精品解析：江苏省徐州市铜山区集镇中心中学2024-2025学年上学期12月月考九年级数学试卷

九年级数学试题 （提醒：本卷共6页，满分为140分；考试时间为90分钟；答案全部涂、写在答题卡上） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 已知的半径为，圆心O到直线l的距离为3cm，直线l与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握当，则直线与圆相离，当，则直线与圆相切，当，则直线与圆相交．利用直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：的半径r为，圆心O到直线l的距离d为， ， 直线l与的位置关系是相离， 故选：A． 2. 某鞋店在做市场调查时，为了提高销售量，商家最应关注鞋子型号的（ ） A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 极差 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数的意义，即可求解． 【详解】解：为了提高销售量，商家最应关注鞋子型号的众数． 故选：A 【点睛】本题主要考查了众数，熟练掌握一组数据中出现次数最多的数是众数，众数反映了一组数据的多数水平是解题的关键． 3. 如图，与位似，点为位似中心，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．根据位似图形的概念得到，进而求出，根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵与位似， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 4. 在中，，，，那么的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数关系，根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数关系求出即可，正确把握锐角三角函数定义是解题关键． 【详解】解：如图所示： 在中，，，， ， ． 故选：D． 5. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”进行变换，然后问题可求解． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后的抛物线解析式是； 故选C． 6. 如图，一块矩形铁片的长是宽的倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是，若设原铁皮的宽为，则可列方程( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用．设正方形铁皮的边长应是厘米，则做成没有盖的长方体盒子的长为，宽为厘米，高为厘米，根据长方体的体积计算公式列方程解答即可． 【详解】解：正方形铁皮的边长应是厘米，则没有盖的长方体盒子的长为，宽为厘米，高为厘米， 根据题意列方程得，， 故选：B． 7. 如图，四边形内接于，若它的一个外角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，圆内接四边形的运用，掌握圆周角定理，内接四边形的性质是解题的关键．根据平角的性质可得的度数，根据圆内接四边形的性质可得的度数，最后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ， ． 故选：B． 8. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（为实数）．其中结论正确的个数为（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与其系数间的关系等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据该二次函数图象的开口方向、对称轴以及与轴交点位置分析的符号，即可判断结论①②；由函数图象可知，当时，，即可判断结论③；结合当时，该二次函数取最小值，易知（为实数），即可判断结论④． 【详解】解：根据题意，该函数图象开口向上， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵该函数图象与轴交于负半轴， ∴当时，， ∴，故结论①正确； 由图象可知，当时，， ∴，又， ∴，即，故结论③正确； ∵当时，该二次函数取最小值， ∴（为实数）， 即（为实数），故④正确； 综上所述，结论正确的有①②③④，合计4个． 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9. 若，则_____________． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，由已知比例关系，设，（），然后代入所求表达式进行计算． 【详解】解：由，设，（）， 则 故答案为． 10. 二次函数的顶点坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象顶点的求法，掌握解析式的变形是解答本题的关键．二次函数为一般形式，需化为顶点式求解． 【详解】由二次函数， 得顶点坐标为． 故答案为：． 11. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ______ ． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据方程有两个实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于或等于零列式求解即可． 【详解】解：∵方程 是一元二次方程， ∴． ∵方程有两个实数根， ∴． 解得 ． 综上， 的取值范围是 且． 故答案为：且． 12. 在如图所示的正方形和圆形组成的盘面上投掷飞镖，飞镖未落在阴影区域的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，以及正方形与圆的对称性，求出其他部分面积与总面积的比值是解决本题的关键． 用阴影部分的面积除以总面积即可求得飞镖落在阴影部分的概率． 【详解】解：根据正方形与圆的对称性可知，阴影部分占所有面积的， ∴其他部分的面积占所有面积的， ∴飞镖未落在阴影区域的概率是 ． 故答案为： ． 13. 将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为，圆心角为，圆锥的底面圆的半径为______． 【答案】##厘米 【解析】 【分析】本题考查圆锥的计算、扇形面积的计算，掌握扇形面积计算公式、弧长和圆的周长计算公式是解题的关键． 圆锥的母线长为R，根据扇形面积公式列关于R的方程并求解；设圆锥的底面圆的半径为r，根据弧长和圆的周长公式列关于r的方程并求解即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为R，则， 解得或（舍去） 设圆锥的底面圆的半径为r，则， 解得， 圆锥的底面圆的半径为， 故答案为：． 14. 如图，树在路灯O的照射下形成投影，已知路灯高，树影，树与路灯O的水平距离，则树的高度是______m． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据“两角相等的两个三角形相似”说明，可得，再代入数值得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得 故答案为：． 15. 如图，与相切，为切点，的延长线交于点，连接．若，则_______（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到，进而求出，再根据三角形的外角性质、直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接， 与相切， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，正方形与正六边形的边长相等，先将正方形与正六边形的某条边重合，再将该正方形绕正六边形按顺时针方向滚动一周．若正方形的边长为2，则在滚动过程中点A距出发点的最大距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查旋转变换，正多边形与圆，正方形的性质，正六边形的性质，解直角三角形等知识，作出点A的运动轨迹是图中红线．延长交弧线于H，线段的长，即为点A在滚动过程中到出发点的最大距离，解题的关键是理解题意，学会正确寻找点A的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题． 【详解】解：如图， ， 根据正六边形，可得，, ，， 正方形的边长为2， ， ， ， ， ， 在滚动过程中点A距出发点的最大距离为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共84分） 17. （1）计算； （2）解方程：． 【答案】（1）12；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算和解一元二次方程，熟练掌握计算方法是解答本题的关键． （1）原式分别计算算术平方根、乘方、化简绝对值以及特殊角三角函数值，然后再进行加减运算即可； （2）方程运用公式法求解即可． 【详解】解：（1） ． （2）， ∵，，， ， ∴， ∴，； 18. 清明节这一天，小明、小亮计划去淮海战役烈士纪念塔扫墓，淮海战役烈士纪念塔园区有南、北、东三个入口，小明和小亮同学分别从三个入口中随机选择一个入口进入园区．假设这两名同学选择哪个入口不受任何因素影响，且每一个入口被选到的可能性相等． （1）小明从北入口进入园区的概率为 ： （2）求小明和小亮两名同学恰好选择从同一个入口进入园区的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，正确的列出表格，熟练掌握概率公式，是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）列出表格，再利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：小明从北入口进入园区的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意，列表如下： 北 南 东 北 （北，北） （北，南） （北，东） 南 （南，北） （南，南） （南，东） 东 （东，北） （东，南） （东，东） 共9种等可能的结果，其中3种符合题意． ∴P（从同一个入口进入园区）． 19. 为了解某品牌A、B两种型号扫地机器人的销售情况，商场对这两种型号的扫地机器人1～8月份的销售情况进行了调查统计，并对统计数据进行了整理分析． 数据整理：1～8月份A、B型号扫地机器人销售情况条形统计图 数据分析： 平均数 中位数 众数 A型号 a 14 12 B型号 12 b c 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）请对商场八月份以后这两种型号扫地机器人的进货意向提出合理的建议，并说明理由． 【答案】（1）14，13，14 （2） 解：建议多进B型号扫地机器人． 理由：B 型销量从年初的较低水平逐渐上升，八月份已高于 A 型；基于这一走势，商场可适当增加 B 型的进货量以满足需求． 【解析】 【分析】本题考查平均数、中位数、众数，利用统计数据做决策： （1）根据平均数、中位数、众数的定义，结合条形统计图，即可求解； （2）观察统计图，B型号需求逐渐上升的趋势，进而做出决策． 【小问1详解】 解：A型号平均数：； 将B型销量按从小到大顺序排列为：5，8，11， 12，14，14，15，17， 第4位和第5位的平均数为：， B型号中位数； B型销量中14出现了2次，出现的次数最多， B型号众数； 故答案为：14，13，14； 【小问2详解】 略 20. 如图，一块矩形场地的长为，宽为．现将这块地划分成四块，分别种植：A．兰花；B．菊花；C．月季；D．牵牛花． （1）求这块场地中种植菊花的面积关于B场地的长的函数表达式，并求出此函数与x轴的交点坐标及自变量x的取值范围． （2）当x是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？在如图坐标系中画出此函数图象的草图（提示：找三点描出图象即可）． 【答案】（1）；和； （2）当时，种植菊花的面积最大，最大面积为； 函数图象如下图： 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键， （1）根据题意可得场地的宽度为：，从而列出，化简即可得到函数关系式，令当，即可得到交点坐标；从而得到自变量x的取值范围． （2）将一般式转化成顶点式，利用二次函数的性质可得当时，种植菊花的面积最大，最大面积为，再利用三点画图法即可得到函数图象． 【小问1详解】 解：由题可得：场地的宽度为：， ∴， 当时，即， 解得：，， ∴函数与x轴的交点坐标为：和，自变量的取值范围为：． 【小问2详解】 解：由（1）知， ， ∴当时，种植菊花的面积最大，最大面积为， 21. 如图，是的直径，是弦延长线上的一点，且，的延长线交于点，作于点． （1）求证：与相切； （2）若半径为，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， 即， ∴与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，由是的直径，得到，根据三角形中位线的性质得到，得到，于是得到结论； （2）连接，由勾股定理求出，根据三角形中位线的性质得，则，再由勾股定理可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∴， ∵半径为，， ∴， 在中，，， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，三角形的中位线的性质，平行线的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 22. 某中学开展综合与实践活动，小明所在的小组负责测量该校附近山坡的护坡石坝坝顶与坝脚之间的距离（）．如图所示，他们的测量方法如下：小明将一根长的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长处（）距离地面的高度，小组其他同学测得石坝与地面的倾斜角．请你根据以上信息，求出石坝坝顶与坝脚之间的距离（）（结果精确到．参考数据：，，）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了解直角三角形，根据题意构建直角三角形是解题的关键． 过点作于点，则，可得，从而得到，然后在中，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，． ∵， ∴（m）． 答：石坝坝顶与坝脚之间的距离（）约． 23. 如图1，在中，，点分别是的中点，将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为． （1）问题发现 ①当时，________；②当时，________． （2）拓展探究 试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）问题解决 当旋转至三点共线时，直接写出线段的长． 【答案】（1）①2；②2 （2） 不变，证明如下： 如图2所示，旋转过程中，、、、长度不变， 即， ∵， ∴， ， ， ∴当时，的大小不变； （3）1或3 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）①当时，由三角形的中位线定理得到，从而有； ②当时，同理①可得； （2）如图2所示，旋转过程中，、、、长度不变，故，，的大小无变化； （3）点A，C，E三点共线时，或，根据线段的和差分别求解即可． 【小问1详解】 解：①当时， 点分别是的中点， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2； ②当时，如图所示： 则三点共线，，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：2． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当在如图位置时，点A，C，E三点共线，此时， ∵，点D是的中点， ∴． ②当旋转到如图位置时，，，E三点共线，此时， ∴点B，C，D三点也共线， ∵，， ∴． 综上所述，的长为1或3． 24. 图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，为的弦，点、、均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，并保留作图痕迹． （1）在图①中，以为边画的内接正方形； （2）在图②中，作，点在圆周上，且为格点； （3）在图③中，过点作的切线． 【答案】（1）如图： （2）如图： （3）如图： 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、圆的基本性质、切线以及勾股定理： （1）先连接，连接，并延长交于点，连接，因为都是半径，所以，同理，连接并延长交于点，连接，连接，此时就是的内接正方形； （2）连接，连接，并延长交于点，根据直径所对的圆周角是直角，构造等腰直角三角形即可得到； （3）连接，作，则是的切线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 如图，一次函数与抛物线交于，两点． （1）直线经过一个定点，直接写出点的坐标； （2）如图（2），当时，直线交轴于点，为抛物线的顶点，射线交轴于点，若，求点的横坐标； （3）如图（3），过点作轴，交抛物线于另一点，求直线经过的定点的坐标． 【答案】（1） （2）点的横坐标为 （3）直线过定点 【解析】 【分析】（1）根据直线即可求解； （2）由题得顶点的坐标为，则轴，得，即点的坐标为，代入，求解即可； （3）设，，联立方程得，则，，可得，即得，即可求解. 【小问1详解】 解：直线 当 时， 即直线过定点； 【小问2详解】 ∵ ∴顶点的坐标为， ，则轴，过点作于点． 轴， ，， ， ， ， ， 点的坐标为， 点的纵坐标为， 令，解得， ，点在第四象限， 点的横坐标为． 【小问3详解】 设，， 令， 则， ，， ， 抛物线的对称轴为，轴， ， ， 当时，， 直线过定点． 【点睛】本题考查二次函数的性质和图像，一次函数图像及性质，一元二次方程等相关知识．利用一元二方程等相关知识点得出点的坐标是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 （提醒：本卷共6页，满分为140分；考试时间为90分钟；答案全部涂、写在答题卡上） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 已知的半径为，圆心O到直线l的距离为3cm，直线l与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 2. 某鞋店在做市场调查时，为了提高销售量，商家最应关注鞋子型号的（ ） A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 极差 3. 如图，与位似，点为位似中心，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，，那么的值等于（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一块矩形铁片的长是宽的倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是，若设原铁皮的宽为，则可列方程( ) A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，若它的一个外角，则（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（为实数）．其中结论正确的个数为（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9. 若，则_____________． 10. 二次函数的顶点坐标为_______． 11. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ______ ． 12. 在如图所示的正方形和圆形组成的盘面上投掷飞镖，飞镖未落在阴影区域的概率是_________． 13. 将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为，圆心角为，圆锥的底面圆的半径为______． 14. 如图，树在路灯O的照射下形成投影，已知路灯高，树影，树与路灯O的水平距离，则树的高度是______m． 15. 如图，与相切，为切点，的延长线交于点，连接．若，则_______（用含的代数式表示）． 16. 如图，正方形与正六边形的边长相等，先将正方形与正六边形的某条边重合，再将该正方形绕正六边形按顺时针方向滚动一周．若正方形的边长为2，则在滚动过程中点A距出发点的最大距离为______． 三、解答题（本大题共9小题，共84分） 17. （1）计算； （2）解方程：． 18. 清明节这一天，小明、小亮计划去淮海战役烈士纪念塔扫墓，淮海战役烈士纪念塔园区有南、北、东三个入口，小明和小亮同学分别从三个入口中随机选择一个入口进入园区．假设这两名同学选择哪个入口不受任何因素影响，且每一个入口被选到的可能性相等． （1）小明从北入口进入园区的概率为 ： （2）求小明和小亮两名同学恰好选择从同一个入口进入园区的概率． 19. 为了解某品牌A、B两种型号扫地机器人的销售情况，商场对这两种型号的扫地机器人1～8月份的销售情况进行了调查统计，并对统计数据进行了整理分析． 数据整理：1～8月份A、B型号扫地机器人销售情况条形统计图 数据分析： 平均数 中位数 众数 A型号 a 14 12 B型号 12 b c 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）请对商场八月份以后这两种型号扫地机器人的进货意向提出合理的建议，并说明理由． 20. 如图，一块矩形场地的长为，宽为．现将这块地划分成四块，分别种植：A．兰花；B．菊花；C．月季；D．牵牛花． （1）求这块场地中种植菊花的面积关于B场地的长的函数表达式，并求出此函数与x轴的交点坐标及自变量x的取值范围． （2）当x是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？在如图坐标系中画出此函数图象的草图（提示：找三点描出图象即可）． 21. 如图，是的直径，是弦延长线上的一点，且，的延长线交于点，作于点． （1）求证：与相切； （2）若半径为，，求的长． 22. 某中学开展综合与实践活动，小明所在的小组负责测量该校附近山坡的护坡石坝坝顶与坝脚之间的距离（）．如图所示，他们的测量方法如下：小明将一根长的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长处（）距离地面的高度，小组其他同学测得石坝与地面的倾斜角．请你根据以上信息，求出石坝坝顶与坝脚之间的距离（）（结果精确到．参考数据：，，）． 23. 如图1，在中，，点分别是的中点，将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为． （1）问题发现 ①当时，________；②当时，________． （2）拓展探究 试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）问题解决 当旋转至三点共线时，直接写出线段的长． 24. 图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，为的弦，点、、均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，并保留作图痕迹． （1）在图①中，以为边画的内接正方形； （2）在图②中，作，点在圆周上，且为格点； （3）在图③中，过点作的切线． 25. 如图，一次函数与抛物线交于，两点． （1）直线经过一个定点，直接写出点的坐标； （2）如图（2），当时，直线交轴于点，为抛物线的顶点，射线交轴于点，若，求点的横坐标； （3）如图（3），过点作轴，交抛物线于另一点，求直线经过的定点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $