安徽省颍上第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

安徽省颍上一中2024-2025学年高一年级上期 12月月考数学试题 （考试总分：150 分 考试时长： 120 分钟） 一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分） 1.（5分）已知a，，则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.（5分）若不等式的解集为，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 3.（5分）未找到试题题干 4.（5分）关于x的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数 a的取值范围是( ) A.或 B. C. D. 5.（5分）已知，，，则a，b，c的大小关系为( ) A. B. C. D. 6.（5分）若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.（5分）定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 8.（5分）已知，，，则实数m的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、 多选题 （本题共计3小题，总分18分） 9.（6分）已知甲、乙两城相距80km，两个旅行者分别骑自行车和摩托车从甲城到乙城，他们所行驶的路程和时间的函数关系如图所示，有人根据此图，提出了如下观点，其中正确的观点有( ) A.骑自行车者和骑摩托车者都是变速运动 B.骑自行车者比骑摩托车者早出发3h,晚到1h C.骑摩托车者在出发后追上了骑自行车者 D.骑摩托车者在出发后与骑自行车者速度一样 10.（6分）已知函数，若，且，则( ) A. B. C.的取值范围是 D.的取值范围是 11.（6分）函数在上有定义，若对任意，，有，则称在上具有性质下列命题正确的有( ) A.函数在上具有性质P B.若在上具有性质P,则在上也具有性质P C.若在上具有性质P,且在处取得最大值1,则, D.对任意,,,,若在上具有性质P,则恒成立 三、 填空题 （本题共计3小题，总分15分） 12.（5分）已知a，b均为正实数，且，则的最小值为_____. 13.（5分）已知函数，若，且，则的取值范围是_____. 14.（5分）已知定义在上的函数同时满足下列三个条件： ①； ②对任意都有； ③时，则不等式的解集为_____. 四、 解答题 （本题共计5小题，总分77分） 15.（13分）设函数是定义在上的函数，若存在，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为上的单峰函数，称为峰点，称为含峰区间. (1)判断下列函数中，哪些是上的单峰函数？若是，指出峰点；若不是，说出原因. ①，②； (2)若函数是区间上的单峰函数，求实数a的取值范围. 16.（15分）已知是定义在R上的奇函数. (1)求a的值; (2)若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数t的取值范围. 17.（15分）《普通高中数学课程标准年版2020年修订》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数.然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻. (1)试利用对数运算性质计算的值; (2)已知x，y，z为正数，若，求的值; (3)定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是试判断的位数注 18.（17分）某学校计划在半径为2的半圆形广场规划一等腰梯形绿化，等腰梯形 ABCD下底边AB为半圆直径，C、D在圆周上. (1)写出这个梯形周长y与腰长x的函数解析式，并求出它的定义域; (2)当所截梯形的周长最大时，用一条垂直于底边垂足为的直线l从左至右移动与梯形ABCD有公共点时，直线 l把梯形分成两部分，若左边部分的面积为时，求 AF的长. 19.（17分）列奥纳多达芬奇是意大利文艺复兴三杰之一.他曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中a为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为 (1)证明： (2)求不等式：的解集; (3)函数的图象在区间上与x轴有2个交点，求实数m的取值范围. 答案 一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分） 1.（5分）【答案】A 【解析】解：等价于或， “”可以推出“”， 反之“”不能推出“”， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选： 2.（5分）【答案】B 【解析】解：由不等式的解集为，知，且方程的两根为1和3， 由根与系数的关系得，，即，， 于是不等式，即， 即且，解得或 故选 3.（5分）【答案】C 【解析】解：函数的定义域为，关于原点对称， 且， 所以为偶函数，其图象关于y轴对称，故A错误； 当时，，， 则，故B，D错误. 故选： 4.（5分）【答案】C 【解析】解：方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3， ，解得， 所以实数a的取值范围是 故选 5.（5分）【答案】C 【解析】解：因为， 则a为函数与交点的横坐标， 作数函数与的图象，如图所示： 由图象可知，， 所以，即， 则，即， 所以 故选 6.（5分）【答案】B 【解析】解：函数在区间上是增函数， 在其定义域上为增函数， 在上单调递增， 且， 解得 故选： 7.（5分）【答案】B 【解析】解：由题意得 又， 设，则在区间上单调递减 又 当时，即即 故不等式的解集为 8.（5分）【答案】C 【解析】解：因为，， 则， 所以， 又， 可得， 令， 则原题等价于，， 即， 因为， 当时，取到最大值， 所以实数m的取值范围是. 故选 二、 多选题 （本题共计3小题，总分18分） 9.（6分）【答案】BC 【解析】解：骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线段，所以是匀速运动， 而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线段，所以是变速运动，故 A不正确; 由时间轴上，自行车、摩托车对应函数的起止点所对应的时间值，知 B正确； 两条曲线的交点的横坐标对应着，结合图象知 C正确； 由C知，摩托车在出发后迎上自行车，而它们的车速不同，故D错误. 故选： 10.（6分）【答案】BCD 【解析】 解：函数的图象如图所示，设 由图可知，当时，直线与函数的图象有4个交点， 4个交点横坐标分别为 由关于直线对称，得，故A错误； 由，得，故B正确； 由图可知，则，故C正确； 由图可知，即，得， 则，故D正确. 11.（6分）【答案】ACD 【解析】解：对于A，对任意，，有， 即成立， 故函数在上具有性质P，故A正确； 对于B，如函数在上满足性质P， 但函数在上不满足性质P，故B不成立； 对于C，在上，， 所以， 所以对任意上，成立，故C成立； 对于D，对任意， ，故D成立. 故选 三、 填空题 （本题共计3小题，总分15分） 12.（5分）【答案】 【解析】解：， ， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 13.（5分）【答案】 【解析】解：画出的图象， 当时，单调递增，且， 当时，单调递增，且， 令，解得，令，解得， 若，且，则，，， 所以，， 当时，取得最小值，最小值为， 又时，，时，， 故 故答案为： 14.（5分）【答案】 【解析】解：设， 因为当时，， 则， ， 在上为减函数. 令得， 不等式， 可得， 解得 故答案为： 四、 解答题 （本题共计5小题，总分77分） 15.（13分）(1)由题意，函数，可得开口向下，且对称轴方程为， 所以函数在上单调递增，在区间上单调递减， 函数在区间是单峰函数，且是函数的峰点； 函数的定义域为，且在定义域上为单调递增函数， 所以函数不是单峰函数，无峰点. (2)若函数是区间上的单峰函数， 则， 则实数a的取值范围 16.（15分）(1)是定义在R上的奇函数， ， ，经检验符合题意； (2)在R上单调递增， 在上的值域为， ， 关于x的方程有两个不相等的正实根， ， 故t的取值范围为： 17.（15分）(1)原式 (2)由题意知，令，则， 所以，，， 所以 (3)设，则，又， 所以， 所以，则， 所以的位数为 18.（17分）(1)过D作于E，设， 则， 即， 所以，则， 所以， 由于，， 所以，即定义域为 所以所求函数为，； (2)由知，， 一元二次函数的对称轴为， 所以当时，周长最大，此时等腰梯形的底角为， 令， 所以， ， 代入检验得，， 得此时 19.（17分）(1)证明： (2)因为，恒成立，故是奇函数， 又因为在R上单调递增，在R上单调递减， 故是R上的单调递增函数， 所以，即， 所以，解得，即所求不等式的解集为； (3)因为函数的图象在区间上与x轴有2个交点， 所以，在有2个实数根， 所以在有2个实数根， 令，易知，在上单调递增，所以， 则， 令，由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又，，，作函数草图如图， 当时，函数与有两个交点， 即函数的图象在区间上与x轴有2个交点， 所以，即 学科网（北京）股份有限公司 $$