精品解析：山东省烟台市第二中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

高一10月份数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知全集，集合，为素数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知全集和它的两个非空子集，的关系如图所示，则下列命题正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知函数的定义域是，则的定义域是（　　） A. B. C. D. 5. 函数的值域是（　　） A. B. C. D. 6. 下列命题为真命题的是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 7. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 8. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘，取出黄金放在天平右盘使天平平衡；再将砝码放在天平右盘，再取出黄金放在左盘，使天平平衡，将称得的黄金交给顾客，则（　　） A. B. C. D. 以上都有可能 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知命题，；命题，，若一真一假，则实数的可能值为（　　） A. B. C. D. 10. 已知，，，则（ ） A. 且 B. C. D. 11. 不等式对任意的恒成立，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 函数的定义域是__________. 13. 设，，若，则的最小值为__________． 14. 若不等式对任意都成立，则实数m的取值范围为___________． 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 设全集，集合，，其中. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知，. （1）若，解不等式； （2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 17. 已知关于的不等式. （1）若不等式的解集是，求的值： （2）若，求此不等式的解集. 18. 已知实数、满足：. （1）求和的最大值； （2）求的最小值和最大值. 19. 已知实数，，满足. （1）求证：. （2）将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数，使得对任意的，，恒成立，求的值. （3）继续推广，自然数，，满足什么条件时，不等式对任意，，恒成立？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一10月份数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知全集，集合，为素数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用交集的运算，即求出中不是素数的数组成的集合. 【详解】由，即为中不是素数的数组成的集合， 则. 故选：D 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，分析两集合的元素的关系，逐项判断结论. 【详解】因为， ， 因为， 所以， 故选：B. 3. 已知全集和它的两个非空子集，的关系如图所示，则下列命题正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】判断出，根据子集的定义对各个选项逐个判断即可求解． 【详解】由图可知，且，非空， 则根据子集的定义可得： 对于，，不正确， 对于，，正确， 对于，，不正确， 对于，，不正确， 故选：． 4. 已知函数的定义域是，则的定义域是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为的定义域是，所以，所以的定义域为. 则，解得，所以的定义域为. 5. 函数的值域是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分离常数，利用. 【详解】.因为，所以，故， 6. 下列命题为真命题的是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【详解】对于选项A，取，则即，故A错误； 对于选项B，，与同向相加得，故B正确； 对于选项C，，故C错误； 对于选项D，当时，，故D错误. 7. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值的定义和分式不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得，所以，解得， 又由，可得，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 8. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘，取出黄金放在天平右盘使天平平衡；再将砝码放在天平右盘，再取出黄金放在左盘，使天平平衡，将称得的黄金交给顾客，则（　　） A. B. C. D. 以上都有可能 【答案】A 【解析】 【详解】设左右臂长分别为，用杠杆平衡列式，再利用基本不等式求解． 【解答】设左、右臂长分别为（），由得， 由得，所以， 当且仅当时取等号， 已知，故． 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知命题，；命题，，若一真一假，则实数的可能值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】先求为真时的范围，进而得出一真一假时的范围，进而判断选项． 【解答】若为真，则；若为真，则，解得， 若一真一假，则或，则选项中只有5满足条件． 10. 已知，，，则（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，可得，即可判断，同理判断，判断A；利用基本不等式可判断B，C，D； 【详解】对于A，，，，则，故，同理可得，A正确； 对于B，，，， 当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，，，则， 则， 当且仅当，即时取等号，C错误； 对于D，由于，故， 当且仅当时取等号，而，故，D正确， 故选：ABD 11. 不等式对任意的恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】将原不等式转化为一元二次不等式恒成立问题，根据二次函数的性质求解. 【详解】 可整理为 ，根据二次函数的性质有： ，故A正确； 当时，满足 ，即原不等式成立，B错误； 由 ，得 ，所以 ，C正确； ，D正确； 故选：ACD． 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 函数的定义域是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，结合分母不为零、零指数幂的定义进行求解即可. 【详解】函数， 则，即，即定义域是. 故答案为： 13. 设，，若，则的最小值为__________． 【答案】16 【解析】 【分析】把乘以得到，后用均值定理 【详解】解：，且且 ∴ 当且仅当取等号， 又，即，时取等号，故所求最小值为16． 故答案为：16 【点睛】考查均值定理的应用，基础题 14. 若不等式对任意都成立，则实数m的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用参变分离法将不等式化成，只需求函数在上的最小值即得参数m的取值范围. 【详解】由不等式对任意都成立，可得不等式对任意都成立， 因，，则得， 故得，即实数m的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 设全集，集合，，其中. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求及其补集； （2）将问题转化为是的真子集，即可列不等式求解. 【小问1详解】 时，，所以. 【小问2详解】 由题意是的真子集，需且，解得.故. 16. 已知，. （1）若，解不等式； （2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2）. 【解析】 【分析】（1）时原不等式化为，即可求解； （2）原不等式恒成立可化为恒成立，分类讨论即可求解. 【详解】（1）当，不等式即，即， 解得，或， 故不等式的解集为或. （2）由题意可得恒成立， 当时，显然不满足条件， ∴. 解得， 故的范围为. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题. 17. 已知关于的不等式. （1）若不等式的解集是，求的值： （2）若，求此不等式的解集. 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）由题意可知1和5是方程的两个根，且，然后利用根与系数的关系列方程可求得结果； （2）分，，，，五种情况求解不等式即可. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以1和5是方程的两个根，且， 则，解得，故. 【小问2详解】 当时，由题意得， 当时，可化为，解得， 由（），解得或， 当时，由，得或， 当，即时，由，得， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，由，得， 综上，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 18. 已知实数、满足：. （1）求和的最大值； （2）求的最小值和最大值. 【答案】（1）； （2）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）使用基本不等式根据所求解的目标代数式进行合理的配凑计算求解； （2）使用基本不等式，注意根据所求解的目标代数式进行合理的配凑计算求解. 【小问1详解】 ∵，∴， ∵，∴，∴， 当且仅当、或、时等号成立，∴的最大值为， ∵，∴， ∵， ∴，∴， ∴，当且仅当、时等号成立，∴的最大值为； 【小问2详解】 ∵，∴， ∵，∴，即， 当且仅当、或、时等号成立，∴的最小值为， 又，∴，即， 当且仅当、或、时等号成立， ∴的最大值为. 19. 已知实数，，满足. （1）求证：. （2）将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数，使得对任意的，，恒成立，求的值. （3）继续推广，自然数，，满足什么条件时，不等式对任意，，恒成立？ 【答案】（1） 证明：因为，所以，，， 所以 ， 当且仅当，即，即时等号成立， 所以， 所以. （2）2或3 （3） 【解析】 【分析】（1）由关系，结合基本不等式证明，再证明结论， （2）不等式可变形为，结合（1）求的最小值，由此可得的值， （3）不等式可变形为，利用基本不等式求的最小值，由此可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 可变形为 ， 由（1）知的最小值为4，所以. 又，且，所以或3. 【小问3详解】 类似（2），不等式恒成立， 即恒成立， 而 ， 当且仅当， 即时等号成立， 所以，即， 即. 所以当自然数，，满足时，不等式对任意，，恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $