精品解析：山东枣庄市第三中学2026-2027学年度高一上学期十月教学质量检测数学试题

枣庄三中2026~2027学年度高一年级十月教学质量检测 数学试题 一、选择题 1. 命题“，”的否定为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 若集合，且，则的值为（　　） A. B. C. 或 D. 或 3. 已知全集，集合，，则（　　） A. B. C. D. 4. 集合，，的关系是（　　） A. B. C. D. 5. “”是“，成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 7. 小明使用一架两臂不等长的天平称黄金.小明先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，你认为小明两次称得的黄金总重量（ ） A. 等于 B. 小于 C. 大于 D. 与左右臂的长度有关 8. 已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、多选题 9. 已知实数满足，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 下列命题是真命题的是（　　） A. 函数的最大值为 B. 若，则的最小值是 C. 若，则的最大值是 D. 的最小值是 11. 已知集合满足： ①； ②，若且，则； ③，若且，则. 则下列结论正确的是（ ） A. 若集合中有最大数，则集合中没有最小数 B. 若集合中没有最大数，则集合中可能没有最小数 C. ，使得 D. ，存在无理数，使得 三、填空题 12. 若，，则集合的非空真子集的个数为______． 13. 某班学生进行了三次数学测试，第一次有12名学生得满分，第二次有10名学生得满分，第三次有12名学生得满分.已知前两次均为满分的学生有9名，三次测试中至少有一次得满分的学生有15名.若后两次均为满分的学生至多有名，则的值为______． 14. 已知集合，.若，则的取值范围为______． 四、解答题 15. （1）已知集合，，求，； （2）已知，，求与的范围. 16. 已知命题：，使不等式恒成立；命题：，. （1）若命题是假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题有且仅有一个真命题，求实数的取值范围. 17. 已知集合，集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18. 如图，设矩形（）的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，求的最大面积及相应的的值. 19. 已知集合为非空数集，定义，. （1）若集合，直接写出集合及； （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，且，求中元素个数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 枣庄三中2026~2027学年度高一年级十月教学质量检测 数学试题 一、选择题 1. 命题“，”的否定为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】命题“”的否定为“”. 2. 若集合，且，则的值为（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】令、分两种情况进行讨论求解即可，并检验集合元素的互异性. 【详解】因为集合，且，所以或. 若，则，此时，元素6重复，不符合集合元素的互异性； 若，则，，符合. 故. 3. 已知全集，集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可得，， 所以， 所以. 4. 集合，，的关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】把三个集合中的数写成同分母，比较被4除的余数. 【解答】，分子被4除余3， ，分子被4除余3， 为所有奇数除以4， 故，且是的真子集.于是，选B. 5. “”是“，成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求在上的最小值，得出“，成立”的等价条件的范围，再判断即可. 【详解】当时，，当且仅当时取等号. 所以“，成立”等价于“”. ，但不能推出，故“”是“，成立”的充分不必要条件. 6. 已知，，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】把表示成与的线性组合，再结合不等式的性质解出即可. 【解答】令，则，解得， 故. 由，，相加得. 7. 小明使用一架两臂不等长的天平称黄金.小明先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，你认为小明两次称得的黄金总重量（ ） A. 等于 B. 小于 C. 大于 D. 与左右臂的长度有关 【答案】C 【解析】 【分析】设左右臂长为，列力矩平衡式利用基本不等式即可求解. 【详解】设两次黄金质量分别为，左右臂长为. 由，，得，， 所以，当且仅当，即时取等号， 又因为，故，即小明两次称得的黄金总重量大于. 8. 已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】按区间端点平移，分类讨论，确定中的整数个数，即可求得答案. 【详解】中的整数为. 当时，，此时中不可能含有中的两个，不符合题意； 当时，中整数为，恰两个； 当时，，此时， 此时中整数为，恰两个； 当时，有三个整数，不符合题意； 当时，，此时， 有三个整数，不符合题意； 当时，，，有四个整数，不符合题意； 当时，，此时， 有三个整数，不符合题意； 当时，，，有三个整数，不符合题意； 当时，，此时， 有两个整数，符合题意； 当时，中整数为，恰两个，符合题意； 当时，，此时中不可能含有中的两个，不符合题意； 综上可知，实数的取值范围是或. 二、多选题 9. 已知实数满足，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】利用不等式的性质，注意分母的正负. 【解答】对于A：因为，取倒数得，正确； 对于B：因为，，所以，所以，正确； 对于C：取，左边，右边，不成立； 对于D：因为，所以，所以，正确. 10. 下列命题是真命题的是（　　） A. 函数的最大值为 B. 若，则的最小值是 C. 若，则的最大值是 D. 的最小值是 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，，， 所以，当且仅当时取0， 即的最大值为，A正确； 对于B，，则，故， 当且仅当时取等号，故的最小值为3，B错误； 对于C，，则，故， 当且仅当时取等号，C正确； 对于D，令，函数在上单调递增， 最小值为，故的最小值不是，D错误 11. 已知集合满足： ①； ②，若且，则； ③，若且，则. 则下列结论正确的是（ ） A. 若集合中有最大数，则集合中没有最小数 B. 若集合中没有最大数，则集合中可能没有最小数 C. ，使得 D. ，存在无理数，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据新定义，结合选项，逐项分析即可求解. 【详解】由所给条件，可知集合中的元素都小于集合中的元素， 对于A，若集合中的元素有最大数，则必然存在一个有理数，使得，，因此中没有最小数，故A正确； 对于B，若集合中的元素没有最大数，则必然存在一个数，使得，且且，有， 如果是有理数，则，且，则有最小数为； 如果是无理数，则，且，则没有最小数，故B正确； 对于C，假设存在且，由，若且，则， 取，则，但，与矛盾. 故对任意，都有，故C错误； 对于D，由C选项可知，，可得，而两个不等的有理数之间必存在无理数， 所以存在无理数，使得，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 12. 若，，则集合的非空真子集的个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】先按集合的定义，从集合中取两个不等元素相乘，利用互异性去重，得到集合并确定元素个数；再根据结论：含个元素的集合，非空真子集个数为，代入求值即可. 【详解】， 乘积：， 由集合元素互异性，得， ∴集合B 有3个元素， ∴故非空真子集的个数为. 13. 某班学生进行了三次数学测试，第一次有12名学生得满分，第二次有10名学生得满分，第三次有12名学生得满分.已知前两次均为满分的学生有9名，三次测试中至少有一次得满分的学生有15名.若后两次均为满分的学生至多有名，则的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】用容斥原理表示后两次均满分的人数. 【解答】设后两次均满分的有名，第一、三次均满分的有名，三次均满分的有名. 由容斥原理，得. 因为，所以，当时，取可行， 故后两次均为满分的学生至多有名，即. 14. 已知集合，.若，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【详解】先求，再由分类. 【解答】，等价于. 当时，，得， 当时，， 当时，， 所以，所以，不符合题意， 当时，，此时A有两个不同元素，由得，即方程的两个根为-1和3， 无解， 综上所述的取值范围为. 四、解答题 15. （1）已知集合，，求，； （2）已知，，求与的范围. 【答案】（1），；（2），. 【解析】 【详解】（1）由并集、补集的定义即可求解； （2）由不等式的性质即可求解. 【解答】（1）因为已知集合，， 所以，，. （2）由，, 得，， 所以. 又，， 所以. 16. 已知命题：，使不等式恒成立；命题：，. （1）若命题是假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题有且仅有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由命题是假命题，等价于，使不等式，再由一元二次函数判别式即可求解. （2）分别对真假与假真求解即可. 【小问1详解】 若命题是假命题，则等价于，使不等式， 当时，不等式得到，故不满足要求， 当，则，解得， 当时，开口向下，必存在使函数值小于，满足要求， 综上或. 【小问2详解】 若命题是真命题，则真：当时成立， 当时，得， 当时，开口向下，不恒成立， 故真， 真或. 若真假：且，得； 若假真：则或，且或 解得或. 综上实数的取值范围为. 17. 已知集合，集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，结合交集运算求解即可； （2）分析可知，分和两种情况，结合包含关系运算求解即可. 【小问1详解】 若， 当时，则，解得，显然符合题意； 当时，则或， 解得：空集或； 综上所述：实数的取值范围为. 【小问2详解】 由是的充分不必要条件，可知：是的真子集， 当时，则，解得，显然符合题意； 当时，则或， 解得或 综上所述：实数的取值范围为. 18. 如图，设矩形（）的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，求的最大面积及相应的的值. 【答案】时，的最大面积为 【解析】 【详解】由，则， ， ，解得， ， 由题意可知，， 则， 在中，由勾股定理可得，， 解得：， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，   故当时，的最大面积为． 19. 已知集合为非空数集，定义，. （1）若集合，直接写出集合及； （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，且，求中元素个数的最大值. 【答案】（1），； （2）证明：因为，，且， 所以集合也有四个元素，且都为非负数. 因为，，所以且. 所以集合中其他元素为，，， 即， 剩下的差值包括， 因为,且,所以,即. 因为, 且,所以或. 若,则,与矛盾; 所以,则. 此时也属于. 所以 所以,. 所以； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据定义直接求解即可； （2）由题意利用集合与中的元素间的关系证明即可； （3）由题意建立集合间的关系，并列出不等式确定集合元素个数的范围，最后求出最大值即可． 【小问1详解】 由题意得，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设表示集合中的元素个数， 设满足题意，其中， 因为， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 中最小的元素为，最大的元素为， 所以， 所以，所以， 实际当时满足题意，证明如下： 设，， 则，， 由题意得， 即，故的最小值为． 即时，满足题意， 综上所述，集合中元素的个数为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $