第十二章 因式分解（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材沪教版五四制七年级上册
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内容正文：
2026-2027学年七年级上册数学单元自测
第十二章 因式分解·能力提升
建议用时：60分钟，满分：100分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．下列等式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2。下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，则（ ）
A． B． C．7 D．11
4．若分解因式有一个因式是，则另一个因式是（ ）
A． B． C． D．
5．若多项式能直接用完全平方公式进行因式分解，则“”所代表的单项式不可以是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，用4个相同的矩形与1个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知这个正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9，我们用x、y表示小矩形的两边长（）．请观察图案，指出以下关系式中不正确的个数有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
7．整式的公因式是_____．
8．因式分解：_______．
9．因式分解：________
10．已知整式可以因式分解为，如果、、都为整数，那么的值为_____．
11．已知：，则______；
12．因式分解： ________
13．如果关于的整式可以因式分解为，其中均为整数，那么满足条件的的值是_____．
14．已知，则______．
15．一个正整数如果加上50或减去31都是一个完全平方数，则这个正整数是______．
16．已知长方形周长8米，长方形的长和宽满足，则长方形面积为___________平方米．
17．若取图中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为_______．
18．1261年，我国南宋数学家杨辉在他所著的《详解九章算法》中给出了一个“开方作本源图”（图1），并指明：“开方作法本源图出自《释锁算书》，贾宪用此术，”这幅被后人称为“贾宪三角”．这个“三角形”的两条斜的“边”都是由数字1组成，下其他数等于它“肩上”的两个数的和．在图2的“贾宪三角”中，第2斜列上的数依次为：1，2，3，4，5，，我们把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第个数记为．第3斜列上的数依次为：，把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第个数记为，若，则的值为_____．
三、解答题（共8小题，共58分）
19．（本题6分）分解因式：．
分解因式：
20．（本题6分）已知整式因式分解的结果是，求、的值．
21．（本题6分）因式分解：
(1)；
(2)．
22．（本题6分）通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如，，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为，可知当时，的最小值是．请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题：
(1)因式分解：；
(2)已知为任何实数，若，，通过计算判断的大小关系．
23．（本题8分）如果一个整数能表示成（是整数）的形式，那么称这个数为“完全数”．例如，，那么10是“完全数”．再如，（是整数），所以M也是“完全数”．
(1)请你再写一个小于10的“完全数”：______；
(2)请判断是整数是否是“完全数”，并说明理由；
(3)已知（是整数，k是常数），如果S是“完全数”，求k的值；
(4)如果整数m，n都是“完全数”，试说明：也是“完全数”．
24．（本题8分）计算：． 简便计算：
25．（本题9分）如图，现有三种不同型号的卡片若干张，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，其中请你尝试根据以下两种情况，用不同数量的三类卡片，不重叠无缝隙地拼成一个大正方形．
(1)用张型正方形卡片，2张型长方形卡片和1张型正方形卡片，拼成一个大正方形，请画出大正方形的拼接示意图，并写出该大正方形的边长为______；
(2)用4张型正方形卡片，12张型长方形卡片和______张型正方形卡片，可以拼成一个大正方形，此时这个大正方形的边长为______；
(3)三种不同型号的卡片各有9张，从其中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），取出的这些卡片正好能拼成一个大正方形，当所拼成的大正方形面积最大时，此时需要三类卡片共多少张？
26．（本题9分）【阅读理解】
如果一个正整数能表示成（是正整数）的形式，那么称这个正整数为“方差数”．
小明采用举例的方式，有序地列出了一些“方差数”，想从中寻找规律：
，
，，
，，，
小杰采用不同的方法，找到一类“方差数”，试图发现“方差数”更本质的特征：
设为正整数且，因为，
所以这样的数都是“方差数”，即所有奇数（1除外）都是“方差数”．
【尝试运用】
（1）填空：①16______“方差数”（填“是”或“不是”）；
②因为（____）（____），所以2025是“方差数”；
（2）已知（是正整数且，是常数），请写出的值，使得不论取何值，都是“方差数”，并说明理由；
【深入探究】
（3）你能像小杰一样找到一类“方差数”吗？如果能，试描述你找到的这类“方差数”的特征，并说明理由；
（4）请写出40到50之间的所有“方差数”（不包含40和50）．
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第十二章 因式分解·能力提升
建议用时：60分钟，满分：100分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
题号
1
2
3
4
5
6
答案
D
C
B
D
D
A
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
7．
8．
9．
10．
11．
12．
13． 或
14．或
15．31或175或1631
16. 2
17．9或12或21．
18. 44
三、解答题（共8小题，共58分）
19．（本题6分）【答案】(1) (2)
【详解】解：
．...............................3分
解：
．...............................6分
20．
（本题6分）【答案】，．
【详解】解：，...............................3分
∴，，
解得：，．...............................6分
21．（本题6分）【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
；...............................3分
（2）解：原式
...............................6分．
22.（本题6分）【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：；...............................2分
（2）解，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴．...............................6分
23．（本题8分）【答案】(1)
(2)是
(3)
(4)是完全数．
【详解】（1）解：，
是完全数，...............................2分
故答案为：（答案不唯一）；
（2）是，理由如下：
，
（是整数）是“完全数”；...............................4分
（3）解：时，S为“完全数”，理由如下：
，
对于任意整数x、y，S都是“完全数”，，也是整数，
∴，即，S是完全数；...............................6分
（4）证明：设，（为整数），
，
、b、c、d是整数，
，都是整数，
是完全数．...............................8分
24．（本题8分）【答案】(1)
(2)16
【详解】（1）解：原式
．...............................4分
（2）解：
．...............................8分
25．（本题9分）【答案】(1)
，
大正方形的边长为，
(2)
(3)张
【详解】【详解】（1）
，
大正方形的边长为，
...............................3分
（2）解：，
，
张型正方形卡，大正方形的边长是，
故答案为：9，；..............................6分
（3）解：设大正方形边长为，
大正方形的面积为：（为正整数），
三种不同型号的卡片各最多是9张：
：，：，：，
每种卡片至少取1张，
要使面积最大，需让最大因，
逐一分析m、n的可能取值：当时，，取满9张，正方形的面积最大，
代入，得，
故，
型卡片数量：，
型卡片数量：，
大正方形边长：，
总面积：，
此时三种不同型号的卡片总数为：张．...............................9分
26．（本题9分）【答案】（1）①是 ②1013，1012
（2）7
（3）所有4的倍数（4除外）都是“方差数”
（4）41，43，44，45，47，48，49
【详解】（1）解：①，
16是“方差数”；
②因为，
所以2025是“方差数”．
故答案为：①是；②1013，1012．...............................2分
（2）解：当时，不论取何值，都是“方差数”，理由如下：
，
要使不论取何值，都是“方差数”，
则，即，
此时，，
是正整数且，
和都是正整数，且，满足“方差数”的定义，
当时，无论不论取何值，都是“方差数”．...............................4分
（3）解：能．
设为正整数且，
则，
所以这样的数都是“方差数”， 即所有4的倍数（4除外）都是“方差数”．...............................6分
（4）解：由题意和（3）可知，所有奇数（1除外）都是“方差数”， 所有4的倍数（4除外）都是“方差数”，
所以40到50之间（不包含40和50）的所有“方差数”是：41，43，44，45，47，48，49．....................9分
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第十二章 因式分解·能力提升
建议用时：60分钟，满分：100分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．下列等式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】判断是否是因式分解
【分析】本题考查了因式分解的意义，能熟记因式分解的意义的内容是解此题的关键．
因式分解是将多项式分解为几个整式的积的形式，据此判断各选项．
【详解】∵因式分解要求左边为多项式，右边为整式的积．
A：左边为积，右边为多项式，是整式乘法．
B：两边均为积，但未分解多项式．
C：右边含分式，不是整式的积．
D：左边为多项式，右边为整式的平方（即积的形式），符合因式分解．
故选：D．
2。下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】判断能否用公式法分解因式、完全平方公式分解因式
【详解】解：A、多项式无法化为两数差的平方形式，不能用完全平方公式分解．
B、为平方差形式，不能用完全平方公式分解．
C、，能用完全平方公式分解．
D、多项式无法化为两数和或差的平方形式，不能用完全平方公式分解．
3．已知，则（ ）
A． B． C．7 D．11
【答案】B
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、因式分解的应用
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用．根据题意可得，再由完全平方公式，可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴
∵，
∴．
故选B．
4．若分解因式有一个因式是，则另一个因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式的结构特征并能灵活运用是解题的关键．
先利用平方差公式对进行因式分解，然后根据已知条件找出另一个因式，解题思路是先对式子进行变形分解，再结合已知因式确定另一个因式．
【详解】解：
因为有一个因式是，
所以另一个因式是，
故选：D．
5．若多项式能直接用完全平方公式进行因式分解，则“”所代表的单项式不可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】本题考查完全平方式分解因式，根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍在中间，进行判断即可．
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，无法用完全平方公式进行因式分解，符合题意；
故选D．
6．如图，用4个相同的矩形与1个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知这个正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9，我们用x、y表示小矩形的两边长（）．请观察图案，指出以下关系式中不正确的个数有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】平方差公式与几何图形、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用、因式分解的应用
【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式、平方差公式与几何图形，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用．
先得到大正方形边长为，小正方形边长为，即可得到，；再由四个长方形面积与一个小正方形面积之和等于大正方形面积得到，即可判断③；再由和判断④⑤．
【详解】解：∵大正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9，
∴大正方形边长为，小正方形边长为，
∴，，
故①②正确；
∵四个长方形面积与一个小正方形面积之和等于大正方形面积，
∴，
∴，
故③正确；
∴，
故④正确；
∴，
故⑤正确，
∴不正确的有0个，
故选：A．
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
7．整式的公因式是_____．
【答案】/
【知识点】公因式
【分析】本题主要考查了求公因式，公因式是指：数字的最大公约数，相同字母的最低次幂的乘积，据此求解即可．
【详解】解：整式的公因式是，
故答案为：．
8．因式分解：_______．
【答案】
【知识点】十字相乘法
【分析】本题主要考查因式分解，利用十字相乘法进行因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
9．因式分解：________
【答案】
【知识点】分组分解法
【分析】本题考查分组分解法进行因式分解，通过重新分组并提取公因式后，再提取二次公因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
10．已知整式可以因式分解为，如果、、都为整数，那么的值为_____．
【答案】
【知识点】已知因式分解的结果求参数
【分析】本题考查因式分解的意义．由题意可得式，则，，根据m、p，q都为整数确定m的值即可．
【详解】解：由题意可得，
则，，
∵m、p，q都为整数，
∴，或，，
则或，
故答案为：．
11．已知：，则______；
【答案】
【知识点】积的乘方的逆用、通过对完全平方公式变形求值、因式分解的应用
【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式变形求值，积的乘方逆运算等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键．
先将原式分解为，然后再由完全平方公式变形为，最后再代入求值即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12．因式分解： ________
【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式
【分析】本题考查了提取公因式法和公式法分解因式，首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可，正确运用乘法公式分解因式是解题的关键．
【详解】解：
．
13．如果关于的整式可以因式分解为，其中均为整数，那么满足条件的的值是_____．
【答案】或
【知识点】十字相乘法、因式分解的应用、已知因式分解的结果求参数
【分析】根据因式分解与多项式乘法的关系，比较系数得出，列举所有整数对并计算p，即可求出p．
【详解】解：∵可以因式分解为，且，
∴，
∵均为整数，
∴或或或或或或或，
当或时，；
当或时，；
当或时，；
当或时，；
综上所述，满足条件的的值是或．
14．已知，则______．
【答案】或
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、十字相乘法、因式分解的应用
【分析】利用完全平方公式以及因式分解法变形方程即可得解．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴或
∴或．
15．一个正整数如果加上50或减去31都是一个完全平方数，则这个正整数是______．
【答案】31或175或1631
【知识点】因式分解的应用、构造二元一次方程组求解
【分析】本题考查因式分解的应用．设此数为a，则，，，再将81分解成为3和27，或1和81，或9和9，分别列得二元一次方程组，求得x、y的值，即可求得a的值．
【详解】解：设这个正整数为a，则，，，
，
对81因式分解，可以分解为3和27，或1和81，或9和9，
所以：，，
所以：,
由得：；
或，，
所以：,
由得：；
或，，
所以：,
由得：；
故答案为：31或175或1631．
16．已知长方形周长8米，长方形的长和宽满足，则长方形面积为___________平方米．
【答案】2
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、因式分解的应用
【分析】本题考查了因式分解的应用，利用整体和换元的思想是解题的关键．
由长方形周8米可得长与宽之和为4米，即。将给定方程展开并整理，利用 和的关系代入化简，得到关于的二次方程，解之得，即长方形面积为2平方米．
【详解】由周长公式得：
设，则，且 ，
代入方程：
故长方形面积为平方米。
故答案为：2．
17．若取图中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为_______．
【答案】9或12或21
【知识点】十字相乘法
【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得或或，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴或
或
，
∴的值可以是9或12或21，
故答案为：9或12或21．
18．1261年，我国南宋数学家杨辉在他所著的《详解九章算法》中给出了一个“开方作本源图”（图1），并指明：“开方作法本源图出自《释锁算书》，贾宪用此术，”这幅被后人称为“贾宪三角”．这个“三角形”的两条斜的“边”都是由数字1组成，下其他数等于它“肩上”的两个数的和．在图2的“贾宪三角”中，第2斜列上的数依次为：1，2，3，4，5，，我们把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第个数记为．第3斜列上的数依次为：，把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第个数记为，若，则的值为_____．
【答案】44
【知识点】两个有理数的乘法运算、数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题、因式分解的应用
【分析】本题考查了数字类规律，多项式乘法运算，因式分解的应用，有理数的乘法运算，解题的关键根据题意找出规律求解．
由题意可得，，则得到，据此求解即可．
【详解】解：第2斜列上第1个数记为，第2个数记为，第3个数记，第个数记为，即；
第3斜列上第1个数，第2个数，第3个数，第4个数，，那么第个数为，
∴由题意得，，
∴，
整理得，，
左边因式分解得，，
由有理数乘法可得，或或，
当时，解得（不符合题意，舍）；
当时，解得；
当时，方程组无解，
∴的值为44，
故答案为：44．
三、解答题（共8小题，共58分）
19．（本题6分）分解因式：．
分解因式：
【答案】 分解因式：
【知识点】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式、十字相乘法
【分析】此题主要考查了公式法分解因式，完全平方公式，正确应用平方差公式是解题关键．
先利用完全平方公式进行变形，再利用平方差公式分解因式得出结论即可．利用十字相乘法分解因式；先利用十字相乘法分解，再继续利用十字相乘法分解即可．
【详解】解：
．
解：
．
20．（本题6分）已知整式因式分解的结果是，求、的值．
【答案】，．
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了分解因式－公式法．先利用公式法去掉括号，再根据等式的性质得，．
【详解】解：，
∴，，
解得：，．
21．（本题6分）因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、十字相乘法、分组分解法
【分析】本题考查了因式分解：十字相乘法、分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）先分组为，再变形，然后利用提公因式法分解因式即可；
（2）先根据十字相乘法分解因式，再根据完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：原式
．
22．（本题6分）通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如，，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为，可知当时，的最小值是．请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题：
(1)因式分解：；
(2)已知为任何实数，若，，通过计算判断的大小关系．
【答案】(1)
(2)
【知识点】计算多项式乘多项式、运用完全平方公式进行运算、十字相乘法
【详解】（1）解：；
（2）解，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴．
23．（本题8分）如果一个整数能表示成（是整数）的形式，那么称这个数为“完全数”．例如，，那么10是“完全数”．再如，（是整数），所以M也是“完全数”．
(1)请你再写一个小于10的“完全数”：______；
(2)请判断是整数是否是“完全数”，并说明理由；
(3)已知（是整数，k是常数），如果S是“完全数”，求k的值；
(4)如果整数m，n都是“完全数”，试说明：也是“完全数”．
【答案】(1)
(2)
是，理由如下：
，
（是整数）是“完全数”；
(3)
(4)
证明：设，（为整数），
，
、b、c、d是整数，
，都是整数，
是完全数．
【知识点】有理数的乘方运算、运用完全平方公式进行运算、因式分解的应用
【分析】本题考查新定义，因式分解的应用，掌握“完全数”的定义是解题的关键．
（1）根据“完全数”的定义即可解答；
（2）根据“完全数”的定义即可解答；
（3）利用完全平方公式将S配成“完全数”，即可解答；
（4）设，（为整数），再证明即可．
【详解】（1）解：，
是完全数，...............................2分
故答案为：（答案不唯一）；
（2）是，理由如下：
，
（是整数）是“完全数”；...............................4分
（3）解：时，S为“完全数”，理由如下：
，
对于任意整数x、y，S都是“完全数”，，也是整数，
∴，即，S是完全数；...............................6分
（4）证明：设，（为整数），
，
、b、c、d是整数，
，都是整数，
是完全数．...............................8分
24．（本题8分）计算：． 简便计算：
【答案】
【知识点】因式分解在有理数简算中的应用、完全平方公式分解因式
【分析】本题考查的是因式分解在有理数简便运算中的应用，涉及完全平方公式因式分解，利用完全平方公式分解后直接计算即可．
【详解】解：原式
．
【答案】16
【知识点】因式分解在有理数简算中的应用、平方差公式分解因式
【分析】本题考查了平方差公式，先把原式整理得，再运用平方差公式进行计算，即可作答．
【详解】解：
．
25．（本题9分）如图，现有三种不同型号的卡片若干张，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，其中请你尝试根据以下两种情况，用不同数量的三类卡片，不重叠无缝隙地拼成一个大正方形．
(1)用张型正方形卡片，2张型长方形卡片和1张型正方形卡片，拼成一个大正方形，请画出大正方形的拼接示意图，并写出该大正方形的边长为______；
(2)用4张型正方形卡片，12张型长方形卡片和______张型正方形卡片，可以拼成一个大正方形，此时这个大正方形的边长为______；
(3)三种不同型号的卡片各有9张，从其中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），取出的这些卡片正好能拼成一个大正方形，当所拼成的大正方形面积最大时，此时需要三类卡片共多少张？
【答案】(1)
，
大正方形的边长为，
(2)
(3)张
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、因式分解的应用
【分析】此题主要考查了列代数式、整式的混合运算：
（1）利用正方形的面积等于边长的平方，结合完全平方公式得出边长；
（2）运用完全平方公式得出型卡片的张数；
（3）设大正方形边长为，分析的取值．
【详解】（1） 略
（2）解：，
，
张型正方形卡，大正方形的边长是，
故答案为：9，；
（3）解：设大正方形边长为，
大正方形的面积为：（为正整数），
三种不同型号的卡片各最多是9张：
：，：，：，
每种卡片至少取1张，
要使面积最大，需让最大因，
逐一分析m、n的可能取值：当时，，取满9张，正方形的面积最大，
代入，得，
故，
型卡片数量：，
型卡片数量：，
大正方形边长：，
总面积：，
此时三种不同型号的卡片总数为：张．
26．（本题9分）【阅读理解】
如果一个正整数能表示成（是正整数）的形式，那么称这个正整数为“方差数”．
小明采用举例的方式，有序地列出了一些“方差数”，想从中寻找规律：
，
，，
，，，
小杰采用不同的方法，找到一类“方差数”，试图发现“方差数”更本质的特征：
设为正整数且，因为，
所以这样的数都是“方差数”，即所有奇数（1除外）都是“方差数”．
【尝试运用】
（1）填空：①16______“方差数”（填“是”或“不是”）；
②因为（____）（____），所以2025是“方差数”；
（2）已知（是正整数且，是常数），请写出的值，使得不论取何值，都是“方差数”，并说明理由；
【深入探究】
（3）你能像小杰一样找到一类“方差数”吗？如果能，试描述你找到的这类“方差数”的特征，并说明理由；
（4）请写出40到50之间的所有“方差数”（不包含40和50）．
【答案】（1）①是 ②1013，1012
（2）7
（3）所有4的倍数（4除外）都是“方差数”
（4）41，43，44，45，47，48，49
【知识点】因式分解的应用
【分析】本题主要考查了新定义“方差数”的理解与应用，因式分解的应用，解题的关键是理解新定义运算．根据“方差数”的定义进行解答即可．
【详解】（1）解：①，
16是“方差数”；
②因为，
所以2025是“方差数”．
故答案为：①是；②1013，1012．
（2）解：当时，不论取何值，都是“方差数”，理由如下：
，
要使不论取何值，都是“方差数”，
则，即，
此时，，
是正整数且，
和都是正整数，且，满足“方差数”的定义，
当时，无论不论取何值，都是“方差数”．
（3）解：能．
设为正整数且，
则，
所以这样的数都是“方差数”， 即所有4的倍数（4除外）都是“方差数”．
（4）解：由题意和（3）可知，所有奇数（1除外）都是“方差数”， 所有4的倍数（4除外）都是“方差数”，
所以40到50之间（不包含40和50）的所有“方差数”是：41，43，44，45，47，48，49．
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… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________
2026-2027学年七年级上册数学单元自测
第十二章 因式分解·能力提升
建议用时：60分钟，满分：100分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．下列等式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2。下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，则（ ）
A． B． C．7 D．11
4．若分解因式有一个因式是，则另一个因式是（ ）
A． B． C． D．
5．若多项式能直接用完全平方公式进行因式分解，则“”所代表的单项式不可以是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，用4个相同的矩形与1个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知这个正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9，我们用x、y表示小矩形的两边长（）．请观察图案，指出以下关系式中不正确的个数有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
7．整式的公因式是_____．
8．因式分解：_______．
9．因式分解：________
10．已知整式可以因式分解为，如果、、都为整数，那么的值为_____．
11．已知：，则______；
12．因式分解： ________
13．如果关于的整式可以因式分解为，其中均为整数，那么满足条件的的值是_____．
14．已知，则______．
15．一个正整数如果加上50或减去31都是一个完全平方数，则这个正整数是______．
16．已知长方形周长8米，长方形的长和宽满足，则长方形面积为___________平方米．
17．若取图中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为_______．
18．1261年，我国南宋数学家杨辉在他所著的《详解九章算法》中给出了一个“开方作本源图”（图1），并指明：“开方作法本源图出自《释锁算书》，贾宪用此术，”这幅被后人称为“贾宪三角”．这个“三角形”的两条斜的“边”都是由数字1组成，下其他数等于它“肩上”的两个数的和．在图2的“贾宪三角”中，第2斜列上的数依次为：1，2，3，4，5，，我们把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第个数记为．第3斜列上的数依次为：，把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第个数记为，若，则的值为_____．
三、解答题（共8小题，共58分）
19．（本题6分）分解因式：．
分解因式：
20．（本题6分）已知整式因式分解的结果是，求、的值．
21．（本题6分）因式分解：
(1)；
(2)．
22．（本题6分）通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如，，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为，可知当时，的最小值是．请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题：
(1)因式分解：；
(2)已知为任何实数，若，，通过计算判断的大小关系．
23．（本题8分）如果一个整数能表示成（是整数）的形式，那么称这个数为“完全数”．例如，，那么10是“完全数”．再如，（是整数），所以M也是“完全数”．
(1)请你再写一个小于10的“完全数”：______；
(2)请判断是整数是否是“完全数”，并说明理由；
(3)已知（是整数，k是常数），如果S是“完全数”，求k的值；
(4)如果整数m，n都是“完全数”，试说明：也是“完全数”．
24．（本题8分）计算：． 简便计算：
25．（本题9分）如图，现有三种不同型号的卡片若干张，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，其中请你尝试根据以下两种情况，用不同数量的三类卡片，不重叠无缝隙地拼成一个大正方形．
(1)用张型正方形卡片，2张型长方形卡片和1张型正方形卡片，拼成一个大正方形，请画出大正方形的拼接示意图，并写出该大正方形的边长为______；
(2)用4张型正方形卡片，12张型长方形卡片和______张型正方形卡片，可以拼成一个大正方形，此时这个大正方形的边长为______；
(3)三种不同型号的卡片各有9张，从其中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），取出的这些卡片正好能拼成一个大正方形，当所拼成的大正方形面积最大时，此时需要三类卡片共多少张？
26．（本题9分）【阅读理解】
如果一个正整数能表示成（是正整数）的形式，那么称这个正整数为“方差数”．
小明采用举例的方式，有序地列出了一些“方差数”，想从中寻找规律：
，
，，
，，，
小杰采用不同的方法，找到一类“方差数”，试图发现“方差数”更本质的特征：
设为正整数且，因为，
所以这样的数都是“方差数”，即所有奇数（1除外）都是“方差数”．
【尝试运用】
（1）填空：①16______“方差数”（填“是”或“不是”）；
②因为（____）（____），所以2025是“方差数”；
（2）已知（是正整数且，是常数），请写出的值，使得不论取何值，都是“方差数”，并说明理由；
【深入探究】
（3）你能像小杰一样找到一类“方差数”吗？如果能，试描述你找到的这类“方差数”的特征，并说明理由；
（4）请写出40到50之间的所有“方差数”（不包含40和50）．
试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页）
试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页）
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