精品解析：天津市滨海新区汉沽第一中学2026-2027学年高三第一次月考数学试卷

2026-2027年度汉沽一中高三年级数学月考（1）试卷 一、选择题：本题共9小题，共45分． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 又，. 2. 下列函数中，在区间上单调递减，且是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一验证各选项是否同时满足在区间上单调递减且为奇函数两个条件即可求解． 【详解】对A选项，的定义域为，， 既不满足也不满足，为非奇非偶函数，不符合要求，故A错误； 对B选项，的定义域为， 满足，是奇函数， 根据幂函数性质，在上单调递增，在上单调递增，不符合单调递减的要求，故B错误； 对C选项，的定义域为，关于原点对称， 满足，是奇函数， 由反比例函数的性质可知，在上单调递减，两个条件均满足，故C正确； 对D选项，的定义域为，定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，且根据对数函数性质，在上单调递增，不符合要求，故D错误． 3. 函数 的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用零点存在定理计算得到答案. 【详解】，易知函数单调递增， ，，故函数在上有唯一零点. 故选：B. 【点睛】本题考查了零点存在定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 4. 已知，则的值（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角三角函数之间的基本关系将弦化切代入可得结果. 【详解】由可得， 将分式的分子和分母同时除以可得， . 故选：A 5. 的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：因为由题可知函数的定义域x不为零，同时由于y=cosx是偶函数，y=lnx2是偶函数，那么可知是偶函数，满足f(-x)=f(x)，故排除选项C，D．对于选项A,B的选择，只要取靠近原点的一个x的值，看其函数值的正负便可以确定出答案,当x趋近与0,从右侧无穷趋近于零时，则可知对数值为负数，而函数f(x)的值为正数，因此排除B，选A. 考点：本题主要考查函数图像的表示和运用． 点评：解决该试题的关键是理解函数的定义域和值域以及函数的奇偶性和单调性的确定，同时要注意到特殊点的坐标对于图像的影响． 6. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， ， 在单调递增， ，且， ， ， ， 即. 7. 已知且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为8. 故选：D 8. 下列命题为真命题的是（ ） A. 命题：，，则命题的否定是：， B. “”是“”的充分不必要条件 C. 方程的两根都大于1的充要条件是 D. 是关于的不等式对一切实数恒成立的充要条件 【答案】B 【解析】 【分析】对A，直接求出命题的否定，即可判断A的正误；对B，利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解；对C和D，根据条件，直接求出和的取值范围，再结合充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】对于A，命题：，的否定为，，所以A错误， 对于B，当时，，当时，，即， 所以推不出，故“”是“”的充分不必要条件，所以B正确， 对于C，若方程的两根都大于1，则，解得，所以C错误， 对于D，若关于的不等式对一切实数恒成立，则或， 解得，所以是关于的不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件，故D错误. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则不正确的是（ ） A. B. 将的图象向右平移个单位，得到的图象 C. ，都有 D. 函数的单调递减区间为， 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象求出函数的解析式，利用三角函数的性质及函数的平移变换即可求解. 【详解】由图知，，即， 所以，由题意，根据为下降零点， 则，则， 又因为，所以， 所以的解析式为：， 对A，，故A正确； 对B，将的图象向右平移个单位，得的图象，故B错误； 对C，由三角函数的性质知，，所以，都有，故C正确； 对D，由，得， 所以函数的单调递减区间为，故D正确. 故选：B. 二、填空题：本题共6小题，共30分． 10. 已知复数（是虚数单位），则复数___________； 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以. 11. 若，且是第一象限角，则_______________． 【答案】## 【解析】 【详解】， 已知，且是第一象限角， 则． 12. 在中，，，，则__________． 【答案】## 【解析】 【详解】在中，，所以， 由正弦定理可得. 13. 求值：_______________． 【答案】##5.875 【解析】 【详解】 ． 14. 已知直角梯形中，，，，为上一点，且，若，其中，为实数，则_______；设点为线段上的动点，点为线段中点，则________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【详解】以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图所示. 由题意，故得，，，。 由，可得, 即,即， 由， 则,因此 因，设， 则，即， 又是的中点，，则 ,, 故. 15. 已知定义在R上的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，且f（﹣1）＝﹣1.若f（x﹣1）+1≥0，则x的取值范围是_____；设函数若方程f（g（x））+1＝0有且只有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为_____. 【答案】 ①. [0，2] ②. （﹣∞，﹣1]∪（3，+∞）. 【解析】 【分析】根据f（x）的奇偶性和单调性列不等式求出x的范围，根据g（x）的单调性和最值，分情况讨论最值和±1的关系，从而确定a的范围. 【详解】由f（x）是偶函数，且f（x）在上单调递增， 所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（1）＝f（﹣1）＝﹣1， 由f（x﹣1）+1≥0可得：f（x﹣1）≥f（1）， 所以﹣1≤x﹣1≤1，即0≤x≤2. 由f（g（x））+1＝0可得g（x）＝1或g（x）＝﹣1. 由函数解析式可知g（x）在（﹣∞，0]和（0，+∞）上均为增函数， 故当x∈（﹣∞，0]时，g（x）≤2﹣a，当x∈（0，+∞）时，g（x）＞﹣a， （1）若1＞2﹣a＞﹣1＞﹣a，则g（x）＝1有1解，g（x）＝﹣1有2解，不符合题意； （2）若2﹣a＞1＞﹣a＞﹣1，此时g（x）＝1有2解，g（x）＝﹣1有1解，不符合题意； （3）若﹣a≥1，则g（x）＝1有1解，g（x）＝﹣1有1解，符合题意； （4）若2﹣a＜﹣1，则g（x）＝1有1解，g（x）＝﹣1有1解，符合题意； （5）若2﹣a＝1，则g（x）＝1有2解，g（x）＝﹣1有1解，不符合题意； （6）若2﹣a＝﹣1，则g（x）＝﹣1有2解，g（x）＝1有1解，不符合题意； 综上，﹣a≥1或2﹣a＜﹣1，解得a≤﹣1或a＞3. 故答案为：[0，2]，（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞）. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，其中解答中根据函数的性质，得到函数的单调性和最值，合理分类讨论是解答的关键，着重考查分类讨论思想，以及推理与运算能力. 三、解答题：本题共5小题，共75分． 16. 在平面直角坐标系中，已知，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值； （3）求向量，的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 因为，，则，， 若，则，解得. 【小问2详解】 由题意可得：， 若，则，解得. 【小问3详解】 由题意可得：，，， 所以向量，的夹角的余弦值. 17. 已知函数． （1）求的最小正周期及对称轴； （2）求单调递增区间； （3）求在区间上的最大值、最小值及相应的的值． 【答案】（1）最小正周期为；对称轴为 （2）单调递增区间为 （3）当时取最大值3；当时取最小值0 【解析】 【分析】（1）将化简为，利用最小正周期公式求解，利用正弦函数的图像和性质求解； （2）利用正弦函数的图像和性质求解； （3）利用正弦函数的图像和性质求解； 【小问1详解】 ， ， 则的最小正周期为， ，解得，即， 则函数的对称轴方程为. 【小问2详解】 ， ， ， 则的单调递增区间为. 【小问3详解】 ，则， 当，即时，，则， 当，即时，，. 则在区间上的最大值为，此时，最小值为，此时. 18. 在△ABC中， 内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 已知 （1）求b的值; （2）求 sin C的值; （3）求 的值. 【答案】（1） （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求出得到，再利用余弦定理即可求解. （2）利用正弦定理即可计算求解. （3）先由倍角公式求出、，即可由两角差的余弦公式求. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理得，即， 所以， 由余弦定理，得到； 所以. 【小问2详解】 因为，所以； 由正弦定理，得到. 【小问3详解】 因为， ； 所以； 19. 已知函数． （1）求在处的切线方程； （2）求函数的单调区间与极值； （3）在区间上有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可知切点坐标为，切线斜率，即可得切线方程； （2）根据导数的符号可得函数的单调区间，根据单调区间即可得极值； （3）利用导数判断函数的单调性，结合零点存在性定理列式求解即可. 【小问1详解】 因为函数的定义域为，且， 则，，即切点坐标为，切线斜率， 所以在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 因为，且， 令，解得；令，解得； 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 极小值为，无极大值. 【小问3详解】 因为，， 则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则， 且，当趋近于时，趋近于， 若函数在区间上有两个零点， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 20. 设函数． （1）讨论的单调性； （2）若且函数有两个不同的零点，，且，证明：． 【答案】（1）当时，恒成立，故的增区间为，无减区间； 当时，的减区间为，增区间为. （2）当时，，则， 由题意，，是方程的两个不同实根， 令，则. ，令，得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 由，可知. ，等价于， 因为，所以，故只需证明. 要证，即证. 因为，，且在上单调递减， 故只需证，又，故只需证. ，， 所以在上单调递减，因此对任意，有 ，即，故. 因此，结合在上单调递减，得，即. 所以，即. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，就、分类讨论后可得函数的单调性； （2）先将零点问题转化为同一函数的函数值相等问题，构造辅助函数并分析其单调性，得到两根的分布范围；再对目标不等式作等价代数变形，将问题转化为证明；最后通过构造对称函数，利用导数判断新函数的单调性，结合单调性完成证明. 【小问1详解】 ，其中， 当时，恒成立，故的增区间为，无减区间； 当时，若，则； 若，则； 故的减区间为，增区间为. 综上，当时，恒成立，故的增区间为，无减区间； 当时，的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年度汉沽一中高三年级数学月考（1）试卷 一、选择题：本题共9小题，共45分． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，在区间上单调递减，且是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数 的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值（ ） A. B. C. D. 2 5. 的图像是（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8 8. 下列命题为真命题的是（ ） A. 命题：，，则命题的否定是：， B. “”是“”的充分不必要条件 C. 方程的两根都大于1的充要条件是 D. 是关于的不等式对一切实数恒成立的充要条件 9. 已知函数的部分图象如图所示，则不正确的是（ ） A. B. 将的图象向右平移个单位，得到的图象 C. ，都有 D. 函数的单调递减区间为， 二、填空题：本题共6小题，共30分． 10. 已知复数（是虚数单位），则复数___________； 11. 若，且是第一象限角，则_______________． 12. 在中，，，，则__________． 13. 求值：_______________． 14. 已知直角梯形中，，，，为上一点，且，若，其中，为实数，则_______；设点为线段上的动点，点为线段中点，则________． 15. 已知定义在R上的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，且f（﹣1）＝﹣1.若f（x﹣1）+1≥0，则x的取值范围是_____；设函数若方程f（g（x））+1＝0有且只有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为_____. 三、解答题：本题共5小题，共75分． 16. 在平面直角坐标系中，已知，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值； （3）求向量，的夹角的余弦值. 17. 已知函数． （1）求的最小正周期及对称轴； （2）求单调递增区间； （3）求在区间上的最大值、最小值及相应的的值． 18. 在△ABC中， 内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 已知 （1）求b的值; （2）求 sin C的值; （3）求 的值. 19. 已知函数． （1）求在处的切线方程； （2）求函数的单调区间与极值； （3）在区间上有两个零点，求的取值范围． 20. 设函数． （1）讨论的单调性； （2）若且函数有两个不同的零点，，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $