精品解析：吉林长春净月外国语实验学校2026-2027学年上学期初二年级期中考试数学试卷

长春外国语学校（净月、南关） 2026～2027学年上学期初二年级期中考试 数学 本试卷包括三道大题，共6页．全卷满分为120分，考试时间为100分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 3.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 25的平方根是（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴25的平方根是． 2. 下列各数中是无理数的是（ ） A. B. C. 3.1415926 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：，是整数，属于有理数； 是分数、是有限小数，均属于有理数； 开方开不尽，是无理数， 故只有A选项符合题意． 3. 下列各式中，运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、与不是同类项，无法合并； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意. 4. 下列以a、b、c为三边长的三角形中，是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】验证各选项中两较短边的平方和与最长边的平方是否相等，即可判断是否为直角三角形． 【详解】解：A．，，，不是直角三角形． B．，，，不是直角三角形． C．，，，是直角三角形． D．，，，不是直角三角形． 5. 如图，在边长为的大正方形中挖掉一个边长为的小正方形，再把余下部分剪拼成一个长方形（无重叠无缝隙），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用含a、b的式子分别表示出两个图形中阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解：左边图形中阴影部分的面积为， 右边图形中阴影部分的面积为， ∵两个图形中阴影部分的面积相等， ∴． 6. 如图，在中，是的平分线，于点E．若，，则的面积为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作于点F，由角平分线的性质得到的长，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于点F， ∵是的平分线，，， ∴， 又∵， ∴． 7. 古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角便是直角，这样做的道理是（ ）． A. 直角三角形两个锐角互余 B. 三角形的稳定性 C. 勾股定理 D. 勾股定理的逆定理 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m， ∵（3m）2+（4m）2=（5m）2， ∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形） 故选：D． 【点睛】此题考查了勾股定理的证明，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单． 8. 如图，长方体的高为4，底面长为3，宽为1，一只蚂蚁从长方体的表面点爬到点．则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）． A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面展开—最短路线问题，勾股定理，无理数的大小比较．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：按照正面和右面展开，如下， ∴， ∴； 按照正面和上面展开，如下， ∴， ∴； 按照上面和左面展开，如图3， ∴， ∴； ∵， ∴需要爬行的最短距离是， 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 10. 比较大小： ______ （填 、或） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，比较两个正无理数的大小，通过比较它们的平方值来判断即可 【详解】解：，，且 ， 故答案为： 11. 命题“对顶角相等”的逆命题是____命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】 【分析】本题主要考查命题与定理，对顶角的定义，先根据原命题的题设得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角， 此逆命题为假命题． 故答案为：假． 12. 已知在中，，D是上一点，满足，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】由等边对等角得到，，设，则，再根据三角形内角和定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴； 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13. 如图，将一根长的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】取最大值时，筷子在杯内长度最短，即竖直放置；取最小值时，筷子在杯内长度最长，即斜放构成直角三角形斜边.利用勾股定理求出杯内最长长度即可确定的范围． 【详解】解：当筷子竖直放置时，筷子在杯内的长度最短，为杯子的高，  的最大值为； 当筷子斜放，底端和顶端分别在杯底和杯口相对边缘时，筷子在杯内的长度最长， 由勾股定理得，杯内最长长度， 的最小值为，  的取值范围是． 14. 如图，是等腰直角三角形，．点E是底边上一点（不与B、C重合），将点E绕点A逆时针旋转得到点F，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③线段长度的最大值为； ④当时，的面积为． 上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】连接、，先根据等腰直角三角形的定义和勾股定理求出的值，再证明，即可判断①②的结论；根据勾股定理可得，由垂线段最短可得当时，有最小值，利用勾股定理求出此时的长，即可判断③的结论；证明，求出的长，进而求出的面积，即可判断④的结论． 【详解】解：如图，连接、， ∵是等腰直角三角形，， ∴ ∴，故①正确； 由旋转的性质可得，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，，故②正确； 在中，由勾股定理得， 由垂线段最短可知，当时，有最小值， 此时有， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， 当时，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②④． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 简便计算：． 【答案】 【解析】 【分析】将2025和2027改写为与2026相差1的形式，再通过公式展开化简即可． 【详解】解：原式． 16. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再应用完全平方公式，即可求解，本题考查了因式分解，解题的关键是：熟练应用完全平方公式，进行因式分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 17. 先化简，再求值（3a4－2a3）÷（－a）－（a－a2）•3a，其中a=－ 【答案】-a2 ，-. 【解析】 【分析】先运用整式四则混合运算法则化简，最后将a=－代入计算即可． 【详解】解: （3a4－2a3）÷（－a）－（a－a2）•3a =-3a3+2a2－3a2+3a3 =-a2； 当a=时，-a2=-（－）2=-． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，正确的运用整式四则混合运算法则化简是解答本题的关键． 18. 已知矩形沿直线折叠，使点C落在同一平面内处，与交于点E，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题以折叠问题为背景，主要考查了轴对称的性质以及勾股定理．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的对应边和对应角相等．解题时，我们常设所求的线段长为，然后用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．先根据等角对等边，得出，再设，在直角三角形中，根据勾股定理列出关于的方程，求得的值即可． 【详解】解：由折叠得，， 由得，， ， ， 设，则， 在直角三角形中，，即， 解得， 的长为． 19. 规定一种运算：若，则．例如：若，则． （1）根据上述规定填空： ，（， ）； （2）小语在研究这种运算时发现一种现象：．下面是她的证明过程． 证明：设，则，即． ∴．∴．∴． 请用这种方法证明：． 【答案】（1）2； （2）证明：设， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据所给的定义求解即可； （2）设，根据定义得到，根据同底数幂乘法的运算法则推出，则，据此证明即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； ∵， ∴； 【小问2详解】 略 20. 图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长为的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上，且三边均为无理数． （1）在图①中，的面积为； （2）在图②中，的面积为； （3）在图③中，的面积为． 【答案】（1）如图所示： （2）如图所示： （3）如图所示： 【解析】 【小问1详解】 解：由网格的特性可知，、、， 、， ， 是直角三角形， ， ； 【小问2详解】 解：同（1）可证明是直角三角形， 、， ； 【小问3详解】 解：同（1）可证明是直角三角形， 、， ． 21. 如图，在与中，，，，点D为的中点，． （1）求证：； （2）若，则的长度 ． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴ （2） 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质推出，证明，则可利用证明； （2）过点A作于点F，连接，可证明，利用全等三角形的性质得到的长，则可求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，过点A作于点F，连接， ∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∴由平行线距离相等可得； 由（1）得， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，某市的两条道路，经过旅游景点和景点．为了促进当地旅游发展，要在区的一块平地上修建一个度假村，按照设计要求，使度假村到景点和景点的距离相等，且到两条道路和的距离也相等． （1）运用直尺和圆规作图，作出修建的度假村的位置（保留作图痕迹，不写作法） （2）根据以上信息，在所作的图形中连接，，求证：． 【答案】（1）如图所示，点为所作的点： （2）证明：过点作的垂线，交的延长线于点，过点作的垂线，交于点 则 度假村到景点和景点的距离相等，且到两条道路和的距离也相等 【解析】 【分析】本题考查了作图：（1）点为的垂直平分线和的角平分线的交点；（2）过点作的垂线，交的延长线于点，过点作的垂线，交于点，先证明，得到即可证明． 【小问1详解】 以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，用尺子做辅助线连接弧的交点，可以得到的垂直平分线．再以为圆心，以为半径画圆弧，为圆心，以为半径画圆弧，连接弧的交点与点，所得到的就是的角平分线．点为的垂直平分线和的角平分线的交点． 【小问2详解】 略 23. 阅读材料： 若实数x满足，求代数式的值． 解：设，，则， ∴． ∴． 类比应用： （1）若，求的值； （2）若，则的值为 ； （3）已知正方形的边长为a，点P和点R分别是边和上的点，且，，分别以和为边长作正方形和正方形．若图中阴影部分长方形的面积是4，则正方形和正方形的面积和为 ． 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，则，再根据完全平方公式的变形求解即可； （2）设，则，再根据完全平方公式的变形求解即可； （3）由题意得，，，根据阴影部分的面积可得，设，则，，再根据完全平方公式的变形求出的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：设，则， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：设，则， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：由题意得，，， ∵阴影部分的面积是4， ∴， 设，则， ∴， ∴ ， ∴正方形和正方形的面积和为． 24. 【问题原型】如图①，在中，．点D是边上的一个动点，连结，将线段绕点A逆时针旋转得到线段．点F是边的中点，连结，求线段的最小值． 【问题解决】如图②，将图①中的点F绕点A顺时针旋转至点G，易知点G恰好为线段的中点，连结． （1）求证：． （2）若求线段的最小值，即求线段的最小值．由于点D是边上的一个动点，所以作于点H，线段的长即为的最小值，则这个最小值为　　　，这样做依据的是　　　（填序号）； ①两点之间，线段最短； ②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【类比应用】如图③，等边三角形的边长为4，点E是中线上的动点，连结，将绕点C逆时针旋转得到线段，连结．当取得最小值时，的周长为　　　． 【答案】【问题解决】（1）由旋转得，， ∴， ∴， ∴； （2），②；【类比应用】 【解析】 【分析】（1）证明，即可得到； （2）由，得，则的最小值即为（垂线段最短），那么解直角三角形得到； （3）连接，先证明，则，，证明，则点F轨迹为线段，故当时，最小，则，而，则由勾股定理得，在中，，由勾股定理得，则，则在中，由勾股定理得，即可求解周长． 【详解】解：（1） 略 （2）∵， ∴， ∴的最小值即为（垂线段最短）， ∵点为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，②； （3）连接， ∵为等边三角形， ∴， ∵由旋转得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形，为中线， ∴， ∴， ∴点F轨迹为线段， ∴当时，最小， ∴， ∵在中，， ∴， ∴由勾股定理得， 在中，，由勾股定理得， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴此时周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，等边三角形的性质等，正确构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春外国语学校（净月、南关） 2026～2027学年上学期初二年级期中考试 数学 本试卷包括三道大题，共6页．全卷满分为120分，考试时间为100分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 3.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 25的平方根是（ ） A. B. C. 5 D. 2. 下列各数中是无理数的是（ ） A. B. C. 3.1415926 D. 3. 下列各式中，运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列以a、b、c为三边长的三角形中，是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 如图，在边长为的大正方形中挖掉一个边长为的小正方形，再把余下部分剪拼成一个长方形（无重叠无缝隙），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，是的平分线，于点E．若，，则的面积为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 7. 古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角便是直角，这样做的道理是（ ）． A. 直角三角形两个锐角互余 B. 三角形的稳定性 C. 勾股定理 D. 勾股定理的逆定理 8. 如图，长方体的高为4，底面长为3，宽为1，一只蚂蚁从长方体的表面点爬到点．则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）． A. 5 B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算：______． 10. 比较大小： ______ （填 、或） 11. 命题“对顶角相等”的逆命题是____命题（填“真”或“假”）． 12. 已知在中，，D是上一点，满足，，则的度数为______． 13. 如图，将一根长的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是______． 14. 如图，是等腰直角三角形，．点E是底边上一点（不与B、C重合），将点E绕点A逆时针旋转得到点F，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③线段长度的最大值为； ④当时，的面积为． 上述结论中，正确结论的序号有______． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 简便计算：． 16. 因式分解：． 17. 先化简，再求值（3a4－2a3）÷（－a）－（a－a2）•3a，其中a=－ 18. 已知矩形沿直线折叠，使点C落在同一平面内处，与交于点E，，求的长． 19. 规定一种运算：若，则．例如：若，则． （1）根据上述规定填空： ，（， ）； （2）小语在研究这种运算时发现一种现象：．下面是她的证明过程． 证明：设，则，即． ∴．∴．∴． 请用这种方法证明：． 20. 图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长为的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上，且三边均为无理数． （1）在图①中，的面积为； （2）在图②中，的面积为； （3）在图③中，的面积为． 21. 如图，在与中，，，，点D为的中点，． （1）求证：； （2）若，则的长度 ． 22. 如图，某市的两条道路，经过旅游景点和景点．为了促进当地旅游发展，要在区的一块平地上修建一个度假村，按照设计要求，使度假村到景点和景点的距离相等，且到两条道路和的距离也相等． （1）运用直尺和圆规作图，作出修建的度假村的位置（保留作图痕迹，不写作法） （2）根据以上信息，在所作的图形中连接，，求证：． 23. 阅读材料： 若实数x满足，求代数式的值． 解：设，，则， ∴． ∴． 类比应用： （1）若，求的值； （2）若，则的值为 ； （3）已知正方形的边长为a，点P和点R分别是边和上的点，且，，分别以和为边长作正方形和正方形．若图中阴影部分长方形的面积是4，则正方形和正方形的面积和为 ． 24. 【问题原型】如图①，在中，．点D是边上的一个动点，连结，将线段绕点A逆时针旋转得到线段．点F是边的中点，连结，求线段的最小值． 【问题解决】如图②，将图①中的点F绕点A顺时针旋转至点G，易知点G恰好为线段的中点，连结． （1）求证：． （2）若求线段的最小值，即求线段的最小值．由于点D是边上的一个动点，所以作于点H，线段的长即为的最小值，则这个最小值为　　　，这样做依据的是　　　（填序号）； ①两点之间，线段最短； ②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【类比应用】如图③，等边三角形的边长为4，点E是中线上的动点，连结，将绕点C逆时针旋转得到线段，连结．当取得最小值时，的周长为　　　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $