安徽宣城市宁国中学2026-2027学年高一上学期语数英对抗赛数学试题

安徽省宁国中学 2026 级高一年级语数英对抗赛 数学试题 满分：150 分　　时间：120 分钟 参考答案与解析 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合 ，，则 的子集的个数（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出 ，再用“含 个元素的集合有 个子集”计算． 【解答】因为 ，，所以 ． 含 个元素，其子集个数为 ．故选 C． 2．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题：把“”改为“”，并把结论否定． 【解答】原命题是存在量词命题，其否定为“，”．故选 D． 3．已知集合 ，集合 ，，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】阴影部分是“属于 且不属于 ”的元素，即 ． 【解答】由 得 或 ． 所以 或 ．故选 B． 4．一个函数图象如右图所示，其对应的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图象的对称性、垂直渐近线的位置和 处是否光滑逐项排除． 【解答】图象关于 轴对称，说明函数是偶函数，而 不是偶函数，排除 D； 是图象的两条垂直渐近线，说明分母在 处为零，排除 A； 图象在 处不光滑（有一个尖点），说明解析式中含 ，排除 B．故选 C． 5．已知函数 是定义在 上的奇函数， 则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】奇函数的定义域关于原点对称，且 ；再按奇函数的性质 求值． 【解答】因为 是定义在 上的奇函数，所以定义域关于原点对称， 即 ，解得 ，定义域为 ． 又奇函数的图象过原点，所以 ，得 ． 于是 ，由 为奇函数得 ．故选 A． 6．已知幂函数 （）的图象关于 轴对称，且与 轴、 轴均无交点， 则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】幂函数的系数为 ；关于 轴对称说明指数为偶数；与两坐标轴都无交点说明指数小于 ，由此确定 ． 【解答】由 是幂函数得 ，即 ． 因为图象关于 轴对称，所以指数 为偶数； 又图象与 轴、 轴均无交点，所以 ，即 ． 又 且 ，只需检验 ：只有 时 为偶数，故 ． 所以 ，，符合题意，故 ．故选 C． 7．已知关于 的不等式 的解集为 ， 则不等式 的解集为（　　） A． B． 或 C． D． 或 【答案】B 【分析】解集的端点是相应方程的两根，用韦达定理求出 ，，再解第二个不等式． 【解答】由解集为 知 ，且 ， 是方程 的两根． 由韦达定理，，得 ； ，得 ． 所以不等式 即 ，解得 或 ．故选 B． 8．已知关于 的不等式组 仅有一个整数解，则 的值可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解第一个不等式，再把第二个不等式分解为 ，按两根大小分类，用数轴数整数点，最后逐项检验． 【解答】由 得 或 ． 又 ，其两根为 与 ． 当 时，解集为 ，与 的交集为 ，其中恰有一个整数解当且仅当 ，即 ； 当 时，解集为 ，它与 的交集含于 ，其中唯一的整数是 ，且 在解集中当且仅当 ；它与 的交集为空． 所以 的可能取值为 或 ．逐项检验： 时解集为 ，无整数解； 时为 ，无整数解； 时为 ，无整数解； 时为 ，恰含整数 ，符合题意．故选 D． 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．不等式 成立的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】BD 【分析】“充分不必要”即所给条件能推出不等式成立，而不等式成立不能推出该条件，也就是条件对应的集合是不等式解集的真子集． 【解答】由 得 ，解集为 或 ． A： 时 ，不满足，A 错； B：，， 都满足不等式，而 满足不等式却不在 中，所以 B 是充分不必要条件，B 正确； C：该条件与解集完全相同，是充要条件，C 错； D： 时不等式成立，而 满足不等式却不满足 ，所以 D 是充分不必要条件，D 正确．故选 BD． 10．对任意两个实数 ，定义 若 ，，下列关于函数 的说法正确的有（　　） A．函数 是偶函数 B．函数 有四个单调区间 C．函数 的最小值为 ，无最大值 D．方程 有四个不同的根 【答案】ABC 【分析】先解 找出分界点，写出 的分段表达式，再逐项判断． 【解答】令 ，设 ，则 ，即 ，，得 ，故 ． 所以当 时 ；当 时 ． 即当 时 ；当 时 ． A：， 是偶函数，A 正确； B： 在 上递减，在 上递增，在 上递减，在 上递增，共四个单调区间，B 正确； C：当 时 ；当 时 ，故最小值为 ；又 时 ，无最大值，C 正确； D： 时， 得 ； 得 ，共 个根，D 错．故选 ABC． 11．若 ， 均为正数，且满足 ，则下列命题正确的是（　　） A． 的最大值为 B． 的最小值为 C． 的最小值为 D． 的最小值是 【答案】ABD 【分析】由 消元 （），或直接用基本不等式；含分式的选项先通分再估计． 【解答】A：，当 ，即 ， 时取等，A 正确； B：，，，B 正确； C：由 得 ，又 ，所以 ，最小值不是 ，C 错； D：，当 时取等，最小值是 ，D 正确．故选 ABD． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．若命题“，”为真命题，则 的取值范围是 ________． 【答案】 【分析】存在 使方程有解，等价于判别式非负． 【解答】命题为真，即方程 有实数根，所以 ，解得 ． 13．若函数 ，则 ________． 【答案】（） 【分析】用换元法：令 ，注意 的取值范围． 【解答】令 ，则 ，，． 所以 ，即 （）． 14．已知 ，，则 的最小值为 ________． 【答案】 【分析】把条件移项分解为 ，再整体换元，用基本不等式． 【解答】由 得 ，即 ． 因为 ，所以 ，．令 ，，则 ． 又 ， 当且仅当 ，即 ，，此时 ，，取等号． 所以 的最小值为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分． 15．（13 分）已知集合 为全体实数集， 或 ，． （1）若 ，求 ； （2）若 ，求实数 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 或 【分析】（1）先写出 ，再与 求交集；（2）按 与 分类，后者用区间端点列不等式． 【解答】（1）当 时，；由 得 ，故 ． （2）当 ，即 时，， 成立； 当 ，即 时，，要使 ，需 或 ，即 或 ，结合 得 ． 综上， 或 ． 16．（15 分）已知函数 （1）求 ，； （2）若 ，求实数 的值； （3）在所给的坐标系中作出函数 在 区间内的图象，并写出最大值与最小值． 【答案】（1），；（2） 或 ；（3）图见解析，最大值为 ，最小值为 【分析】（1）由内向外代入，注意每段的自变量范围；（2）分 与 两种情况解方程并检验；（3）分段作图，端点处注意取闭、开． 【解答】（1）因为 ，所以 ． 因为 ，所以 ， 又 ，所以 ． （2）当 时，，解得 ，满足 ； 当 时，，即 ，解得 ， 其中 舍去， 符合题意． 所以 或 ． （3）当 时，图象是线段 （含端点 ，）； 当 时，图象是抛物线 的一段（不含 处的点 ，含点 ），顶点为 ． 由图象可得， 的最大值为 （在 或 处取得），最小值为 （在 处取得）． 17．（15 分）数字经济在应用层面，包括“新零售”“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等． 现有一人工智能企业生产制造人形机器人． （1）若每月的成本 （单位：万元）由两部分构成：①固定成本： 万元；②材料成本： 万元（ 为每月生产人形机器人的个数）．该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ （2）若每个人形机器人的售价为 万元，可以售出 个人形机器人，据市场调查，人形机器人的单价每降低 万元，销售量就增加 个，则该企业应如何定价才能使降价后的销售总收入不低于 万元？ 【答案】（1）每月生产 个时平均成本最低，最低为 万元；（2）定价应在 万元到 万元之间（含端点） 【分析】（1）写出平均成本函数，用基本不等式求最小值；（2）设降价 万元，列出收入关于 的不等式． 【解答】（1）设平均每个人形机器人的成本为 万元，则 ， 当且仅当 ，即 时取等号． 所以每月生产 个人形机器人时，平均每个人的成本最低，最低为 万元． （2）设单价降低 万元（），则售价为 万元，销售量为 个， 销售总收入为 万元．由题意 ， 整理得 ，即 ，解得 ． 所以售价 ，即定价应在 万元到 万元之间（含端点）． 18．（17 分）已知函数 为奇函数，其函数图象经过点 ． （1）求 ， 的值； （2）证明：函数 在区间 上单调递增； （3）若命题“，，，”为真命题，求实数 的取值范围． 【答案】（1），；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）由奇函数定义比较系数求 ，再代点求 ；（2）用作差法，分解因式后判断符号；（3）把“恒成立”转化为 的最值比较，注意 的取值范围． 【解答】（1）．因为 为奇函数，所以 ， 即 ，比较得 ，． 又图象过点 ，所以 ，． （2）由（1）得 ．设 ，则 ． 因为 ，所以 ，，， 从而 ，即 ． 所以 在 上单调递增． （3）由（2）知 在 上单调递增，所以 ． 又 ，所以 ．命题为真，即对任意 都有 ． 而 等价于 ，即 ，解得 ． 所以 ，即 且 ，故 ． 19．（17 分）设集合 由全体二元有序实数组组成，在 上定义一个运算，记为 ，对于 中的任意两个元素 ，，规定：． （1）计算：； （2）请用数学符号语言表述运算 满足交换律，并给出证明； （3）若“ 中的元素 ”是“，都有 成立”的充要条件，试求出元素 ． 【答案】（1）；（2），，证明见解析；（3） 【分析】（1）直接代入定义；（2）按定义展开 ，与 比较；（3）把恒等式按 ， 的系数比较，求出 ，． 【解答】（1）． （2）交换律可表述为：，，都有 ． 证明：，所以运算 满足交换律． （3）设 ，则对任意 ， 恒成立， 比较系数得 ，，所以 ． 检验：，，均成立． 故元素 ． 宁国中学 2026 级高一语数英对抗赛（数学）·答案 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省宁国中学 2026 级高一年级语数英对抗赛 数学试题 满分：150 分　　时间：120 分钟 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合 ，，则 的子集的个数（　　） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．已知集合 ，集合 ，，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A． B． C． D． 4．一个函数图象如右图所示，其对应的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 5．已知函数 是定义在 上的奇函数， 则 的值为（　　） A． B． C． D． 6．已知幂函数 （）的图象关于 轴对称，且与 轴、 轴均无交点， 则 （　　） A． B． C． D． 7．已知关于 的不等式 的解集为 ， 则不等式 的解集为（　　） A． B． 或 C． D． 或 8．已知关于 的不等式组 仅有一个整数解，则 的值可能为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．不等式 成立的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． 或 D． 10．对任意两个实数 ，定义 若 ，，下列关于函数 的说法正确的有（　　） A．函数 是偶函数 B．函数 有四个单调区间 C．函数 的最小值为 ，无最大值 D．方程 有四个不同的根 11．若 ， 均为正数，且满足 ，则下列命题正确的是（　　） A． 的最大值为 B． 的最小值为 C． 的最小值为 D． 的最小值是 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．若命题“，”为真命题，则 的取值范围是 ________． 13．若函数 ，则 ________． 14．已知 ，，则 的最小值为 ________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）已知集合 为全体实数集， 或 ，． （1）若 ，求 ； （2）若 ，求实数 的取值范围． 16．（15 分）已知函数 （1）求 ，； （2）若 ，求实数 的值； （3）在所给的坐标系中作出函数 在 区间内的图象，并写出最大值与最小值． 17．（15 分）数字经济在应用层面，包括“新零售”“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等． 现有一人工智能企业生产制造人形机器人． （1）若每月的成本 （单位：万元）由两部分构成：①固定成本： 万元；②材料成本： 万元（ 为每月生产人形机器人的个数）．该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ （2）若每个人形机器人的售价为 万元，可以售出 个人形机器人，据市场调查，人形机器人的单价每降低 万元，销售量就增加 个，则该企业应如何定价才能使降价后的销售总收入不低于 万元？ 18．（17 分）已知函数 为奇函数，其函数图象经过点 ． （1）求 ， 的值； （2）证明：函数 在区间 上单调递增； （3）若命题“，，，”为真命题，求实数 的取值范围． 19．（17 分）设集合 由全体二元有序实数组组成，在 上定义一个运算，记为 ，对于 中的任意两个元素 ，，规定：． （1）计算：； （2）请用数学符号语言表述运算 满足交换律，并给出证明； （3）若“ 中的元素 ”是“，都有 成立”的充要条件，试求出元素 ． 宁国中学 2026 级高一语数英对抗赛（数学） 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $