精品解析：甘肃兰州市第三十五中学2026-2027学年九年级第一学期期中质量检测数学试卷

2026-2027-1九年级期中考试试卷 数学 （满分：120分，答题时间：120分钟） 1．考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在试卷及答题卡上． 2．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上． 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 9的相反数是（ ） A. B. C. D. 9 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 庆祝中华人民共和国成立77周年大会在北京天安门广场隆重举行，超过200000军民以盛大的阅兵仪式和群众游行欢庆共和国77华诞，将200000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 3. 下面四组线段中，不成比例的是（ ） A. 3、6、2、4 B. 4、6、8、10 C. 1、、、 D. 、、4、6 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项：，四条线段成比例，不符合题意； B选项：，四条线段不成比例，符合题意； C选项：，四条线段成比例，不符合题意； D选项：，四条线段成比例，不符合题意． 4. 若四条线段满足，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可得，，再代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 5. 用配方法解方程，配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：， 移项，得， 两边同时加，得， 配方得． 6. 若一元二次方程的两个实数根分别是、，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系定理，得到的值，再利用一次函数的性质，确定其图象的分布，解答即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程的两个实数根分别是、， ∴ ，， ∴ 一次函数解析式为， ∵ ，， ∴ 一次函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 7. 某市2024年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2026年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】明确增长年数为2，结合期初、期末覆盖率，利用增长率公式列方程即可． 【详解】解：根据题意得，即． 8. 下列说法正确的有几个（　　）①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相平分且垂直的四边形是菱形；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形进行分析即可． 【详解】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形，说法正确； （2）对角线互相垂直的四边形是菱形，说法错误； （3）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，说法正确； （4）对角线相等的平行四边形是矩形，说法正确． 正确的个数有3个， 故选C． 【点睛】此题主要考查了命题与定理，关键是掌握平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定方法． 9. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 【详解】解：对于一元二次方程，，，， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 10. 如图，在中，，分别交，于，，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】由 可得，结合求出的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 11. 如图，正方形中，，为的中点，将沿翻折得到，延长交于，，垂足为，连接、．以下结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用正方形的性质，轴对称的性质，平行线的判定定理，全等三角形的判定定理，相似三角形的判定定理，解直角三角形的知识对每个结论进行判断说明即可． 【详解】解：由折叠的性质，得，， ，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ∵， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故④错误； 综上所述，正确的个数是3． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12. 在实数，，，中，最大的数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据实数大小比较法则，正数大于0，0大于负数，先排除负数与0，再比较两个正数和的大小，即可得到最大的数． 【详解】解：∵是负数，因此， 和都是正数，都大于0，且， ∴， ∴最大的数是． 13. 已知线段，点P是线段AB的黄金分割点，则线段AP的长为_________．（用含根号的式子表示） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点，线段成比例的计算，公式法解一元二次方程，掌握黄金分割点的计算方法是解题的关键． 【详解】解：如图所示，设，则， ∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∴，整理得， ∴， ∵， ∴． 14. 如图，在时测得旗杆的影长是4米，时测得旗杆的影长是米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是_________米． 【答案】8 【解析】 【分析】设旗杆高为x，在两个小直角三角形里用勾股定理表示、，再在中利用勾股定理列方程，求出旗杆高度． 【详解】解：如图， 由题意得米，米，， 米， 设米， ，， ， ， ， ， ， ， 米，即旗杆的高度是米． 15. 如图，E、F分别是边长为2的菱形ABCD中边BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，△AEF的周长为m，则m的最小值是 ___． 【答案】3 【解析】 【分析】连接AC，由∠BAE+∠EAC＝∠EAC+∠CAF＝60°，可得∠BAE＝∠CAF，可证△ABE≌△ACF（ASA），得到AE＝AF，可知△AEF的周长＝3AE，过点A作AE⊥BC交于点E，此时AE最短，即△AEF周长最小，在Rt△ABE中，求出AE的长度即可求周长最小值． 【详解】解：连接AC， ∵菱形ABCD中，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵∠EAF＝60°， ∴∠BAE+∠EAC＝∠EAC+∠CAF＝60°， ∴∠BAE＝∠CAF， ∵∠B＝∠ACD＝60°，AC＝AB， ∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴AE＝AF， ∴△AEF是等边三角形； ∴△AEF的周长＝3AE， 当AE⊥BC时，AE最短，即△AEF周长最小， 在Rt△ABE中，AB＝2，∠B＝60°， ∴∠BAE＝30°， BE＝1， ∴AE＝， ∴△AEF周长最小为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查菱形、等边三角形的性质，通过证三角形全等对应边相等，得以证明△AEF是等边三角形，再由等边三角形的三条边相等，只需求AE的最短，根据垂线段最短进而求出最小周长是准确求解本题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解： 或 解得，． 17. 先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算括号内的多项式乘法与完全平方运算，再合并同类项，然后计算整式除法，最后代入，计算即可得出结果． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 18. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来 【答案】，数轴表示如下： 【解析】 【分析】先分别求解不等式组内两个一元一次不等式的解集，根据“大小小大中间找”确定不等式组的解集，然后利用数轴表示其解集． 【详解】解：， 解第一个不等式，得， 解第二个不等式，得， 原不等式组的解集为， 图略． 19. 解分式方程 【答案】 【解析】 【分析】方程两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程，求解后验根即可求解． 【详解】解：原方程为． 方程两边同乘，得． ． ． ． 当时，． 因此是原分式方程的解． 20. 已知：如图，是的角平分线，过点D分别作和的平行线交于点E，交于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，试求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴ ∴， ∴四边形是菱形； （2）24 【解析】 【分析】（1）由已知易得四边形是平行四边形，由角平分线和平行线的定义可得，进而证明，则四边形是菱形； （2）因为菱形的对角线互相垂直平分，可得，根据勾股定理得，则，最后根据菱形的面积即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接，与交于点O， ∵四边形是菱形， ∴互相垂直且平分， ∴， 根据勾股定理得， ∴， ∴四边形的面积． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质和判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟知菱形对角线 垂直平分是解题的关键． 21. 如图，在中（）． 实践与操作： （1）利用尺规按下列要求作图，注意保留作图痕迹，不写作法，但标明字母．步骤如下： ①在边上作一点P，使得点P到直线和直线的距离相等； ②在上作一点Q，使得； ③连接． 猜想与证明： （2）在所作的图中，试猜想四边形的形状，并加以证明． 【答案】（1）； （2）四边形为菱形； 理由：在中，， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， 由作图得：， ∴， ∴， ∴为菱形． 【解析】 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）先证明四边形为平行四边形，再结合已知即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 某学校新建了一个AI智慧自习教室，引进了“数字人模型”和“AI助教模型”两种模型供学生使用．使用一段时间后，对这两种模型的使用满意度进行了问卷调查（每份问卷涉及两种模型，评分均为的整数，单位：分），并随机抽取了20份调查问卷，对数据进行整理、分析，得到如下图表： “数字人模型”满意度调查条形统计图 “AI助教模型”满意度调查扇形统计图 请根据上述信息解答下列问题： 类别 平均数/分 中位数/分 众数/分 数字人模型 7 AI助教模型 8 8 （1）填空： _______，_______，_______，_______ （2）运营商对“AI助教模型”优化升级，已知所抽取的20份调查问卷中，评分为6分的有3人（2男1女），现从这3人中随机抽取2人进行座谈，请求出恰好抽到2名男生的概率． 【答案】（1）；；； （2） 【解析】 【分析】（1）利用求平均数的公式求出，利用中位数和众数的定义分别求出，，先求出扇形统计图中分所占百分比，用整体减去其他各部分的百分比即可求解； （2）用树状图列出所有可能性，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：， ∴； 一共个数据，从小到大排列，第和个数据的平均数是中位数， 由条形统计图知第和个数据都是， ∴中位数为， 即； 由扇形统计图可知“助教模型”中分出现次数最多， ∴； ∵扇形统计图中分占百分比为：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能性的结果，其中恰好抽到两名男生的情况有种， ∴（抽到名男生）． 23. 某商场将进价为元的商品以元售出，每天可售出件．现采用提高售价、减少销量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少件，若商场每天要赢利元，每件商品应涨价多少元？ 【答案】每件商品应涨价2元或6元. 【解析】 【分析】设每件商品涨价元，则每件商品的利润为元，日销售量为件，根据“”即可列方程，解出即可得商场每天要赢利元，每件商品应涨的价格． 【详解】解：设每件商品涨价元，则每件商品的利润为元，日销售量为件，根据题意得： ，整理得：，解得：，， ∵ 日销售量需大于0， ∴ ，即：， ∴，均满足，符合提高售价增加利润的要求， 答：每件商品涨价2元或6元时，商场每天赢利元． 24. 如图，中，为边上一点，连接、，它们相交于点，且． （1）求证：； （2）若，，则的长． 【答案】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质及已知条件进行等量代换后可得，再结合即可证得结论； （2）根据题意可设，，得到，证明， 利用相似三角形的性质即可求得的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴设，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 25. 定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“根差2方程”． （1）根据上述定义，下列方程中，是“根差2方程”的是________（填序号）： ①，②，③； （2）已知关于的方程（是常数）是“根差2方程”，求的值． 【答案】（1）①② （2）的值为或 【解析】 【分析】（1）先分别求出三个方程的两个根，计算两根之差，对照“根差2方程”定义判断； （2）利用求根公式写出两根表达式，用大根减小根等于2建立等式，化简求出m． 【小问1详解】 解：①，，，，是“根差2方程”； ②，，，，是“根差2方程”； ③，，，，不是“根差2方程”； 【小问2详解】 解：， ，， 关于的方程（是常数）是“根差2方程”， ， ， ， ， 或， 或， 经检验，当或时，，符合题意， ∴m的值为或． 26. 问题探究 （1）如图①，是的角平分线，若则的值为________； （2）如图②，在中，，，点，在边上．若，求的度数； 问题解决 （3）为优化种植结构及水资源配置，某村计划在一块平整的农田内修建两条笔直的田间小路，使得两条小路将该农田分割为四个区域，以种植不同种类的农作物；为方便灌溉，还需在两条小路的交汇处修建一个蓄水池，在蓄水池和水源接入口之间铺设一段地下输水管道． 如图③所示，四边形区域为农田，，为小路，小路的出口，分别在农田边界，上，与相交于点，点为蓄水池，点为水源接入口，为地下输水管道．根据种植需求，区域与区域的面积之比为，为了节约成本，还需使地下输水管道最短．已知，，，，请你帮助该村计算地下输水管道最短距离．（小路的宽，蓄水池的大小均忽略不计） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为点，根据角平分线性质定理得到，再由三角形面积公式求解即可； （2）证明，结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可； （3）先证明，得到，取的中点，连接，则，则点的轨迹为以为圆心，为直径的一段圆弧，，故当点三点共线时，取得最小值． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为点， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 取的中点，连接，则， ∴点的轨迹为以为圆心，为直径的一段圆弧，， ∵， ∴， ∴当点三点共线时（在线段上），取得最小值，如图： 过点作交于点， ∵， ∴， ∴此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027-1九年级期中考试试卷 数学 （满分：120分，答题时间：120分钟） 1．考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在试卷及答题卡上． 2．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上． 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 9的相反数是（ ） A. B. C. D. 9 2. 庆祝中华人民共和国成立77周年大会在北京天安门广场隆重举行，超过200000军民以盛大的阅兵仪式和群众游行欢庆共和国77华诞，将200000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下面四组线段中，不成比例的是（ ） A. 3、6、2、4 B. 4、6、8、10 C. 1、、、 D. 、、4、6 4. 若四条线段满足，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 5. 用配方法解方程，配方后可化为（ ） A. B. C. D. 6. 若一元二次方程的两个实数根分别是、，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 某市2024年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2026年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的有几个（　　）①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 10. 如图，在中，，分别交，于，，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 11. 如图，正方形中，，为的中点，将沿翻折得到，延长交于，，垂足为，连接、．以下结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12. 在实数，，，中，最大的数是_________． 13. 已知线段，点P是线段AB的黄金分割点，则线段AP的长为_________．（用含根号的式子表示） 14. 如图，在时测得旗杆的影长是4米，时测得旗杆的影长是米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是_________米． 15. 如图，E、F分别是边长为2的菱形ABCD中边BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，△AEF的周长为m，则m的最小值是 ___． 三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1） （2）． 17. 先化简再求值：，其中，． 18. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来 19. 解分式方程 20. 已知：如图，是的角平分线，过点D分别作和的平行线交于点E，交于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，试求四边形的面积． 21. 如图，在中（）． 实践与操作： （1）利用尺规按下列要求作图，注意保留作图痕迹，不写作法，但标明字母．步骤如下： ①在边上作一点P，使得点P到直线和直线的距离相等； ②在上作一点Q，使得； ③连接． 猜想与证明： （2）在所作的图中，试猜想四边形的形状，并加以证明． 22. 某学校新建了一个AI智慧自习教室，引进了“数字人模型”和“AI助教模型”两种模型供学生使用．使用一段时间后，对这两种模型的使用满意度进行了问卷调查（每份问卷涉及两种模型，评分均为的整数，单位：分），并随机抽取了20份调查问卷，对数据进行整理、分析，得到如下图表： “数字人模型”满意度调查条形统计图 “AI助教模型”满意度调查扇形统计图 请根据上述信息解答下列问题： 类别 平均数/分 中位数/分 众数/分 数字人模型 7 AI助教模型 8 8 （1）填空： _______，_______，_______，_______ （2）运营商对“AI助教模型”优化升级，已知所抽取的20份调查问卷中，评分为6分的有3人（2男1女），现从这3人中随机抽取2人进行座谈，请求出恰好抽到2名男生的概率． 23. 某商场将进价为元的商品以元售出，每天可售出件．现采用提高售价、减少销量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少件，若商场每天要赢利元，每件商品应涨价多少元？ 24. 如图，中，为边上一点，连接、，它们相交于点，且． （1）求证：； （2）若，，则的长． 25. 定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“根差2方程”． （1）根据上述定义，下列方程中，是“根差2方程”的是________（填序号）： ①，②，③； （2）已知关于的方程（是常数）是“根差2方程”，求的值． 26. 问题探究 （1）如图①，是的角平分线，若则的值为________； （2）如图②，在中，，，点，在边上．若，求的度数； 问题解决 （3）为优化种植结构及水资源配置，某村计划在一块平整的农田内修建两条笔直的田间小路，使得两条小路将该农田分割为四个区域，以种植不同种类的农作物；为方便灌溉，还需在两条小路的交汇处修建一个蓄水池，在蓄水池和水源接入口之间铺设一段地下输水管道． 如图③所示，四边形区域为农田，，为小路，小路的出口，分别在农田边界，上，与相交于点，点为蓄水池，点为水源接入口，为地下输水管道．根据种植需求，区域与区域的面积之比为，为了节约成本，还需使地下输水管道最短．已知，，，，请你帮助该村计算地下输水管道最短距离．（小路的宽，蓄水池的大小均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $