云南省曲靖市第二中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

曲靖市第二中学2026级高一上学期第一次月考 数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 4．设，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 6．已知集合，，若，则的取值集合为（　　） A． B． C． D． 7．如图所示的锐角三角形空地中，要建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长（单位：m）的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．设集合，，则（　　） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9．下列集合表示图中阴影部分的为（　　） A． B． C． D． 10．如图所示，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为，则下面结论中正确的是（　　） A．有且仅有一个实数解 B． C． D．时的解集是 11．已知为正实数，且，则（　　） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，则不等式的解集是______． 13．已知集合，，且，则______． 14．若对任意的，都有，则称是完美集合，若不是完美集合，则称是不完美集合。集合的所有非空子集中的不完美集合有______个． 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15．（13分）（1）比较与的大小； （2）若，且，证明：。 16．（15分）已知集合，集合。 （1）求，； （2）设，求。 17．（15分）某火车站在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室。由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元。设屋子的左右两侧墙的长度均为米。 （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？最低为多少？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围。 18．（17分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接、，过点作直线，交抛物线于点。 （1）求抛物线表达式； （2）点是线段下方抛物线上一点，连接，，点是轴上一动点，连接，当的面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值。 19．（17分）已知函数。 （1）若，恒成立，求实数的取值范围； （2）若，使得方程恰有一解，求实数的取值范围； （3）若关于的不等式恰有3个正整数解，求实数的取值范围。 高一数学试卷 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 曲靖市第二中学2026级高一上学期第一次月考 数学试卷 参考答案与解析 一、单选题 1．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取公共元素。 【解答】，选A。 2．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，结论否定。 【解答】把“”改为“”，把“”改为“”，选B。 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得。 【解答】中，所以，故的定义域为，选C。 4．设，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】。 【解答】，能推出；但不一定有。故充分不必要，选A。 5．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】命题为假等价于，。 【解答】时成立；时需，得；时开口向下不恒成立。故，选A。 6．已知集合，，若，则的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求，再令。 【解答】为正因数1,3，得，。由，，所以或。时，集合元素重复，舍去。故，选D。 7．如图所示的锐角三角形空地中，要建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长（单位：m）的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由相似三角形表示矩形另一边长。 【解答】三角形底40、高40。矩形上边长为时，由相似三角形，矩形高为，面积，即，，得，选B。 8．设集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列举中整点，检验是否满足。 【解答】中整点为，它们的都不超过2，故，，选C。 二、多选题 9．下列集合表示图中阴影部分的为（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】阴影部分为中不在中的元素。 【解答】阴影部分为；又表示中不属于的部分，即中不属于的部分，与阴影相同。选BD。 10．如图所示，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为，则下面结论中正确的是（　　） A．有且仅有一个实数解 B． C． D．时的解集是 【答案】BD 【分析】由对称轴和根确定另一根。 【解答】对称轴，得，即，B正确；由及对称性得另一根，开口向下，的解集为，D正确；图象与轴有两个交点，，C错误；的解的个数取决于顶点纵坐标，不能确定，A错误。选BD。 11．已知为正实数，且，则（　　） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】用基本不等式，注意等号条件。 【解答】A中，时取等号，此时，正确；B中令，，得，，错误；C中令，可得，取等号，正确；D中令，，原式，正确。选ACD。 三、填空题 12．已知函数，则不等式的解集是______． 【答案】 【分析】分段解不等式。 【解答】时恒成立（）；时，即，得。合并得。 13．已知集合，，且，则______． 【答案】 【分析】即。 【解答】，所以是. 的两根，，。 14．若对任意的，都有，则称是完美集合，若不是完美集合，则称是不完美集合。集合的所有非空子集中的不完美集合有______个． 【答案】 【分析】用补集思想，先数完美子集。 【解答】全集有9个元素，非空子集共个。含0或含（其倒数不在集合中）的子集都不完美。完美子集只能由组合，共个，其中非空7个。故不完美集合有个。 四、解答题 15．（13分）（1）比较与的大小； （2）若，且，证明：。 【答案】（1）；（2）证明见解析。 【分析】（1）作差；（2）判断的符号后作差。 【解答】（1），所以前者小于后者。 （2）由得；又，所以。，分子，分母，故差小于0，即。 16．（15分）已知集合，集合。 （1）求，； （2）设，求。 【答案】（1），；（2）。 【分析】（1）分别解不等式；（2）在中求补集。 【解答】；。 （1），。 （2），。 17．（15分）某火车站在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室。由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元。设屋子的左右两侧墙的长度均为米。 （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？最低为多少？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围。 【答案】（1）米时最低，最低14400元；（2）。 【分析】（1）写出总价函数用基本不等式；（2）转化为恒成立求最值。 【解答】（1）前面墙长，前面墙面积；左右两面墙面积共。总报价，当，即时取等号。 （2）需对恒成立，即。令，右边，当即时取等号。故。 18．（17分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接、，过点作直线，交抛物线于点。 （1）求抛物线表达式； （2）点是线段下方抛物线上一点，连接，. ，点是轴上一动点，连接，当的面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值。 【答案】（1）；（2），最小值为。 【分析】（1）代入；（2）先求，用点到直线距离表示面积求，再化折线为直线。 【解答】（1），代入得，，所以。 （2）令. 得或，。斜率为，过的平行线，与抛物线联立得。设，到的距离为，当时最大，。 此时，令，，。当时，令，得，取，最小值为。 19．（17分）已知函数。 （1）若，恒成立，求实数的取值范围； （2）若，使得方程恰有一解，求实数的取值范围； （3）若关于的不等式恰有3个正整数解，求实数的取值范围。 【答案】（1）；（2）；（3）。 【分析】（1）求二次函数在上的最大值；（2）化为，数根；（3）因式分解后数正整数。 【解答】（1），在上最大值为，故。 （2）方程化为。当时，一解；当时，由在上值域、在上值域，恰有一解得。 （3）不等式化为，即。当时解集为，恰有3个正整数解需；当时正整数解不足3个。故。 高一数学试卷 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $