20.5 测量建筑物的高度（第5课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第20章 解直角三角形 20.5 测量建筑物的高度 （第5课时）综合与实践 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 本课要解决的问题 会说 设计双测点间接测高方案。 会做 用实测角度、基线和仪器高建立模型。 会解释 能复核数据并写出完整测量报告。 复习引入 测量不能到达底部的建筑物 情境 实践任务：分小组测量不能直接到达底部的某建筑物高度。 思考 建筑物底部不可到达，哪些量仍可从地面测出？ 连接 利用两个可到达测点间的距离，消去未知的塔底距离。 知识讲授 成果应包含什么 图形与方案 画出建筑物、两个测点、水平线与视线。 数据与计算 记录基线、两个仰角、仪器高，并列出方程。 结论与反思 报告估计高度、复测差异与可改进的操作。 知识讲授 现场选点的条件 同一剖面 两测点与建筑物底部所在位置共线。 可到达 基线两端应便于瞄准与量距，地面尽量水平。 视线清楚 两个点都能瞄准同一顶部目标。 知识讲授 小组分工与工具 分工 瞄准读角、量距、记录和复核可由不同同学负责。 工具 测角仪或简易量角装置、卷尺、铅垂线与记录表。 记录 清楚标记远点、近点，不在中途交换字母含义。 知识讲授 把场景画成两个直角三角形 建筑物 标出竖直高度。 仪器线 两次仪器中心等高，仪器高度为。 共同高 两个直角三角形共同的高度差是。 随堂探究 探究　选择可直接测的量 不接近建筑底部，至少应记录哪四个量，才能按同侧双测点方案求高？ 答：基线、远点仰角、近点仰角、仪器高。 解 远点、近点均在可到达位置。 这些量足以消去未知塔底距离。 方法：先把实际条件画进直角三角形 注意：区分水平距离、斜线长度与竖直高度 知识讲授 测量顺序 先布点 确认远点到近点的行进方向指向目标底部。 再量距 沿水平基线测量两点距离。 最后测角 保持仪器等高，瞄准同一顶部并读角。 随堂探究 探究　从数据写出计算式 同侧等高测量，基线，远角、近角，写出高度。 答：。 解 两段水平距离分别为。 距离之差为，求后加仪器高。 方法：先把实际条件画进直角三角形 注意：区分水平距离、斜线长度与竖直高度 知识讲授 示例数据先演练 示例 基线20 m，远角30°、近角60°，仪器高1.5 m。 用途 先检查记录表和计算步骤是否通顺。 数据边界 这一组是课堂示例，现场报告需填入实际读数。 随堂探究 探究　示例：求共同高度差 按基线20 m、远角30°、近角60°的示例，求。 答： m，约17.3205 m。 解 。 解一次方程得到。 方法：先把实际条件画进直角三角形 注意：区分水平距离、斜线长度与竖直高度 随堂探究 探究　示例：计算建筑物总高 上题仪器高1.5 m，求示例中的建筑物高度，精确到0.1 m。 答：约18.8 m。 解 m。 最后按0.1 m四舍五入。 方法：先把实际条件画进直角三角形 注意：区分水平距离、斜线长度与竖直高度 随堂探究 探究　示例：反算两个未知距离 示例高差为 m，远角30°、近角60°，求两个测点到建筑底部的水平距离。 答：远点30 m，近点10 m。 解 。 。 方法：先把实际条件画进直角三角形 注意：区分水平距离、斜线长度与竖直高度 随堂探究 探究　示例：反代核验 求得远距30 m、近距10 m，怎样核验基线与两个仰角？ 答：两距差20 m；两个高距比分别为与。 解 。 ，。 方法：先把实际条件画进直角三角形 注意：区分水平距离、斜线长度与竖直高度 知识讲授 设计原始记录表 每一行 写日期、时段、远点角、近点角、基线和仪器高。 单位 角用度，长度统一用米，注明仪器读数精度。 备注 记录障碍、风动、地面高差和读数不稳等情况。 随堂探究 探究　表里漏掉什么会出问题 一份记录只有“30°、60°、20”，缺少单位与仪器高度，会造成哪些问题？ 答：无法确认20是基线米数，也无法计算建筑物全高。 解 角度与长度须有明确含义及单位。 没有仪器高只能得到高于仪器水平线的部分。 方法：先把实际条件画进直角三角形 注意：区分水平距离、斜线长度与竖直高度 知识讲授 实施复测 同一对象 仍瞄准同一个顶部标记。 独立读数 重新瞄准并读角，不只重复抄写上一轮数值。 保留记录 发现异常时保留原记录并注明重测原因。 随堂探究 探究　示例：基线读数波动 示例两角均按30°、60°计算，三次基线读数为19.8 m、20.0 m、20.2 m，仪器高1.5 m。三次高度约多少（0.1 m）？ 答：约18.6 m、18.8 m、19.0 m。 解 高差等于基线乘。 每次算出高差后分别加1.5 m。 方法：先把实际条件画进直角三角形 注意：区分水平距离、斜线长度与竖直高度 随堂探究 探究　比较示例复测的波动 用未舍入的三次高度估计求平均值；最大值减最小值约多少米（0.1 m）？ 答：平均约18.8 m，差约0.3 m。 解 基线均值20 m，线性计算的高度均值约18.8205 m。 差 m。 方法：先把实际条件画进直角三角形 注意：区分水平距离、斜线长度与竖直高度 知识讲授 为什么不能先把所有数值取整 角的影响 三角函数对角度变化较敏感，过早取整会引入额外误差。 距离的影响 基线误差会传到高度估计中。 计算习惯 保留原始读数，最终答案再按要求取近似。 随堂探究 探究　定位一条不合理记录 同侧向建筑物前进后，记录的仰角却从60°变成30°，应先检查什么？ 答：检查远近点是否写反、前进方向及读角是否正确。 解 理想同侧水平模型中，靠近目标仰角应变大。 先核对数据，不能直接取负高度的绝对值。 方法：先把实际条件画进直角三角形 注意：区分水平距离、斜线长度与竖直高度 知识讲授 仪器高度不同怎么办 不能照搬 若两测点仪器高度不相等，两个三角形的高差不再相同。 处理选择 尽量调整为等高；无法调整时分别标出两仪器高。 建立关系 用与分别列正切关系。 随堂探究 探究　不同眼高的方程 远点眼高、近点眼高，角为，同侧基线，怎样用总高列式？ 答：。 解 每个三角形减去自己的眼高。 远水平距离减近水平距离等于基线。 方法：先把实际条件画进直角三角形 注意：区分水平距离、斜线长度与竖直高度 知识讲授 报告的完整结构 开头 说明目标、地点、日期、工具及为何使用间接测高。 主体 图示、原始数据、角度关系、方程与计算。 结尾 给出高度估计、复核结果、误差分析与改进建议。 随堂探究 探究　把空白留给实际测量 教材实践没有提供读数，能否用课堂示例写成本校建筑物已经测得的高度？ 答：不能。 解 示例仅演示计算方法。 现场数据尚未取得时，应保留待填的记录和结论。 方法：先把实际条件画进直角三角形 注意：区分水平距离、斜线长度与竖直高度 课堂练习 辨析　实践报告的质量 （1）只写一个高度数字就足以复核。 × 理由：还需要图形、原始数据与计算过程。 （2）两个角测量时应瞄准同一顶部位置。 √ 理由：否则不共用同一竖直高差。 （3）出现负高度时可直接取绝对值。 × 理由：应检查角序、距离关系和模型条件。 方法：每个结论都能回到记录表 注意：示例数据与现场读数分开说明 课堂总结 间接测高实践 识别条件 同侧共线测点与等高仪器 选择关系 测基线和两角，利用水平距离差求高 规范运算 先保留精确值；近似计算按题目要求取值。 检验解释 核对大小、单位与实际意义，回答完整。 特别提醒：保留原始读数，示例不能写成实测事实。 针对训练 训练1　确定任务 建筑物底部不可到达，应优先测一条怎样的距离？ 答：两个可到达测点之间的水平基线。 解 用这段距离替代不可测的塔底距离。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练2　识别远点 两角30°和60°，同侧哪个是远点？ 答：30°对应远点。 解 共同高下，仰角越小距离越大。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练3　基础代入 水平地面上，两测点与楼底共线且在同侧，间距10 m，远点仰角30°、近点60°，两次眼高均1.5 m，求总高精确值。 答： m。 解 高差为。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练4　求高差 建筑高18.8 m，仪器高1.5 m，高差是多少？ 答：17.3 m。 解 总高减仪器高。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练5　基线单位 记录基线1800 cm，换为米是多少？ 答：18 m。 解 除以100。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练6　读角转换 测角仪给出视线与铅垂线的锐角为55°，仰角是多少？ 答：35°。 解 取90°的余角。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练7　列共同高方程 水平地面上，两等高测点与楼底共线且在同侧，基线12 m，远点仰角30°、近点45°，高差满足什么方程？ 答：。 解 两个水平距离相减。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练8　求特殊角结果 解上一题，求高差。 答： m。 解 ，分母有理化。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练9　核验基线 同侧共线测量中，反算远点、近点距楼底的水平距离分别为32 m、14 m，基线应是多少？ 答：18 m。 解 。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练10　判断异常 前进后仰角变小，能否直接按等高同侧模型计算？ 答：先检查条件和记录。 解 可能点序颠倒或仪器不等高。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练11　求均值 三次测高估计为20.1 m、20.4 m、20.4 m，平均多少？ 答：20.3 m。 解 总和60.9除以3。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练12　保存有效数字 计算中得到高差17.3205 m，眼高1.5 m，总高取0.1 m是多少？ 答：18.8 m。 解 先相加得18.8205，再取近似。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练13　不同眼高 两测点仪器高不同，能否都用同一个表示高差？ 答：不能。 解 每个高差应减去各自仪器高。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练14　数据来源 尚未到现场，可以把示例数据当作实测结果交报告吗？ 答：不可以。 解 应保留记录空格，现场测量后再给结论。 方法：把数量条件写成等式，再代入求值。 注意：先确定边与角的对应关系。 针对训练 训练15　应用：校园礼堂 水平地面上，两测点与礼堂底部共线且在同侧，间距24 m，远点仰角30°、近点60°，仪器高均1.4 m。求礼堂高（精确到0.1 m）和两点距底部的水平距离。 答：高约22.2 m；远距36 m、近距12 m。 解 高差。 远距，近距12。 方法：先求高差，再反算距离复核 注意：36−12必须等于24 针对训练 训练16　应用：不能到达的纪念塔 示例方案满足水平、共线、同侧条件：基线15 m，远点仰角45°、近点60°，仪器高均1.6 m。求高度（精确到0.1 m），并写明报告中需记录的一项现场条件。 答：约37.1 m；应记录测点共线、地面水平等现场条件。 解 高差。 加1.6得37.0904 m，取37.1 m。 方法：计算结果与适用条件一起报告 注意：此处为示例，现场结论须由实测支持 方法总结 把本课方法整理成可操作的步骤 建模与复核 （1）明确两个三角形的共同高差 （2）反算距离检查基线关系 记录与表达 （1）图示、数据、过程缺一不可 （2）写明近似精度和误差来源 $