7.1相似多边形·第1课时成比例线段（问题链版）课件 2026-2027学年苏科版数学九年级下册

7.1 相似多边形 第1课时　成比例线段 一、从《九章算术》说起 《九章算术》约成书于公元 1 世纪，全书九章、246 题. 第二章“粟米”专讲各种谷物之间的按比例兑换. 今有粟一斗，欲为粝米，问得几何？答曰：为粝米六升. 术曰：以粟求粝米，三之，五而一. “三之，五而一”就是乘 除以 ⁠：粟与粝米之比恒为 ⁠. 刘徽 注　“此都术也，可以广施诸率”　——魏晋·刘徽《九章算术注》 比一确定，量多量少都按同一个比“缩”——这正是本课要学的两条线段的比. 二、核心问题 教材问题　在下面两幅江苏省行政区划简图中， 分别连接南京和徐州、南京和泰州、徐州和泰州， 连线段之比⁠，⁠，相等吗？ 　　两幅图的比例尺分别是 与 ⁠. 　　同一条连线，两幅图上的长度相差一倍，可看上去还是同一个江苏. 长短变了，比为什么不变？这个比究竟刻画了什么？ 三、观察：三个比都是 2 量出六条线段的长度，算一算这三个比： 再连一条南京—连云港，新的比还是 吗？ 这个 ⁠，与两个比例尺 ⁠、 之间有什么关系？ 四、回顾　两条线段的比 选用同一长度单位量得两条线段⁠、的长度分别为⁠、⁠， 那么叫作这两条线段的比. 比是一个数，没有单位；线段长度为正，所以两条线段的比恒为正数. 说明　这是小学学过的“比”，只是把两个数换成了两条线段；同一单位仍是前提. 四、即时辨析 ①　比与比值 先分清三个最容易出错的地方—— 1. 若 cm， mm，则 ______. 2. 与一样吗？两条线段的比有单位吗？ 3. 若 cm， cm，则⁠；那么呢？两者相等吗？ 方法点拨　单位不同不能直接求比—— cm 与 mm 要先化成同一单位. 比有顺序：⁠；比是式子，比值是数，两者都没有单位. 五、成比例线段 一般地，如果两组线段⁠，⁠，⁠，与⁠，⁠，⁠，满足 那么称这两组线段成比例. 两组各只有两条时，即⁠，也往往简说成“⁠、⁠、⁠、四条线段成比例”. 注意　两组线段必须一一对应：配⁠、配……配错了，比就不等. 五、讨论：图 7-3 点拨　比的是各自的长 : 宽，不是长比长、宽比宽. ⁠，⁠，——只有（1）与（2）的长与宽成比例. 五、即时辨析 ②　判断成比例 判断下列各组线段是否成比例（长度单位已统一）—— (1) ⁠，⁠，⁠， (2) ⁠，⁠，⁠， (3) ⁠，⁠，⁠， (4) ⁠，⁠，⁠， 方法点拨　逐组算比值：与相等就成比例，不等就不成. 别急着相乘——先看清谁和谁配成一组（配⁠，配⁠）. 六、辨析：排法有讲究 四条线段 ⁠、⁠、⁠、⁠，把它们写成比例式，哪些排法成立？ 　　　√　　　　√　　　　× 同样四条线段，为什么有的排法成立、有的不成立？ 把成立的两个式子算一算：⁠，…… ⁠.　这不是巧合——它就是比例的基本性质. 追问　反过来，时，四条线段一定成比例吗？ 七、比例的基本性质 在小学里，我们学习过比例的基本性质： 反过来也成立，但有前提：⁠，——比的后项不能为 ⁠. 七、即时辨析 ③　由 ad = bc 写比例式 由写比例式，是不是怎么写都行？ 1. 已知（均不为 ⁠），下列写法错误的是（　　） 　　A. 　　B. 　　C. 　　D. 2. 若（⁠），则 ______. 方法点拨　口诀：⁠、必须放在同一位置（都为分子，或都为分母），⁠、放在另一个位置. 写完回乘一遍，看能不能还原成——最快的自检. 八、比例中项 在比例式中，叫作和的比例中项. 追问1　为什么偏偏叫“中”项？ 追问2　⁠，时⁠；若都是线段呢？ ① 在比例式中出现两次、且位置居中，故称“中项”. ② 线段长度为正，故比例中项只取正值：⁠. 八、即时辨析 ④　数 vs 线段 同样叫“比例中项”，为什么答案不一样？ 1. 与 的比例中项是（　　） 　　A. 　　B. 　　C. 　　D. ±6 2. 线段是线段 与 的比例中项，则 ______. 3. 线段 cm， cm，且线段是线段与的比例中项，则 ______ cm. 方法点拨　同一个⁠：问“数”取 ±，问“线段”只取正. 审题多花两秒，看清问的是数还是线段——答案差的往往就是一个负号. 九、例题：格点图 例1　如图 7-4，边上的点⁠，（⁠，⁠，⁠）都在格点上，连接⁠，⁠，⁠.请在图中找出两组与⁠，⁠，成比例的线段. 九、例题：三个比都是 1 解：⁠， 线段与成比例； ⁠， 线段与成比例. 追问　三个比都等于 ⁠，说明⁠、⁠、与点有什么位置关系？ 比相同 → 方向相同 → 在同一条射线上. 这是“比不变 = 形状不变”的第一次亮相：长度可以变，方向不会变. 十、课本练习（第 1 题） 1. 如图，线段⁠，⁠，⁠，的端点都是格点. 这四条线段能组成成比例的线段吗？为什么？ 思路　格点上线段的长度用勾股定理算：横、纵各数几格，再求斜边. 配对再比：配⁠，配——比值相等就成比例. 十、课本练习（第 2 题） 2. 任意两个等腰三角形的边能组成成比例的线段吗？任意两个菱形呢？ 等腰三角形　设甲三边⁠，乙三边⁠.若要成比例， 需⁠，即——这正是两三角形相似. 任意两个等腰三角形不一定相似，边就不一定成比例. 而菱形四边都相等：甲与乙的比都是⁠， 所以任意两个菱形的边一定成比例. 关键　等腰三角形只有两边相等，菱形四边全相等——就差这一处，结论相反. 十一、课本习题 7.1（第 1 题） 1. 已知⁠，且⁠，求⁠，⁠，的值. 变式　已知⁠，且⁠，求的值. 方法点拨　“连比”一律设比值为，把每个量都写成的倍数. 再代入和、差、积的条件求⁠，最后回代——四步走完，题就完了. 十一、习题 7.1（第 1 题）解答 解：设⁠， 则⁠，⁠，⁠. ⁠，⁠，解得⁠. ⁠，⁠，⁠. 变式的答案　⁠，⁠，（⁠，⁠）. 设 → 代入 → 求 → 回代，这是处理比例问题的通用套路. 连比、比例中项、比例尺，后面还会一再遇到它. 十一、课本习题 7.1（第 2 题） 2. 如图，设线段⁠. (1) 过点画⁠，使⁠；连接⁠，以点为圆心， 　　的长为半径画弧，交于点⁠；以点为圆心，的长为半径画弧， 　　交于点⁠. (2) 在所画的图中，点是线段的黄金分割点吗？为什么？ A C 思路提示　要证是黄金分割点，只需证⁠. 也就是证是与的比例中项——把“分割”化成“比例中项”. 十一、习题 7.1（第 2 题）解答 · ① 解：(2) 点是线段的黄金分割点.理由： 由作图，⁠， ⁠， ⁠. 关键一步　把用表示出来：⁠. 有了这个表达式，与就能比了. 让⁠，所有量都化成同一个数——这是“设值法”的化简思想. 十一、习题 7.1（第 2 题）解答 · ② ⁠， 又⁠， ⁠，即点是线段的黄金分割点. 由此得⁠，这就是黄金比. 正是与的比例中项——比例中项在这里派上了大用场. 十二、课堂练习 · 基础（一） 1. 在比例尺是 的地图上，某条道路长约 cm，它的实际长度约是 　　A. km　　B. km　　C. km　　D. km 2. 小丽、小梅的跳远成绩分别为米、厘米，求⁠. 方法点拨　比例尺图上 实际，两边单位必须统一（ km cm）. 先换单位再乘，最后把 cm 折成 km——单位错一步，答案差倍. 十二、课堂练习 · 基础（二） 3. 在比例尺为 的城市交通地图上，某条道路长 cm，求实际长度. 4. 图纸上画出的某工件长为 mm.若比例尺为 ⁠，工件实际长度是多少？ 　　若比例尺为 呢？ 方法点拨　比例尺 是放大——图上比实物还大，实际长度反而要用除法. 同一道题问两种比例尺，比的就是“图上比例尺”这一个式子. 十二、课堂练习 · 综合 5. 某公园平面图上有一块三角形草地，三边长分别为 cm、 cm、 cm. 　　已知这块草地最短边的实际长度为 m，求另外两条边的实际长度. 6. 已知⁠，且⁠，求的值. 7. 已知线段满足⁠，且⁠. 　　(1) 求线段的长；(2) 若线段是的比例中项，求的长. 方法点拨　第 6、7 题同一套路：设，把未知量都写成的一次式. 第 7(2) 求比例中项，最后一步别忘了“线段取正值”. 十三、回解核心问题 两幅图是把同一块地按同一个倍数缩放的.每条长度都乘同一个⁠， 所以——比不变，于是形状不变. 1. 两条线段的比：同一单位下长度之比，是一个数，无单位、恒为正. 2. 成比例线段：两组线段一一对应，配……配错就不成比例. 3. 比例的基本性质：（⁠，⁠）. 4. 比例中项：⁠；数是 ±，线段只取正值. 下一站：三条平行线截两条直线，截得的线段为何也成比例？（第2课时） 十四、资料阅读：黄金分割与优选法 把一条线段分成两段，使较长段是全长与较短段的比例中项， 这个比就叫黄金比，分点叫黄金分割点. 古希腊欧几里得《几何原本》已系统论述这一比； 文艺复兴时期它被称为“神圣比例”，用于绘画、建筑与书籍开本. 20 世纪 60 年代起，华罗庚（1910—1985）走遍全国推广优选法： 用 安排试验点，以最少的试验次数找到最优的工艺参数. 想一想　一条线段上有几个黄金分割点？ 凭什么能“少做试验、快找最优”？ 数学不只在纸上——它也在工厂的炉温里、在田野的株距里. $