2026-2027学年北师大版八年级数学上册期中测试卷

2026-2027学年北师大版八年级数学上册期中测试卷 测试范围:第1章勾股定理位置与坐标 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．随着低空经济上升为国家战略，贵州正探索一条契合山区特色的发展路径，以“无人机通航干线航空”构建的立体服务网络，将持续为乡村振兴注入全新动能．某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行后，再向北飞行到达社区配送点，如图，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．若升级后的导航系统支持直线飞行，则从仓库到社区配送点的最短路程比原来少（     ） A． B． C． D． 2．在，，，，（相邻两个之间的个数依次增加）中，无理数的个数是（     ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，若点在第四象限，且点M到x轴的距离为2，到y轴的距离为4，则的值为（     ） A．2 B． C． D．6 4．选材新风向|剪纸  一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸如图所示，点A与点B对称，点C与点D对称，若将其放置在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，则点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 5．若实数满足，则的算术平方根为（     ） A．4 B．8 C． D． 6．有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左、右肩上各“生长”出一个小正方形，这三个正方形围成的三角形是直角三角形．再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，如图2所示．“生长”了2026次后，形成的图形中所有正方形的面积之和是（     ） A．2027 B．2026 C． D． 7．老师设计了一个“接力游戏”，需要几位同学合作完成二次根式的运算．如图，老师把题目交给第一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（     ） A．只有丁 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁 8．在如图所示的长方形中，动点从点出发，沿图中箭头所示的方向运动，每当碰到长方形的边时就会反弹．已知第次碰到边时的位置为点，第次碰到边时的位置为点，…，当点第次碰到长方形的边时，点的坐标是（   ）． A． B． C． D． 9．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜜蜂点的最短距离为（     ） A． B． C． D． 10．已知5个正数a，b，c，d，e满足：，，则代数式的取值可以是（     ） A．10 B．22 C．23 D．24 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．若能与最简二次根式合并同类二次根式，则x的值为______． 12．如图，，且点、的坐标分别为、，则点的坐标是________． 13．如图所示的网格是正方形网格，则_______°（点，，是网格线交点）． 14．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为______． 15．如图，在网格中画一条线段，连接点和点，然后为内部与该线段相交的个小方格涂色，若连接点和点，并为内部与该线段相交的小方格涂色，要涂______个小方格． 16．在中，，，，在上分别取点D、E，使线段将分成面积相等的两部分，则长度的最小值是_______． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（8分）按要求解答下列各题： (1)已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． ①求a，b，c的值； ②求的平方根． (2)已知m是的整数部分，n是的小数部分，求的值． 19．（8分）在正方形网格中，每个小正方形的边长为，点，，，．与关于某直线成轴对称． (1)在网格内完善平面直角坐标系； (2)点坐标是________，点坐标是________； (3)与的对称轴是________． 20．（8分）如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点的位置上． (1)若，求的度数； (2)若，求长． 21．（10分）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，点C坐标满足，连接． (1)C点的坐标为 ，四边形的面积为 ； (2)点D是x轴上一个动点，当的面积为10时，求点D的坐标． 22．（10分）在平面直角坐标系中，对于任意线段，我们给出如下定义：线段上各点到轴距离的最大值叫做线段的“纵轴距”，记作，例如：，，则线段的“纵轴距”为3，记作．已知点，，连接． (1)当时，__________． (2)若，求的值． 23．（10分）综合运用：细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题： （是的面积）；（是的面积）；（是的面积）；… (1)请你直接写出__________，________________； (2)在线段中，长度为正整数的线段共有__________条； (3)我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以分母就变成了4，请仿照这种方法求的值． 24．（10分）综合探究： “在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”． 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是________； (2)若的三边的长分别为、、，请你利用构图法在图2中，画出符合题意的，并写出它的面积________． (3)已知，均为正实数，且，求的最小值． 小明同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长，通过分析，小明想到了构图法解决此问题，于是构造出图3，将问题转化为求线段的长，如图，，，，，，，则、的长分别表示为，．由于，当、、共线时，取等号，所以只要求出的长，就可以解决问题．请在图3中，求出的长，并说明理由．所以的最小值是________． (4)拓展应用：求代数式：（）的最小值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年北师大版八年级数学上册期中测试卷 测试范围:第1章勾股定理位置与坐标 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．随着低空经济上升为国家战略，贵州正探索一条契合山区特色的发展路径，以“无人机通航干线航空”构建的立体服务网络，将持续为乡村振兴注入全新动能．某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行后，再向北飞行到达社区配送点，如图，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．若升级后的导航系统支持直线飞行，则从仓库到社区配送点的最短路程比原来少（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过勾股定理计算两点之间的距离，再作差计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴从仓库到社区配送点的最短路程比原来少． 2．在，，，，（相邻两个之间的个数依次增加）中，无理数的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：无理数有，（相邻两个之间的个数依次增加），共有个． 3．在平面直角坐标系中，若点在第四象限，且点M到x轴的距离为2，到y轴的距离为4，则的值为（     ） A．2 B． C． D．6 【答案】C 【分析】第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴，， ,∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴，， ∴，， 解得，， ∴． 4．选材新风向|剪纸  一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸如图所示，点A与点B对称，点C与点D对称，若将其放置在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，则点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点与点对称，可求得对称轴直线，再根据点与点对称，即可求解． 【详解】解：与对称， 对称轴直线为：， 与点关于对称， 点的纵坐标， 可设点的坐标， 则可列方程为：， 解得， 点的坐标为． 5．若实数满足，则的算术平方根为（     ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性得出方程，求出方程的解，再代入求出算术平方根即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴， ∴的算术平方根为． 6．有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左、右肩上各“生长”出一个小正方形，这三个正方形围成的三角形是直角三角形．再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，如图2所示．“生长”了2026次后，形成的图形中所有正方形的面积之和是（     ） A．2027 B．2026 C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理和正方形的面积找到规律即可求出答案． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=正方形A的面积， 所以“生长”了1次后形成的图形中所有正方形的面积之和为． 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有正方形的面积之和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积之和为4， ……依此类推，“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积之和为， ∴“生长”了2026次后形成的图形中所有正方形的面积之和为． 7．老师设计了一个“接力游戏”，需要几位同学合作完成二次根式的运算．如图，老师把题目交给第一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（     ） A．只有丁 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁 【答案】D 【分析】根据二次根式的运算法则先计算，再逐个判断即可． 【详解】解：， 甲没有出现错误； ，不等于， 乙出现错误； ， 丙没有出现错误； ，不等于， 丁出现错误； 故自己负责的式子出现错误的是乙和丁． 8．在如图所示的长方形中，动点从点出发，沿图中箭头所示的方向运动，每当碰到长方形的边时就会反弹．已知第次碰到边时的位置为点，第次碰到边时的位置为点，…，当点第次碰到长方形的边时，点的坐标是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先依次写出每次碰撞点的坐标，找出运动周期规律，再用2026除以周期，根据余数判断第2026次碰撞对应的坐标． 【详解】解：根据题图，依次写出每次碰到长方形边的点坐标： 起点：， 第1次碰撞：， 第2次碰撞：， 第3次碰撞：， 第4次碰撞：， 第5次碰撞：， 第6次碰撞：， 观察坐标可得：每6次碰撞为一个循环周期， 计算周期余数：余， 即第次碰撞，对应一个周期里第个位置， 故第2026次碰撞对应的坐标为． 9．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜜蜂点的最短距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆柱的侧面展开图，结合两点之间线段最短（将军饮马问题）、勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图所示，点在圆柱侧面展开图所成矩形两边对边中点的连线上，过点作关于矩形上面一条边的对称点，连结，则的长就是蚂蚁到达蜂蜜点的最短距离． 过点作于点， 由题意得：， 在直角三角形中，由勾股定理得： ， 蚂蚁到达蜂蜜点的最短距离为． 10．已知5个正数a，b，c，d，e满足：，，则代数式的取值可以是（     ） A．10 B．22 C．23 D．24 【答案】A 【分析】根据题意，推出，，，，令，推出，即可得出结果. 【详解】解：∵a，b，c，d，e均为正数，且，， ∴，，，， 令， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴代数式的取值可以是10. 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．若能与最简二次根式合并同类二次根式，则x的值为______． 【答案】3 【分析】先化简，根据同类二次根式的定义得到被开方数相等，列出等式求解即可． 【详解】解：能与最简二次根式合并同类项，且，二者为同类二次根式， 被开方数相等，即， 解得． 12．如图，，且点、的坐标分别为、，则点的坐标是________． 【答案】 【分析】根据点、的坐标求出、的长，利用全等三角形对应边相等求出、的长，结合图形确定点的位置，进而得出点的坐标． 【详解】解：， ， ∵， ，，即轴， 点在轴正半轴，由图可知点在点的右侧， 点的横坐标为， ， 轴，且，点在第一象限， 点的坐标． 13．如图所示的网格是正方形网格，则_______°（点，，是网格线交点）． 【答案】45 【分析】本题考查正方形网格中的角度计算，解题核心是通过构造辅助线，利用勾股定理和等腰直角三角形的性质，求出相关角的度数，再计算差值． 【详解】解：如图所示，连接各格点， ，，， ， ，， ，， ， 14．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为______． 【答案】/ 【分析】通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，再计算、、……，得出规律即可解决． 【详解】解：根据题意得：，点表示的数为2，点表示的数为3， 即点表示的数为，， ∴， ∴， 同理，，……， 以此类推可得， 当n为奇数时，； 当n为偶数时，， ∴． 15．如图，在网格中画一条线段，连接点和点，然后为内部与该线段相交的个小方格涂色，若连接点和点，并为内部与该线段相交的小方格涂色，要涂______个小方格． 【答案】400 【分析】根据纵坐标差的绝对值与横坐标差的绝对值的和，减去两个绝对值的最大公约数，求解即可； 【详解】解：根据题意，得，连接点和点，然后为内部与该线段相交的个小方格涂色， 故即纵坐标差的绝对值与横坐标差的绝对值的和，减去两个绝对值的最大公约数， 故连接点和点，并为内部与该线段相交的小方格涂色，要涂小方格的数量为：． 16．在中，，，，在上分别取点D、E，使线段将分成面积相等的两部分，则长度的最小值是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、垂线段最短、正弦的定义、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．先用勾股定理逆定理判定为直角三角形，可得，面积为30．如图：过C作垂足为，由垂线段最短可知的最小值为，运用等面积法可求得；然后求出，进而验证是否符合题意即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴为直角三角形，．面积为． 过C作垂足为， 由垂线段最短可知的最小值为， ∵， ∴，解得：； 假设符合题意，即，作于点H， ， ， ， ∵的面积为， ∴，解得：， ∴点符合题意， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： . （2）解： . （3）解： . （4）解： . 18．（8分）按要求解答下列各题： (1)已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． ①求a，b，c的值； ②求的平方根． (2)已知m是的整数部分，n是的小数部分，求的值． 【答案】(1)①，，； ②； (2)． 【分析】（1）①根据立方根、算术平方根的定义，无理数的估算方法作答即可； ②将a，b，c代入计算，再计算的平方根即可； （2）先根据无理数的估算方法求出m、n的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：①∵的立方根是3，， ∴， 解得：， ∵的算术平方根是4，， ∴， ∴， ∵c是的整数部分，即， ∴； ② ， ∴的平方根； （2）解：∵， ∴， ∴它的整数部分， ∵， ∴， ∴它的小数部分， ∴． 19．（8分）在正方形网格中，每个小正方形的边长为，点，，，．与关于某直线成轴对称． (1)在网格内完善平面直角坐标系； (2)点坐标是________，点坐标是________； (3)与的对称轴是________． 【答案】(1) (2)； (3)y轴 【分析】（1）根据点A和点C的坐标确定坐标轴和原点的位置，据此作图即可； （2）根据轴对称的性质，画出，进而写出点的坐标即可； （3）根据对应点的坐标，结合关于y轴对称的点的坐标特点可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：由图可知，点坐标是，点坐标是； （3）解：∵，， ∴点A与点的横坐标互为相反数，纵坐标相同， ∴点A与点关于y轴对称， 同理可得点C与点关于y轴对称， ∴与的对称轴是y轴． 20．（8分）如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点的位置上． (1)若，求的度数； (2)若，求长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长方形的性质可得，可得，再根据折叠可得，即可求出； （2）设，则，根据勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）解：在长方形中，， ， 根据折叠可得， ； （2）解：在长方形中，， 设，则， 根据折叠可得， 根据勾股定理可得， 即， 解得， 则． 21．（10分）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，点C坐标满足，连接． (1)C点的坐标为 ，四边形的面积为 ； (2)点D是x轴上一个动点，当的面积为10时，求点D的坐标． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）先根据非负数的性质求出C点的坐标，再分别计算出，，最后根据即可得出结果； （2）设，当在的左边时，；当在的右边时，，据此分别得出面积的表达式，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵且，， ∴，， ∴，， ∴C点的坐标为， ∵， ∴， ∴，， ∴． （2）解：设， 当在的左边时，， ∴， 解得：， ∴此时为， 当在的右边时，， ∴，解得：， ∴此时为， 综上：点D的坐标为或． 22．（10分）在平面直角坐标系中，对于任意线段，我们给出如下定义：线段上各点到轴距离的最大值叫做线段的“纵轴距”，记作，例如：，，则线段的“纵轴距”为3，记作．已知点，，连接． (1)当时，__________． (2)若，求的值． 【答案】(1)3 (2)4或 【分析】（1）将代入，求出C、D的坐标，根据“纵轴距”新定义，取横坐标绝对值的最大值即可； （2）根据“纵轴距”定义，分别令两点横坐标的绝对值等于5，求出m，再回代检验，舍去不符合条件的值即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴． （2）解：∵点，，， ∴点C的横坐标为，点D的横坐标为， 若，解得或， ∵当时，，， ∴，符合题意； ∵当时，，， ∴，不符合题意； 若，解得或， ∵当时，，， ∴，不符合题意； ∵当时，，， ∴，符合题意； 综上，m的值为4或． 23．（10分）综合运用：细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题： （是的面积）；（是的面积）；（是的面积）；… (1)请你直接写出__________，________________； (2)在线段中，长度为正整数的线段共有__________条； (3)我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以分母就变成了4，请仿照这种方法求的值． 【答案】(1)8； (2)44 (3) 【分析】（1）根据已有的等式，抽象出相应的数字规律即可； （2）根据边长正好是根号下一个正整数的平方时，出现的就是正整数，分析2023最接近哪个正整数的平方即可； （3）先进行分母有理化，再进行计算即可． 【详解】（1）解：； ； ； …， 由此发现：， ∴，； （2）解：线段的长度分别为， ∵， ∴中整数有44个， 即长度为正整数的线段共有44条； （3）解： 24．（10分）综合探究： “在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”． 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是________； (2)若的三边的长分别为、、，请你利用构图法在图2中，画出符合题意的，并写出它的面积________． (3)已知，均为正实数，且，求的最小值． 小明同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长，通过分析，小明想到了构图法解决此问题，于是构造出图3，将问题转化为求线段的长，如图，，，，，，，则、的长分别表示为，．由于，当、、共线时，取等号，所以只要求出的长，就可以解决问题．请在图3中，求出的长，并说明理由．所以的最小值是________． (4)拓展应用：求代数式：（）的最小值． 【答案】(1) (2)如图，即为所求， ； 3 (3)的长为5，理由如下： 如图，过点C作交的延长线于点， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ，， ，， 在中，， 则的长为5； 5 (4)5 【分析】（1）根据构图法，用正方形的面积减去周围三角形的面积，即可求解； （2）利用构图法及勾股定理，画出，再计算出面积即可； （3）过点C作交的延长线于点，利用勾股定理即可求出的长；从而求出的最小值； （4）根据（3）的思路，构造图形，将代数式的最小值转化为求线段的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图， ， 则的面积是； （2）解：如图，即为所求， ， 则的面积是； （3）解：， 当、、共线时，取得最小值，即的长为5， 的最小值是5； （4）解：如图，，，，，，，则、的长分别表示为，， 则（）的最小值即为的最小值，即的长， 如图，过点C作交的延长线于点， 同（3）可得，，， 在中，， 则（）的最小值为5． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $