20.1 锐角三角函数（第2课时 余弦、正切）（教学课件）数学新教材北京版九年级上册

第二十章 解直角三角形 20.1 锐角三角函数 第2课时 余弦与正切 学 习 目 标 1 2 3 理解锐角余弦和正切的定义；掌能根据已知的一个三角函数值求出其他三角函数值； 通过类比正弦的定义，归纳余弦和正切的定义； 在归纳步骤和技巧的过程中，培养学生的总结能力和解题能力. 旧知复习 回顾 上节课我们学习了锐角的正弦，你还记得sin A的定义吗？ sin A = sin A的定义 如图，sin A = 填空. ①=_______ ②=_______ ②=_______ 须在直角三角形中 新知引入 探究 在Rt△ABC中，，∠A确定时，除了对边与斜边的比（正弦），还有哪两条边的比是固定的？ 猜想 我们所猜想的两种笔直是否真的固定呢？今天我们就来学习这两个新的三角函数——余弦和正切. ①邻边与斜边的比 ②对边与邻边的比 锐角A的邻边与斜边的比叫作的余弦，记作，即： 结论 探究1：余弦的定义 探究 当锐角A取任意一个确定的值时，的邻边与斜边的比也是一个固定不变的值吗？ 新知探究 只要∠A的大小不变，当AC变化时，AB也会跟着变化，它们的比值始终不变. cos A = = = 也是一个完整的符号，表示的余弦 探究1：余弦的定义 新知探究 探究 当时，的值在什么范围内变化？ 邻边是直角边，斜边最长，所以邻边<斜边，所以 观察该动画中的演示， cos的值在什么范围内变化？ 新知探究 余弦的概念 【分析】首先利用勾股定理求出𝐴𝐶，然后根据余弦的定义求解． 如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 解：， ∴． 探究2：正切的定义 探究 当锐角A取任意一个确定的值时，的对边与邻边的比也是一个固定不变的值吗？ 新知探究 只要∠A的大小不变，当AC变化时，BC也会跟着变化，它们的比值始终不变. 结论 锐角A的对边与邻边的比叫作∠A的正切，记作tan A，即： tan A = = = tan A同样是一个完整的符号。 新知探究 探究 当时，的值在什么范围内变化？ 探究2：正切的定义 观察该动画中的演示， 的值在什么范围内变化？ 由于对边和邻边都是直角边，比值可以大于1也可以小于1，所以tan A>0（没有上界） 新知探究 正切的概念 【分析】根据正切的定义即可求得答案． 在中，，如果，那么的值是（     ） A． B．2 C． D． 解：∵在中， 如果， ∴． 新知探究 探究2：锐角三角函数 概念总结 锐角三角函数 ∠A的正弦、余弦、正切统称为∠A的锐角三角函数. 拓展——同角三角函数关系： ① sin²A + cos²A = 1（勾股定理）； ② tan A = （对边/邻边 = 对边/斜边 ÷ 邻边/斜边） 新知探究 正切的概念 在△ABC中，∠C = 90°，给出下列式子，① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，其中能成立的个数有___________. 【分析】利用锐角三角函数中正弦、余弦、正切的定义，对每个式子进行推导验证，判断其是否成立. 解：因为 可得 ，并非 ，所以①不成立； 因为 ，等式两边同乘 ，可得 所以②成立； 因为 ，等式两边同乘 ，得到 所以③成立； 新知探究 正切的概念 【分析】利用锐角三角函数中正弦、余弦、正切的定义，对每个式子进行推导验证，判断其是否成立. 在△ABC中，∠C = 90°，给出下列式子，① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，其中能成立的个数有___________. 因为 ，等式两边同乘 ，有 ， 所以⑤不成立． 综上，②③④成立，能成立的个数有 3 个． 所以④成立； 因为 可得 ，不是 ， ②③④ 【分析】先用勾股定理求出未知直角边，再根据三角函数定义求值； 例题精讲 锐角三角函数的值 在 Rt△ABC中，所对的边分别为 (1) 如图，已知 ，求∠A的正弦值、余弦值和正切值； 解：在 Rt△ABC中，∠C=90°. ， ∴ 由勾股定理，得 ==. ∴ sin A = =， cos A = =， tan A = =. 【分析】利用正切的比例关系设参数表示边长，再求∠B的三角函数. 例题精讲 锐角三角函数的值 在 Rt△ABC中，所对的边分别为 (2) 如图，已知 tan A = ，求∠B的各三角函数值． 解：∵ tan A = ， ∴ =. 不妨设 由勾股定理， 得 c===. ∴ sin B = == cos B = == tan B = ==. tan A = 巩固训练1 识别锐角三角函数 【分析】锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．根据锐角三角函数的定义解答即可． 如图，在中，，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 解：, A、 , 故 A 错误； B、 , , 故 B 错误； C、 , , 故 C 正确； D、 , , 故 D 错误. 故选：C. 巩固训练1 识别锐角三角函数 变式题 如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 解：，， ，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 巩固训练2 求锐角三角函数的值 【分析】𝑐𝑜𝑠⁡𝐵为∠𝐵的邻边与斜边的比，斜边𝐴𝐵已知，需先求邻边𝐵𝐶的长度． 在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 解：∵在中 ，，， ， ． 巩固训练2 求锐角三角函数的值 变式题 在△ABC中，，则cos A的值为（　　） A． B． C． D． 解：在△ABC中， ∵∠C=90°，AB=13，AC=5， ∴． 巩固训练3 已知正弦值求边长 【分析】利用余弦定义可知，再通过勾股定理可得的长 . 如图，在中，，，则的长为（    ） A．5 B．8 C．12 D．13 解：∵， ∴， 又∵, ∴， ∴， 故选：C ． 巩固训练3 已知正弦值求边长 变式题 如图所示，有一台笔记本电脑，屏幕与键盘所成夹角为，若屏幕的长度为，则上方边界C处到桌面的距离为（　　） A． B． C． D． 解：, 课堂总结 本节课你学到了什么？ 22 感谢聆听! $