河南安阳市(文峰区,北关区)2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题A卷

HN202610 高二数学（A)答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色边框的答案无效 请在备题目的答题区域内作答，息出属色边框的答奚无败 藏 续15 17.(15分) 班级 姓名」 考号 座位号 考生号 上.答，务必先认真核对条形上的个人信息，无民后本人信息填写在 贴 相应位置： 条 注2时，金豪定用05毫的属色墨水字笔书写：睡时，可用28维笔 意 要清觉：择除时，必须用B铅笔一示范填涂。 形 事3会须在更皇局指示的答塑区道内作答，超出答语区域的若案无效：在草精 纸上谷夏无效 码 区 局涂放戒和修正福。 16.(15分) 此栏套填美口自温身月爬能海得，并周迹口圳综忘的：零纪， 选择题 itA1ta1tc】【D] 5IaJ【a】【c][DJ s【A】【B】【c1【oJ 2【a1【a】tc1D1 5【aJ【e】Ic1to1 10【a】【B】【c1【o】 3 tAl [al tc][o] 7t对ta1tc1tDj n【A】ta]【c】tD1 ◆ 非选择题 三、填空题 12 (5分) 13. (5分) 14 (5分) 四、解答题（刀分】 15.（13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出需色边框的答案无效 请在各题目的答意区域内作答，超出黑色边框的答案无效 数学(A】第1页共6页 数学【A】第2页共6页 数学(A】第3页共6页 亚9并蓝9当(】吉 9并9指【Y】专 路华落号的助平号苦阳器'号封中国习留昆似目留是丑题 省半苦号的鲜职司指吊母'曼卦女每习留品的目野号#想 场￥诺号的甜环每昌用避'号卦中每☒蹈最阳目蹈号丑奥 (书I)6I 61希 81海 (5I)8I 鑼 场￥落号白位号星口巴'是乡山马习圆昆阳目量号平垫 饰￥苏号阳碎每置用屏‘曼勃中哥习四是刚目雪号录热 等￥苏录卧体忌指甲画‘是卦山耳习赠是阳目留号丑根HN202610 高二数学(A)答案 一、选择题 1.答案D 命题透析本题考查空间向量的垂直及数量积运算， 解析因为a⊥b,所以a·b=1×2+(-1)×1+2×m=1+2m=0,解得m=- 2 2.答案B 命题透析本题考查直线的斜率和倾斜角. 解析设直线1的倾斜角为(0≤0<m).由题意可知，其斜率k=an0=万.解得0=号，即倾斜角为于 3.答案B 命题透析本题考查中点坐标公式和直线的两点式方程。 断因为AC的中点坐标为-号，习，所以4C边上的中线所在直线的方程为二(-3)S之》 、5 一(x- 24 4),整理，得7x+13y+11=0. 4.答案A 命题透析本题考查两条平行直线间的距离。 解析由两条直线平行，得6×入-2×3=0，解得入=1.所以l1:x+2y+3=0,即3x+6y+9=0.所以，与l2之 间的距离为-1-9！25 √32+6-3 5.答案B 命题透析本题考查两条直线垂直的充要条件 解析若l1⊥2，则(a2-3a+2)×1+2×(-1)=0,解得a=0或a=3.所以“直线4，与l2互相垂直”是“a=3” 的必要不充分条件！ 6.答案A 命题透析本题考查空间向量的应用. 解析以D为原点，DA,DC,DP所在直线分别为x轴y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设DC=3,则 D0,0.0),P(00,3),8(33,0),C(03,0),所以=(-3，-3,3).因为E是PC的中点，所以0，号2） 一1 则成=(-3，-子，)因为脉=号励，所以亦=成+脉=成+子励=(1,1,2).所以cs(,脑)= D市.B成 3、3 +3 D1B1√I+1+4×√9+ 9.9 、1 ，所以异面直线DF与BE所成角的余弦值为石 4 4 C○ 7.答案D 命题透析本题考查直线与圆的位置关系， 解析当LAPB=90时，因为∠PB0=∠PA0=90°，OA=OB,所以四边形PAOB是正方形，IOPI=√2.因为直 线1上存在满足题意的点P,所以点0到1的距离小于等于2，即2一≤2，解得k≤-1或k≥1. 2+I 8.答案C 命题透析本题考查由圆的方程反推点到两定点的距离之比 解析设C(x,y),则3≤x≤7.由题意，得y2=4-（x-5)2.所以1AC12=（x-1)2+y2=（x-1)2-(x-5)2+ 4=8x-20,1BC12=(x-4)2+y2=(x-4)2-(x-5)2+4=2x-5.所以1ACI2=41BC12,则1AC1=21BC1.所以 在△ABC中，由正弦定理，得n上CBA=S=2. Tsin∠CAB BC 二、选择题 9.答案AC 命题透析 本题考查空间向量的坐标运算. ,入=1， 解析对于A,若三个向量共面，则存在实数入，，满足c=Aa+b,即(1,1,0)=（入，u,A+u),得{u=1, 该 入+u=0, 方程组无解，即向量a,b,c不共面，所以|a,b,c构成空间的一个基底，故A正确. 对于B,因为a+b+c=(2,2,2),所以1a+b+cl=2√5，故B错误. 对于C.(n.)=高万文行分故c正确 对于D,(a+b)·c=(1,1,2)·（1,1,0)=2≠0，故D错误 —2 10.答案ABD 命题透析本题考查圆的一般方程，点与圆、直线与圆的位置关系，向量数量积的计算、 解析对于A,设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+E+F=0.将三个点的坐标分别代人，得 5D-E+F=-26, ,D=-4, 2D+2E+F=-8,解得E=2,所以圆C的一般方程为x2+y2-4x+2y-4=0,故A正确. -D-E+F=-2, lF=-4, 对于B,圆C的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=9.原点(0,0)到圆心C(2,-1)的距离为√22+(-1)7= √5<3，则原点在圆C内.所以圆C上一点到原点距离的最小值为3-√5，故B正确. 对于C,圆心C到直线1的距离d=2-2×(-)+61=9=25,所以圆C上一点到直线1距离的最大值为 √2+(-2)75 2√5+3，故C错误 对于D,设P(2+3cos0,-1+3sin8),0e[0,2r),则pi=(3-3cos日，-3sin8),PM=(-3cos0,3-3sin0). 所以.Pm7=(3-3cos0)(-3cos0)+(-3sin0)(3-3sin0)=9-9(cos0+sin6)=9-9v2sin(0+平）e [9-9√2,9+9√2]，故D正确. 11.答案AD 命题透析本题考查直线方程的实际应用. 解析对于A,若两束激光重合，则。十=受=号，不存在满足该等式的实数a,故A正确， 对于B,判定为入侵时，∠MPN=90°，点P落在以MN为直径的圆上，则点P到MN中点的距离即半径，为 =故B错误 2 对于C,判定为入侵”时，41，则1·(a-1)+a·2=0,解得a=宁，此时两直线交点为（品，-引），△PMN 的面积唯-，为品故C错误 对于D,当a=0时，直线4，的倾斜角为90°，直线l的斜率为，两束激光的夹角不是45°，所以a≠0.设直线！， 的倾斜角为a,则斜率=m&=-。,设直线6的倾斜角为B,则斜率名=mB=-“2,当两束激光的夹角 2 为45时，lB-al=45°或1B-xl=135°，则tan(B-)=±1，所以 ±1，解得a1=-3, +(-- 42=1,a3=2+V5,a4=2-5,经验证，均满足题意，故D正确. 3一 三、填空题 12.答案1 命题透析本题考查含参直线过定点，两条直线垂直. 解析直线l的方程可化为m(x-2)-y-1=0,则l过定点A(2,-1).当点P(4,1)到l的距离最大时，l1 PA.因为k4=1,所以m=-1.此时直线l:y=-x+1,其在y轴上的截距为1. 13.答案1 命题透析本题考查利用空间向量求点到平面的距离。 解析市=(1,1，-1)，则所求距离d=,.11-2-21 -2号=1 14.答案 (-,-}(停+） 命题透析本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式. 解析曲线C由圆0：x2+y2=1和直线。：2x-1=0组成.当l的斜率存在时，1与，必有一个交点，则l与圆 0无公共点或l与圆0在。和圆0的交点处相切.设直线l:y=k(x-3),即kx-y-3k=0,则圆心O(0,0)到l 的距离为4=3>1，解得11>票将x=之代入2+y=1,得y=±复，可得过点(3,0)与 √径+1 (分，±9)的直线的斜率为±号，此时圆心0到这两条直线的距离均为山=√ 27 2 <1,即这两条直线与圆0 均有两个交点，不满足题意所以1的斜率的取值范固是(-”，一引U(空，+0】 四、解答题 15.命题透析本题考查圆的方程，圆与圆的位置关系. 解析（1)设C,(2,b).…（1分)》 由1CA1=1C,B1,得√(7-2)2+(1-b)=√(2-2)2+（-4-b)7,…(3分) 獬得b=1,则C,(2,1).… (4分) 又半径r=1C,A|=7-2=5,… (5分) 所以圆C,的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=25.…(6分) (2)圆C2:x2+y2+12x-2y+28=0的标准方程为(x+6)2+(y-1)2=9,…(7分)》 所以圆心为C,(-6,1),半径R=3. (9分) 因为|C,C2|=2-(-6)=8=r+R,…(11分) 所以圆C,与圆C,外切，… (12分) 故圆C,与圆C2的公切线条数为3.…(13分)》 4 16.命题透析本题考查空间向量的应用. 解析(1)在正三角形ABC中，因为D为AB的中点，所以CD LAB..… (2分) 因为三棱柱ABC-A,B,C,是正三棱柱，所以AA1⊥平面ABC, 又CDC平面ABC,所以CD⊥AA…… (4分) 又AA,∩AB=A,AA1,ABC平面ABB,A1, 所以CD⊥平面ABBA1.…(6分)》 (2)由(1)知，DB,DC,AA,两两互相垂直，所以可以D为原点，D成，D元，AA的方向分别为x,y,z轴的正方向建 立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0),C(0,√3,0)，A1(-1,0,2),B1(1,0,2), A B 所以A1B=(2,0,0),D元=(0，√3,0)，DA=(-1,0,2).… (9分) 设平面A,DC的法向量为n=(x,y,z), n·DA1=0, 「-x+2z=0, 则 即 取龙=2，则n=(2,0,1).…（12分) In.De=0, L3y=0, 设直线A,B,与平面ADC所成的角为0， sin 0=Icos(n,B1=4 -25 2×√22+12-5， 即直线A,B,与平面A,DC所成角的正弦值为25， 5· (15分) 17.命题透析本题考查直线的方程，圆的性质. 强折（山)由直线L过点P(2,得2+山，…心 (1分) a 因为直线l与x轴正半轴y轴正半轴分别交于点A,B,所以a>0,b>0,A(α，0)，B(0,b).…(2分) 又1=名+方≥2√会石所以a山≥8，当且仅当2-公，即a=4b=2时等号成立(5分) -5 所以|OA|·10B1的最小值为8，此时A(4,0),B(0,2).…(6分) 曲线+？=1所围成的封闭图形为菱形，顶点为（±4,0），(0，士2)，其面积为7×8×4=16，…(9分) a b (2)因为以线段AB为直径的圆经过点C(3,3), 所以A元.B武=0，即(3-a,3)·(3,3-b)=9-3a+9-36=0,整理，得a+b=6.…（11分) r21 =1, a b 由 得a2-7a+12=0,解得a=3或a=4.…（13分)） (a+b=6, 当a=3时，b=3,直线l:x+y-3=0; 当a=4时，b=2,直线1：x+2y-4=0.…（15分) 18.命题透析本题考查空间向量的应用. 解析(1)如图，连接AC.设AC∩BD=O,则0为AC的中点，连接OE. 当A=2时，B为PA的中点 所以OE为△PAC的中位线，故OE∥PC.…(2分) 又OEC平面BDE,PC平面BDE,所以PC∥平面BDE.…（4分) (2)以D为原点，DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,3), 所以Di=(2,2,0),D=(0,0,3),pi=(2,0,-3).…(6分) 因为P立=入Pi(0≤A≤1)，所以P2=(2A,0,-3). 所以D呢=D+P吃=(2入，0,3-3).…(7分) 设平面BDE的法向量为n=(x,y,z), rn·Di=0,r2x+2y=0, 则 即 取x=3(入-1)，则n=(3(入-1)，-3（入-1），2入).…(9分) n.Di=0,2入x+(3-3λ)z=0, 易知平面ABD的一个法向量为m=(0,0,1).… …（10分) 2入 当二面角E-BD-A的大小为60时，cos60°=1cos(n,m)I= √18(A-1)+4 2 整理，得入2-6入+3=0，解得入=3±√6. 因为入∈[0,1]，所以入=3-6.…(12分) 一 6一 (3)在△BDE中，D2=(2,2,0),D2=(2入，0,3-3A),故1D12=8,1D12=13X2-18A+9,Di.D成=4. 由cos∠BDE= Di,D毫及sim'LBDE=1-cosLBDE, IDBIIDEI 得Sae=之1D1·1D成1·in∠BDB=√DP1D2-(D.D正 -8(13A2-18A+9)-16A 2 2 /22λ2-36λ+18.… (15分) 令A)=22-36+18=2(A-是)+。 因为Ae[0,1小，所以A)=(品)-治 所以当X=品时，△BDE的面积最小，最小值为6— 11 (17分) 19.命题透析本题考查直线与圆的位置关系. 解析(1)设直线l过点P且交圆O于点M,N.设MW的中点为K,连接OK, 则O永.M=0,=-K … (1分) 所以Pi.P成=(P永+Ki)·(P永-)=1P永12-1K12.…。 (2分) 又1i12=4-10K12,10K12=10P12-1PK2, 所以Pi.Pm=1P尿12-1K12=1P12-[4-(10P12-1PK2)]=10P12-4, 即po(P)=1P02-4,得证.… (5分) (2)Po(E)=(22+22)-4=4. P(F)=(12+0)-4=-3. (6分) 由po(P)=IPO12-4,知P在圆外时，po(P)为正；P在圆上时，Po(P)为0；P在圆内时，Po(P)为负. (9分) (3)因为点P在圆0内，且过点P的弦被分成长度分别为1和2的两段， 所以M,N在P的两侧，PM与P反向， 故Po(P)=-1PM1·IPWI=-(1×2)=-2. … (10分) 由(1)，得p0(P)=1P012-4=-2,所以1P012=2.…(11分) 设0到弦AC,BD的距离分别为d1,d2: 因为AC⊥BD且都过点P,所以过O作两弦的垂线，两垂足与O,P构成矩形，OP为其对角线， 故d+d=10P12=2. 因为IACI=2√4-，IBDI=2√4-G,且AC⊥BD, 所以Sen=之MC1·BD1=2V4-4-. (13分) 令u=d,v=d,则u≥0，v≥0，u+v=2. 所以(4-4-）=16-4(+)+m=8+m≤8+（色告 =9, …(15分） 当且仅当u=v=1(即d=d2=1)时取等号. 故四边形ABCD面积的最大值为2√何=6.…（I7分) 一8一,小、一 HN202610 A 高二数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的， 1.已知空间向量a=(1,-1,2),b=(2,1,m),若a1b,则实数m= A.1 B.-1 国，计长 c D.-2 2.若向量AB=(1,5)是直线1的一个方向向量，则直线1的倾斜角为 A君 米，B罗 c D3君 3.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-6,3),B(4,-3),C(1,-2),则AC边上的中线所 在直线的方程为 A.7x-13y+11=0 B.7x+13y+11=0 C.13x+7y+11=0 D.7x+13y-11=0 4.若直线11：Ax+2y+3=0与2：3x+6y-1=0平行，则1与2之间的距离为 A29 B.5 C.10v5 3 D.4⑤ 5.“直线，：(a2-3a+2)x+2y+3=0与2：x-y+a2-1=0互相垂直”是“a=3”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 数学(A)第1页（共4页） 6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD, PD=DC,E是PC的中点，B=-子P,则异面直线DF与BE所成角的 3 余弦值为 B.- 6 C.5 D.-5 6 6 7.已知直线1：y=x+2上存在一点P,过P作圆0：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A,B, 满足∠APB=90°，则实数k的取值范围是 A.[-√5,5] B.(-o,-√5]U[5,+o) C.[-1,1] D.(-o,-1]U[1,+o) 8.在平面直角坐标系x0y中，已知点A(1,0),B(4,0),动点C在圆(x-5)2+y2=4上运动， 且4,8，C三点不共线，则品∠8器的值 A恒为号 B.恒为1 C.恒为2 D.随点C的位置变化而变化 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知空间向量a=(1,0,1),b=(0,1,1),c=(1,1,0),则 A.a,b,c}构成空间的一个基底 B.la+b+cl=3/2 C.cos(a,b）=号 D.(a+b)⊥c 10.已知圆C经过A(5,-1),M(2,2),N(-1,-1)三点，则下列说法正确的是 A.圆C的一般方程为x2+y2-4x+2y-4=0 B.圆C上一点到原点距离的最小值为3-√5 C.圆C上一点到直线l:x-2y+6=0距离的最大值为2√5-3 D.若P为圆C上的动点，则PA.Pi的取值范围是[9-9√2,9+92] 数学(A)第2页（共4页） 1,某安防系统在哨位M(1,0)和N0,-)处各安装了一台激光器，系统通过调节参数a (a∈R)来同步控制两束激光的方向，这两束激光所在直线的方程分别为L1:x+ay-1=0 (由点M射出)，l2:(a-1)x+2y+3=0(由点N射出).当两束激光所在的直线垂直时，系 统判定为“人侵”，交点即为人侵者位置，记为P.下列说法正确的是 A.不存在a的值，使两束激光重合 B.判定为“入侵”时，点P到MN中点的距离为丽 C判定为“入侵"时，△PMN面积的最大值为品8 D.使两束激光的夹角为45°的α值恰有4个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.当点P(4,1)到直线l:mx-y-2m-1=0的距离最大时，l在y轴上的截距为 13.已知平面a的一个法向量为n=(1,-2,2),点A(1,0,1)在平面a内，则点P(2,1,0)到 平面α的距离为 14.过点A(3,0)的直线1与曲线C:(2x-1)(x2+y2-1)=0恰有一个公共点，则1的斜率的 取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分) 已知圆C1经过点A(7,1),B(2,-4),且圆心C1在直线x=2上 (1)求圆C,的标准方程； (2)求圆C,与圆C2:x2+y2+12x-2y+28=0的公切线条数 数学(A)第3页（共4页） 16.(15分) 如图，正三棱柱ABC-A,B,C,的所有棱长均为2，D为棱AB的中点， (1)求证：CD⊥平面ABB,A1; (2)求直线AB,与平面ADC所成角的正弦值， 17.(15分) D 已知直线1：。+名=1过点P(2,1)且与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点4，B,点0为 坐标原点， (1①)求101,081的最小值，及此时曲线'+号-1所固成的封闭图形的面积： (2)若以线段AB为直径的圆经过点C(3,3),求直线1的方程 18.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD,PD=3, 点E在棱PA上，且P2=APA(0≤A≤1). (1)当A=2时，证明：PC∥平面BDE; (2)当二面角E-BD-A的大小为60时，求入的值； (3)求△BDE面积的最小值，并求此时入的值 19.（17分) 若P为平面内一点，过点P任作一条与圆C相交的直线，交圆C于点M,N,称PM·PW为 点P关于圆C的幂，记作pc(P).已知圆0：x2+y2=4. (1)求证：Po(P)=1P012-4. (2)已知E(2,2),F(1,0),求Po(E)与po(F),并指出Po(P)的符号与点P位置（圆内、圆 上、圆外)的关系 (3)设P为圆0内一点，过P的某条弦被P分成长度分别为1和2的两段.过P再作两条 互相垂直的弦AC,BD,求四边形ABCD面积的最大值. 数学(A)第4页（共4页）