精品解析：辽宁抚顺市新宾满族自治县2026-2027学年九年级上学期10月期中数学试题

2026-2027学年度第一学期教学质量检测（一） 九年级数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时间：120分钟） ※注意事项：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（下列各题只有一个答案是正确的，将正确答案填涂到答题卡的对应处，每小题3分，共30分） 1. 下列四个有理数中，绝对值最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标，其图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，随增大而增大 6. 下列各点中，在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的一元二次方程的两个根为，，则的值为（ ） A. B. 5 C. 2 D. 8. 某公司生产的一款扫地机器人2024年的销售量为万台，到2026年销售量达到万台，设该款扫地机器人年销售量的平均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，且点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线和抛物线于A、B两点，过点A作轴交抛物线于点C，过点B作轴交抛物线于点D．则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 方程的解为_____． 12. 在平面直角坐标系中，把抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式是__________． 13. 若函数是反比例函数，则的值为__________． 14. 如图1，小轩所在的物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图2，且P与I之间的函数关系式为，则变阻器R消耗的电功率P的最大值是__________ 15. 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，函数与函数交于A、B两点，点C在x轴上，且，若，则k的值为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）． （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 当前人工智能产品日益丰富，为了解使用体验，促进人工智能行业高质量发展，调研人员对甲、乙两款产品进行使用满意度评分测验，并分别抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：非常满意A．；满意B．；良好C．；不满意D．），下面给出了部分信息． 甲款20份评分数据为：97，95，95，93，91，88，87，86，86，86，82，78，78，76，75，72，66，64，64，61． 乙款评分数据中B组的评分数据为：81，84，85，86，87，87，87，89 甲、乙两款产品满意度评分统计表 设备 甲款 乙款 平均数 81 81 中位数 84 众数 87 根据以上信息，解答下列问题 （1）上述表中________，________，________． （2）根据以上数据，你认为哪款产品更受用户喜爱？说明理由．（写一条理由即可） （3）在此次测验中，有380人对甲款产品进行了评分、400人对乙款产品进行评分，请估计参与测验的人中对所调查的产品非常满意的人数共有多少？ 19. 我市某超市于今年年初以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售250件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到360件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加6件，当商品降价多少元时，商场获利1950元？ 20. 某工业大学学生在研究一种新型材料时，需先将材料加热到，再进行加工操作．如图，停止加热后，温度与时间成反比例关系． （1）求材料停止加热后与的函数关系式． （2）根据工艺要求，停止加热后，当材料温度不低于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间有多长？ 21. 甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，羽毛球从点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间满足抛物线表达式． 甲同学发球时，羽毛球的水平距离与竖直高度的五组对应数据如表： 水平距离 0 2 3 4 6 竖直高度 1 4 5 4 （1）求抛物线表达式及羽毛球飞行达到的最大高度； （2）在距点水平距离处有一个高的球网，羽毛球能否过网，请说明理由； （3）乙同学原地起跳后使得球拍达到最大高度时刚好接到球，此时他距离球网多远？ 22. （1）尝试探究： 如图1，E是正方形ABCD的边AD上的一点，过点C作CF⊥CE，交AB的延长线于F． ①求证：△CDE≌△CBF； ②过点C作∠ECF的平分线交AB于P，连接PE，请探究PE与PF的数量关系，并证明你的结论． （2）拓展应用： 如图2，E是正方形ABCD的边AD上的一点，过点C作CF⊥CE，交AB的延长线于F，连接EF交DB于M，连接CM并延长CM交AB于P，已知AB＝6，DE＝2，求PB的长． 23. 如图，抛物线与x轴交于点A，点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接，点P为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作轴交抛物线于点Q． （1）直接写出点A和点B的坐标； （2）设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； （3）已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期教学质量检测（一） 九年级数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时间：120分钟） ※注意事项：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（下列各题只有一个答案是正确的，将正确答案填涂到答题卡的对应处，每小题3分，共30分） 1. 下列四个有理数中，绝对值最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值的定义求出四个数的绝对值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：，，，， ∵， ∴四个数中绝对值最小的是． 2. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标，其图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．是轴对称图形，故此选项符合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 3. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程的概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A中方程的未知数的最高次数是1次，故不是一元二次方程，不符合题意； B中方程含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； C中方程是一元二次方程，符合题意； D中方程不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的概念，熟知一元二次方程满足的条件是解答的关键． 4. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的情况确定其判别式，即可求解． 【详解】解：∵ 方程有实数根， ∴ ， 即，解得． 5. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，随增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可得到答案． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 6. 下列各点中，在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，通过计算各点的横纵坐标乘积是否等于6，判断点是否在反比例函数图象上． 【详解】解：反比例函数的图象上的点满足， 对于A点，，不在图象上； 对于B点，，不在图象上； 对于C点，，在图象上； 对于D点，，不在图象上． 故选：C． 7. 已知关于的一元二次方程的两个根为，，则的值为（ ） A. B. 5 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于一元二次方程 ，若方程的两个根为 ，则 ，据此求解即可． 【详解】解：∵给定一元二次方程为 ，可得，， ∴． 8. 某公司生产的一款扫地机器人2024年的销售量为万台，到2026年销售量达到万台，设该款扫地机器人年销售量的平均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等量关系列出一元二次方程即可． 【详解】解： 设该款扫地机器人年销售量的平均增长率为， 根据题意得：． 9. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，且点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用已知交点的坐标求出反比例函数的解析式，再联立反比例函数与一次函数的方程求解，排除点对应坐标后即可得到点坐标． 【详解】解：点在反比例函数上，代入得， ∴反比例函数解析式为， 联立两个函数的方程：  整理得：， 因式分解为， 解得（对应点的横坐标），（对应点的横坐标） 将代入一次函数， 得， ∴点B的坐标为． 10. 如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线和抛物线于A、B两点，过点A作轴交抛物线于点C，过点B作轴交抛物线于点D．则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，设，则，根据题意得出，，即可求得，，从而求得． 【详解】解：设，则， ∵轴交抛物线于点C，轴交抛物线于点D， ∴，， ∴，， ，   故选：C ． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， 解得：． 12. 在平面直角坐标系中，把抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线平移法则：左加右减、上加下减，根据题中所给条件，按照函数图像的平移法则操作即可得到答案． 【详解】解：抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式是． 13. 若函数是反比例函数，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如（其中k为常数，且）的函数叫做反比例函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 如图1，小轩所在的物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图2，且P与I之间的函数关系式为，则变阻器R消耗的电功率P的最大值是__________ 【答案】 【解析】 【分析】首先利用待定系数法求出表达式，然后配方成顶点式求解即可． 【详解】解：将代入得， 解得 ∴ ∴当时，变阻器R消耗的电功率P的最大值是． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，函数与函数交于A、B两点，点C在x轴上，且，若，则k的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据正比例函数与反比例函数的对称性得出，从而求得的面积；利用等腰三角形三线合一性质得出与的关系，结合反比例函数k的几何意义求解． 【详解】∵ 函数与函数交于A、B两点， ∴ 点A和点B关于原点对称， ， ， 过点A作轴于点E（如下图）， ， ， ， 又∵ 点A在反比例函数的图象上 ， ， ， ， ． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：． 移项得， 因式分解得， ∴或， ，． 【小问2详解】 解：． ，，， ， ， ∴，． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简为，值为 【解析】 【分析】先计算括号内分式的减法，再计算分式的乘法运算得到化简的结果，最后把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，代入原式． 18. 当前人工智能产品日益丰富，为了解使用体验，促进人工智能行业高质量发展，调研人员对甲、乙两款产品进行使用满意度评分测验，并分别抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：非常满意A．；满意B．；良好C．；不满意D．），下面给出了部分信息． 甲款20份评分数据为：97，95，95，93，91，88，87，86，86，86，82，78，78，76，75，72，66，64，64，61． 乙款评分数据中B组的评分数据为：81，84，85，86，87，87，87，89 甲、乙两款产品满意度评分统计表 设备 甲款 乙款 平均数 81 81 中位数 84 众数 87 根据以上信息，解答下列问题 （1）上述表中________，________，________． （2）根据以上数据，你认为哪款产品更受用户喜爱？说明理由．（写一条理由即可） （3）在此次测验中，有380人对甲款产品进行了评分、400人对乙款产品进行评分，请估计参与测验的人中对所调查的产品非常满意的人数共有多少？ 【答案】（1），， （2）乙款产品更受欢迎．理由如下：甲乙两款产品的平均数相同，乙款产品的中位数、众数大于甲款产品的中位数、众数，所以乙款产品更受欢迎 （3）估计参与测验的人中对所调查的产品非常满意的人数共有人 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义可求出、的值；求出乙款中A组的份数，即可求出的值； （2）先比较两款产品的评分数据的平均数，中位数，众数的大小即可判断； （3）用380乘以样本甲款中A组的人数占比，用400乘以样本乙款中A组的人数占比，即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵甲款评分为86分的有3份，份数最多， ∴甲款评分的众数为86分，即； ∵（份）， ∴乙款评分在C组和D组的数量之和为8份， ∵乙款评分在B组的数量为8份， ∴乙款评分中A组份数为（份）， ∵， ∴； 把乙款评分按照从低到高排列，处在第10名和第11名的评分为84分，85分， ∴乙款的中位数为，即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计参与测验的人中对所调查的产品非常满意的人数共有人． 19. 我市某超市于今年年初以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售250件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到360件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加6件，当商品降价多少元时，商场获利1950元？ 【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为 （2）当商品降价5元时，商品获利1950元． 【解析】 【分析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：250件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率为x，则二月份的销售量为：件；三月份的销售量为：件，又知三月份的销售量为：360件，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率； （2）利用销量每件商品的利润1950列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x， 根据题意可得：， 解得：或（不合题意舍去）． 答：二、三这两个月的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设当商品降价m元时，商品获利1950元， 根据题意可得：， 解得：（不合题意舍去）． 答：当商品降价5元时，商品获利1950元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 20. 某工业大学学生在研究一种新型材料时，需先将材料加热到，再进行加工操作．如图，停止加热后，温度与时间成反比例关系． （1）求材料停止加热后与的函数关系式． （2）根据工艺要求，停止加热后，当材料温度不低于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间有多长？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设反比例函数的解析式为，把代入解析式列式计算确定k值即可； （2）将代入得到，得，计算时，反比例函数的值，其差即为所求． 本题考查了反比例函数的应用、待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法，明确时长等于交点横坐标的差是解题的关键． 【小问1详解】 解：设反比例函数的解析式为， 把代入解析式，得， 故反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：将代入， 解得， ∴， 当时，； 故加工的时长为． 21. 甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，羽毛球从点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间满足抛物线表达式． 甲同学发球时，羽毛球的水平距离与竖直高度的五组对应数据如表： 水平距离 0 2 3 4 6 竖直高度 1 4 5 4 （1）求抛物线表达式及羽毛球飞行达到的最大高度； （2）在距点水平距离处有一个高的球网，羽毛球能否过网，请说明理由； （3）乙同学原地起跳后使得球拍达到最大高度时刚好接到球，此时他距离球网多远？ 【答案】（1）抛物线表达式为，最大高度为 （2）羽毛球能过网，理由如下： 当时，， ∵， ∴羽毛球能过网； （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数表达式，利用顶点式求出最大值； （2）根据自变量的值求出函数值进行比较； （3）根据函数值求出自变量的值即可． 【小问1详解】 解：当和时，函数值相等， ∴对称轴为直线， 即顶点坐标为， ∴羽毛球飞行达到的最大高度为； 设抛物线表达式为， 将代入表达式得， ， 解得， ∴抛物线表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，， 解得或， ∵， ∴舍去， ∴， ∴他距离球网． 22. （1）尝试探究： 如图1，E是正方形ABCD的边AD上的一点，过点C作CF⊥CE，交AB的延长线于F． ①求证：△CDE≌△CBF； ②过点C作∠ECF的平分线交AB于P，连接PE，请探究PE与PF的数量关系，并证明你的结论． （2）拓展应用： 如图2，E是正方形ABCD的边AD上的一点，过点C作CF⊥CE，交AB的延长线于F，连接EF交DB于M，连接CM并延长CM交AB于P，已知AB＝6，DE＝2，求PB的长． 【答案】 （1）①证明：如图1中， 在正方形ABCD中，DC＝BC，∠D＝∠ABC＝∠DCB＝90°， ∴∠CBF＝180°﹣∠ABC＝90°， ∵CF⊥CE， ∴∠ECF＝90°， ∴∠DCB＝∠ECF＝90° ∴∠DCE＝∠BCF， ∴△CDE≌△CBF（ASA）． ②结论：PE＝PF． 理由：如图1中，∵△CDE≌△CBF， ∴CE＝CF， ∵PC＝PC，∠PCE＝∠PCF， ∴△PCE≌△PCF（SAS）， ∴PE＝PF． （2）3． 【解析】 【分析】（1）先判断出∠CBF＝90°，再证明∠DCE＝∠BCF即可解决问题． （2）证明△PCE≌△PCF（SAS）即可解决问题． （3）如图2中，作EH⊥AD交BD于H，连接PE．证明△EMH≌△FMB（AAS），由EM＝FM，CE＝CF，推出PC垂直平分线段EF，推出PE＝PF，设PB＝x，则PE＝PF＝x+2，PA＝6﹣x，理由勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图2中，作EH⊥AD交BD于H，连接PE． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝6，∠A＝90°，∠EDH＝45°， ∵EH⊥AD， ∴∠DEH＝∠A＝90°， ∴EH∥AF，DE＝EH＝2， ∵△CDE≌△CBF， ∴DE＝BF＝2， ∴EH＝BF， ∵∠EHM＝∠MBF，∠EMH＝∠FMB， ∴△EMH≌△FMB（AAS）， ∵EM＝FM， ∵CE＝CF， ∴PC垂直平分线段EF， ∴PE＝PF，设PB＝x，则PE＝PF＝x+2，PA＝6﹣x， 在Rt△APE中，则有（x+2）2＝42+（6﹣x）2， ∴x＝3， ∴PB＝3． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 23. 如图，抛物线与x轴交于点A，点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接，点P为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作轴交抛物线于点Q． （1）直接写出点A和点B的坐标； （2）设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； （3）已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点A、B的坐标分别为：、 （2），当时，的最大值为4 （3）点M的坐标为或 【解析】 【分析】（1）令，即可求解； （2）由，即可求解； （3）当四边形是菱形时，则，即可求解． 【小问1详解】 解：令， 解得：或4， 故点A、B的坐标分别为：、 【小问2详解】 解：设直线的表达式为：， 将点B的坐标代入上式得：， 解得：， 故直线的表达式为：， 设点，则点， 则， ∵，故有最大值， 当时，的最大值为4； 【小问3详解】 解：存在，理由： 当时，点， 抛物线的对称轴为直线， 设点，而点， ∵四边形是菱形， 则，即， 解得：， 即点M的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $