31.4 位似-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学(教师用书)(人教版·新教材)

31.4 第1课时 位似 知识要点扫描 1.位似图形的概念 如果两个图形相似，而且对应顶点的连线 相交于一点，那么这样的两个图形叫作位似图 形，点O叫作位似中心 对于两个多边形，如果每对对应顶点所确 定的直线相交于一点，并且这点到与其不重合 的对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边 形就叫作位似多边形， 2.位似图形的画法 画位似图形的一般步骤： (1)确定位似中心； (2)分别连接并延长位似中心和能代表原 图的关键点； (3)根据相似比，确定能代表所画的位似 图形的关键点； (4)顺次连接上述各点，得到放大或缩小 的图形 已基础对点训练 知识点①位似的概念 1.如图所示的两个四边形是位似图形，则它们 的位似中心是 (D) A.点M B.点NC.点O D.点P E …B 0-4 第1题图 第2题图 知识点②位似图形的性质 2.如图所示，四边形ABCD与四边形EFGH OH 4 位似，位似中心为点0.若那=3，则 S四边形EFGH 16 S四边形ABCD 49 位似 图形的概念及画法 3.古代数学文化《墨子·天志 上》记载：“轮匠执其规矩，以 度天下之方圆.”度方知圆，感 悟数学之美.如图，正方形 ABCD的面积为4，以它的对 第3题图 角线的交点为位似中心，作它的位似图形 ABCD'.若A'B′：AB=2：1,则四边形 A'B'CD的外接圆的周长为42π 知识点③画位似图形 4.如下图，在由边长为1的正方形组成的网格纸 中，△ABC为格点三角形（顶点都在格点上）. (1)在网格纸中，以点O为位似中心画出 △ABC的一个位似图形△A'B'C',使 △ABC与△A'BC'的相似比为号 (2)△A'BC'的面积为 10 易错点 因未分类讨论位似中心的位置而 漏解 5.△ABC与△A'B'C'关于点O位似，其 相似比是号已知A0=5cm,求对应点 A,A'之间的距离. 解：：△ABC和△A'BC的相似比为1：2，AO= 5cm,.A'0=10cm.①△ABC与△A'B'C在点 0的同侧时，A4'=A'0-A0=5cm;②△ABC与 △A'B'C在点0的异侧时，A4'=A'0+A0= 15cm.综上所述，对应点A,A'之间的距离为 5cm或15cm 下册第三十一章 21 第2课时 位似图 知识要点扫描 位似图形与坐标 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为 位似中心画位似图形，新图形与原图形的相似比 为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形 上的点的坐标为(kx,ky)或（一k.x,一ky). 已基础对点训练 知识点① 坐标中的位似变换 1.如图，若△ABC与△A,B,C1是位似图形， 则位似中心的坐标是 (D) A.(1,-1) B.(-1,-1) C.(0,0) D.(0,-1) 第1题图 2.(教材变式)如图，在平面直角坐标系中，将 △OAB以原点O为位似中心放大后得到 △OCD.若B(0,1),D(0,3),则△OAB与 △OCD的相似比为 (D) 1 A.2 b.2 C.3 D.3 14 第2题图 第3题图 3.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 与正方形BEFG是以原点O为位似中心的 位似图形，且相似比为3，点A,B,E在x轴 上.若OA=2,则点G的坐标为 (B) A.(9,18) B.(6,12) C.(4,12) D.(6,18) 22 九年级数学RJ版 形的坐标变化规律 变式题如图，口OABC的顶点C在x轴正 半轴上，AB=2.若以原点O为位似中心 将☐OABC缩小，使得到的图形与原图形 的相似比为2，则点C的对应点C的坐标 为 (1,0)或（一1,0） 01 变式题图 第4题图 4.如图，已知△ABC与△A'B'C'是以坐标原 点0为位似中心的位似图形，且织若 点A的坐标为（一1,0，点C的坐标为分，小， 则A'C'=√13 知识点②坐标中的位似变换作图 5.如下图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶 点的坐标分别为A(2,3),B(1,2),C(3,1). 6-54-3-2-1☑0123456x B (1)以原点O为位似中心，在第三象限画出 △A,B,C1,使得它与△ABC的相似比为2 (点A1,B1,C1分别与点A,B,C对应). (2)在(1)的条件下，写出点A1,C1的坐标. 解：(1)△A,B,C,如图所示. (2)A,(-4,-6),C,(-6,-2)..设DE=MN=a,则DG=EF 2X(8a-a-a)=3a. DG CN :由(2)知AB-CM 图② 12 60 之、角军号x、四三石1· 5 矩形DEFG的周长是8×6=6 60480 7.解：(1)设PQ=y,则PN=2y. ,四边形PQMN是矩形，∴PN∥BC, .△APNC∽△ABC. AD⊥BC,.AD⊥PN, 院-品各-002解得y只 4 PQ-5.P- (2)设AE=x.由(1) PN AE PN z BCAD,即 12=10' PN=号，PQ=DE=10-x, 6 SPOMN=。x(10一x)=二5（x一5)+30， .当x=5时，矩形PQMN的面积最大，最大面积 为30. 故当AE=5时，矩形PQMN的面积最大，最大面积是 30,此时PQ=5,PN=6. 31.4位似 第1课时位似图形的概念及画法 1.D OH 4.OH 4 2.8【解析1D3“0D= ,四边形ABCD与四边形EFGH位似， ∴.四边形ABCD∽四边形EFGH,GH∥CD, HG OH 4 △OHGn△ODC,CD-OD-7' S边形ABCD 3.4√2π【解析】由题意可知，四边形A'B'CD'是正方 形，且与正方形ABCD是位似图形.，正方形ABCD 的面积为4，∴.其边长为2.：A'B:AB=2:1, .AB'=4,∴正方形A'B'CD的对角线的长为4√2， ∴正方形A'BCD'的外接圆的周长为4√2π 4.解：(1)如图（画出一个即可）. (2)10 5.解：，△ABC和△A'B'C'的相似比为1：2，AO= 5cm,∴A'O=10cm.①△ABC与△A'B'C'在点O的 同侧时，AA'=A'O-AO=5cm;②△ABC与△A'B1 C在点O的异侧时，AA'=A'O+AO=15cm.综上所 述，对应点A,A'之间的距离为5cm或15cm. 第2课时位似图形的坐标变化规律 1.D2.D 3.B【解析】由题意可知，△OAD∽△OBG.:相似比为 日8器分：0A=20B=6AB==A0 =4. 由题意可知，BG=3AD=12, 点G的坐标为(6,12). 变式题(1,0)或（一1,0）【解析】四边形OABC是 平行四边形，AB=2,.OC=AB=2,.C(2,0). ·以原点O为位似中心将口OABC缩小，使得到的图 形与原图形的相似比为2， .点C的对应点C的坐标为(1,0)或（一1,0）. 4.13 5.解：(1)△A,B,C,如图所示. .6 (2)A,(-4,-6),C1(-6,-2). 难点探究专练相似与几何、 函数、圆的综合（跨单元） 1.C【解析】.AD∥BC,AE∥DC, .四边形AECD是平行四边形， ..AD=EC. ..BC=3AD=3EC=BE+EC. .BE=2EC. 由折叠的性质，得BE=B'E,S△ABE=S△ABE,∠BEA =∠B'EA. 又：AE∥DC, ∴.∠ENC=∠B'EA,∠BEA=∠C, ∴.∠ENC=∠C,∴.EN=EC, ..B'E=BE=2EN, ∴EN=B'N=号BE. AE∥DC,.∠B'MN=∠B'AE,∠B'NM= ∠B'EA, ∴△B'MN∽△B'AE, 下册详解详析