精品解析：四川达州市宣汉县樊哙中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

四川省宣汉县樊哙中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项是一元一次方程，不是一元二次方程； B选项含有两个未知数，不是一元二次方程； C选项可化为 ，是一元二次方程； D选项分母含有未知数，不是一元二次方程． 2. 下列属于矩形、菱形、正方形共有的性质的是（ ） A. 四条边相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形的性质求解即可． 【详解】解：矩形，菱形，正方形都具有的性质：对角线互相平分． 四条边相等是菱形、正方形共有的性质，对角线相等是矩形和正方形共有的性质， 对角线互相垂直是菱形、正方形共有的性质． 3. 如图，已知△ABC，直线与边AB、AC分别相交于点D、E，直线与边AB、AC分别相交于点F、G，，那么下列比例式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理及其推论，结合相似三角形的性质，逐项判断比例式是否成立； 【详解】解：对于A，， ， ，故A不符合题意； 对于B，， ，， ，， ， ，故B符合题意； 对于C，， ， 又， ，故C不符合题意； 对于D，， ，故D不符合题意． 4. 菱形的面积为，一条对角线是，那么菱形的另一条对角线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于菱形对角线乘积的一半计算即可． 【详解】解：设另一条对角线长为 cm， ∵菱形的面积为，一条对角线是， ∴， ， ． 5. 已知一元二次方程的两根为、，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用因式分解法求解一元二次方程，再根据确定两根的值，代入计算即可得到结果. 【详解】解： ， 或 解得，， ， ，， ∴. 6. 如图，在正方形内部以为边作等边，连接交于点F，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得出，，再根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 7. 如图，在中，于E，，且a是一元二次方程的根，则的周长为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次方程并结合题意可得，从而得出，由勾股定理可得，即可得出结果． 【详解】解：解得，， ∵，且a是一元二次方程的根， ∴， ∴， ∵在中，于E， ∴， ∴的周长为． 8. 如图，在钝角三角形中，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为/秒，点E运动的速度为/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（ ）     A. 3秒或4.8秒 B. 3秒 C. 4.5秒 D. 4.5秒或4.8秒 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题． 根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，和，可求运动的时间是3秒或4.8秒． 【详解】解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是x秒， ①若，则， ∴， 解得：； ②若，则， ∴， 解得：． ∴当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或4.8秒． 故选：A 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：先对所求分式拆分变形得， ∵ ， ∴ ， 将代入， 原式． 10. 如图，在中，D为的中点，以为斜边作，F为的中点．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由求出，结合中点定义求出，再次利用直角三角形斜边中线性质求出； 【详解】解：在中，为的中点，， ， 为的中点， ， 在中，为的中点， ． 11. 若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为，即可求出另一个根 ． 【详解】解：已知方程为 得 或 ， 解得，， 方程的一个根是，  ， 因此方程的另一个根为2． 12. 黄金分割，又称黄金比、中外比，是一个数学常数，它描述了一种特殊的比例关系：将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分的比值，等于全长与较长部分的比值，这个比值就是黄金分割比．自然界中就充满着黄金比，校园里一片小小的树叶，叶筋上一点为恰好为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_____．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和成比例线段，根据黄金分割的定义，较长部分与较短部分的比值等于全长与较长部分的比值，设AP为较长部分，列出方程并求解． 【详解】设的长度为，则的长度为． 由黄金分割的定义，得 ， 即． 变形，得 ． 解得 ，． 由于且，因此取． 故的长度为. 故答案为：． 13. 如图，是矩形的对角线的中点，是的中点．若，，则四边形的周长为_______. 【答案】20 【解析】 【分析】先由，得到，然后结合矩形的性质得到，再结合点和点分别是和的中点得到和的长，最后得到四边形的周长． 【详解】解：， ， ，， ， 点和点分别是和的中点， ，，是的中位线， ， ． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理，解题的关键是熟知矩形的性质． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解方程 （1）；（配方法） （2）；（公式法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）把方程化为：，可得，再进一步解方程即可； （2）先求解，再利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 配方得：，即， 开方得：， ∴，； 【小问2详解】 解：，即， ∴，，， ∴， ∴， 即，． 15. 如图，在平行四边形中，E为上一点，连接，F为上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴； ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质证明； （2）由相似三角形的性质推出，进而计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 16. 中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出10盒． （1）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到3360元； （2）该商场每天所获得的利润是否能达到3400元？若能，求出此时每盒的售价；若不能，请说明理由． 【答案】（1）当月饼每盒售价为164元或168元时，每天的销售利润恰好能达到3360元； （2）解：该商场每天所获得的利润不能达到3400元，理由如下： 设每盒月饼降价y元， 由题意得， 整理得， ∴， ∴原方程无解， ∴该商场每天所获得的利润不能达到3400元． 【解析】 【分析】（1）设每盒月饼降价x元，根据题意列出方程求解即可； （2）每盒月饼降价y元，根据题意列出方程，验证方程是否有解即可． 【小问1详解】 解：设每盒月饼降价x元， 由题意得， 整理得， 解得或， ∴或 答：当月饼每盒售价为164元或168元时，每天的销售利润恰好能达到3360元； 【小问2详解】 略 17. 图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． （1）求证：； （2）求此公益广告牌的高度． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）米 【解析】 【分析】（1）根据垂直的意义得到，得到结合进行求证即可； （2）通过和求出，再由求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴（米）， 同理可得，， ∴， ∵米， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：公益广告牌的高度为4.5米． 18. 已知，四边形中，，，连接，平分． （1）如图1，求证：四边形是菱形； （2）如图2，当时，点F为线段上一点，连接，以为边长作等边（点E与点C在直线同侧），连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点G，连接，若，，求线段的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴，四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）证明：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 即． （3）7 【解析】 【分析】（1）由已知条件先证得四边形是平行四边形，再由角平分线的性质证得，进一步得出，从而得证结论； （2）由菱形的性质结合已知条件证得是等边三角形，进一步证得，利用全等三角形的性质得出，从而得证结论； （3）延长至点K，使，连接，由（2）的结论先证得点D，C，E三点共线，再证明，结合等边三角形的性质得出，设，通过倒角得出，证出，再进一步证得，利用相似三角形对应边成比例求得，进一步得到最终结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长至点K，使，连接， 由（2）知，， ∴，， ∵， ∴， ∴点D，C，E三点共线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则与的面积之比为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ，， ∴， ∴， 则与的面积之比为． 20. 若实数a，b满足，且，则的值为_________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】，满足同一个一元二次方程，且，可将，看作该方程的两个不等实根，利用根与系数的关系计算目标式子的值． 【详解】解：∵实数，满足，，且， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系可得， 故． 21. 如图，在平面直角坐标系中，矩形三个顶点A、B、C的坐标分别为、、，将沿翻折得，交x轴于点E，则点D的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作于点F，根据矩形和折叠的性质得到，利用勾股定理求出，，利用等面积法求出，进而得到，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于点F， ∵矩形三个顶点A、B、C的坐标分别为、、 ∴，，， ∴ 由折叠得，，，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点D的坐标是． 22. 如图，在中，点E是边的中点，交对角线于点F，若，则_______． 【答案】12 【解析】 【分析】由已知易得，由此可得，从而可得，这样即可由解得，，从而可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．判断：方程_______“邻根方程”（填“是”“不是”）；若关于x的一元二次方程 （m是常数） 是“邻根方程”，则m的值为_____________． 【答案】 ①. 是 ②. 或 【解析】 【分析】先求解第一个方程得到两根，根据“邻根方程”定义判断，再对第二个一元二次方程求解得到两根，根据定义列方程计算的值． 【详解】解：解方程，因式分解得， 解得，， ，满足一个根比另一个根大，符合“邻根方程”定义， 方程是“邻根方程”。 对一元二次方程因式分解得：， 或， 解得或， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得或． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 已知关于x的一元二次方程 有两个实数根，. （1）当时，求m的值； （2）若该方程的两个实数根，是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为，求m的值． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）根据根与系数的关系得出，，然后代入求解即可； （2）根据已知得出，变形后代入求出即可． 【小问1详解】 解：根据一元二次方程根与系数的关系，得，， ∵， ∴， 解得， 当时，，方程有两个实数根，符合题意， ∴； 【小问2详解】 解：根据一元二次方程根与系数的关系，得：，， ∵​、是矩形两邻边，对角线长为， 由勾股定理得：， 即：​， ∴， 解得， 当​时，，方程有两个实数根，符合题意， 此时，，则，均为正数，也符合题意， ∴. 25. 正方形的内角平分线是一类较为特殊的平分线，可以推演出一些有趣的结论．如图1，在正方形中，为正方形对角线，是的平分线，且与边交于点． （1）求证：； （2）如图2，为中点，连接，若，则求的长． 【答案】（1）证明：如图，作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是的平分线， 又∵，， ∴，， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得，， ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）作于点，由角平分线的性质定理可得，容易判断是等腰直角三角形，则； （2）作于点，设，由（1）可知，，利用勾股定理表示出，进而求出，在中，利用勾股定理列方程求解出，进而求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作于点，设，则， 由（1）可知，， ∵四边形是正方形， ∴， 在中，， ∵为中点， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得（负根舍去）， ∴． 26. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： [观察与猜想] （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，的值为 　 　； （2）如图2，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为 　 　； [类比探究] （3）如图3，在中，，， ，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，． ①求的值． ②连接，若，直接写出的长度． 【答案】（1）1 （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）利用正方形性质，证明，即可得出； （2）利用正方形性质，证明，即可得出； （3）①先做辅助线，证明，再利用等角的正切相等和等面积法求出线段的长度，即可得出；②由①得，再利用勾股定理和相似性质求出的长度． 【小问1详解】 如图1，设与交于点G， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴=1； 故答案为：1； 【小问2详解】 如图2，设与交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问3详解】 ①如图4，过点C作于点G，连接交于点H，与相交于点O， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中， ，， ∴， 在中， ， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴a=（负值舍去）， ∴AH=，DH=， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵， ，， ∴， 由①得， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形，矩形的性质，全等和相似的判定及性质，严格的思维逻辑和集合语言的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省宣汉县樊哙中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列属于矩形、菱形、正方形共有的性质的是（ ） A. 四条边相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 3. 如图，已知△ABC，直线与边AB、AC分别相交于点D、E，直线与边AB、AC分别相交于点F、G，，那么下列比例式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 菱形的面积为，一条对角线是，那么菱形的另一条对角线长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一元二次方程的两根为、，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形内部以为边作等边，连接交于点F，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，于E，，且a是一元二次方程的根，则的周长为（ ） A. B. C. D. 或 8. 如图，在钝角三角形中，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为/秒，点E运动的速度为/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（ ）     A. 3秒或4.8秒 B. 3秒 C. 4.5秒 D. 4.5秒或4.8秒 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若，则__________． 10. 如图，在中，D为的中点，以为斜边作，F为的中点．若，则的长为______． 11. 若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 12. 黄金分割，又称黄金比、中外比，是一个数学常数，它描述了一种特殊的比例关系：将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分的比值，等于全长与较长部分的比值，这个比值就是黄金分割比．自然界中就充满着黄金比，校园里一片小小的树叶，叶筋上一点为恰好为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_____．（用含的代数式表示） 13. 如图，是矩形的对角线的中点，是的中点．若，，则四边形的周长为_______. 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解方程 （1）；（配方法） （2）；（公式法） 15. 如图，在平行四边形中，E为上一点，连接，F为上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 16. 中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出10盒． （1）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到3360元； （2）该商场每天所获得的利润是否能达到3400元？若能，求出此时每盒的售价；若不能，请说明理由． 17. 图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． （1）求证：； （2）求此公益广告牌的高度． 18. 已知，四边形中，，，连接，平分． （1）如图1，求证：四边形是菱形； （2）如图2，当时，点F为线段上一点，连接，以为边长作等边（点E与点C在直线同侧），连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点G，连接，若，，求线段的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则与的面积之比为____________． 20. 若实数a，b满足，且，则的值为_________． 21. 如图，在平面直角坐标系中，矩形三个顶点A、B、C的坐标分别为、、，将沿翻折得，交x轴于点E，则点D的坐标是______． 22. 如图，在中，点E是边的中点，交对角线于点F，若，则_______． 23. 定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．判断：方程_______“邻根方程”（填“是”“不是”）；若关于x的一元二次方程 （m是常数） 是“邻根方程”，则m的值为_____________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 已知关于x的一元二次方程 有两个实数根，. （1）当时，求m的值； （2）若该方程的两个实数根，是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为，求m的值． 25. 正方形的内角平分线是一类较为特殊的平分线，可以推演出一些有趣的结论．如图1，在正方形中，为正方形对角线，是的平分线，且与边交于点． （1）求证：； （2）如图2，为中点，连接，若，则求的长． 26. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： [观察与猜想] （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，的值为 　 　； （2）如图2，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为 　 　； [类比探究] （3）如图3，在中，，， ，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，． ①求的值． ②连接，若，直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $