第十一章 整式的乘除（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材沪教版五四制七年级上册

2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第十一章 整式的乘除·能力提升 建议用时：60分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列多项式乘法计算中，不能用平方差公式的是（     ） A． B． C． D． 3．如果，那么、的值是（　　） A． B． C． D． 4．若，，则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 5．如果可以用完全平方公式进行因式分解，那么常数k的值是（   ） A．7 B． C．14 D． 6．我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提出的表格，揭示了（n为非负数）展开式中各项系数的规律．例如，系数为1，2，1；又如，系数为1，3，3，1．请根据上述规律计算：（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．已知与是同类项，则__________． 8．计算：___． 9．计算：______． 10．已知，则______________ ． 11．化简的结果为______ 12. ___________；___________． 13．计算：___________． 14．当，则的值为________． 15．计算：_________． 16．对定义一种新运算：．如：．计算：___________． 17．已知，则_______． 18．如图，C为线段上的一点，分别以为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两正方形的面积之和，图中阴影部分面积为 _______． 三、解答题（共8小题，共58分） 19．（本题6分）运用平方差公式计算： (1)； (2) 20．（本题6分）先化简，再求值：，其中，． 21．（本题6分）规定：如果两数a、b满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，则，故，则，即．如果，那么（3，______）． 22．（本题6分）已知，，求的值． 23．（本题8分）先化简再求值，，其中． 24．（本题8分）阅读以下材料： 我们给出如下定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于对称，是它的对称轴，例如．观察可以发现，当取任意一对互为相反数的值时，多项式的值是相等的，则称关于对称，是它的对称轴． 请根据上述材料解决下列问题： (1)将多项式变形为的形式，并求出它的对称轴； (2)若关于的多项式关于对称，求的值 25．（本题9分）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． (1)情境一：如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a、b的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，直接写出由此可以得到的乘法公式； (2)情境二：如图3，乙同学用4块A木片、1块B木片和若干块C木片拼成了一个正方形， ①请直接写出所拼正方形的边长（用含a、b的式子表示）：_________． ②直接写出所用C木片的数量：_________块． (3)情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片，2块A，4块B，7块C拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，至少需要从中去掉一块木片才能拼出长方形．你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 26．（本题9分）我们把形如的整式称为关于x的一元n次多项式，记作，…等等. 将整数的带余除法类比到一元多项式，我们可类似地得到带余式的大除法，其关系式为：，其中表示被除式，表示除式，表示商式，表示余式，且的次数小于的次数. 我们来举个例子对比多项式除法和整数除法，如下左式中，除以，商为，余数为：而如下右式中，多项式除以，商式为，余式为. 请根据以上材料，解决下面的问题： (1)多项式除以，请补全下面的计算式 所以，除以所得的商式为 ，余式为 ． (2)若多项式除以所得的余式为，求的值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第十一章 整式的乘除·能力提升 建议用时：60分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B B C D A 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7． 8． 9． / 10． 11． 12． 13． 4 14．2 15．11 16． 17．4 18. 8 三、解答题（共8小题，共58分） 19．（本题6分）【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ；...............................3分 （2）解： ．...............................6分 20． （本题6分）【答案】， 【详解】解： ...............................3分 ，...............................4分 当，时，原式...............................6分 21．（本题6分）【答案】128 【详解】∵， ∴， 解得，...............................3分 ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：128．...............................6分 22.（本题6分）【答案】24 【详解】 ， ， ，...............................3分 ， ， ， ．...............................6分 23．（本题8分）【答案】【答案】， 【详解】解： ，...............................3分 ∵， ∴，， ∴，，...............................5分 ∴原式 ．...............................8分 24．（本题8分）【答案】(1)，对称轴是 (2) 【详解】（1）∵ ∴对称轴是；...............................4分 （2）∵多项式关于对称， ∴， ∴， ∴．...............................8分 25．（本题9分）【答案】(1)图中阴影部分的面积为，图中阴影部分的面积为，乘法公式为 (2)①；②4 (3)长为，宽为， 长方形如图： 【详解】（1）解：如图，设等腰梯形的高为，   ， ， 图中阴影部分的面积： ， 图中阴影部分的面积：， ， ， 故可得到的乘法公式为：；...............................3分 （2）解：设乙同学用4块A木片、1块B木片和m块C木片拼成了一个正方形，则该正方形的面积为， 当时，， 所拼正方形的边长为，所用木片的数量为4， 故答案为：①；②4；...............................6分 （3）解：赞同丁同学的说法；去掉个以后， ， 该情况下所拼长方形的长为，宽为...............................9分 26．（本题9分）【答案】(1)， (2) 【详解】（1） 除以 除以 的商式为，余式为， 故答案为：，；...............................3分 （2）由题意设商式为， 则有：， 等式左边整理得，， ∴，， 解得，， ...............................6分 ∴，， ∴．...............................9分 【点睛】此题考查了整式的除法运算，熟练掌握整式的除法运算法则是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第十一章 整式的乘除·能力提升 建议用时：60分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列多项式乘法计算中，不能用平方差公式的是（     ） A． B． C． D． 3．如果，那么、的值是（　　） A． B． C． D． 4．若，，则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 5．如果可以用完全平方公式进行因式分解，那么常数k的值是（   ） A．7 B． C．14 D． 6．我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提出的表格，揭示了（n为非负数）展开式中各项系数的规律．例如，系数为1，2，1；又如，系数为1，3，3，1．请根据上述规律计算：（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．已知与是同类项，则__________． 8．计算：___． 9．计算：______． 10．已知，则______________ ． 11．化简的结果为______ 12. ___________；___________． 13．计算：___________． 14．当，则的值为________． 15．计算：_________． 16．对定义一种新运算：．如：．计算：___________． 17．已知，则_______． 18．如图，C为线段上的一点，分别以为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两正方形的面积之和，图中阴影部分面积为 _______． 三、解答题（共8小题，共58分） 19．（本题6分）运用平方差公式计算： (1)； (2) 20．（本题6分）先化简，再求值：，其中，． 21．（本题6分）规定：如果两数a、b满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，则，故，则，即．如果，那么（3，______）． 22．（本题6分）已知，，求的值． 23．（（本题8分）先化简再求值，，其中 24．（本题8分）阅读以下材料： 我们给出如下定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于对称，是它的对称轴，例如．观察可以发现，当取任意一对互为相反数的值时，多项式的值是相等的，则称关于对称，是它的对称轴． 请根据上述材料解决下列问题： (1)将多项式变形为的形式，并求出它的对称轴； (2)若关于的多项式关于对称，求的值 25．（本题9分）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． (1)情境一：如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a、b的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，直接写出由此可以得到的乘法公式； (2)情境二：如图3，乙同学用4块A木片、1块B木片和若干块C木片拼成了一个正方形， ①请直接写出所拼正方形的边长（用含a、b的式子表示）：_________． ②直接写出所用C木片的数量：_________块． (3)情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片，2块A，4块B，7块C拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，至少需要从中去掉一块木片才能拼出长方形．你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 26．（本题9分）我们把形如的整式称为关于x的一元n次多项式，记作，…等等. 将整数的带余除法类比到一元多项式，我们可类似地得到带余式的大除法，其关系式为：，其中表示被除式，表示除式，表示商式，表示余式，且的次数小于的次数. 我们来举个例子对比多项式除法和整数除法，如下左式中，除以，商为，余数为：而如下右式中，多项式除以，商式为，余式为. 请根据以上材料，解决下面的问题： (1)多项式除以，请补全下面的计算式 所以，除以所得的商式为 ，余式为 ． (2)若多项式除以所得的余式为，求的值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第十一章 整式的乘除·能力提升 建议用时：60分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项、幂的混合运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了幂的混合和运算及合并同类项．根据幂的运算法则，合并同类项法则逐一计算，即可得出答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 2．下列多项式乘法计算中，不能用平方差公式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式．根据平方差公式逐项判断即可得． 【详解】解：A、，能用平方差公式，则此项不符合题意； B、，不能用平方差公式，则此项符合题意； C、，能用平方差公式，则此项不符合题意； D、，能用平方差公式，则此项不符合题意； 故选：B． 3．如果，那么、的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查多项式乘法的展开和系数比较，是基础题． 通过展开右侧的因式形式，比较多项式系数，即可得出和的值． 【详解】解：， ∵， ∴ ， 比较系数得：，． 故选：B． 4．若，，则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式，有理数的大小比较，利用完全平方公式将变形后进行判断即可．将原式进行正确地变形是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴． 故选：C． 5．如果可以用完全平方公式进行因式分解，那么常数k的值是（   ） A．7 B． C．14 D． 【答案】D 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了多项式的因式分解和完全平方式，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题关键． 由题意可得是完全平方式，然后根据完全平方式的特点解答即可． 【详解】解：因为可以用完全平方公式进行因式分解， 所以， 所以． 故选：D． 6．我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提出的表格，揭示了（n为非负数）展开式中各项系数的规律．例如，系数为1，2，1；又如，系数为1，3，3，1．请根据上述规律计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题是阅读理解题，考查了完全平方公式的拓展—规律型问题，根据已知展开式找出一般性的数字规律是解题关键,根据前面的变化规律，计算后解答即可． 【详解】解：∵ ∴． 故选：A ． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．已知与是同类项，则__________． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】根据同类项的定义，得到相同字母指数相等的方程，求解得到和的值，再利用幂的乘方法则计算最终结果． 【详解】解：根据同类项所含字母相同，且相同字母的指数也相同，可得：，， 解得，， 根据幂的乘方法则，可得． 8．计算：___． 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查单项式乘以多项式：“用单项式分别乘以多项式中的每一项，再将它们的积相加”，即可求解． 【详解】解：原式； 故答案为：． 9．计算：______． 【答案】/ 【知识点】有理数的乘方运算、积的乘方的逆用 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握指数运算性质是解题的关键． 将带分数转换为假分数，利用指数运算性质合并底数，结合负数的奇次幂性质计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 10．已知，则______________ ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握，，即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 11．化简的结果为______ 【答案】 【知识点】合并同类项、计算单项式除以单项式、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了整式的运算，利用平方差公式，单项式除以单项式法则先运算，然后合并计算即可． 【详解】解∶原式 ， 故答案为∶． 12. ___________；___________． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】将相乘的各数表示成同底数的幂即可利用同底数幂的乘法计算． 【详解】解：， ， 故答案为：；． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，熟记相关法则：底数不变，指数相加，是解题关键． 13．计算：___________． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．先将因式分别乘方，再结合幂的乘方计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14．当，则的值为________． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方． 将化为，再根据同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：由得， ∴ ． 故答案为：． 15．计算：_________． 【答案】2 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查有理数的运算，将原式进行正确的变形是解题的关键．将原式变形后利用乘法公式简便计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：2． 16．对定义一种新运算：．如：．计算：___________． 【答案】 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，先根据新定义计算出，再根据新定义计算可得，据此计算求解即可． 【详解】解： ， ∴ ， 故答案为：． 17．已知，则_______． 【答案】4 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式的变形运算，先利用完全平方公式求出的值，进而求解即可，掌握完全平方公式的变形运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 18．如图，C为线段上的一点，分别以为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两正方形的面积之和，图中阴影部分面积为 _______． 【答案】8 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．设，，可得，，根据完全平方公式求出即可． 【详解】解：设，， ∵， ∴， 又∵两正方形的面积之和为20， ∴， 由完全平方公式可得，， ∴， ∴， ∴． ∴阴影部分的面积为8． 故答案为：8． 三、解答题（共8小题，共58分） 19．（本题6分）运用平方差公式计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查的是平方差公式的灵活应用，熟记平方差公式是解本题的关键； （1）逐步利用平方差公式计算即可； （2）逐步利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ；...............................3分 （2）解： ．...............................6分 20．（本题6分）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查的是整式的混合运算－化简求值，根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项、多项式除以单项式把原式化简，把a、b的值代入计算得到答案． 【详解】解： ...............................3分 ，...............................4分 当，时，原式...............................6分 21．（本题6分）规定：如果两数a、b满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，则，故，则，即．如果，那么（3，______）． 【答案】128 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方，同底数幂的乘法的运算法则，弄懂定义是解题的关键． 由题意可得，解得，再由，结合规定即可求解． 【详解】∵， ∴， 解得，...............................3分 ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：128．...............................6分 22．（本题6分）已知，，求的值． 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，解题关键是将所求式子转化为以3为底的幂的形式，再利用已知条件代入计算． 先将和转化为以为底的幂，即再根据幂的乘方性质变形为；最后代入，计算，求和得到结果． 【详解】 ， ， ，...............................3分 ， ， ， ．...............................6分 23．（本题8分）先化简再求值，，其中． 【答案】， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式乘多项式——化简求值、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了整式的化简求值． 根据平方差公式分别计算、，进而化简原整式，根据绝对值的非负性、平方的非负性求出x、y的值，进而代入化简结果计算即可． 【详解】解： ，...............................3分 ∵， ∴，， ∴，，...............................5分 ∴原式 ．...............................8分 24．（本题8分）阅读以下材料： 我们给出如下定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于对称，是它的对称轴，例如．观察可以发现，当取任意一对互为相反数的值时，多项式的值是相等的，则称关于对称，是它的对称轴． 请根据上述材料解决下列问题： (1)将多项式变形为的形式，并求出它的对称轴； (2)若关于的多项式关于对称，求的值 【答案】(1)，对称轴是 (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式，正确理解新定义是解答本题的关键． （1）根据完全平方公式变形后根据新定义求解即可； （2）由多项式关于对称可设，化简后即可求出的值． 【详解】（1）∵ ∴对称轴是；...............................4分 （2）∵多项式关于对称， ∴， ∴， ∴．...............................8分 25．（本题9分）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． (1)情境一：如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a、b的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，直接写出由此可以得到的乘法公式； (2)情境二：如图3，乙同学用4块A木片、1块B木片和若干块C木片拼成了一个正方形， ①请直接写出所拼正方形的边长（用含a、b的式子表示）：_________． ②直接写出所用C木片的数量：_________块． (3)情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片，2块A，4块B，7块C拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，至少需要从中去掉一块木片才能拼出长方形．你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 【答案】(1)图中阴影部分的面积为，图中阴影部分的面积为，乘法公式为 (2)①；②4 (3)长为，宽为， 长方形如图： 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、平方差公式与几何图形、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了因式分解，平方差公式、完全平方公式的几何意义，等积转换，掌握等积转换的方法是解题的关键． （1）设等腰梯形的高为，可求，分别表示出图和图的面积，即可求解； （2）可得，由拼成了一个正方形可得，能用完全平方公式进行因式分解，求解①②即可； （3）能构成长方形，则要能进行分解，故去掉个后即可进行因式分解，从而可求解． 【详解】（1）解：如图，设等腰梯形的高为，   ， ， 图中阴影部分的面积： ， 图中阴影部分的面积：， ， ， 故可得到的乘法公式为：；...............................3分 （2）解：设乙同学用4块A木片、1块B木片和m块C木片拼成了一个正方形，则该正方形的面积为， 当时，， 所拼正方形的边长为，所用木片的数量为4， 故答案为：①；②4；...............................6分 （3）解：赞同丁同学的说法；去掉个以后， ， 该情况下所拼长方形的长为，宽为...............................9分 26．（本题9分）我们把形如的整式称为关于x的一元n次多项式，记作，…等等. 将整数的带余除法类比到一元多项式，我们可类似地得到带余式的大除法，其关系式为：，其中表示被除式，表示除式，表示商式，表示余式，且的次数小于的次数. 我们来举个例子对比多项式除法和整数除法，如下左式中，除以，商为，余数为：而如下右式中，多项式除以，商式为，余式为. 请根据以上材料，解决下面的问题： (1)多项式除以，请补全下面的计算式 所以，除以所得的商式为 ，余式为 ． (2)若多项式除以所得的余式为，求的值． 【答案】(1) 如图， ，； (2)． 【知识点】整式四则混合运算 【分析】（1）根据整式的除法运算即可得出答案； （2）设商式为，根据关系式：，表示出被除式、除式、商式、余式之间的等式，根据多项式相等的条件，求出的值，进而求出的值，代入中即可求得答案． 【详解】（1） 除以 除以 的商式为，余式为， 故答案为：，；...............................3分 （2）由题意设商式为， 则有：， 等式左边整理得，， ∴，， 解得，， ...............................6分 ∴，， ∴．...............................9分 【点睛】此题考查了整式的除法运算，熟练掌握整式的除法运算法则是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $