辽宁营口市第一中学2026-2027学年上学期九年数学期中试卷

营口市第一中学期中考试 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟　满分：120分）2026年10月 一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分） 1．下列式子属于一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A．三角形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．菱形 3．用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A． B． C． D． 4．将抛物线向右平移2个单位，向上平移3个单位得到的抛物线解析式是（ ） A． B． C． D． 5．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A．且 B． C．且 D． 6．已知点，，在抛物线（其中，为常数）上，那么，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 7．下列说法： ①三点确定一个圆；②平分一条弦的直径垂直于这条弦；③同圆或等圆的半径相等； ④三角形只有一个外接圆．其中真命题有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．二次函数与一次函数（）在同一坐标系中的图象大致是（ ） A． B． C． D． 9．如图，过原点的直线与双曲线（为常数，且）交于，两点，过点作轴的垂线，垂足为点，若的面积为8，则值为（ ） A．16 B．32 C．8 D．4 10．已知二次函数的图象如图所示，点的坐标为，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数）．其中正确的结论有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（本大题共5题，每题3分，共15分） 11．方程的解是________． 12．在平面直角坐标系中，点的坐标为，将点绕着点顺时针旋转后，得到点，则点的坐标为________． 13．绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离为，桥拱半径为，则水面宽为________． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，则关于x的方程的解为________ 15．已知抛物线，当时，函数y的最大值为9，则m的值为________ 三、解答题（共75分） 16．（10分）解方程 （1）用配方法解方程．（2）用公式法解方程． 17．（8分）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）若时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 18．（8分）如图，修建一个面积为300平方米的长方形运动员候场区，候场区一面靠墙，墙长26米，另外三边用48米隔栏围成，为了方便运动员进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．那么围成的这个长方形的长和宽各是多少米？ 19．（8分）如图，，在射线上顺次截取，，以为直径作，交射线于点、， （1）求圆心到的距离； （2）求的长． 20．（8分）某网店专门销售第十九届亚运会吉祥物机器人“江南忆”套装，成本为每件30元，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示，网店每天的销售利润为W元．网店希望每天吉祥物机器人“江南忆”套装的销售量不低于220件． （1）求y与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； （2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 21．（10分）如图，中，，点是上一点，反比例函数的图象经过点，交于点，连接、． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点的坐标为，求的面积． 22．（10分）洒水车是城市绿化的生力军．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？ 为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索如下： （1）【建立模型】 数据收集：如图2，选取合适的原点，建立直角坐标系，洒水车的喷水口点在轴上，测得喷水口离地面竖直高度为，把绿化带截面抽象为矩形，其中，点在轴上，测得其水平宽度，竖直高度，那么洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长度来表示． ①任务一：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图像．上边缘抛物线的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，求上边缘抛物线的函数解析式，并求出洒水车喷出水的最大射程；（4分） ②任务二：下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；（4分） （2）【问题解决】 要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内），请直接写出的取值范围为_______．（2分） 23．（13分） 经验回顾： 初中阶段，我们先后学习了一次函数，反比例函数和二次函数的有关知识．在研究每一种函数的图象和性质时，都运用了数形结合思想，通过画图，观察，分析，对比等方式，经历了由“特殊”到“一般”的探究过程． 请你运用所学知识和方法解决下列问题： 阅读理解： 在二次函数中，图象的开口方向和形状都相同，且顶点在同一直线上的所有函数统称为“同线函数”．例如，在同线函数：（是常数）中，函数，，…的图象的开口方向和形状都相同，且顶点都在轴上． 问题解决： 已知同线函数：（是常数）． （1）填表：（3分） 的取值 （是常数） 图象的顶点坐标 … … … （2）填空：根据（1）中的特例分析，函数（是常数）的图象的顶点所在直线的解析式为____________．（2分） （3）若同线函数中各顶点所在的直线与轴交于点，将直线绕着点顺时针旋转后，与该同线函数（是常数）中的一个函数有两个交点，且两个交点之间的距离为2，求函数的解析式．（4分） （4）在（3）中的条件下，将函数的图象在直线上方的部分沿直线向下翻折后，得到新函数的图象．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，请直接写出的值．（4分） 学科网（北京）股份有限公司 $营口市第一中学期中考试 九年级数学试卷答案 (考试时间：120分钟 满分：120分)2026年10月 一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分) 1.A2.D3.C4.C5.A6.B7.C8.A9.C10.A 二、填空题（本大题共5题，每题3分，共15分） 11.=2，为3=-1 12.(2,-2）13.8m 14.=152=3 15.+1 三、解答题（共75分） 16.(1)用配方法解方程x2-4x-3=0」 解：x2-4x=3 x2-4x+4=3+4 (x-2)2=7 (3) x-2=±√7 … (4) x=±V7+2 即=7+2.6=-V7+2 …（5) (2)用公式法解方程2x2-3x-1=0 解：a=2,b=-3,c=-1 .△=9-4×2×(-1)=17>0 （2) x=3ti73±7 2×2 (4) 即专3*仿 专=3-7 4 4 。。。。。。。。 …(5) 17.(1)证明： :△=[-(2m-3)]-4m(-5)=4m2-12m+9+20m=4m2+8m+9=4(m+1)2+5>0. .…（2） .无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根；…(3) (2)解：当m=-2时，原方程为-2x2+7x-5=0 解这个方程得=1，为3=2.5 (4) 若该等腰三角形腰为1，则三边分别为1,1,2.5， :1+1<2.5,不满足三角形三边关系 这种情况不存在… (5) 若该等腰三角形底边为1，则三边分别为1,2.5,2.5，满足三角形三边关系，符合题意.此时该三角形周 长为1+2.5+2.5=6 (7) 答：略… (8) 18.解：设AB=x米，由题意得 (1) x(48+2-2x)=300 (3) 解这个方程得出=10，名2=15 (5) 当x=10时，48+2-2x=30>26 x=10不合题意，舍去… (6) 当x=15时，48+2-2x=20<26 .X=15符合题意…… (7) 答，围成得这个长方形长是20米，宽是15米.… (8) 19.(1)解：过点O作OH⊥AP于点H ∴.∠OHA=909 又：∠A=30° 答：圆心O到AP的距离为4cm (2)解：连接OE :OH⊥EF,OH过圆心O H 在Rt△OEH中， 由勾股定理得 H=oE-0m-Vx102-#=3 .EF=6 (cm) 0 B 答：EF的长为6Cm…(4) 20.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=ax+b,(k≠0) 40k+b=300 将(40,300)和(（5,150）代入，得55k+b=150 k=-10 解得(6=700 y与x之间的函数关系式为y=-10x+700 (3) (2)根据题意y≥220 ∴.-10x+700≥220 解得x≤48 又'：销售单价应高于成本，即x>300 .30<x≤48... 设每天获取的利润为W元，则 W=(x-30)(-10x+700) =-10x2+1000x-21000.…(5) =-10(x-50)2+4000 :-10<0,对称轴为直线x=50 .当30<x≤48时，W随X的增大而增大…(6) 当x=48时，W取得最大值，最大值为 W=-10(48-50)2+4000=3960」 (7) 答：当销售单价为48元时，每天获取的利润最大，最大利润是3960元.… (8) k y= 3=k 21.(1)解：将点D(4,3)代入x,得4 .k=12, 12 y= 反比例函数的解析式为 …（3) (2)解：∠0AB=90°，点B(8,6) ∴点C的纵坐标为6. 令y=6 12=6 则x ∴.x=2 ∴.C(2,6) (4) 即AC=2.OA=6 SMOC-204.4C=1x2x6=6 2 如图，过点D作DE上y轴于点E, y↑ C A Soom-OE.DE-x4x3=6 1 2 2 …(6) .SAODE=S△M0C .Ssocp =S四边形AC0-S△M0C =SAODE+S梯形ACDE-S△AOC =S梯形ACDf… (8) C DE)AE 1 =2×2+4)x(6-3) =9.… (9) 答：略… (10) (解法不唯一，其他解法酌情给分) 22. (1)解：①设上边缘抛物线片的解析式为乃=a(x-2)+1.6+0.4,(a≠0) 将0,1.6)代入， 得4a+2=1.6, 解得a=0.1, 一抛物线乃的函数解析式为=-0.1(x-2)2+2 即y=0.1x2+0.4x+1.6 (2) 令片=0得，-0.1(x-2)2+2=0 解得￥=2+2W5.x2=2-25 点C坐标为2+25,0) .0C=2+2V5 答：酒水车喷出水的最大射程0C为(2+2W⑤)m (4) ②令片=1.6得：0.1(x-2)2+2=1.6 解得：=0.x2=4 根据题意可得，上边缘抛物线向左平移4个单位得到下边缘抛物线， (6) ∴.上边缘抛物线片与x轴交点C向左平移4个单位到下边缘抛物线2与x轴的正半轴交点B处， ∴.点B坐标为 25-2,0) (8) 其他方法酌情给分 (2)25-2≤0D≤V10 (10) 23.解：1)(0，-3)(1，-2)(2，-1) (3) (2)y=x-3 (5) (3)令x=0,则y=-3,点A的坐标为(0，-3) 将直线y=x-3绕着点A顺时针旋转45°得直线y=-3 (6) 设直线y=-3与函数y=x-2xm+m+m-3图象的两个交点的横坐标分别为无、为，由题意得这两 个交点之间的距离为：-x=2 y=-3 联立y=x2-2xm+m2+m-3 消y,整理得x2-2xm+m2+m=0 则x、七是这个方程的两个实数根 由根系关系得+名3=2m x1·x2=m2+m .(G-x)}2=化+x)2-4xx2=(2m)2-4m2+m)=-4m 又“x-=2 (x-x3)2=4 即-4m=4 ∴.m=-1 当m=-1时，函数少的解析式为y=x+2x-3 (8) 此时，函数y的图象与直线y=-3有两个交点(0，-3列与（-2，-3)，且两个交点之间的距离为2，符合题 意。（或者检验当m=-1时，方程X2-2xm+m2+m=0△>0）… (9) 13 (4）4-V7或4 …（每个答案2)