2.3相似三角形的性质（分层作业练题型）数学新教材青岛版九年级上册

**基本信息** 本练习以“分层进阶+素养导向”为特色，A组夯实相似三角形性质基础应用，B组强化判定与性质综合推理，C组突出模型思想与探究能力，拓展对接中考真题，构建从单一到综合的知识巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|单一性质（求角、边长、比例式、周长面积比）|基础题（选择/填空）巩固概念，培养几何直观与运算能力| |B组能力进阶|性质与判定综合应用|解答题（多问证明）强化推理意识，发展逻辑思维| |C组思维拔高|复杂模型（一线三等角、母子型）与思想方法（分类讨论）|探究题提升创新意识，训练数学思维灵活性| |拓展链接中考|中考真题情境综合应用|中考题强化应用意识，衔接阶段测评需求|

分层作业 2.3相似三角形的性质 目 录 A组 巩固过关 题型01 根据相似三角形的性质求角的度数 题型02根据相似三角形的性质求边长或比值 题型03根据相似三角形的性质证明比例式成立 题型04根据相似三角形的性质求对应线段的比 题型05根据相似的性质求多边形的周长之比或面积之比 题型06根据相似三角形判定与性质的综合运用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )根据相似三角形的性质求角的度数 1．（2026·贵州贵阳·二模）如图，，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，，若，，则（    ） A． B． C． D． ( 题型0 2 )根据相似三角形的性质求边长或比值 3．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，中，，直尺的一边与重合，另一边与分别交于两点，处的读数分别为（单位：）．若直尺的宽为，则的长度是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，在中，点是边上的点，交对角线于点，，则的值为(     ) A． B． C． D． 5．（2026·河南南阳·模拟预测）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，，均在网格线的交点上，点是与的交点，则的长为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏泰州·三模）如图，直线，，则（     ） A． B． C． D． 7．（2026·河南平顶山·三模）如图是某校综合实践活动小组测量某个机器零件的平面示意图．已知，与相交于点O，为的中位线，若，，则的长为（     ） A． B． C． D．2 8．（2026·云南·一模）如图，线段相交于点，，若，，则线段的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 9．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 10．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． ( 题型0 3 )根据相似三角形的性质证明比例式成立 11．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，点，点是边上的两点，，平分．求证：． 12．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，在四边形中，，对角线，交于点，是的中点，交于点，连接， ．求证： (1)； (2)． 13．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． ( 题型0 4 )根据相似三角形的性质求对应线段的比 14．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）若与的相似比为，则对应边上的高之比为（     ） A． B． C． D． 15．（2026·山东临沂·二模）如图，有一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使其一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长为（     ） A． B． C． D． 16．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）两个相似三角形的面积比为，则它们对应角平分线的比为（   ） A． B． C． D． 17．（25-26九年级上·江苏常州·期末）如图是“小孔成像”的示意图，燃烧的蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是．若的长是，则像的长是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26九年级上·上海崇明·期末）如果两个相似三角形的面积比为，那么这两个三角形的对应中线的比为（   ） A． B． C． D． ( 题型0 5 )根据相似的性质求多边形的周长之比或面积之比 19．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点．若，则和的面积比是（     ） A． B． C． D． 20．（2026·西藏拉萨·模拟预测）如图，在中，，，，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 21．（2026年甘肃省临夏回族自治州广河县部分校初中学业水平考试标准检测试卷（八）数学）已知，相似比为，且的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】相似三角形的周长比等于相似比，即可求出△ABC的周长． 【详解】解：∵，且相似比为 ， 又∵的周长为， ∴的周长为． 22．（2026·四川乐山·一模）如图，，且，则（     ） A． B． C． D． 23．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）若且，则与的周长比为（   ） A． B． C． D． ( 题型0 6 )相似三角形判定与性质的综合运用 24．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在矩形中，E是上一点，于点F，连接，，下列结论：①；②平分；③；④若E是中点，则．其中所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 25．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，已知，，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点；③作射线交边于点；④分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，；⑤作直线，分别交，于点，．若，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 26．（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，在矩形中，，，为的中点，连接，过点作，交于点，则的长为（　　） A． B． C． D．1 27．（25-26八年级下·山东泰安·期末）解决下列问题： (1)如图1，在中，D为上一点，．求证：； (2)如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，求的长． 28．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，是边的中点，连接，作，垂足为E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 1．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，中，，，垂足为D，E，连接．若，，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，点在的边上，射线交的延长线于点，则（   ）    A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·天津滨海新区·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，的三个顶点均在格点上． （1）线段的长是_______； （2）请用无刻度的直尺在边上找到一点，连接使得的面积是，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）___________________． 5．（2026·湖北武汉·三模）如图，中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)如图2，的角平分线交，于点P，G，其中，，则的值为_________． 6．（2026·广东·中考真题）如图，在中，，，点在上，且，连接．过点作的垂线交于点，交于点，连接，． (1)求的长； (2)求证：； (3)求的值． 1．（一线三等角模型）如图，在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 2．（最值问题）如图，在中，，，，按如下步骤作图： ①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点； ②以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点． 根据以上作图，若点是直线上的动点，点是线段上的动点，连接，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 3．（母子型相似模型）如图，在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交于点M，交于点N；②以点C为圆心，以的长为半径作弧，交于点O；③以点O为圆心，以的长为半径作弧，在内部交前面的弧于点P；④过点C作射线交于点D．若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．9 4．（方程思想）如图，在中，，为上一点，，为的中点，，若，则的长为（    ） A． B． C． D．8 5．（实践操作能力）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹）． (1)在图①中画的高CH； (2)在图②的线段AC上画一点D，连结BD，使得； (3)在图③中的外部画一点F，使，且． 6．（分类讨论思想）在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点，点在线段上，满足，动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿运动，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿运动，两点同时出发，其中一点到达点时两点运动停止．设运动时间为秒． (1)分别求出的长； (2)求证：； (3)当是直角三角形时，求出的值． 7．（几何探究）【尝试发现】 (1)如图，在和中，，，，请直接写出线段和的数量关系是 ． 【变式探究】 (2)如图，，连接和，的延长线交于点，． ①求的值； ②判断和的数量关系并证明； 【联系拓广】 (3)如图3，矩形中，，，是对角线．是边上一动点，连接，以为直角边向逆时针方向作，使，连接，． ①求证：； ②直接写出线段长度的最小值． 1．（2026·河北·中考真题）如图，在四边形中，，，过点作交于点，将沿翻折，得到．，分别与直线交于，两点，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北武汉·中考真题）如图，、分别是矩形边、上的点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，边经过点．若，，，则的长是_________，的长是_________． 3．（2026·上海·中考真题）如图，菱形中，是线段上的点，连接交对角线于点，且． (1)如果，求证：； (2)如果的角平分线交、于点、，求证：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.3相似三角形的性质 目 录 A组 巩固过关 题型01 根据相似三角形的性质求角的度数 题型02根据相似三角形的性质求边长或比值 题型03根据相似三角形的性质证明比例式成立 题型04根据相似三角形的性质求对应线段的比 题型05根据相似的性质求多边形的周长之比或面积之比 题型06根据相似三角形判定与性质的综合运用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )根据相似三角形的性质求角的度数 1．（2026·贵州贵阳·二模）如图，，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的对应角相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键． 根据相似三角形的性质得到，， 根据四边形的内角和等于计算即可． 【详解】解：，，， ，， ， 故选：D． ( 题型0 2 )根据相似三角形的性质求边长或比值 3．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，中，，直尺的一边与重合，另一边与分别交于两点，处的读数分别为（单位：）．若直尺的宽为，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行判定两个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，求出线段的长度． 【详解】解：由题意可知：，，，， ∴， ∴，即， 解得：． 4．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，在中，点是边上的点，交对角线于点，，则的值为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质得到，，由得到，由得到，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ，， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（2026·河南南阳·模拟预测）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，，均在网格线的交点上，点是与的交点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意推知，结合相似三角形的对应边成比例求得答案． 【详解】解：由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．（2026·江苏泰州·三模）如图，直线，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线分线段成比例定理，可得，进而可得的值，证明，由即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 设，，则， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（2026·河南平顶山·三模）如图是某校综合实践活动小组测量某个机器零件的平面示意图．已知，与相交于点O，为的中位线，若，，则的长为（     ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据三角形的中位线定理可得，，结合得到，由此得出，那么，再代入线段关系求解即可． 【详解】解：∵为的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 8．（2026·云南·一模）如图，线段相交于点，，若，，则线段的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】首先由得到，得到，然后结合得到，然后代数求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴，即 ∴． 9．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴； (2)． 【分析】（1）根据平行线的性质得到，即可证明； （2）根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，即可求出的长． 【详解】（1）略； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：． 10．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)， ， ， ， ，是的中线， ， ， ， 又， ． (2) 【分析】（1）先说明、，再利用直角三角形中线的性质以及等边对等角可得，即；再根据两种对应角相等的两个三角形相似即可证明结论； （2）根据勾股定理可得，利用相似三角形的性质可求得． 再证明，最后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，根据勾股定理，得，即， ， 由（1）知：， ， ， ． 是的中线， ， ．    ， ， ， ， ． ( 题型0 3 )根据相似三角形的性质证明比例式成立 11．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，点，点是边上的两点，，平分．求证：． 【答案】证明：， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】先利用等角对等边得到，将求证式转化为，再通过角的等量代换证明，最后由相似三角形对应边成比例完成证明． 【详解】略 12．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，在四边形中，，对角线，交于点，是的中点，交于点，连接， ．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)∵ ， ∴． ， ． ． (2)点是的中点， ． ． ， ． ． ，， ． ， ． ． ， ． ． ∴． 【分析】（1）由，则，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，则； （2）先证明，得，则，由，得，进而证明，则根据相似三角形的性质可求证． 【详解】（1）略 （2）略 13．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， (2)证明：四边形是正方形， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， 【分析】（1）由四边形是正方形，得，，然后通过“”证明 即可； （2）由四边形是正方形，得，所以，由全等三角形性质可得，，故有，然后证明，得，即，所以． 【详解】（1）略 （2）略 ( 题型0 4 )根据相似三角形的性质求对应线段的比 14．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）若与的相似比为，则对应边上的高之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似三角形对应边上高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵相似三角形对应边上的高之比等于相似比， 又∵与的相似比为， ∴与对应边上的高之比为． 15．（2026·山东临沂·二模）如图，有一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使其一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，根据相似三角形的性质列比例式解答即可． 【详解】解：∵正方形的边在上， ， ． ， ∴ ， ， ， ∴这个正方形零件的边长为． 16．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）两个相似三角形的面积比为，则它们对应角平分线的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“相似三角形面积比等于相似比的平方”和“相似三角形对应角平分线的比等于相似比”进行求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为，且相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴这两个三角形的相似比为， ∵相似三角形对应角平分线的比等于相似比， ∴它们对应角平分线的比为． 17．（25-26九年级上·江苏常州·期末）如图是“小孔成像”的示意图，燃烧的蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是．若的长是，则像的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据，证明，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示：、相交于点O， ∵是烛焰的高，是实像的高， ∴， ∴， ∵蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，， ∴， 解得． 故选：C． 18．（25-26九年级上·上海崇明·期末）如果两个相似三角形的面积比为，那么这两个三角形的对应中线的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应中线的比等于相似比． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为， ∴两个三角形的相似比为． 又∵相似三角形对应中线的比等于相似比， ∴这两个三角形的对应中线的比为． 故选：A． ( 题型0 5 )根据相似的性质求多边形的周长之比或面积之比 19．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点．若，则和的面积比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线与平行线得到等腰三角形，求出线段的长度；再根据判定与相似，最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方，求出两个三角形的面积比． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 20．（2026·西藏拉萨·模拟预测）如图，在中，，，，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似三角形的性质，面积之比等于相似比的平方即可求解． 【详解】， ， ， ，， ， ． 21．（2026年甘肃省临夏回族自治州广河县部分校初中学业水平考试标准检测试卷（八）数学）已知，相似比为，且的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】相似三角形的周长比等于相似比，即可求出△ABC的周长． 【详解】解：∵，且相似比为 ， 又∵的周长为， ∴的周长为． 22．（2026·四川乐山·一模）如图，，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）若且，则与的周长比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题关键是熟记相似三角形面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，根据性质逐步推导即可求解． 【详解】解：，且 与的相似比为（相似三角形面积比等于相似比的平方） 相似三角形的周长比等于相似比， 与的周长比为． 故选：C． ( 题型0 6 )相似三角形判定与性质的综合运用 24．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在矩形中，E是上一点，于点F，连接，，下列结论：①；②平分；③；④若E是中点，则．其中所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】①证明，即可；③证明可得结论；④设，，则，再证明，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：①四边形是矩形， ，，， 于点， ∴， ， 故①正确； ②现有条件不足以证明，故②错误； ③，， ， ， ∵ ， ， 故③正确； ④设，， ∵E是中点， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴，即， ， 故④正确 故正确的有①③④． 25．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，已知，，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点；③作射线交边于点；④分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，；⑤作直线，分别交，于点，．若，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据尺规作图推出是角平分线、垂直平分，通过证明全等三角形得出，可证四边形为菱形，再利用相似求出斜边，根据勾股定理算出后求三角形面积． 【详解】解：如图，连接，， 根据题意可知，是的角平分线，垂直平分， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得，即， ， ． 26．（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，在矩形中，，，为的中点，连接，过点作，交于点，则的长为（　　） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定及性质．由矩形得到，根据同角的余角相等得到，从而，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，为的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故选：B． 27．（25-26八年级下·山东泰安·期末）解决下列问题： (1)如图1，在中，D为上一点，．求证：； (2)如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，求的长． 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴． (2)9 【分析】（1）证出即可； （2）先得出，再证出，求出的长，由此即可得． 【详解】（1）证明：略． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵， ∴． 28．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，是边的中点，连接，作，垂足为E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）得出，根据两角分别相等的两个三角形相似即可得证； （2）先证出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：∵是边的中点， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）． 1．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴相似三角形对应边成比例可得，故选项A错误； 相似三角形对应角相等可得，故选项B错误； 相似三角形面积比等于相似比的平方可得，故选项C错误； 相似三角形周长比等于相似比可得，故选项D正确． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，中，，，垂足为D，E，连接．若，，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，先求出，证明，得到比例式，由比例证明得到比例式求即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 3．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，点在的边上，射线交的延长线于点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． 根据平行四边形的性质得到，证明，根据面积的比等于相似比的平方得到和的相似比为：，即，可知的值． 【详解】解：∵为平行四边形， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵面积的比等于相似比的平方， ∴和的相似比为：， ∴， ∴． 故选：B． 4．（25-26八年级下·天津滨海新区·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，的三个顶点均在格点上． （1）线段的长是_______； （2）请用无刻度的直尺在边上找到一点，连接使得的面积是，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）___________________． 【答案】 5 解：点的位置如图所示， ∵，且要求的面积是， ∴， ∴， ∴找到网格中距离点1格的点，再连接，与的交点即为点． 【分析】（1）标记点，由图可知，，再利用勾股定理即可求解； （2）由题意求得，且要求的面积是，从而可知，可知，进而得到，找到网格中距离点1格的点，再连接，得到，从而可知，因此与的交点即为点． 【详解】（1）解：如图，标记点， 在中，，， 由勾股定理，得； （2）略 5．（2026·湖北武汉·三模）如图，中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)如图2，的角平分线交，于点P，G，其中，，则的值为_________． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) (3)6 【分析】（1）根据各角之间的等量代换得出，利用相似三角形的判定证明即可； （2）设，，得出，根据相似三角形的判定和性质得出，，利用角平分线得出，再由相似三角形的判定和性质即可求解； （3）过点G作，过点E作，利用各角之间的等量代换得出，再由相似三角形的判定和性质得出，设，，则，，得出，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴设，， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ． （3）过点G作，过点E作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵，， ∴， 设，，则，， 在和中， ∵， ∴， ∴， 同理得： ，， 在中，。即 （舍负） ． 6．（2026·广东·中考真题）如图，在中，，，点在上，且，连接．过点作的垂线交于点，交于点，连接，． (1)求的长； (2)求证：； (3)求的值． 【答案】(1)4 (2) 证明：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； (3)2 【分析】（1）直接由勾股定理求解即可； （2）证明，得到，再由代入求证即可； （3）先证明点为的中点，然后求出，，再由共高三角形面积比等于底之比求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）略 （3）解：由（2）知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 1．（一线三等角模型）如图，在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】求出的长，证明得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 2．（最值问题）如图，在中，，，，按如下步骤作图： ①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点； ②以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点． 根据以上作图，若点是直线上的动点，点是线段上的动点，连接，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由勾股定理得，由线段垂直平分线的性质得，设，则，利用勾股定理可得，即得，即得到，作点关于直线的对称点为，连接交于点，连接，则，可得，可知当点共线且时，的值最小，最小值即为垂线段的长，再利用相似三角形的性质求出的长即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 由作图步骤①可知垂直平分， ， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ， 由作图步骤②可知， 作点关于直线的对称点为，连接交于点，连接，则， ∴， 当点共线且时，可知此时的值最小，最小值即为垂线段的长， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为． 3．（母子型相似模型）如图，在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交于点M，交于点N；②以点C为圆心，以的长为半径作弧，交于点O；③以点O为圆心，以的长为半径作弧，在内部交前面的弧于点P；④过点C作射线交于点D．若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．9 【答案】B 【分析】先由尺规作图的痕迹知，然后证明得到，进而求得即可解答． 【详解】解：由尺规作图的痕迹知，． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 4．（方程思想）如图，在中，，为上一点，，为的中点，，若，则的长为（    ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】利用直角三角形斜边中线性质得，作构造相似三角形推出且，设，在中通过勾股定理列方程求出长度，再依次计算、，最终用勾股定理求得的长． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，过点作于点G， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得（舍去），， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 在中，． 5．（实践操作能力）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹）． (1)在图①中画的高CH； (2)在图②的线段AC上画一点D，连结BD，使得； (3)在图③中的外部画一点F，使，且． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先观察线段的横向和纵向格数分别为3，3，交换横向和纵向数据后，再在目标点按正确方向画出新线段，其横向和纵向格数分别为3，3． （2）构造相似三角形，其相似比为，即可把分成两段，． （3）将沿水平方向移动两格到处，再在上取点，过点作的垂线交于点，则垂直平分，故． 【详解】（1）解：如图①，取格点，连接交于点，线段即为所求作． （2）解：如图②，取格点、，，，连接交于点，连接，点即为所求作． （3）解：如图③，连接、，交于，连接，线段即为所求作． （2）略 6．（分类讨论思想）在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点，点在线段上，满足，动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿运动，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿运动，两点同时出发，其中一点到达点时两点运动停止．设运动时间为秒． (1)分别求出的长； (2)求证：； (3)当是直角三角形时，求出的值． 【答案】(1) (2)证明：由运动可得， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ； (3)或 【分析】（1）根据正方形，点，得到，再根据，得到，； （2）由运动可得，结合得到，再根据正方形，得到，即可证明； （3）过作于，于，则四边形是矩形，，当时，点到达，点到达，此时；当时，，此时，是钝角三角形；当时，，此时，，，然后根据和分类讨论，利用一线三垂直模型证明相似，代入列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形，点， ∴，， ∵点在线段上，满足， ∴，； （2）略 （3）解：由运动可得，，，则，， ∵是直角三角形， ∴或或， 过作于，于，则四边形是矩形，， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同理可得， ∵， ∴， 当时，点到达，点到达，此时； 当时，，此时，是钝角三角形； 当时，，此时，，， 当时，，， ∴， ∴， 代入数值得， 解得， 满足的只有； 当时，同理可得， ∴， 代入数值得， 整理得，方程无解； 综上所述，当是直角三角形时，或． 7．（几何探究）【尝试发现】 (1)如图，在和中，，，，请直接写出线段和的数量关系是 ． 【变式探究】 (2)如图，，连接和，的延长线交于点，． ①求的值； ②判断和的数量关系并证明； 【联系拓广】 (3)如图3，矩形中，，，是对角线．是边上一动点，连接，以为直角边向逆时针方向作，使，连接，． ①求证：； ②直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1)； (2)①； ②； 证明：记、交于点， 由知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)①证明：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②． 【分析】（1）根据证明三角形的全等，即可得到； （2）①由相似三角形的性质，可得，，式子变形可得，根据角的数量关系，可得，利用相似三角形的判定，则，得到，即可；②由相似三角形的性质，可得，根据三角形的内角和，推出，等量代换，得到；根据，等量代换，即可得到； （3）①由相似三角形的性质，可得，，得到角的数量关系，，根据相似三角形的判定和性质，得到，再根据角的数量关系，则，得到，即可求解；②由①知，点在直线上运动，当时，有最小值；利用相似三角形的判定和性质，得到，根据勾股定理求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解①∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②略 （3）解：①略； ②由①知， ∴点在直线上运动， 当时，有最小值，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 1．（2026·河北·中考真题）如图，在四边形中，，，过点作交于点，将沿翻折，得到．，分别与直线交于，两点，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先证明四边形是平行四边形，得到，推出，由折叠得，，，，得到，证明，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ 由折叠得，，， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴． 2．（2026·湖北武汉·中考真题）如图，、分别是矩形边、上的点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，边经过点．若，，，则的长是_________，的长是_________． 【答案】 【分析】作于N，则四边形是矩形，则可得，．根据矩形的性质和折叠的性质可得，，根据勾股定理可得，进而可得．证明，根据相似三角形对应边成比例可求得，．再证明，则可得，则可得，再根据勾股定理可得． 【详解】解：设与的交点为M， ∵四边形是矩形，且，， ∴，，， 作于N，则四边形是矩形， ∴，， 根据折叠的性质可知，，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·上海·中考真题）如图，菱形中，是线段上的点，连接交对角线于点，且． (1)如果，求证：； (2)如果的角平分线交、于点、，求证：． 【答案】(1)证明：四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ，即 故． (2)证明：据（1）可知， ， ， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）利用菱形对角线平分内角，结合等角对等边得，由得到，再由证，推出，结合菱形边长相等证出； （2）先通过与推导，结合角平分线得，证得，写出相似比例式，用代换，变形得到乘积等式． 【详解】（1）略 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.3相似三角形的性质 参考答案 A组 巩固过关 颗型01 根据相似三角形的性质求角的度数 1.B 2.D 题型2 根据相似三角形的性质求边长或比值 3.C 4.c 5.B 6.B 7.A 8.C 9. 【详解】(1)证明：：BD川AC, ,∠ABD=∠CAB .∠BAD=∠ACB=90°， .△ABC△BDA: (2)解：AC=3,BC=4, .AB=5. .△ABC∽△BDA, BD BA AB AC' BD 5 即53’ 解得：BD=25 · 10. 【详解】(1)AE⊥CD ∴.∠CEA=∠ACB=90°」 1/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ACE+∠CAE=90°，∠ACE+∠BCD=90° ∴.∠CAE=∠BCD :∠ACB=90°，CD是△ABC的中线， CD=AB=BD ∴.∠BCD=∠B ∴.∠CAE=∠B, 又.∠CEA=∠ACB, ∴△ACE∽ABAC. (2)解：在Rta4CE中，根据勾股定理，得AB+EC=4C2,即AE2+1P=(VMO, .AE=3, 由(1)知：△ACE∽△BAC, .AC-CEAE BA AC BC 1013 AB 10 BC' :.BC=3V10,AB=10 :∠ACB=90°，CD是△ABC的中线， CD=24B=5, ∴.DE=CD-CE=4 :EF∥CB」 ∴.∠DEF=∠DCB,∠DFE=∠B .ADEF∽ADCB EF DE BC DC EF 4 3√105， EF=12v10 5 题型03 根据相似三角形的性质证明比例式成立 11. 【答案】证明：：∠BAD=∠BDA, 2/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AB=BD :AD平分∠EAC, ∴.∠EAD=∠CAD :∠BDA=∠C+∠CAD,∠BAD=∠BAE+∠EAD, .∠BAE+∠EAD=∠C+∠CAD. ∴.∠BAE=∠C. ∠B=∠B, ∴ABEACBA BE AB AB BC .AB2=BE·BC, AB=BD, ∴BD=BE·BC. 12. 【答案】(1)·AG2=GE.GC, AG GC ·GBAG ∠AGE=∠CGA, ∴.AAGEACGA .∠GAE=∠GCA (2)点G是AB的中点， .AG=BG BG GC “GEBG· ,∠BGE=∠CGB, .△BGEACGB .∴∠GBE=∠GCB :∠AED=∠ABE+∠BAE,∠ACB=∠GCB+∠GCA, ∴.∠AED=∠ACB AD//BC. :.∠DAC=∠ACB ∴.∠DAC=∠DEA」 3/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ADF=∠EDA, ∴△ADF∽AEDA. AD DF :DEAD. .AD2 DF.DE. 13. 【答案】()证明：~四边形ABCD是正方形， ∴.∠ADB=∠CDB=45°，AD=CD, 在△ADE和ACDE中， AD=CD ∠ADE=∠CDE DE=DE ∴.△ADE≌aCDE(SAS) (2)证明：四边形ABCD是正方形， :ADIIBC, ∴∠DAF=∠F, ,AADE≌ACDE ∴.AE=CE,∠DAF=∠DCE, ∴∠DCE=∠F 又：LGEC=∠CEF, .∴AGECACEF」 GE EC ∴.CEEF, ∴.CE2=EF.EG, .AE2=EF.EG 题型04 根据相似三角形的性质求对应线段的比 14.B 15.D 16.A 17.C 18.A 颗型05 根据相似的性质求多边形的周长之比或面积之比 19.B 4/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.A 21.D 22.D 23.A 题型0k 相似三角形判定与性质的综合运用 24.C 25.B 26.B 27. 【详解】(1)证明：(1)证明：在△ACD和△ABC中， ∠ACD=∠B ∠A=∠A .△ACD∽△ABC, AC AD :AB-AC' .'AC2=AD.AB (2)解：，四边形ABCD是平行四边形， ,AD=BC,∠A=∠C, ∠BFE=∠A, ∴.∠BFE=∠C, 在△BCF和△BFE中， [∠C=∠BFE ∠FBC=∠EBF· .△BCFABFE, BC BF BF BE' :BF=6,BE=4 BC 6 6=4, 解得BC=9, 又AD=BC, ..AD=9 28. 【详解】(1)证明：(1)证明：，BE⊥AD, .∠BED=90°. .∠ABC=90° 5/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BED=∠ABD, 在△DBE和△DAB中， [∠BED=∠ABD ∠BDE=∠ADB' ∴.△DBESADAB (2)解：：D是边BC的中点， .DC=DB 由(1)已证：△DBEP△DAB, DB DE ·DADB' DC DE ·DADC, 在△DCE和△DAC中， DC DE DA DC ∠CDE=∠ADC .△DCE∽△DAC, SDAC S.DCE 4c) （CE· =1 SDAC=5, CE=2SAnc5,即S 解得AC=25或AC=-25<0(不符合题意，舍去)· B组 能力进阶 1.D2.B 3.B 4. 【详解】(1)解：如图，标记点E, 6/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E C 在Rt△ABE中，BE=3,AE=4, 由勾股定理，得AB=√BE2+AE2=V9+16=5: （2)(2②由题面求行5cx4x4=8,且要求4CD的直积是，从百时知w-8；号 55,可知 832 S4m:S,m兮污=1：4，进而得到AD:DB=1:4找到网格中距离A点1格的点F,再连接CF,得到 △ADFP△BDC,从而可知AD:BD=AF:BC=I1:4,因此CF与AB的交点即为点D. 5. 【详解】(1)证明：：∠ABC=90°，BD⊥AC, ∴.∠BDA=∠BDC=90°， .∠ABD+∠BAD=90,∠ABD+∠CBD=90°， ∴.∠BAD=∠CBD ∴.△ABD∽△BCD: (2)解：AB:BC=2:3, ∴设AB=2x,BC=3x, :.AC=13x, :BD⊥AC, .∠ADB=∠ABC=90°， .∠BAD=∠CAB .△ABD∽△ACB, AB AD AC AB' AD=43 3, :AE平分∠BAC, ∠BAF=∠DAF, .∠AEB=∠AFD, .·∠AFD=∠BFE, 7/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BEF=∠BFE, ∴BE=BF, :∠ABE=∠ADF=9O°，∠BAE=∠DAF, △ABESADE, .BF BE AB 13 DFDF AD2· (3)过点G作GH L AC,过点E作E0⊥AC, B E G .∠AHG=∠C0E=90 ∴.∠AGH+∠BAC=90°，∠EC9+∠CEQ=90°， .∠BAC+∠ACB=90°， .∠AGH=∠ACB ∴.△AGH∽△ECQ, AG AP GP .CE EO CO' .CG平分∠ACB,AE平分∠BAC, ..BG=GP,BE=EQ .AG=2,CE=3, AG AP GP 2 CEEO CO3' 设BG=GH=2a,BE=E0=3b,则AH=2b,CQ=3a, 在Rt△ABE和Rt△AQE中， (BE=EO AE=AE' ∴.RtAABE≌RtAAOE(HL). .AB=A0 同理得：BC=CH .AB=A0=2a+2,BC=CH=3b+3, ∴H0=2a+2-2b=3b+3-3a .5b=5a-1 8/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 tGIG4102 在 (5 ∴.a=0.8(舍负) :4AC=AH+H0+C0=2b+(2a+2-2b)+3a=2+2a+3a=6 6. 【详解】(1)解：AC=25,AE=2,AE⊥CD, ∴CE=VAC2-AE2=4: (2)(2) 证明：，∠BAC=90°，AE⊥CD .∠AED=∠CAD=90°，∠DAE=∠ACD=90°-∠ADC, ,∠ADE=∠CDA, ∴△ADE∽△CDA, AD DE ·CD=AD .AD2=DE.DC BD=3AD ∴.BD2=9AD2 .BD2=9DE.DC: (3)解：由(2)知∠DAE=∠ACD AE⊥CD ∴.∠AED=LCEA=90°. .△AEDACEA, AE DE AD ·CE AE AC' 2 DE AD ·4-22W5, .DE =1,AD=5 ∴.BD=3AD=35, .AB=AD+BD=45, .AD×AB=V5×4V5=20, :AC2=(2N5=20, 9116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AC2=AD×AB, AD AC ACAB’ .·∠DAC=∠CAB ..ADACOACAB. ∴.∠ACD=∠ABC .∠DAE=∠ACD, .∠DAE=∠ABC, ∴FA=FB, .∠BAC=90°， :,∠DAE+∠FAC=∠ABC+∠FCA=90°， .∠FAC=∠FCA」 .FC=FA. .FB=FC, ∠BAC=90° 1=Bc=xac+aB-x2+45可-5， .EF =AF-AE=3, 设SMDE=S, .BD=3AD .S.BDE =3S ∴.S△MBE=S△MDE+SARDE=4S, AE 2 :EF3’ S△E=AE_2 ·SAREF EF3' .S.MEF=6S, S△BE_6S =2 C组 思维拔高 10/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.c 2.C 3.B 4.B 5. 【答案】1)B (图①) (图②) ----- M 38 (图③) 6. 【详解】(1)解：：正方形0ABC,点B(12,12), .0A=AB=BC=OC=12,AC=VOA+0C2=12√2， ,点D在线段AC上，满足AD=3DC, AD-4C=92,cD=4C=3W2, 4 41 (2)证明：由运动可得AE=3t,CF=1, AE 3t t CF 1 4D9W23W2'CD3V2, AE CF AD CD' 11/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE AD CF CD' ,正方形OABC, ∴.∠DAE=∠DCF=45°， ∴AEDACFD (3)解：由运动可得AE=3,CF=1,0≤31≤12,0≤1≤12，则BE=12-3,BF=12-1,0≤1≤4， △DEF是直角三角形 ∠DEF=90°或∠DFE=90°或∠EDF=90°， 过D作DM⊥BC于M,DN⊥AB于N,则四边形MBND是矩形，∠MDN=9O, NEB C元∠DAE=∠DCF=45 ∴∠DAN=∠ADN=45°， .AN =DN, .AN2+DN2=AD2,AD=9√2， .AN DN=9. 同理可得DM=CM=3, ,△AEDACFD, .∠ADE=∠CDF. 当t=3时，点E到达W,点F到达M,此时∠MDN=∠EDF=90°： 当0≤1<3时，∠ADE=LCDF<45°，此时∠EDF>90°，△DEF是钝角三角形： 当3<1≤4时，∠ADE=∠CDF>45°，此时∠EDF<90°，FM=t-3,EN=31-9, 当∠DFE=90°时，∠DFE=∠B=∠DMF=90°，∠DFM=∠FEB=90°-∠EFB, ∴.△EFB∽△FDM, BEBF ·FMDM' 12-3t_12-t 代入数值得t-3=3, 解得t=12±62， 满足3<1≤4的只有t=12-6V2: 12/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当∠DEF=90°时，同理可得△EFB∽ADEN, BE BF ·DNEN' 2-3t12-t 代入数值得 93t-9 整理得(t-4)+8=0,方程无解： 综上所述，当△DEF是直角三角形时，1=3或12-6√2 7, 【详解】(1)解：：∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAC-LCAD=∠DAE-LCAD, ∴.∠DAB=∠EAC, 在△ABD和△AEC中， (AB=AC ∠DAB=∠EAC, AD=AE .△ADB≌aAEC(SMS). .BD=CE (2)解①，△ABC∽△ADE, AB AC AD=AE,∠BAC=∠DAE: AB AD AC=AE'∠BAC+LCAD=∠DAE+∠CAD ∴.∠BAD=∠CAE, ∴.△ABDAACE, BD AB 3 CEAC4 ②∠DAE+∠DFE=180°： 证明：记AC、BF交于点O, D 图2 13/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由①知△ABD△ACE, ∴.∠ABD=∠ACE .∠AOB=∠COF, .∠BAC=∠BFC, .∠DAE=∠BFC ,∠BFC+∠DFE=180°， ∴，∠DAE+∠DFE=180°： (3)解：①证明：，△AEF∽aABC, AB AC 六∠BAC=∠EAF,AEAF' AB AE ∠BAC-∠CAE=∠EAF-LCAE'ACAF, ∴.∠BAE=∠CAF」 .△ABEAACF, .∠ACF=∠ABE=90°， .∠BCD=90°」 :∠ACF=∠BCD ∴.∠ACF-∠ACD=∠BCD-∠ACD, ∴.∠DCF=∠ACB. ②由①知∠ACF=90°， ∴点F在直线CF上运动， 当DF⊥CF时，有最小值，如图， B 图3 .∠DCF=∠ACB,∠DFC=∠ABC=90° .△DCF△ACB, DF CD .AB AC' AB=3,BC=4, .'AC=AB2+BC2 =5, 14/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DF 3 .35 :DF-多即p5的员小准为号 拓展 链接中考 1.c 2.4,3v5 3. 【答案】(1)证明：四边形ABCD为菱形， .∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠BCA,AB=DC, .∠FBC=∠CAB」 .∠FBC=∠BCA, :FB=FC, .AF =2BF, .AF =2CF. AB∥DC .∠CEF=∠ABF, :∠EFC=∠AFB, ∴.△AFBACFE. AF AB AB=2, :CFcE,即 AB=DC, DC .CE =2,即DC=2CE 故CE=DE (2)证明：：据(1)可知∠FBC=∠BCA, ∴.∠BFA=∠FBC+∠BCA=2∠FBC, ∠FBC=∠CAB, ∴.∠BFA=2∠CAB :∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠BCA,∠BAH=∠DAC+∠CAB, 15/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BAH=2∠CAB .∠BFA=∠BAH, BH平分∠ABE, ∴.∠ABH=∠GBF, .△BFG△BAH, BF BG .BA BH' BA=CD, BF BG ∴.CDBH' .CD·BG=BH.BF 16/16