课外拓展提高 31.4 第2课时 位似图形的坐标变化规律&课外拓展提高 32.1 正切、余弦和正切-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学(教师用书)(人教版·新教材)

冒第2课时位似图形的坐标： 1.如图，在直角坐标系中，△OCD与△OAB是 以原点O为位似中心的位似图形，相似比为 3,则点A(2,一1)的对应点C的坐标为 (A) A.(-6,3) B.(6,-3) C.(-3,6) D.(3,-6) 第1题图 第2题图 2.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个 顶点分别为A(1,2),B(2,1),C(3,2).现 以原点O为位似中心，在第一象限内作与 △ABC的相似比为2：1的位似图形 △A'B'C,则顶点C'的坐标是 (C) A.(2,4)B.(4,2)C.(6,4)D.(5,4) 变式题如图，△ABE和△CDE是以点E 为位似中心的位似图形，点E的坐标是 (1,0).若点A,C,D的坐标分别是(3,4)， (2,2),(3,1),则点B的坐标是（C) A.(4,2)B.(4,1)C.(5,2)D.(5,1) 变式题图 第3题图 3.一题多解法如图，在平面直角坐标系中， △ABC与△AB'C'是以点A为位似中心的位 似图形，相似比为.已知A(2,0),C(a,b), 则点C的坐标为(6一2a,一2b)(结果用 含a,b的式子表示). 4.如图，正方形ABCD和正方形EFOG是位似图 形，点A与点E对应.已知A(一4,2)，E(一1， 88 九年级数学RJ版 变化规律（建议用时：30分钟） 1),求这两个正方形的位似中心的坐标. 解：如图，连接AE并延长交 x轴于点H,则点H为位似 巾心.A(一4,2)，E(一1， 1),∴.0F=1,0B=4,EF= B C 1,AB=2.正方形ABCD 和正方形EFOG是位似图 形，.EF∥AB,△HEFC HF EF △AB,HB=AB,即 8附计-分释0m-2. ,这两个正方形的位似中心的坐标为(2,0). 5.如下图，AB和A'B'与x轴垂直，点A的坐 标是(2,4)，△AOB和△A'OB'是位似三角 形，且相似比是3，C是OA'的中点，反比例 函数y=(x>0)的图象经过点C,与A'B 交于点D (1)求点D的坐标. (2)连接BD,CD,求四边形ABDC的面积. 解：(1)：△AOB和△AOB是y1 A 位似三角形，L相假比是子 小指--片 D 点A的坐标是(2,4)，0B =2,AB=4, OB 小言-品=号g=20g=66a C是04'的中点，∴.C(3,6), k=3X6=18,即反比例函数的解析式为y=18 18 AB⊥x轴，心xn=x=6,yn=6=3,即D(6,3). (2)A(2,4),B(2,0),C(3,6),D(6,3),A'(6,12), (6,0),5心=2X2X4=4,5m=7X(62 1 2)X3=6,S△4m=2X6X12=36,Sm=2×(12 27 -3)×(6-3)= 2,小S网道形B=S么40W一S么m一 2725 S0w-S4m=36-6-42=2 第三十二章 32.1正弦 冒第1课时正弦 1.如图，在Rt△ABC中，CD为斜边 AB上的中线.已知CD=2,AC= 3,则sinB的值为 (C) 2 N 4 B B.3 第1题图 3 C.4 3 0.5 2.如图，在网格中，每个小正方形的边长均为 1.若点A,B,C都在格点上，则sinB的值 为 (A) B.10 c.25 5 5 C S, 第2题图 第3题图 3.如图，分别以△ABC的三条边为边长向外 作正方形，三个正方形的面积分别是S1,S2, S3.若S1十S2=S3,且S1=9,S2=16,则 sin∠CAB的值为 (C) A至 c 4.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°， D是AC上一点.如果CD=6,sin∠CBD= 5,那么AB的长为 82 第4题图 第5题图 5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB,垂足 为E.如果AB=26,CD=24,那么sinC= 13 锐角三角函数 、余弦与正切 (建议用时：30分钟) 6.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为 a,b,c,且满足a2+|c-10|+√b-8=12a一 4 36,则sinB的值为 5 7.如图，在矩形ABCD中，AB =6,BC=10,将矩形ABCD 沿BE折叠，点A落在A'处. 若EA'的延长线恰好过点C, 第7题图 则sin∠ABE的值为 √10 10 8.(2026九江一模)如下图，△ABC为等腰三角 形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切 于点D,底边BC与半圆O交于E,F两点. (1)求证：AB与半圆O相切. (2)连接OA,若CD=4,CF=2,求 sin∠OAC的值. 解：(1)证明：连接OD,过点0 作ON⊥AB于点N,如图. :△ABC为等腰三角形，O是 底边BC的中点， ,.AO⊥BC,AO平分∠BAC :AC与半圆O相切于点D, ,.OD⊥AC 又ON⊥AB,ON=OD, AB是半圆O的切线，即AB与半圆O相切. (2)h(1)可知，A0⊥BC,OD⊥AC,∴.∠AOC=90°， ∠0DC=90°，∴.∠0AC+∠0CA=180°-∠A0C= 90°，∠C0D+∠0CA=180°-∠0DC=90°，∴.∠0AC CD =∠COD,∴.sin∠OAC=sin∠COD= OC 又OF=OD,CF=2. .在Rt△ODC中，CD=4,OC=OF+FC=OD+2. 0C2=CD2+0D2,∴.(0D+2)2=4+0D2,解得 OD=3, CD CD 44 ,∴.sin∠OAC=sin∠COD =00=0D+2=3+2=5 4444 下册课外拓展提高 89 冒第2课时 余弦和正切 1.如图，点A,B,C都在正方形网格的格点（正 方形的顶点)上，连接AC,AB,则 tan∠BAC的值是 (D) 1 1 B.2 C.3 D.5 第1题图 第2题图 6 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是 AB边上的高，CE是AB边上的中线，AD= 3,CE=5,则tan∠BCE的值为 (A) A.②7 7 c D.v30 10 3.(教材变式)如图，在矩形ABCD中，AB=6, > BC=8,点E在DC上.把△ADE沿AE折 叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则 cos∠CEF的值为 (A) A C. 5 D. 4 D 第3题图 第4题图 4.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=5, BC=6,D为BC的中点，DE⊥AB于点E, 则cos∠BDE的值等于 (A) A号 c 5 D.6 5.新定义题如图，定义：在Rt△ABC中，锐角 a的邻直角边与对直角边的比叫作∠α的余 切，记作cota,即cota= ∠a的邻直角边 ∠α的对直角边 =Ac BC (1)cot30°= 90 九年级数学RJ版 (建议用时：30分钟) (2)若mA=子，其巾∠A为锐角则cotA 4 A 第5题图 第6题图 如图，已知第一象限内的点A在反比例函数 2 y=二的图象上，第二象限的点B在反比例 x 函数y=的图象上，且OA⊥OB,tanB= 3,则k= √ 一6 如右图，已知△ABD中，AC ⊥BD,BC=8,CD=4, 4 CoS∠ABC=5,BF为AD 边上的中线. (1)求AC的长. (2)一题多解法求tan∠FBD的值. 解：()：AC1BD,es∠ABC=BC=4 AB=5.BC=8. ∴AB=10.在Rt△ACB中，由勾股定理，得AC= /AB2-BC2=√/102-8=6. (2)如图，连接CF,过点F作FE⊥ BD,垂足为E. :BF为AD边上的中线，即F为B AD的中点，CF=D=FD, 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=√/AC+CD= √6+4=213，∴CF=13. :△CFD为等版三角形，FE1CD,CE=CD=2 在Rt△EFC巾，EF=√CF-CE=3, im∠n-最-威平-=.设PQ=7kcm,PN=2kcm. ,四边形PQMN为矩形， .PQ∥BC, '.△APQ∽△ABC. AD⊥BC,PQ∥BC,.AD⊥PQ, 股福 由题意可知，AD=40cm,BC=60cm, 7540-2 6 ,解得k=6, 40 ∴.PQ=42cm,PN=12cm, .矩形铁片PQMN的面积为12×42=504(cm). 5.解：(1)：四边形ABCD是正方形， .∠BCD=90°，BC=CD. :△BCE是等边三角形 '.∠BCE=∠BEC=60°，BC=CE, ∴.∠DCE=90°-60°=30°，CD=CE ÷∠CED=∠CDE=2×18s0-30)=75 .∠BED=∠BEC+∠CED=60°+75°=135°. (2)证明：，四边形ABCD是正方形， .∠ABC=90°，∠ABD=45°， .∠ABF=90°， ∴.∠DBF=90°+45°=135. :∠BED=135°，.∠BED=∠DBF. 又，∠BDE=∠FDB,.△BDE∽△FDB 6.解：(1)证明：：四边形ABCD是菱形，AC是菱形的对 角线， .AB=CD=CB=AD,∠DCP=∠BCP,AD∥BC, CD∥AB,.∠CDP=∠F. (CD=CB. 在△DCP与△BCP中，3∠DCP=∠BCP, CP=CP, ∴.△DCP≌△BCP(SAS), ∴.∠CDP=∠CBP, .∠CBP=∠F. 又：∠BPE=∠FPB,∴.△BPE∽△FPB, 路需P限=PEpF (2)由(1)得△BPE∽△FPB, 躁器器 PB=2PE, PB BE PE 1 小PF-BF-PB-2BF=2BE. :AD∥BC,∴.△BEF△ADF, 8e-E8能-6A-eAn, .AB=AD=6,..AF=2AD=12, ..BF=AF-AB=6. 30 九年级数学RJ版 31.4位似 第1课时位似图形的概念及画法 1.B2.C 3.C【解析】连接对应点AF,CE,BD,它们的交点即位 似中心， .位似中心在点G,H之间，.选项A,B不符合题意， AC=2EF,.相似比为2， ∴选项D不符合题意，选项C符合题意. 4智 5.13.5【解析】如图，连接OA..点O,A,A'在同一条 直线上，.点A在OA'上.DA∥CA',OA:AA'= OD:DC=1:2,∴.OA:OA'=1:3,∴图形F的面 积：图形F的面积=1：9.：图形F的面积为1.5， ∴.图形F'的面积=13.5. 01 6.解：(1)如图，点O即为位似中心. (公限影题盒，科治-台 .'AB=2 cm, ∴.A'B'=2AB=4cm. 7.解：(1)如图①，△DEF即为所求. (2)如图②，点P即为所求. 图① 图② 第2课时位似图形的坐标变化规律 1.A2.C 变式题C【解析】：△ABE和△CDE是以点E为位 似中心的位似图形，∴.△ABE∽△CDE.A(3,4), C(2,2),E(1,0),.由勾股定理，得AE=√2十4= 2√5，CE=√+2=√5，∴.△ABE和△CDE的相似 比为2.：D(3,1),∴.点B的横坐标为2×3-1=5，纵 坐标为1×2=2，.点B的坐标是(5,2). 3.(6-2a,-2b)【解析】如图，过点C作CM⊥AB于 点M,过点C'作C'N⊥AB'于点N,则∠ANC'= ∠AMC=90. AC 1 :△ABC与△AB'C'的相似比为2∴AC=2 又.∠CAM=∠C'AN,.△ACM△AC'N, 兴怨 .A(2,0),C(a,b),.OA=2,OM=a,CM=b, Mw=a2器-六- ..AN=2a-4,C'N=26,.'.ON=AN-OA=2a-6, ∴.点C的坐标为(6-2a,-2b) ME 一题多解法《 将△ABC与△ABC'向左平移2个单位长度，使 得点A与原点重合，则点C的坐标为(a-2,b). :△ABC与△AB'C'的相似比为2，点A是位似 中心，∴.点C'的坐标为(4-2a,一2b).再将 △ABC与△AB'C向右平移2个单位长度回到 原位置，则点C'的坐标为(6-2a,一2b). 4.解：如图，连接AE并延长交 x轴于点H,则点H为位似 中心 A(-4,2),E(-1,1), .OF=1,OB=4,EF=1, AB=2. ,正方形ABCD和正方形EFOG是位似图形， ∴.EF∥AB,∴.△HEF∽△HAB HF EF OH+11 心HB-AB,即OH+42,解得OH=2, ∴这两个正方形的位似中心的坐标为(2,0) 5.解：(1)：△AOB和△A'OB'是位似三角形，且相似比 是3带-那百 AB OB 1 点A的坐标是(2,4)，∴.OB=2,AB=4, 4 21 六AB=OB=3A'B'=12.0B'=6, .A'(6,12). C是OA'的中点，∴.C(3,6), k=3×6=18,即反比例函数的解析式为y= x A'B'⊥x轴，xn=x=6, 。-8-3即D68. (2)A(2,4),B(2,0),C(3,6),D(6,3),A'(6,12) B'(6,0), 1 S60w=2X2X4=4,S△m=2×(6-2)X3=6, 1 640w=2X6X12=36,SA4m=7XI2-3)X6 27 2，心SN边形AC=SAOW-S么Dg一SAaB一SAD 3)= =36-6-4-2=2 2725 第三十二章锐角三角函数 32.1正弦、余弦与正切 第1课时正弦 1.C 2.A【解析】如图，过点A作BC的垂线，交BC的延长 线于点M :每个小正方形的边长均为1，则由勾股定理，得 AM=√2+2=22，AB=√2+6=210. 在RAAn8栏流号 3.C【解析】，S1+S2=S,即BC2+AC2=AB2, ∴.△ABC为直角三角形，∠ACB=90. S1=9,S2=16,∴.BC=3,AC=4,S3=25, BC 3 ∴.AB=5,.sin∠CAB= AB=5· 4.8,E【解析】：∠C=90,sin∠CBD=CD=3 63 CD=.BD=后，解得BD=10,·BC= √BD-CD=√I0-6=8.,△ABC是等腰直角 三角形，∴.AC=BC=8,.AB=√AC+BC= √8+82=82. 5.品【解折】：CDLAB,∴∠0EC=90,CE=2CD 5 1 =2×24=12. ·AB=26,0C=2AB=13. 在Rt△OCE中，OC=13,CE=12, .0E=√OC2-CE7=√132-122=5， ·sinc-OE、5 0C=13 4 6.5【解析】：a2+|c-10|+V6-8=12a-36, ∴.a2-12a+36+|c-10|+√b-8=0, ∴.(a-6)2+|c-10|+b-8=0, ∴.a-6=0,c-10=0,b-8=0, ∴.a=6,c=10,b=8. a2+b2=62+82=102=c2,∴.∠C=90°， sin B==84 c105 【解析】由折叠可知，A'E=AE,A'B=AB=6, 下册详解详析 31Λ ∠BA'E=∠A=90°，.∠BA'C=90°.在Rt△A'CB 中，A'C=√BC-AB=8.设AE=x,则A'E=x, ∴.DE=10-x,CE=A'C+A'E=8+x.在Rt△CDE 中，根据勾股定理，得(10一x)2十62=(8十x)2,解得x =2,∴AE=2.在Rt△ABE中，BE=√AB+AE= 2瓜m∠ABE-能=e 8.解：(1)证明：连接OD,过点O作ON⊥AB于点N, 如图. ,△ABC为等腰三角形，O是 底边BC的中点， ∴.AO⊥BC,AO平分∠BAC. :AC与半圆O相切于点D, ∴.OD⊥AC. 又ON⊥AB,ON=OD,∴.AB是半圆O的切线， 即AB与半圆O相切. (2)由(1)可知，AO⊥BC,OD⊥AC, .∠AOC=90°，∠ODC=90°， ∴.∠OAC+∠OCA=180°-∠AOC=90°，∠COD+ ∠OCA=180°-∠ODC=90°， &∠0AC=∠CoD,∴sin∠OAC=sin∠CoD-Cl 又.OF=OD,CF=2, ∴.在Rt△ODC中，CD=4,OC=OF+FC=OD+2. OC2=CD2+OD2, ∴.(OD+2)2=4+OD2,解得OD=3,∴.sin∠OAC= CD CD 44 sim∠C0D=OC-OD+23+25· 第2课时余弦和正切 1.D【解析】如图，过点C作CE⊥AB于点E. 设小正方形的边长为1.由图可知， △BEC是等腰直角三角形， CE BE 2,AB=V3+3= 3AE-AB-BE=3-5 √2 是 CE 2 在Rt△AEC中，tan∠EAC 5, 即an∠BAC的值是号 2.A【解析】在Rt△ABC中，：CE为AB边上的中线， 且CE=5, AE=BE=CE=5,.AB=10,∠B=∠BCE .'AD=3,..BD=7.DE=AE-AD=2. :CD为AB边上的高，.CD⊥AB, ∴.在Rt△CDE中，CD=√CE-DE=√5-2 =√21， 432 九年级数学RJ版 tam∠BcE=mB-品四 3.A【解析】四边形ABCD是矩形， ..AD=BC=8,DC=AB=6. 由折叠的性质，得AF=AD=8,∠AFE=∠D=90°， .BF=√AF-AB=√82-6=2√7，∠CFE+ ∠AFB=90. ,∠CFE+∠CEF=90°，∴.∠CEF=∠AFB, .cos∠CEF=cos∠AFB= BF2V7√7 AF841 4.A【解析】如图，连接AD. ,AB=AC=5,BC=6,D为BC的 中点， ∴AD1BC,BD=BC=3, D ∴.∠BAD=90°-∠B,AD=AB-BD=√5-3 =4. DE⊥AB,∴.∠BDE=90°-∠B, ∴∠BAD=∠BDE. 在R△ABD中，cOs∠BAD=AB=5, AD 4 4 cOS∠BDE=cOS∠BAD=5 5.(1)3(2)3 6.一6【解析】如图，分别过点A,B 作AC⊥x轴于点C,作BD⊥x 轴于点D,则∠BDO=∠ACO= 90°，..∠BOD+∠OBD=90°. ,OA⊥OB,∴.∠BOD+∠AOC =90°， ∴.∠OBD=∠AOC,∴.△OBD∽△AOC, OA =(tan∠ABO)2=3 AOB 又：S△a0x= 2X2=1Sa0am=3,k=-6. BC 4 7.解：I):AC⊥BD,cos∠ABC=AB=5,BC=8, AB=10. 在Rt△ACB中，由勾股定理，得AC=√AB-BC= √/102-82=6. (2)如图①，连接CF,过点F作FE ⊥BD,垂足为E, ,BF为AD边上的中线，即F为B AD的中点CF=号AD=FD. 图① 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=√AC+CD √6+4=213，∴.CF=√13. :△CFD为等腰三角形，FE⊥CD,.CE=2CD=2. 在Rt△EFC中，EF=√CF2-CE=3, FE FE 3 tan∠FBD=BEBC+CE-0 ◆一题多解法 (2)如图②，过点F作FE⊥ BD,垂足为E. BF为AD边上的中线， ,.F是AD的中点 图G FE⊥BD,AC⊥BD, .FE∥AC,∴.FE是△ACD的中位线， ∴FE=AC=3,CE=2CD=2 1 FEFE 在Rt△BFE中，tan∠FBD=BE=BC+CE 10 第3课时特殊角的三角函数值 1.B2.B3.D4.A 5.C【解析】令∠A=45°，∠C= 30°，如图，过点B作BH⊥AC, 垂足为H. 在Rt△BHC中， ∠C=30°，.BC=2BH. 在Rt△BHA中，sinA=sin45二-2 .'.AB=/2 BH. BC_2BH=. 'thi A=thi 45"-ABBH 6.A【解析】，点O到△ABC三边的距离相等， ∴.BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, ∴.∠A=180°-（∠ABC+∠ACB)=180°-2（∠OBC +∠OCB)=180°-2×(180°-∠BOC)=180°-2× (180°-120)=60°，∴.tanA=tan60°=√3. 7.18.55° 号 10.100【解析】由等高线可得，A,B H 两地的实际高度差为550一500= 50(m).依题意作图，得∠B=30°， AH=50m,∠AHB=90°，.AB= AH 1 sin B =50÷2=100(m). 11.6+2 4 【解析】sin75°=sin(45°+30°) =sin45°cos30°+cos45°sin30° -E×B+2×1_6+2 =22+2X2=4. 12.π【解析】如图，连接OD,BD ,tan∠ACD=√3， ∠ACD=60 ,AB是⊙O的直径， .∠ACB=∠ADB=90°， .∠BAD=∠BCD=30°， ∠B0D=2∠BCD=60,AD AB c0s30°= 2 AD=35,.AB=6,∴.OB=3, :BD的长为60xX3=元 180 18限：0原式-号×号-5+号 1 Γ2 -2 ②原武-1+4×号×号-× 23 =1+√6-1 =√6. (3)原式=3× 3 -21x +4x 2 =√5-√5+2 =2. 14.解：：∠A=60°，.tanA=√3 tanA,cosB为一元二次方程2.x2-3m.x十3=0的 两个实数根，tanA·cosB=之·cosB=3 -2 ∠B为锐角，∠B=30°， ∴.∠C=180°-∠A-∠B=90°， ∴.△ABC是直角三角形. ◆一题多解法 ∠A=60°，tanA=√3. 把x=3代入方程2x2-3m.x+3=0,得2× (5)2-3√5m十3=0，解得m=√3. 把m=√3代人方程2x2-3m.x十3=0， 得2x2-35x+3=0, 解得x1=3,x=2 a8-9 ∠B为锐角，∴.∠B=0°， ∴.∠C=180°-∠A-∠B=90°， ∴.△ABC是直角三角形. 15.解：(1)1 (2)sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289° 下册详解详析 33Λ