7.2相似三角形的判定·第1课时两角分别相等课件 2026-2027学年苏科版数学九年级下册

7.2 相似三角形的判定 第1课时　两角分别相等的两个三角形相似 一、把结论倒过来问 我们知道，两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 反过来，当两个三角形满足怎样的条件时，它们就相似呢？ 全等三角形是相似三角形的特殊情形， 根据全等三角形的判定条件，你可以得到哪些猜想？ 先看全等怎么判　全等的判定用少量条件代替全部对应元素：SSS、SAS、ASA、AAS、HL. “角”和“边”各给几个，就够把形状和大小同时钉住. 相似只管形状、不管大小——条件应该比全等更少. 二、问题：两个角够不够 两个角分别相等的两个三角形是否相似？ 全等判定里最省的一组是“两角 + 一边”（ASA、AAS）. 现在连边都不给，只留两个角—— 大小已经不受控制，形状还管得住吗？ 先把话说清楚　“分别相等”指两组对应角都相等，不是一个角撞上一个角. 三、活动：作一个角等于已知角 如图 7-20，已知⁠，⁠. 用直尺和圆规作⁠，使⁠，⁠. 作法：作⁠，在它的边上截一段当⁠； 再在的同侧作⁠，两条边相交得点⁠. 作完发现两件事　取得长一点、短一点，都能作出来——这样的三角形有无数个. 可是把它们摆在一起看，形状几乎一模一样：“这些三角形看上去都相似.” 四、把“看上去”变成“证出来” 如图 7-21，在和中， ⁠，⁠. 假设⁠.在边上截取⁠， 过点作⁠，交边于点⁠. 这条辅助线妙在哪　一作，里就“切”出一个⁠， 它和必然相似（上一课时的结论）； 而⁠，又让它的大小刚好与对上. 是桥： 一头连相似，一头连全等. 四、证明：相似 → 全等 → 相似 于是，与对应角分别相等，对应边成比例， 所以⁠. 又⁠，可得⁠. 所以⁠. 又⁠，⁠，可得⁠， 所以⁠. 三步走　造相似（平行线）→ 证全等（ASA）→ 得相似（传递）. 五、判定定理 1 于是，我们得到相似三角形的判定定理 1： 两角分别相等的两个三角形相似. 符号语言： 在与中， ⁠，⁠， ⁠. 为什么两个角就够　三角形内角和是⁠：两个角定了，第三个角也跟着定了. 所以“两角分别相等”其实等于“三角分别相等”. 五、即时辨析 ①　到底是哪两个角 “分别相等”是两组对应角，缺一组都不算—— 1. 一个三角形有和的角，另一个有和的角.它们相似吗？ 2. 两个三角形都含一个的角.它们一定相似吗？ 方法点拨　第 1 题：第三个角分别是与⁠，两组对应角对不上，不相似. 第 2 题：只给一组角，另一个角可以随便变，形状也就随便变，不一定相似. 六、例 1：斜边上的高 例 1　如图 7-22，在 Rt中，⁠，为斜边上的高. （1）与相似吗？为什么？ （2）已知⁠，⁠.求的长. 找角：是两个三角形公共的角； 再加上⁠，两组对应角就齐了. 第（2）问从哪下手　相似已经把对应边写成了比：⁠. 把当成未知数，这个式子就是方程. 六、例 1（1）解答 （1）⁠.理由如下： 是斜边上的高， ⁠. 在和中， ⁠，⁠， （两角分别相等的两个三角形相似）. 写法上的两个要点　① 先按对应顺序写相似式：对⁠，对⁠，对⁠； ② 括号里注明依据，和全等证明一个规矩. 这里两组角是：与对应，与对应. 六、例 1（2）解答 （2）由（1）可得⁠， ⁠. ⁠. ⁠，⁠， ⁠. 得到的是一条常用结论　直角三角形中，——斜边一条直角边的平方， 等于这条直角边在斜边上的射影乘斜边. 算完别忘了验：⁠，确实比长、比短. 六、即时辨析 ②　反过来用这条式子 还是图 7-22 那个图形，换个已知条件—— 1. 若⁠，⁠，求的长. 2. 若⁠，⁠，求的长. 方法点拨　两问都回到⁠：第 1 题⁠，第 2 题⁠. 式子里三个量，知道两个就能求第三个——比式写对，剩下的只是算. 七、讨论：还有哪些相似三角形 图 7-22 中还有哪些相似三角形？ 与⁠：公共角⁠，再加一对直角； 与⁠：⁠， 且⁠. 记住这个图形　直角三角形 + 斜边上的高 = 三对相似：⁠. 考试里只要见到“双垂直”，先把这三对写出来. 八、课本练习（第 1 题） 1. 如图，在和中，⁠， ⁠，⁠.与相似吗？为什么？ 先算第三角　⁠， 正好与相等，两角已经对上了. 判定时挑哪两个角都行，只要成对：与⁠、与⁠. 八、课本练习（第 2 题） 2. 如图，⁠.求⁠，的长. 给出⁠、⁠； 再加上对顶角——两组角就够了. 于是⁠，对应边是对⁠、对⁠. 别把对应边配错　沿相似式的字母顺序配： 配⁠，配⁠，配—— 与 是一对. 八、课本练习（第 3 题） 3. 如图，在中，⁠，点⁠，分别在边⁠，上， ⁠.与相似吗？为什么？ 先送一对底角：⁠. 但里没有——这对角用不上，得换一路. 抓公共角：与是同一个角的一部分， 把拆成试试. 一句话思路　要证⁠，已有的公共角是⁠， 还差一对：去证⁠. 九、课堂小结 判定定理 1　两角分别相等的两个三角形相似. 用处：把“形状相同”翻译成“对应边成比例”，从此可以算长度. 1. 找角有套路：公共角、对顶角、平行线带来的同位角与内错角、同角的余角. 2. 两个直角也是“一对相等的角”，双垂直图形里最好用. 3. 写相似式要按对应顺序，配对应边才不会错. 4. 证完相似，下一步多半是列比例式算长度. 方法上的一句话　证明的关键是那条辅助线：把里切出一个⁠， 让它既与相似、又与全等. 陌生的问题，就这样被化成了两道会做的题. 十、拓展：两角相等有多好用 相似形的系统研究，见古希腊欧几里得《几何原本》第 6 卷； 那里给出的第一个命题，正是“等高的三角形面积之比等于底之比”， 而它靠的仍是相似的判定. 中国古算走的是另一条路：刘徽注《九章算术》，创“重差术”， 用两根表竿、几次测望，借相似三角形的对应边成比例， 算出海岛的高与远——这一方法后来单独成书，就是《海岛算经》. 看见联系　“两角分别相等”这条判据，是测高、测远、绘图、制图的共同地基. 十一、下一站：只给一组角呢 我们已经知道，两角分别相等的两个三角形相似. 如果只知道两个三角形中有一组角是相等的，那么要判定两个三角形相似，还需要什么条件呢？ 类比判定三角形全等的条件：两边及夹角分别相等的两个三角形全等， 猜想：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 下一课时：把这个猜想证出来. 一句话带走　从“两角”到“两边夹一角”，判定定理 2 的猜法，和全等的 SAS 一模一样. $