精品解析：辽宁沈阳市第一二六中学2026-2027学年九年级上学期期中数学试卷

2026-2027学年度上学期 九年级数学学科作业反思调研二 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是方程的一个解，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是某班级的三角形花架的侧面示意图，已知，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数解．则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 6. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，的周长为4，则的周长为（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 7. 在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长和宽各为多少步？设这块长方形田地的长为步，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在边长为4的正方形中，，分别为，的中点，连接，，，，分别为，的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称，按照图中的直角坐标系左面抛物线可以用表示，则右面抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，按以下步骤作图：以点为圆心，以适当的长为半径画弧，交于点，交于点，连接；以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；以点为圆心，以的长为半径画弧，在内与前一条弧相交于点；连接并延长交于点．若点恰好为的中点，则的长为（   ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若，则的值为______． 12. 已知点，，都在函数的图象上，比较，的大小，__________． 13. 已知、是方程的两个实数根，则的值是______． 14. 如图，在中，，，，动点从点开始，沿边向点运动，速度为，动点从点开始沿边向点运动，速度为．如果，两点同时运动，一点运动到终点，另一点随之停止．设运动时间为．当__________时，的面积最大． 15. 如图，在矩形中，，，点在射线上，连接，点为中点，连接，当时，__________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，过点作，过点作，、相交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，直接写出菱形的面积． 18. 为弘扬地方文化，让更多游客了解沈阳，我市某文旅公司推出多款文创产品，已知某款文创产品的成本价为30元，当售价为40元时，每天可以售出60件；经调查发现，售价每降价1元，每天可多售出10件，设该款文创产品降价元． （1）降价销售后，每件该款文创产品的利润为__________元，每天售出该款文创产品的数量为__________件（用含的代数式表示）； （2）为让利于游客，当该款文创产品应该定价多少元时，这个文旅公司每天的利润为630元？ 19. 图1是某兴趣小组通过蜡烛成像实验探究凸透镜成像规律的光路图，现将图1的光路图抽象为图2所示的数学几何图形，实物蜡烛发出的光线平行于直线，光线经过凸透镜后，经过焦点与经过凸透镜中心的光线交于点，其中四边形是矩形，，． （1）将长为15厘米的蜡烛进行移动，使物距为30厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距为12厘米，求像的长度． （2）在（1）的条件下，已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点，则凸透镜焦距的长为__________厘米． 20. 已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … 0 1 … … 0 0 … （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，直接写出的取值范围． 21. 掷实心球是中招体育考试的五选二项目，如图1是一名女生掷实心球，实心球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，实心球行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球达到飞行过程中的最大高度，此时距地面． （1）求抛物线的函数表达式； （2）2026年沈阳中考女生实心球满分线为米（实心球落地时，距离出手点的水平距离大于等于米时得满分），请问这次投掷成绩能否达到满分？说明理由． 22. 如图，在平行四边形中，点为直线上一动点，连接，将沿折叠，点的对应点为． （1）若，点为边上一动点． ①如图1，当的延长线恰好经过点时，求证：； ②如图2，延长、分别与边、相交于、，若，，求的长； ③在②的条件下，直接写出的值； （2）如图3，若，，，、所在直线分别与直线、直线相交于、，若，直接写出的值． 23. 二次函数的图象记为，点为图象的顶点． （1）用配方法求出图象的顶点坐标； （2）如图1，将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象，点的对应点为点，图象与合起来得到的图象记为，直接写出点的坐标； （3）如图2，点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为；过点作轴的平行线， ①当直线经过点时，求的值； ②将图象在直线下方的部分沿直线折叠到直线上方，点关于直线的对称点为点，这部分图象与图象剩余的部分及图象组成新函数的图象记为，过点作轴的平行线，图象上，两点之间的部分（含，两点）的最高点和最低点到直线的距离分别为，，当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期 九年级数学学科作业反思调研二 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、方程只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程定义； B、方程含两个未知数，不符合； C、方程不是整式方程，不符合； D、方程最高次数为1，是一元一次方程，不符合． 2. 已知是方程的一个解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将代入原方程求解即可． 【详解】解：将代入，得 ． 3. 如图是某班级的三角形花架的侧面示意图，已知，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握定理，根据定理列出比例式； 根据，列出，求出的长即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数解．则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数解得到，即可得到． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数解， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，当时，一元二次方程有两个相等的实数根，当时，一元二次方程无实数根，反之亦然．熟知一元二次方程根的判别式的符号与根的关系是解题关键． 5. 抛物线的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴为直线是解题的关键． 直接利用二次函数顶点式的性质求解即可． 【详解】解∵， ∴ 对称轴为直线． 故选A． 6. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，的周长为4，则的周长为（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似图形的性质，得到，，根据得到相似比为，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 7. 在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长和宽各为多少步？设这块长方形田地的长为步，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设长方形田地的长为步，宽比长小步， 宽为步， 长方形田地的面积为平方步， 可得方程． 8. 如图，在边长为4的正方形中，，分别为，的中点，连接，，，，分别为，的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点，分别是和的中点，即可得到是的中位线，故的长即为的长的一半，在中，根据勾股定理求得的长，即可得出结论． 【详解】解：在边长为4的正方形中，，分别为，的中点， ，， 在中，, 点，分别是和的中点， 是的中位线， ． 9. 如图，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称，按照图中的直角坐标系左面抛物线可以用表示，则右面抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得抛物线开口方向和大小不变，顶点坐标关于轴对称，即可求解． 【详解】解：∵左面抛物线可以用表示， ∴顶点坐标为 则右面抛物线的顶点坐标为 ∴右面抛物线的表达式， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，关于轴对称的点的坐标特征，熟练掌握顶点式是解题的关键． 10. 如图，在中，，按以下步骤作图：以点为圆心，以适当的长为半径画弧，交于点，交于点，连接；以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；以点为圆心，以的长为半径画弧，在内与前一条弧相交于点；连接并延长交于点．若点恰好为的中点，则的长为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，根据题意可知，，，进而利用证明与全等，得到，再证明，，代入计算即可． 【详解】解：连接， 根据题意可知，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则 ∵点H恰好为的中点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴（舍负）， 故选：A． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查比例的性质，掌握运算法则是解题关键． 根据比例设，，然后代入比例式进行计算即可得解． 【详解】∵， ∴设，， ∴． 故答案为：． 12. 已知点，，都在函数的图象上，比较，的大小，__________． 【答案】 【解析】 【分析】由二次函数的顶点式确定开口方向与对称轴，结合两点横坐标的位置，利用函数增减性比较对应函数值的大小． 【详解】解：∵函数解析式为，二次项系数， 顶点式对应的对称轴为直线， ∴抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大， ∵点的横坐标为，点的横坐标为，满足， ∴． 13. 已知、是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系，． 14. 如图，在中，，，，动点从点开始，沿边向点运动，速度为，动点从点开始沿边向点运动，速度为．如果，两点同时运动，一点运动到终点，另一点随之停止．设运动时间为．当__________时，的面积最大． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意表示出、直接计算面积，得到二次函数表达式，根据二次函数性质求解即可． 【详解】解：∵两点同时运动，一点运动到终点，另一点随之停止，，， ∴运动时间， ∴， 根据题意可知，，， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 该函数是开口向下的二次函数，对称轴为， ∵， ∴时，的面积最大． 15. 如图，在矩形中，，，点在射线上，连接，点为中点，连接，当时，__________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况，即点在线段上或点在线段的延长线上，连接，根据角度关系得到相关线段的关系，再利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，当点在线段上时，连接， 在矩形中，，， 设，则， ， ， 点为中点，， ， ， 在中，， ， ， ， , ； 如图，当点在线段的延长线上时，连接， 设，则， ， 点为中点，， ， ， ， 在中，， ， ， ， , ； 综上，当时，或． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解： 或， ，；  【小问2详解】 解： 或 ，． 17. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，过点作，过点作，、相交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，直接写出菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）16 【解析】 【分析】（1）由题意得四边形是平行四边形，再由矩形的性质即可证明四边形是菱形； （2）易得菱形的面积等于的面积，由此即可求解． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：∵菱形是轴对称图形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 即． 18. 为弘扬地方文化，让更多游客了解沈阳，我市某文旅公司推出多款文创产品，已知某款文创产品的成本价为30元，当售价为40元时，每天可以售出60件；经调查发现，售价每降价1元，每天可多售出10件，设该款文创产品降价元． （1）降价销售后，每件该款文创产品的利润为__________元，每天售出该款文创产品的数量为__________件（用含的代数式表示）； （2）为让利于游客，当该款文创产品应该定价多少元时，这个文旅公司每天的利润为630元？ 【答案】（1）； （2）该款文创产品应该定价37元 【解析】 【分析】（1）根据单件利润=现售价−成本，销售量=原销量+增加销量，列出代数式； （2）根据总利润=单件利润×销售量列一元二次方程，结合“让利于游客”，选择售价更低的解． 【小问1详解】 解：每件利润为元， 每天销售量为件． 【小问2详解】 解：根据题意，得 整理，得 因式分解，得 要让利于游客，定价尽可能低， 取． （元） 答：该款文创产品应该定价37元． 19. 图1是某兴趣小组通过蜡烛成像实验探究凸透镜成像规律的光路图，现将图1的光路图抽象为图2所示的数学几何图形，实物蜡烛发出的光线平行于直线，光线经过凸透镜后，经过焦点与经过凸透镜中心的光线交于点，其中四边形是矩形，，． （1）将长为15厘米的蜡烛进行移动，使物距为30厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距为12厘米，求像的长度． （2）在（1）的条件下，已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点，则凸透镜焦距的长为__________厘米． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）证明即可求解； （2）证明即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 则； 答：的长度为； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 20. 已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … 0 1 … … 0 0 … （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）从表格选择两个点的坐标代入，解二元一次方程组即可； （2）将二次函数表达式化为顶点式，根据函数图象的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：将和代入得： ， 解得：， 所以，这个二次函数的表达式为； 【小问2详解】 ， 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，在时，取得最小值， 根据二次函数图象的对称性可知，当时，在时，取得最小值，最大值在时取得，为， 所以，当时，的取值范围为． 21. 掷实心球是中招体育考试的五选二项目，如图1是一名女生掷实心球，实心球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，实心球行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球达到飞行过程中的最大高度，此时距地面． （1）求抛物线的函数表达式； （2）2026年沈阳中考女生实心球满分线为米（实心球落地时，距离出手点的水平距离大于等于米时得满分），请问这次投掷成绩能否达到满分？说明理由． 【答案】（1） （2）这次投掷成绩能达到满分． 理由如下： 解：在中，令， ， 整理得：， 解得：（负值舍去）， ，实心球落地时，距离出手点的水平距离大于等于6.9米时得满分， 这次投掷成绩能达到满分． 【解析】 【分析】（1）由已知条件可知图象的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，利用待定系数法解答即可； （2）令小问（1）的抛物线的关系式中的，求出的正值，跟米比较大小即可． 【小问1详解】 解：当水平距离为时，实心球达到飞行过程中的最大高度，此时距地面， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得：， ， ． 【小问2详解】 详解见答案． 22. 如图，在平行四边形中，点为直线上一动点，连接，将沿折叠，点的对应点为． （1）若，点为边上一动点． ①如图1，当的延长线恰好经过点时，求证：； ②如图2，延长、分别与边、相交于、，若，，求的长； ③在②的条件下，直接写出的值； （2）如图3，若，，，、所在直线分别与直线、直线相交于、，若，直接写出的值． 【答案】（1）①证明：∵平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴； ②； ③； （2）或 【解析】 【分析】（1）①折叠得到，矩形的性质，得到，，进而得到，进而得到，得到； ②折叠得到，，设，推出，在中，利用勾股定理求出的值； ③证明，列出比例式进行求解即可； （2）分点在线段上和线段延长线上，然后推导出，据此构造直角三角形，然后根据折叠以及平行的性质得到，再设，通过勾股定理建立方程求解，最后再由相似三角形的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 ②解：∵平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， ∴，， 同①可得：， ∵折叠， ∴，， ∴， 设， 则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴， ∴， ③∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①当点在线段上时，过点作于点， ∵在平行四边形中，， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴ 由折叠可得，， 同上可得， 设，则 ∵ ∴ ∴， ∴，， 在中， ∴ 解得 ∵ ∴； ②当点在线段延长线上时，过点作于点， ∵在平行四边形中，， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴ 由折叠可得，， 同上可得， 设，则 ∵ ∴ ∴， ∴， 在中， ∴ 解得 ∵ ∴， 综上：的值为或． 23. 二次函数的图象记为，点为图象的顶点． （1）用配方法求出图象的顶点坐标； （2）如图1，将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象，点的对应点为点，图象与合起来得到的图象记为，直接写出点的坐标； （3）如图2，点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为；过点作轴的平行线， ①当直线经过点时，求的值； ②将图象在直线下方的部分沿直线折叠到直线上方，点关于直线的对称点为点，这部分图象与图象剩余的部分及图象组成新函数的图象记为，过点作轴的平行线，图象上，两点之间的部分（含，两点）的最高点和最低点到直线的距离分别为，，当时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）将配方成，即可求解顶点坐标； （2）根据函数图象的平移方式确定点的平移方式，即可求解； （3）①由题意得，，，那么，再由直线经过点建立方程求解即可； ②先求出，再分类讨论，画图分析即可． 【小问1详解】 解：， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由题意得，，即； 【小问3详解】 解：①由题意得，，，即 ∴当时， ∴ 由题意得， ∵直线经过点， ∴ 解得或 ∵ ∴； ②∵直线，，点关于直线的对称点为点， ∴点，即， ∴ 当时，最高点为点，最低点为点，如图， ∴， ∴ 解得或，均不在范围内，故舍去； 当时，最高点为点，最低点为点，如图， ∴， ∴ 解得，均不在范围内，故舍去； 当时，最高点为点，最低点为点，如图， ∴， ∴ 解得或 此时不在范围内，故舍去； 当时，最高点是点，最低点是点，如图： ∴， ∴ 解得或 此时不在范围内，故舍去， 综上：当时，的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $