专题04图形的轴对称及画轴对称图形期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题04图形的轴对称及画轴对称图形期中复习讲义 1.识别轴对称图形与两个图形成轴对称，能找出对称轴、对应点、对应线段与对应角，掌握轴对称的性质：对称轴垂直平分对应点连线，对应线段、对应角相等。 2.掌握画轴对称图形的方法：确定关键点，作出关键点关于对称轴的对称点，依次连接对称点画出完整轴对称图形。 3.掌握平面直角坐标系中点关于 x 轴、y 轴对称的坐标变化规律，能根据坐标求对称点，也能根据对称点坐标判断对称轴。 4.能利用轴对称性质解决线段相等、角度计算、最短路径基础题型。 5.区分 “轴对称图形” 和 “两个图形成轴对称” 两个概念，理清二者联系与区别，规避概念混淆的易错点。 6.会利用轴对称进行简单图案分析，能结合轴对称性质进行简单几何推理。 题型 考察方向 难度 题型一 轴对称图形的识别 ★ 题型二 成轴对称的两个图形的识别 ★ 题型三 根据成轴对称图形的特征进行判断 ★★ 题型四 根据成轴对称图形的特征进行求解 ★★ 题型五 台球桌面上的轴对称问题 ★★★ 题型六 轴对称中的光线反射问题 ★★★ 题型七 折叠问题 ★★★ 题型八 线段垂直平分线的性质 ★★ 题型九 线段垂直平分线的判定 ★★ 题型十 作已知线段的垂直平分线 ★ 题型十一 作垂线 ★ 题型十二 求对称轴条数 ★ 题型十三 坐标系中的对称 ★★ 题型十四 坐标与图形变化 —— 轴对称 ★★ 题型十五 线段问题 ★★★★ 题型十六 面积问题 ★★★★ 题型十七 角度问题 ★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:轴对称相关概念 1. 两个概念区分 名称 定义 关键点 轴对称图形 一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合 单个图形，直线为对称轴 成轴对称（两个图对称） 两个图形沿一条直线对折后完全重合 两个独立图形，直线是对称轴 联系：把成轴对称的两个图形看成整体就是轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴拆分，两部分成轴对称。 2.轴对称图形与轴对称 对比维度 轴对称图形 两个图形成轴对称 研究对象 一个图形 两个图形 本质 图形自身的对称属性 两个图形的位置关系 图示 知识点02: 轴对称核心性质（解题根本，必熟记） 对应点所连线段被对称轴垂直平分。 对应线段相等，对应角相等。 对称轴是任意一对对应点连线的垂直平分线。 是轴对称图形,对称轴为直线I. 则:线段AC=DF,AB=ED,BC=EF 对应角: 对称轴I垂直对应点连线BE,且交点O是BE的中点. 知识点03:常见图形的对称轴（高频考点） 图形 对称轴条数 对称轴位置 角 1 条 角平分线所在直线 等腰三角形 1 条 底边上的高（中线 / 顶角平分线）所在直线 等边三角形 3 条 各边上的高（中线 / 内角平分线）所在直线 长方形 2 条 过对边中点的直线 正方形 4 条 过对边中点的直线、对角线所在直线 等腰梯形 1 条 过上、下底中点的直线 圆 无数条 过圆心的任意直线 知识点04:线段的垂直平分线（中垂线） 1. 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 几何语言： ∵ 直线 MN⊥AB 于点 O，且 AO=BO，∴ 直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线。 2.性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 线上点到线段两端距离相等 ∵ 点 P 在 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ∵ PA = PB∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 知识点05:点的对称变换坐标变化 设点 P (x，y) 对称方式 对称点坐标 变化规律 关于 x 轴对称 (x，–y) 横坐标不变，纵坐标变相反数 关于 y 轴对称 (–x，y) 纵坐标不变，横坐标变相反数 关于原点对称 (–x，–y) 横、纵坐标全部变相反数 知识点06:高频易错点汇总 易错类型 错误表现 正确结论 避坑提示 概念混淆 分不清轴对称图形、两个图形成轴对称 一个图→轴对称图形；两个图→轴对称 审题先看图形个数 垂直平分线误用 只说距离相等，不提垂直平分 对称轴垂直平分对称点连线，两个条件缺一不可 证明必须同时写垂直、平分 坐标对称写错 x 轴对称改变横坐标，y 轴对称改变纵坐标 x轴：x不变；y轴：y不变 牢记口诀 x 同 y 反，y 同 x 反 作图遗漏 只画部分顶点对称点，漏顶点 多边形每个顶点都要找对称点再连线 作图前标记全部端点 对称轴判断 认为对称轴是线段 对称轴是直线，可向两端无限延伸 画图时对称轴画虚线直线 题型一：轴对称图形的识别 1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线对折，对折后的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形． 据此可判断A、B、D都不符合轴对称图形的定义，C是轴对称图形． 2．下列图形中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意． 3．如图，将这四个全等的直角三角形无缝隙、无重叠地拼接在一起，能拼接成四边形且是轴对称图形的个数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的定义画出图形，即可求解． 【详解】解：如下图，能拼接成四边形且是轴对称图形的个数为． 题型二：成轴对称的两个图形的识别 4．观察下图，其中不成轴对称的是（    ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的轴对称，轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，据此判断即可 【详解】解：A、沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，不符合题意； B、沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，不符合题意； C、沿某条直线折叠后直线两旁的部分不能够完全重合，不是轴对称图形，符合题意； D、沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 5．下列的图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查轴对称的定义，根据轴对称的定义（如果两个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，则这两个图形成轴对称）进行逐一判断即可： 【详解】解：根据轴对称的概念，A、B、C都不成轴对称，不符合题意； 只有D成轴对称，符合题意． 故选：D． 6．如图，已知点，，，在一条直线上，并且，那么这两个全等三角形属于全等变换中的___． 【答案】轴对称变换 【分析】本题考查了全等三角形的性质，全等变换，解题关键是能够识别全等三角形理解全等变换的概念； 由全等三角形的性质及全等变换的意义直接解答即可． 【详解】解：∵， 有图可知：，， ， ∴这两个全等三角形属于全等变换中轴对称变换， 故答案为：轴对称变换． 题型三：根据成轴对称图形的特征进行判断 7．如图，线段与关于直线对称，连与直线相交于点，则线段______（填＞、、）． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称图形中对应点所连线段被对称轴垂直平分这一性质． 根据线段与关于直线对称这一条件，利用轴对称性质判断与的关系． 【详解】因为线段与关于直线对称，点与点是关于这条直线的对应点， 根据轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线， 所以直线是线段的垂直平分线，点O在对称轴上，即． 故答案为：． 8．如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的特征，关于直线对称的两个图形全等，对应角相等，对应点的连线被对称轴垂直平分，由此逐一判断各选项即可． 【详解】解：根据轴对称图形的特征可知，，，， 但无法判断与的位置关系，当与对称轴不平行时，对称后的与的延长线会相交，并不一定满足平行关系， 选项不符合题意，选项符合题意． 9．如图是通过折纸制作五角星的过程，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．根据折叠的性质求解即可得． 【详解】解：由题折叠的性质得：，，， ∴，， 所以观察四个选项可知，说法错误的是选项C， 故选：C． 题型四：根据成轴对称图形的特征进行求解 10．如图，四边形是轴对称图形，直线是它的对称轴，，则________． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质结合平行线的判定与性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是轴对称图形，直线是它的对称轴 ∴， ∴ ∴ 11．如图，与关于直线对称，若，，则________． 【答案】30 【详解】解：与关于直线对称， ，， ． 12．如图，点P在内，点P关于的对称点分别为E，F，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设交于点，交于点，点P关于的对称点分别为E，F，得到，根据四边形内角和即可求出答案． 【详解】解：设交于点，交于点， ∵点P在内，点P关于的对称点分别为E，F， ∴， ∴， ∴． 题型五：台球桌面上的轴对称问题 13．如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 __点． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 【详解】解：如图， 可以瞄准点击球． 故答案为：． 14．如图，球桌上有，两个桌球，若要将球射向球桌的一边，反弹一次后击中球，则球应射向，，，四个点中的点_____ ． 【答案】C 【分析】作点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为所求的点． 【详解】解：如下图所示，作点关于直线的对称点， 连接与直线交于点， 点即为所求． 15．如图，动点P从出发，沿所示的方向运动，到时记为第一次反弹，以后每当碰到矩形的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角．那么点P第2019次反弹时碰到矩形边上的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了规律型中点的坐标，根据部分点的坐标找出变化规律是解题的关键．设点P第n次反弹时碰到矩形边上的点为Pn（n为自然数），根据反弹补充图形，根据坐标的变化找出变化规律“次反弹一个循环”，依此规律即可得出结论． 【详解】解：设点P第n次反弹时碰到矩形边上的点为（n为自然数），如图， 观察，发现规律：， ∴次反弹一个循环， ∵， ∴和相同， 故选：D． 题型六：轴对称中的光线反射问题 16．如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则_________． 【答案】40°/40度 【分析】根据入射角等于反射角，可得，根据三角形内角和定理求得，进而即可求解． 【详解】解：依题意，， ∵，， ， ∴， ． 故答案为：40°． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键． 17．光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据平行线的性质和反射的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意可得，， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某 V 型路口放置如图所示的两个平面镜，，两个平面镜所成的夹角为，位于点 D 处的甲同学在平面镜 中看到位于点A处的乙同学的像，其中光的路径为入射光线 经过平面镜反射后，又沿射向平面镜，在点 C 处再次反射，反射光线为，已知入射光线，反射光线 ，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了光的反射定律，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由光的反射定律以及平行线的性质，推出，再结合三角形内角和，推出的度数． 【详解】如图所示，由光的反射定律，可以知道， ， ， 故选：C ． 题型七：折叠问题 19．将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由折叠得，然后利用平行线的性质求解． 【详解】解：∵ ∴ 由折叠得， ∵ ∴． 20．将一个长方形纸条折叠两次，第一次将长方形纸条向上翻折，记点，的对应点分别为，，折痕为，且交于点(如图1)；第二次将四边形沿向下翻折，记，的对应点分别为， (如图2) ． 若， 则_______． 【答案】/124度 【分析】先由长方形，利用内错角相等、同旁内角互补求出与，再用第一次折叠得到，减去得到，由第二次折叠得． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 根据折叠的性质，， ∴， 根据折叠的性质得． 21．将一张长方形纸片按如图步骤①和②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开平铺后的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据展开后的图形即可作出判断． 【详解】解：把③向上展开，再向左展开后如下图： 题型八：线段垂直平分线的性质 22．在布置校园艺术节的场地时，工作人员要在表演场地内部放置一个音响，为了让音响的声音均匀覆盖三个顶点处的表演区域，要求音响到三个顶点的距离相等，则这个音响应放在的（     ） A．三条中线的交点处 B．三条高线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【详解】解：∵要在内部区域放置一个音响，且要求音响到三个顶点的距离相等， ∴三条边的垂直平分线的交点处，故选项D符合题意． 23．如图，等腰的腰长为8，底边的长为5，腰的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则的周长为（     ） A．13 B．12 C．11 D．16 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，所以的周长可表示为，即可求解． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长为． 24．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点，，，则______． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质和等边对等角，可得：，根据角平分线的定义可知，根据三角形的内角和定理可以求出的度数． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， ， ， 平分， ， ， ， . 题型九：线段垂直平分线的判定 25．如图所示的仪器中，．小州把这个仪器放在直线l上，使点落在直线l上，作直线，则，其中蕴含的道理是__________ 【答案】到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定即可求解，相关基本内容要牢固掌握，灵活运用是正确解答本题的关键． 【详解】 解：， 点在线段的垂直平分线上， ， 点在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线， ， 其中蕴含的道理为：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， 故答案为：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 26．如图，在中，，垂足为D，PQ是BC边的垂直平分线，交BC于点Q，交AC于点P，．若的周长是，，则的长是_______． 【答案】/8厘米 【分析】先根据垂直平分线的性质得到，，，再求出，，即可求出． 【详解】解：∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵PQ是BC边的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的定义和性质，熟知线段垂直平分线的性质和定义，结合题意进行线段的转化是解题关键． 27．如图，在五边形中，，，在直线，上分别找一点，，使得的周长最小，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，等边对等角，延长至点，延长至点，连接，推出垂直平分，垂直平分，得到，进而得到的周长，得到当四点共线时，的周长最小，根据等边对等角，三角形的内角和定理，求出的度数即可． 【详解】解：延长至点，延长至点，连接， 则：， ∵， ∴垂直平分，垂直平分， ∴， ∴的周长， ∴当四点共线时，的周长最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A． 题型十：作已知线段的垂直平分线 28．下列尺规作图是作线段的垂直平分线的是（     ） A． B． C．D． 【答案】C 【详解】解：A、该尺规作图是作角平分线，不符合题意； B、该尺规作图是作垂线，不符合题意； C、该尺规作图是作线段的垂直平分线，符合题意； D、该尺规作图是作线段，不符合题意． 29．如图，在中，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交边于点，连接，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】由题意可得垂直且平分，根据垂直平分线的性质可得，然后根据求解即可． 【详解】解：由题意可得，垂直且平分， ∴， ∴． 30．在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．只有① 【答案】B 【分析】利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．在图①中，利用基本作图可判断平分；在图③中，利用作法得，  可证明，有，可得，进一步证明，得，继而可证明，得，得到是的平分线；在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 【详解】在图①中，利用基本作图可判断平分； 在图③中，利用作法得，    在和中， ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； 在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 则①③可得出射线平分． 题型十一：作垂线 31．如图，已知线段，利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点和点为圆心、相同长度为半径作弧，两弧分别相交于点和点；②作直线．则直线就是线段的垂直平分线．下列各数中，的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本作图得到，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：根据题意得，， 即， 故选项D符合题意． 32．如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交于点D，E．若，的周长为，则的周长为______．    【答案】 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质．熟练掌握作垂线，垂直平分线的性质是解题的关键． 由作图过程可知，是线段的垂直平分线，则，，由题意知，的周长为，根据的周长为，计算求解即可． 【详解】解：由作图过程可知，是线段的垂直平分线， ∴，， 由题意知，的周长为， ∴的周长为 即的周长为， 故答案为：． 33．如图，已知点和直线，过点作的垂线，步骤如下： 第一步：以点为圆心，为半径作弧，交直线于点，； 第二步：分别以点，为圆心，为半径作弧，两弧交于点； 第三步：作射线交于点． 关于，，下列说法正确的是（    ） A．的长有限制，的长无限制 B．的长无限制，的长有限制 C．，的长均无限制 D．，的长均有限制 【答案】D 【分析】本题考查的是尺规作图作垂线，灵活运用圆与直线的位置关系、两圆相交的条件是解题的关键．根据“以点为圆心作弧要与直线交于两点”得到的取值限制，再根据“分别以，为圆心作弧要交于直线两侧的点”得到的取值限制，进而判断，的长度是否均有限制． 【详解】1、关于的限制：第一步以为圆心、为半径作弧，要与直线交于两点，，则必须大于点到直线的距离（若等于该距离，弧与直线只有一个交点；若小于该距离，无交点），题目中，且点在弧上、位于直线下方，说明已经满足“大于到的距离”，因此的长度有下限限制，不能任意小； 2、关于的限制第二步分别以，为圆心、为半径作弧，两弧要交于点（与分别在直线两侧），则必须大于的长度（若，两弧无交点或交于中点，无法形成垂线），因此的长度有下限限制，不能任意小，即，的长均有限制． 故选：． 题型十二：求对称轴条数 34．下面的四个图形中，对称轴条数最多的是（     ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】根据对称轴的定义，确定对称轴条数，然后比较大小即可求出答案． 【详解】解：A选项、对称轴的条数有3条， B选项、对称轴有无数条， C选项、对称轴有3条， D选项、对称轴有4条． ∴对称轴条数最多的是B选项． 35．中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列4个选项中分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材埋壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中是轴对称图形，有且只有一条对称轴的是（     ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形和对称轴的定义，逐一分析选项． 【详解】解：选项A（圆中方形）：该图形是轴对称图形，共有4条对称轴，不符合题意； 选项B（方形圆径）：该图形是轴对称图形，共有4条对称轴，不符合题意； 选项C（圆材埋壁）：该图形是轴对称图形，只有过图形中点的水平1条对称轴，符合题意； 选项D（勾股容圆）：该图形的直角三角形两条直角边长度不相等，不是轴对称图象，不符合题意． 36．一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折2次后，可以得3条折痕，那么对折4次可以得到______条折痕． 【答案】15 【分析】根据对折次数得到分成的份数，再减去1即可得到折痕条数． 【详解】解：根据观察可以得到： 对折1次，一张纸分成两份，折痕为1条； 对折2次，一张纸分成=4份，折痕为4-1=3条； 对折3次，一张纸分成 =8份，折痕为8-1=7条； ∴对折4次，一张纸分成 =16份，折痕为16-1=15条 ． 故答案为15． 【点睛】本题考查折叠问题，掌握分成份数与折叠次数、折痕条数的关系是解题关键 ． 题型十三：坐标系中的对称 37．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是_______________． 【答案】 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，关于x轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数． 根据关于x轴对称的点的坐标特征求出，，进而代入计算即可． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 38．如图，在平面直角坐标系中，是轴对称图形，对称轴为直线，若点的坐标为，则点关于对称轴的对称点的坐标为_______________． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称点坐标的特点，根据关于直线对称的两个点，纵坐标相等，横坐标之和为求解计算即可． 【详解】，，关于直线对称， ，解得， ． 故答案为：． 39．如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查翻折变换的性质、坐标与图形变化-对称、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作轴于点F，作交FA的延长线于点E，由，得，由翻折得，则可证明，得，则，求得，即可解答． 【详解】解：作轴于点F，作交FA的延长线于点E，如图 ， ∵， ∴． ∵将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处， ∴，， ∴． 在和中： ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵点C的横坐标为7，纵坐标为， ∴． 故选C． 题型十四：坐标与图形变化 —— 轴对称 40．已知点与点关于轴对称，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点横坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴ 解得． 41．在平面直角坐标系中，已知点和点关于轴对称，则代数式的值为（    ） A． B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，代数式求值． 两点关于x轴对称，则横坐标相等，纵坐标互为相反数．据此列方程求解m和n，再代入计算即可． 【详解】解：∵点和点关于x轴对称， ∴，， 解得，， ∴． 故选：B． 42．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，P为y轴上一动点，且A，B，P三点不在同一条直线上，连接．当的周长最小时，点P的坐标为______． 【答案】 【分析】作点B关于y轴的对称点C，连接，连接交轴于点D，连接，则，可证明点P与点D重合时的周长有最小值；根据求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，作点B关于y轴的对称点C，连接，连接交轴于点D，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴的周长， ∵，且为定值， ∴当P、A、C三点共线时，的周长有最小值，即点P与点D重合时的周长有最小值； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D的坐标为，即． 题型十五：线段问题 43．如图所示，已知是内的一点，点，分别是点关于，的对称点，与，分别相交于点，，已知，则的周长___．    【答案】5 【分析】根据轴对称的性质，可得与的关系，与的关系，根据三角形的周长公式，可得答案． 【详解】解：因为点，分别是点关于，的对称点， 所以，， 那么， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了轴对称，利用对称轴上的点到线段两端点的距离相等是解题关键． 44．某区计划在公路旁修建一座新能源汽车充电站，使充电站到、两个小区之间的距离之和最短的方案是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称的性质，结合两点之间，线段最短，即可求解． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 根据两点之间，线段最短，可知选项中的汽车充电站到、两个小区之间的距离之和最短． 45．如图，在直角三角形中，度，，动点M在线段上运动（不与端点重合），点关于边的对称点分别为，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是___________． 【答案】 【分析】连接，由轴对称的性质可得，即得，可知当时，的值最小，此时的长度也最小，利用三角形的面积求出的最小值即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由条件可知， ∴， ∴， 当时，的值最小，此时的长度也最小， 当时，， ∴，解得：， ∴， 即线段长度的最小值是． 题型十六：面积问题 46．如图，点P为内部任意一点，点P、关于对称，点P、关于对称,，则的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，难度一般，要求学生熟练掌握轴对称的性质特点，并能灵活运用，便能简单做出此题． 连接，，根据轴对称的性质得到，，，求出，根据面积公式计算即可． 【详解】解：连接，， 点P、关于对称，点P、关于对称，， ，，， ， 的面积， 故答案为：． 47．如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为______ ． 【答案】8 【分析】连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，    ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键． 48．如图，是正六边形的两条对称轴，将该正六边形先竖直向上平移个单位长度，再水平向左平移个单位长度后，将正六边形分成了①，②，③，④四个区域，①，②，③，④的面积分别记为，若，则____________． 【答案】 【分析】作平移后正六边形的对称轴，分别作关于对称的直线，结合图形的对称性列式计算即可． 【详解】解：作平移后正六边形的对称轴，分别作关于对称的直线 由题意得：，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：. 题型十七：角度问题 49．如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为________．    【答案】/度 【分析】作点关于的对称点，连接，，，得，；作点关于的对称点，连接，，，得，；根据；，，，共线时，周长最短，再根据对称性质，即可求出的角度． 【详解】作点关于的对称点，连接，，； ∴，， 作点关于的对称点，连接，，， ∴，， ∴ 当，，，共线时，周长最短 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴在中， ∴ ∵， ∴ ∵ 故答案为：．    【点睛】本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是做出对称点，找到共线时路径最短，利用对称性质，对角等量代换． 50．如图，在中，，于点D，，点B关于CD对称的点是点E，则的度数大小为___________． 【答案】/度 【分析】根据轴对称的性质可知，根据，，得的度数，再根据，从而求得答案． 【详解】解：∵在中，，，，B关于对称点是E， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，直角三角形性质，数形结合是解题的关键． 51．如图，点P为内一点，分别作出点P关于、的对称点、，连接交于M，交于N．若，则______． 【答案】/60度 【分析】连接，，，根据对称的性质证明，，即可作答． 【详解】解：连接，，，如图， ∵点P关于的对称点， ∴，， ∴平分， ∴， 同理可证明：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了对称的性质，掌握对称的性质是解答本题的关键． 解答题 52．如图，已知四边形．请你用尺规作图法在边上找一点，使得点是的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】所作图形如图所示： 【分析】分别以点B、C为圆心，大于为半径画弧，然后交于两点，过这两点作直线交于点，进而问题可求解． 【详解】略 53．已知，在中，． (1)_________°； (2)如图1，若点D是线段上一点，连接，过点B作，连接和，若，求证：； (3)如图2，M为射线上一点，N为射线上一点，且始终满足，过点C作的垂线交的延长线于点P，连接，求证： 【答案】(1) (2)证明：如图1中，过点C作交的延长线于T，连接． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴ (3) 证明：由（1）得 过点A作，交延长线于点Q，设与交点为H，如图， ∵AQ⊥AM，PC⊥BM， ∴ ∵ ∴ 在和中， ∵ ∴ ∴ ∵CM＝AN， ∴ ∵ ∴ ∴ 在和中， ∵ ∴, ∴ ∴． ∴． 【分析】（1）根据和三角形内角和即可求出． （2）过点C作交的延长线于T，连接，证明，再证明垂直平分线段，即可证明． （3）过点A作，交延长线于点Q，设与交点为H，首先证明，得出再证明，得出根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】（1）解：， 又， （2）略 （3）略 54．如图，在中，，，，将沿方向平移至的位置，连接．点从点出发，沿折线的方向以每秒的速度向终点运动，设点的运动时间为秒． (1)_________；_________；与的位置关系是_________． (2)当点在上运动（不与点重合）时，的长为_________．（用含的代数式表示） (3)连接，当将四边形的周长分成两部分时，求的值． (4)作点关于直线的对称点，当点在直线的上方时，连接，当与四边形的边垂直时，直接写出的度数． 【答案】(1)56；2； (2) (3)或 (4)或或 【分析】（1）根据平移的性质可得答案； （2）用点P运动的路程减去的长即可得到答案； （3）分两种情况：点P在上和点P在上，讨论求解即可； （4）分三种情况：、和时，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：由平移的性质可得，； （2）解：由题意得，； （3）解：由平移的性质可得， 当点P在上时 ∵，即，且， ∴， ∴当将四边形的周长分成两部分时，只存在这种情况， ∴， 解得； 当点P在上时， 同理可得只存在， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或； （4）解：如图所示，当时，设交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， 由轴对称的性质可得； 如图所示，当时，则，根据，此时， 由轴对称的性质可得； 如图所示，当点P在上，且时，设交于点H， ∵， ∴， 由平移的性质可得， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得； 综上所述，的度数为或或． 55．综合与探究 物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角叫作入射角，反射光线与法线的夹角叫作反射角（如图1）．在反射现象中，入射光线、反射光线和法线都在同一个平面内；入射光线和反射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 【初步探究】 如图2，已知镜子与镜子互相平行，入射光线经过两次反射后的反射光线为． (1)若，则_____________，_____________； (2)猜想入射光线与反射光线的位置关系，并证明； 【应用探究】 (3)如图3，有一口古井，将镜面的一端放置在水平地面上，若入射光线与镜面的夹角为，如何放置平面镜（即度数为多大时），可使反射光线正好垂直照射到井底（与水平地面垂直）？ 【答案】(1)， (2) ，证明如下： 入射角等于反射角，等角的余角相等，且， ． ，， ． ； (3) 【分析】（1）根据入射角等于反射角以及平行线的性质，可求出、的度数； （2）结合（1）可证，即可得出入射光线与反射光线的位置关系； （3）延长，交于点，结合三角形内角和求的度数即可； 【详解】（1）解：∵入射角等于反射角，由等角的余角相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵入射角等于反射角，由等角的余角相等， ∴， ∴； （2）略 （3）解：延长，交于点，如图所示： 入射角等于反射角，等角的余角相等， ． 若要反射光线正好与水平地面垂直， ． ． 56．【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容 如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，． （1）若，则； （2）的余角是_________； 【学科融合】 物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律（rfectionlaw）． 【数学推理】 （3）如图1，有两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：．在这样的条件下，求证：． 【尝试探究】 （4）两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．如图2，光线与相交于点，则_________；（用含有字母的式子表示） 【答案】（1）30； （2）的余角是：； （3）， ∴， ∴， 由反射定律得：，， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）； 【分析】（1）根据轴对称性质求解即可； （2）根据余角的定义求解即可； （3）根据反射定律得，，又，得出，由平行线的判定即可得出结论； （4）根据，，，得出，根据，证得，根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：，， ∴， ∴． （2）证明：∵ ∴，， ∵ ∴ ∴的余角是，． （3） 略 （4），，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了余角的定义，平行线的判定，轴对称的性质，反射定律，三角形内角和定理，熟练掌握余角的定义：两角的和等于90度，这两角互为余角，平行线的判定定理是解题的关键． 57．如图，在平面直角坐标系中，，，，直线m（直线m上所有点的横坐标均为）． (1)在图中作出关于直线m对称的，并求出的面积； (2)线段交x轴于D点，直接写出点D关于直线m对称点的坐标________； (3)线段上有一点，直接写出点M关于直线m对称点的坐标________． 【答案】(1)解：所作如图所示： (2) (3) 【分析】（1）分别作出关于直线m的对称点，再顺次连接即可； （2）由图知，再利用坐标中点公式求出点D的坐标，最后结合轴对称性质求解，即可解题； （3）根据轴对称的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图知， 的坐标为，即， ， 点D关于直线m对称点的坐标为； （3）解：线段上有一点， ， 点M关于直线m对称点的坐标为． 58．某小区有一块休闲空地，其形状为直角，，米，米，米．社区计划在这块空地上种植花卉，为此设计了两种围三角形篱笆的方案．已知白色篱笆每米20元，金色篱笆每米30元． (1)先测算空地的基础数据，点到的距离为_____米； (2)方案一：若准备围出一块三角形区域种月季，如图1，分别在，边上取点，，围成，使得的面积为2平方米，且边用白色篱笆，边用金色篱笆，边不用篱笆，求该方案所需篱笆费用的最小值； 参考公式：对任意正实数，，有下列式子成立：；（当且仅当时取等号）． (3)方案二：若准备围出一块三角形区域种雏菊，如图2，分别在，，边上取点，，，围成，各边均使用白色篱笆，求该方案所需篱笆费用（元）的范围． 【答案】(1)米 (2)元 (3) 【分析】本题主要考查了等面积法、不等式的应用、轴对称的应用等知识点，灵活运用轴对称的性质求最值是解题的关键． （1）直接运用等面积法求解即可； （2）由题意可得该方案所需篱笆费用，，即，再根据不等式的性质求解即可； （3）如图：作D关于的对称点，作D关于的对称点，连接，则的周长为，即当共线时，取最小值；进而求得，然后求费用的取值范围即可． 【详解】（1）解：设点到的距离为h， ∵的面积为， ∴，解得：米． ∴点到的距离为米． 故答案为：． （2）解：设， 根据题意可得：该方案所需篱笆费用，，即， ∵， ∴， ∴该方案所需篱笆费用的最小值元． （3）解：如图：作D关于的对称点，作D关于的对称点，连接， ∴， ∴的周长为， ∴当共线时，取最小值， ∵， ∴点C在上，即共线， ∴， ∵， ∴， ∴． 59．在一次数学活动课上，老师要求同学以“折纸中的数学”为主题开展折纸活动．如图1，在长方形纸片中，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点落在点处；再将沿折叠，使点落在点处，且，，三点在同一条直线上． (1)求的大小； (2)图2是由图1得到的四边形纸片，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，，，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据折叠的性质得出，，根据平角的定义，即可求解； （2）由（1）可知：，根据折叠的性质设，，根据平角的定义可得，，解方程求出，，结合四边形的内角和是，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，由图形折叠的特征可得：，， ， ， ． （2）解：如图2： 由（1）可知：， 设，， 则，， ∵，， 故，， 解得，， 在四边形中，， 在四边形中，． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04图形的轴对称及画轴对称图形期中复习讲义 1.识别轴对称图形与两个图形成轴对称，能找出对称轴、对应点、对应线段与对应角，掌握轴对称的性质：对称轴垂直平分对应点连线，对应线段、对应角相等。 2.掌握画轴对称图形的方法：确定关键点，作出关键点关于对称轴的对称点，依次连接对称点画出完整轴对称图形。 3.掌握平面直角坐标系中点关于 x 轴、y 轴对称的坐标变化规律，能根据坐标求对称点，也能根据对称点坐标判断对称轴。 4.能利用轴对称性质解决线段相等、角度计算、最短路径基础题型。 5.区分 “轴对称图形” 和 “两个图形成轴对称” 两个概念，理清二者联系与区别，规避概念混淆的易错点。 6.会利用轴对称进行简单图案分析，能结合轴对称性质进行简单几何推理。 题型 考察方向 难度 题型一 轴对称图形的识别 ★ 题型二 成轴对称的两个图形的识别 ★ 题型三 根据成轴对称图形的特征进行判断 ★★ 题型四 根据成轴对称图形的特征进行求解 ★★ 题型五 台球桌面上的轴对称问题 ★★★ 题型六 轴对称中的光线反射问题 ★★★ 题型七 折叠问题 ★★★ 题型八 线段垂直平分线的性质 ★★ 题型九 线段垂直平分线的判定 ★★ 题型十 作已知线段的垂直平分线 ★ 题型十一 作垂线 ★ 题型十二 求对称轴条数 ★ 题型十三 坐标系中的对称 ★★ 题型十四 坐标与图形变化 —— 轴对称 ★★ 题型十五 线段问题 ★★★★ 题型十六 面积问题 ★★★★ 题型十七 角度问题 ★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:轴对称相关概念 1. 两个概念区分 名称 定义 关键点 轴对称图形 一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合 单个图形，直线为对称轴 成轴对称（两个图对称） 两个图形沿一条直线对折后完全重合 两个独立图形，直线是对称轴 联系：把成轴对称的两个图形看成整体就是轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴拆分，两部分成轴对称。 2.轴对称图形与轴对称 对比维度 轴对称图形 两个图形成轴对称 研究对象 一个图形 两个图形 本质 图形自身的对称属性 两个图形的位置关系 图示 知识点02: 轴对称核心性质（解题根本，必熟记） 对应点所连线段被对称轴垂直平分。 对应线段相等，对应角相等。 对称轴是任意一对对应点连线的垂直平分线。 是轴对称图形,对称轴为直线I. 则:线段AC=DF,AB=ED,BC=EF 对应角: 对称轴I垂直对应点连线BE,且交点O是BE的中点. 知识点03:常见图形的对称轴（高频考点） 图形 对称轴条数 对称轴位置 角 1 条 角平分线所在直线 等腰三角形 1 条 底边上的高（中线 / 顶角平分线）所在直线 等边三角形 3 条 各边上的高（中线 / 内角平分线）所在直线 长方形 2 条 过对边中点的直线 正方形 4 条 过对边中点的直线、对角线所在直线 等腰梯形 1 条 过上、下底中点的直线 圆 无数条 过圆心的任意直线 知识点04:线段的垂直平分线（中垂线） 1. 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 几何语言： ∵ 直线 MN⊥AB 于点 O，且 AO=BO，∴ 直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线。 2.性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 线上点到线段两端距离相等 ∵ 点 P 在 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ∵ PA = PB∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 知识点05:点的对称变换坐标变化 设点 P (x，y) 对称方式 对称点坐标 变化规律 关于 x 轴对称 (x，–y) 横坐标不变，纵坐标变相反数 关于 y 轴对称 (–x，y) 纵坐标不变，横坐标变相反数 关于原点对称 (–x，–y) 横、纵坐标全部变相反数 知识点06:高频易错点汇总 易错类型 错误表现 正确结论 避坑提示 概念混淆 分不清轴对称图形、两个图形成轴对称 一个图→轴对称图形；两个图→轴对称 审题先看图形个数 垂直平分线误用 只说距离相等，不提垂直平分 对称轴垂直平分对称点连线，两个条件缺一不可 证明必须同时写垂直、平分 坐标对称写错 x 轴对称改变横坐标，y 轴对称改变纵坐标 x轴：x不变；y轴：y不变 牢记口诀 x 同 y 反，y 同 x 反 作图遗漏 只画部分顶点对称点，漏顶点 多边形每个顶点都要找对称点再连线 作图前标记全部端点 对称轴判断 认为对称轴是线段 对称轴是直线，可向两端无限延伸 画图时对称轴画虚线直线 题型一：轴对称图形的识别 1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列图形中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，将这四个全等的直角三角形无缝隙、无重叠地拼接在一起，能拼接成四边形且是轴对称图形的个数（    ） A． B． C． D． 题型二：成轴对称的两个图形的识别 4．观察下图，其中不成轴对称的是（    ） A． B． C．D． 5．下列的图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是（　　） A．   B．   C．   D．   6．如图，已知点，，，在一条直线上，并且，那么这两个全等三角形属于全等变换中的___． 题型三：根据成轴对称图形的特征进行判断 7．如图，线段与关于直线对称，连与直线相交于点，则线段______（填＞、、）． 8．如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 9．如图是通过折纸制作五角星的过程，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 题型四：根据成轴对称图形的特征进行求解 10．如图，四边形是轴对称图形，直线是它的对称轴，，则________． 11．如图，与关于直线对称，若，，则________． 12．如图，点P在内，点P关于的对称点分别为E，F，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 题型五：台球桌面上的轴对称问题 13．如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 __点． 14．如图，球桌上有，两个桌球，若要将球射向球桌的一边，反弹一次后击中球，则球应射向，，，四个点中的点_____ ． 15．如图，动点P从出发，沿所示的方向运动，到时记为第一次反弹，以后每当碰到矩形的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角．那么点P第2019次反弹时碰到矩形边上的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 题型六：轴对称中的光线反射问题 16．如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则_________． 17．光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为______． 18．我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某 V 型路口放置如图所示的两个平面镜，，两个平面镜所成的夹角为，位于点 D 处的甲同学在平面镜 中看到位于点A处的乙同学的像，其中光的路径为入射光线 经过平面镜反射后，又沿射向平面镜，在点 C 处再次反射，反射光线为，已知入射光线，反射光线 ，则等于（    ） A． B． C． D． 题型七：折叠问题 19．将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 20．将一个长方形纸条折叠两次，第一次将长方形纸条向上翻折，记点，的对应点分别为，，折痕为，且交于点(如图1)；第二次将四边形沿向下翻折，记，的对应点分别为， (如图2) ． 若， 则_______． 21．将一张长方形纸片按如图步骤①和②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开平铺后的图形是（     ） A． B． C． D． 题型八：线段垂直平分线的性质 22．在布置校园艺术节的场地时，工作人员要在表演场地内部放置一个音响，为了让音响的声音均匀覆盖三个顶点处的表演区域，要求音响到三个顶点的距离相等，则这个音响应放在的（     ） A．三条中线的交点处 B．三条高线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 23．如图，等腰的腰长为8，底边的长为5，腰的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则的周长为（     ） A．13 B．12 C．11 D．16 24．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点，，，则______． 题型九：线段垂直平分线的判定 25．如图所示的仪器中，．小州把这个仪器放在直线l上，使点落在直线l上，作直线，则，其中蕴含的道理是__________ 26．如图，在中，，垂足为D，PQ是BC边的垂直平分线，交BC于点Q，交AC于点P，．若的周长是，，则的长是_______． 27．如图，在五边形中，，，在直线，上分别找一点，，使得的周长最小，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 题型十：作已知线段的垂直平分线 28．下列尺规作图是作线段的垂直平分线的是（     ） A． B． C．D． 29．如图，在中，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交边于点，连接，若，，则的长为________． 30．在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．只有① 题型十一：作垂线 31．如图，已知线段，利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点和点为圆心、相同长度为半径作弧，两弧分别相交于点和点；②作直线．则直线就是线段的垂直平分线．下列各数中，的值可能是（     ） A． B． C． D． 32．如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交于点D，E．若，的周长为，则的周长为______．    33．如图，已知点和直线，过点作的垂线，步骤如下： 第一步：以点为圆心，为半径作弧，交直线于点，； 第二步：分别以点，为圆心，为半径作弧，两弧交于点； 第三步：作射线交于点． 关于，，下列说法正确的是（    ） A．的长有限制，的长无限制 B．的长无限制，的长有限制 C．，的长均无限制 D．，的长均有限制 题型十二：求对称轴条数 34．下面的四个图形中，对称轴条数最多的是（     ） A． B． C．D． 35．中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列4个选项中分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材埋壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中是轴对称图形，有且只有一条对称轴的是（     ） A． B． C．D． 36．一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折2次后，可以得3条折痕，那么对折4次可以得到______条折痕． 题型十三：坐标系中的对称 37．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是_______________． 38．如图，在平面直角坐标系中，是轴对称图形，对称轴为直线，若点的坐标为，则点关于对称轴的对称点的坐标为_______________． 39．如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（  ） A． B． C． D． 题型十四：坐标与图形变化 —— 轴对称 40．已知点与点关于轴对称，则的值为_____． 41．在平面直角坐标系中，已知点和点关于轴对称，则代数式的值为（    ） A． B．4 C．2 D．1 42．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，P为y轴上一动点，且A，B，P三点不在同一条直线上，连接．当的周长最小时，点P的坐标为______． 题型十五：线段问题 43．如图所示，已知是内的一点，点，分别是点关于，的对称点，与，分别相交于点，，已知，则的周长___．    44．某区计划在公路旁修建一座新能源汽车充电站，使充电站到、两个小区之间的距离之和最短的方案是（     ） A． B． C． D． 45．如图，在直角三角形中，度，，动点M在线段上运动（不与端点重合），点关于边的对称点分别为，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是___________． 题型十六：面积问题 46．如图，点P为内部任意一点，点P、关于对称，点P、关于对称,，则的面积为__________． 47．如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为______ ． 48．如图，是正六边形的两条对称轴，将该正六边形先竖直向上平移个单位长度，再水平向左平移个单位长度后，将正六边形分成了①，②，③，④四个区域，①，②，③，④的面积分别记为，若，则____________． 题型十七：角度问题 49．如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为________．    50．如图，在中，，于点D，，点B关于CD对称的点是点E，则的度数大小为___________． 51．如图，点P为内一点，分别作出点P关于、的对称点、，连接交于M，交于N．若，则______． 解答题 52．如图，已知四边形．请你用尺规作图法在边上找一点，使得点是的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 53．已知，在中，． (1)_________°； (2)如图1，若点D是线段上一点，连接，过点B作，连接和，若，求证：； (3)如图2，M为射线上一点，N为射线上一点，且始终满足，过点C作的垂线交的延长线于点P，连接，求证： 54．如图，在中，，，，将沿方向平移至的位置，连接．点从点出发，沿折线的方向以每秒的速度向终点运动，设点的运动时间为秒． (1)_________；_________；与的位置关系是_________． (2)当点在上运动（不与点重合）时，的长为_________．（用含的代数式表示） (3)连接，当将四边形的周长分成两部分时，求的值． (4)作点关于直线的对称点，当点在直线的上方时，连接，当与四边形的边垂直时，直接写出的度数． 55．综合与探究 物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角叫作入射角，反射光线与法线的夹角叫作反射角（如图1）．在反射现象中，入射光线、反射光线和法线都在同一个平面内；入射光线和反射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 【初步探究】 如图2，已知镜子与镜子互相平行，入射光线经过两次反射后的反射光线为． (1)若，则_____________，_____________； (2)猜想入射光线与反射光线的位置关系，并证明； 【应用探究】 (3)如图3，有一口古井，将镜面的一端放置在水平地面上，若入射光线与镜面的夹角为，如何放置平面镜（即度数为多大时），可使反射光线正好垂直照射到井底（与水平地面垂直）？ 56．【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容 如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，． （1）若，则； （2）的余角是_________； 【学科融合】 物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律（rfectionlaw）． 【数学推理】 （3）如图1，有两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：．在这样的条件下，求证：． 【尝试探究】 （4）两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．如图2，光线与相交于点，则_________；（用含有字母的式子表示） 57．如图，在平面直角坐标系中，，，，直线m（直线m上所有点的横坐标均为）． (1)在图中作出关于直线m对称的，并求出的面积； (2)线段交x轴于D点，直接写出点D关于直线m对称点的坐标________； (3)线段上有一点，直接写出点M关于直线m对称点的坐标________． 58．某小区有一块休闲空地，其形状为直角，，米，米，米．社区计划在这块空地上种植花卉，为此设计了两种围三角形篱笆的方案．已知白色篱笆每米20元，金色篱笆每米30元． (1)先测算空地的基础数据，点到的距离为_____米； (2)方案一：若准备围出一块三角形区域种月季，如图1，分别在，边上取点，，围成，使得的面积为2平方米，且边用白色篱笆，边用金色篱笆，边不用篱笆，求该方案所需篱笆费用的最小值； 参考公式：对任意正实数，，有下列式子成立：；（当且仅当时取等号）． (3)方案二：若准备围出一块三角形区域种雏菊，如图2，分别在，，边上取点，，，围成，各边均使用白色篱笆，求该方案所需篱笆费用（元）的范围． 59．在一次数学活动课上，老师要求同学以“折纸中的数学”为主题开展折纸活动．如图1，在长方形纸片中，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点落在点处；再将沿折叠，使点落在点处，且，，三点在同一条直线上． (1)求的大小； (2)图2是由图1得到的四边形纸片，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，，，求的大小． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $