精品解析：天津市宝坻区第九中学2026-2027学年高二年级上学期第一单元课程监测数学试题

宝坻九中2026－2027学年度第一学期高二年级 数学学科第一单元课程监测 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】若空间中两点关于平面对称，则它们的坐标相同，坐标互为相反数， 综上点的对称点坐标为. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量加法的坐标运算即可求解. 【详解】，，. 故选：B. 3. 已知直线经过点和，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用斜率公式，即可求解. 【详解】因为点和，由斜率公式，可得， 所以过点的直线的斜率为. 4. 已知向量，且，那么（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】因为，且， 所以，即． 5. 已知直线与直线，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行的性质计算出后验证是否重合即可得. 【详解】由，则有， 化简得，故或； 当时，，，此时与重合，不符； 当时，，，符合要求； 综上所述：. 故选：A. 6. 如图，在正方体中，、分别为棱和的中点，那么异面直线和所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，由异面直线向量法计算即可求解. 【详解】设正方体棱长为，以为原点，为 轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. ，，，. 由题意可得，． ， ， 所以， 即异面直线和所成角的余弦值为. 故选：C． 7. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】连接，由题意， . 故选：A 8. 已知直线，直线，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两平行线间的距离公式可求得直线间的距离. 【详解】因为的斜率都为，所以两直线平行； 所以间的距离为. 故选：C. 9. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，， 所以向量在向量上的投影向量是. 10. 如图，平行六面体的各棱长均为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到，平方后求出，求出答案. 【详解】由已知可得， ，两边平方得， ， 所以. 故选：B. 二、填空题（每题5分，共25分） 11. 点到直线的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式计算求解． 【详解】设点到直线的距离为，则 ． 故答案为：． 12. 已知空间向量，向量，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题设. 13. 已知空间向量的坐标为，则________. 【答案】 【解析】 【详解】因为空间向量的坐标为，所以. 14. 已知直线的方程为，无论为何值，直线恒过定点___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用参数分离法即可解决直线恒过定点问题. 【详解】直线的方程可变形为， 由题意可知，解得. 故直线恒过定点. 故答案为： 15. 过点且在轴的截距相等的直线方程是_________ 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，分直线过原点和不过原点，两种情况分类讨论，即可求解. 【详解】当所求直线过原点时，此时直线的斜率为，直线的方程为； 当所求直线不过原点时，设直线的方程为， 把点代入上式，可得，解得，所以直线的方程为， 综上可得，直线的方程或. 三、解答题（共5题，共55分） 16. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）斜率是3，且经过点； （2）斜率为4，在轴上的截距为； （3）经过两点； （4）在x轴、y轴上的截距分别是，． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合点斜式方程，即可求解； （2）根据已知条件，结合斜截式方程，即可求解； （3）根据已知条件，结合两点式方程，即可求解； （4）根据已知条件，结合截距式方程，即可求解. 【小问1详解】 直线斜率是3，且经过点， 则直线方程为，化为一般式方程为； 【小问2详解】 直线斜率为4，在轴上的截距为， 则直线方程为，化为一般式方程为； 【小问3详解】 直线经过两点， 则直线方程为，化为一般式方程是为； 【小问4详解】 直线在x轴、y轴上的截距分别是，， 则直线方程为，化为一般式方程为. 17. 根据下列条件分别求出直线的方程，并化为一般式方程．已知直线． （1）经过点且与直线平行的直线； （2）经过点且与直线垂直的直线． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设所求直线的方程为，求出即可； （2）设所求直线方程为，求出即可. 【小问1详解】 设所求直线的方程为， 代入点，则有，解得， 所以所求直线方程为； 【小问2详解】 设所求直线方程为， 代入点，则有，解得， 所以所求直线方程为． 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1） 平面，平面，， 底面是正方形，， 又，平面，平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】(1) 利用线面垂直性质得到，结合正方形性质，使用线面垂直判定定理证明； (2) 先找出线面角：由垂直平面，得到在平面内的垂足为，即为线面角，再通过边长计算角度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，交于， 底面是正方形，， 平面，平面，， 又，平面， 平面， 连接，则是在平面内的射影，即为直线与平面所成的角， ，， 在中，， ，， 所以直线与平面所成角的大小为. 19. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线的一般式方程； （2）求边上的高所在直线的一般式方程； （3）求边的垂直平分线的一般式方程． 【答案】（1）边AB上的中线所在直线的一般式方程为. （2）边BC上的高所在直线的一般式方程为. （3）边AC的垂直平分线的一般式方程为. 【解析】 【小问1详解】 设的中点为，由中点坐标公式得，即； 中线经过点与，其斜率； 所以中线所在直线的方程为，整理得. 【小问2详解】 直线的斜率； 设边上的高线斜率为，由垂直关系得； 又高所在直线过点， 故由点斜式得边上的高所在直线的，整理得. 【小问3详解】 设的中点为，由中点坐标公式得，即； 直线的斜率，其垂直平分线的斜率； 则边的垂直平分线的方程为，整理得. 20. 如图，正方体的棱长为2. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：由正方体的性质可知， 因为平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用正方体的性质得到，然后利用线面平行的判定可证结论； （2）利用垂直关系找到两平面夹角的平面角，利用直角三角形可求正弦值； （3）建立坐标系，求出平面法向量，利用点到平面的距离公式可求答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设交于点，连接，由正方形的性质可知，且； 因为正方体的棱长为2，所以， 所以,且， 所以为平面与平面所成角的平面角， 因为底面，所以， 所以，即平面与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为，则， 令可得， 设到平面的距离为， 则，即点到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝坻九中2026－2027学年度第一学期高二年级 数学学科第一单元课程监测 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线经过点和，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，且，那么（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知直线与直线，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 6. 如图，在正方体中，、分别为棱和的中点，那么异面直线和所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线，直线，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，平行六面体的各棱长均为，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，共25分） 11. 点到直线的距离是______． 12. 已知空间向量，向量，则__________． 13. 已知空间向量的坐标为，则________. 14. 已知直线的方程为，无论为何值，直线恒过定点___________． 15. 过点且在轴的截距相等的直线方程是_________ 三、解答题（共5题，共55分） 16. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）斜率是3，且经过点； （2）斜率为4，在轴上的截距为； （3）经过两点； （4）在x轴、y轴上的截距分别是，． 17. 根据下列条件分别求出直线的方程，并化为一般式方程．已知直线． （1）经过点且与直线平行的直线； （2）经过点且与直线垂直的直线． 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 19. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线的一般式方程； （2）求边上的高所在直线的一般式方程； （3）求边的垂直平分线的一般式方程． 20. 如图，正方体的棱长为2. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $