． ∴． （2）解：在中 由勾股定理得， 巩固训练1 双直角三角形问题 变式题 巩固训练2 非直角三角形问题 【分析】过作，交于点，利用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形即可. 如图，在中， ，，，求、的长． 解：过作，交于点， 则：， ∴， ∴， 巩固训练2 非直角三角形问题 【分析】过作，交于点，利用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形即可. 如图，在中， ，，，求、的长． ∴， ∴， ∴． 巩固训练2 非直角三角形问题 变式题 如图，在中，，，，求的面积． 解：如图，过点A作ADCB于点D， 因为，AB=6， 所以， 所以=； 因为，AD=3， 所以DC=3，AD=9， 所以的面积为：=． 课堂总结 本节课你学到了什么？ 21 感谢聆听! $