精品解析：甘肃省兰州市城关区兰州天庆实验中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025—2026学年第一学期九年级数学期中考试卷 一、选择题（共12题，每题3分） 1. 的倒数是（ ） A. 2017 B. C. D. 2. 下列四个立体图形中，从正面看到的图形与其他三个不同的是（　　） A. B. C. D. 3. 某种秋冬流感病毒的直径约为0.000000203米，该直径用科学记数法表示为(　　)米． A. 2.03×10﹣8 B. 2.03×10﹣7 C. 2.03×10﹣6 D. 0.203×10﹣6 4. 如图是一款儿童小推车的示意图，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 1 6. 如图，直线，分别交直线、于点、、、、、，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两人各投掷10次实心球的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差，的描述正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的三边，，的长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，点D是斜边的中点，以为边作正方形．若正方形的面积为16，则的周长为（ ） A. B. C. 12 D. 24 11. 若关于 x 的方程无解，则M的值为（ ） A. B. 4 C. D. 以上都对 12. 如图，已知E，F分别为正方形的边的中点，与交于点M，O为的中点，则下列结论：①，②，③，④．其中正确结论的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（共4题，每题3分） 13. 多项式分解因式的结果是______． 14. 已知，则的值为________． 15. 若a、b分别是关于x的方程的两个实数根，则的值是______． 16. 如图，D、E分别是的边上的点，，若，则______． 三、解答题（共12题） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）请在平面直角坐标系中画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在平面直角坐标系中画出； （3）的面积为______． 18. 计算： 19. 解不等式组： 20. 解方程： 21. 甲骨文是目前中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，嘉嘉在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同）．现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）嘉嘉从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“自”的概率为______． （2）嘉嘉从中随机抽取一张卡片不放回，琪琪再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率． 22. 如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 23. 如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，点M，N分别为、的中点，连接． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 24. 某学校为了更好地开展学生体育活动，组织八年级学生进行体育测试（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组，下面给出了部分信息： a．抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下： 组别 成绩/分 人数（频数） A 1 B 5 C m D 16 E 20 b．D组的数据：60，60，61，62，62，63，63，66，67，67，70，70，71，74，75，79 请根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的学生人数； （2）统计表中的___________，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为___________度； （3）抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为___________分； （4）若该校八年级共有800名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数． 25. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某经销商销售某品牌头盔，进价为30元/个，经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，且从2月份到4月份销售量的月平均增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率； （2）经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元／个，则月销售量将减少10个． ①为使月销售利润达到11250元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ ②若想使月销售利润达到12500元，则这个要求能否实现？请通过计算说明． 26. 《黑神话：悟空》在全球上线迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，展示了山西深厚的文化底蕴．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，某实践小组欲测量飞红塔的高度．如图，塔前有一棵高4米的小树，发现水平地面上点，树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，之间有一个花圃距离无法测量；在点处放置一平面镜（平面镜的大小忽略不计），沿所在直线后退，退到点处恰好在平面镜中看到树顶的像米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米．已知，，且点在同一水平线上．求飞虹塔的高度． 27. 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． （1）“全整根方程”的“最值码”是_____； （2）关于的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”； （3）若关于的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 28. 【探索发现】 如图1，是等边三角形，点为边上一个动点，将绕点逆时针旋转得到，连接．小明在探索这个问题时发现四边形是菱形． （1）直接写出线段，，之间的数量关系：______； 【理解运用】 如图2，在中，于点．将绕点逆时针旋转得到，延长与交于点． （2）判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展迁移】 （3）在（2）的前提下，如图3，将沿折叠得到，连接，若，，的长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期九年级数学期中考试卷 一、选择题（共12题，每题3分） 1. 的倒数是（ ） A. 2017 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相反数和倒数的基本概念，正确理解相反数是解题的关键．先计算的值，再求其倒数即可． 【详解】解：， ∵ 2017 的倒数为 ， 的倒数是 ， 故选：C． 2. 下列四个立体图形中，从正面看到的图形与其他三个不同的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据各个选项中的主视图解答即可． 【详解】A：主视图是第一层两个小正方形，第二层右边一个小正方形， B：主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形， C：主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形， D：主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形， 综上所述，A选项的主视图与其余选项不同， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三视图的判断，熟练掌握相关方法是解题关键. 3. 某种秋冬流感病毒的直径约为0.000000203米，该直径用科学记数法表示为(　　)米． A. 2.03×10﹣8 B. 2.03×10﹣7 C. 2.03×10﹣6 D. 0.203×10﹣6 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】0.000000203=2.03×10﹣7． 故选：B． 【点睛】此题考查用科学记数法表示较小的数，解题关键在于掌握一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4. 如图是一款儿童小推车的示意图，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角定理． 首先根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角性质即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴； 故选：A． 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，先进行同分母的减法运算，再把分子因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】解： ． 故选： B． 6. 如图，直线，分别交直线、于点、、、、、，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：∵， ，，，， 选项、、正确， 故选：B． 7. 甲、乙两人各投掷10次实心球的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差，的描述正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了方差，正确理解方差与数据集中性的关系是关键．方差越小，数据越集中，据此可得答案． 【详解】解：由图可知，乙的成绩比甲的成绩更加的集中，所以． 故选：C． 8. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组． 根据甲和乙的陈述，甲得乙9只羊后，羊数是乙的2倍；乙得甲9只羊后，两人羊数相等．由此列出二元一次方程组． 【详解】解：设甲有x只羊，乙有y只羊， 甲得乙9只羊后，甲有只，乙有只，且； 乙得甲9只羊后，乙有只，甲有只，且； ∴方程组为． 故选：B． 9. 如图，的三边，，的长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积．过点作于点，作于点，作于点，由，，是的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得，然后利用三角形面积的计算公式表示出、、，结合已知，即可得到所求的三个面积的比． 【详解】解：过点作于点，作于点，作于点． ，，是的三条角平分线，，， ， 的三边、、长分别为20、30、40， ． 故选C． 10. 如图，在中，，点D是斜边的中点，以为边作正方形．若正方形的面积为16，则的周长为（ ） A. B. C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地求出的长是解题的关键．由四边形是面积为16的正方形，求得，由中，点D是斜边的中点，求得，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是面积为16的正方形， ∴，且， ∴， ∵中，，点D是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选：B． 11. 若关于 x 的方程无解，则M的值为（ ） A. B. 4 C. D. 以上都对 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的解，分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的能令最简公分母为0，据此进行解答．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出的值即可． 【详解】解： ， ， 当，即，方程无解， 当时，即， 把代入得：， 解得：； 把代入得：， 解得：， 综上，M的值为或4或， 故选：D． 12. 如图，已知E，F分别为正方形的边的中点，与交于点M，O为的中点，则下列结论：①，②，③，④．其中正确结论的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，证明，得出，通过导角证明，可判断①；根据可判断②；证明，根据对应边成比例可判断③；过点M作于点N，证明，结合勾股定理可判断④． 【详解】解：在正方形中，，， E，F分别为边的中点， ． 在和中，， ， ． ， ， 故①正确； 是的中线， ， ， 故②错误； 设正方形的边长为，则， 在中，． ，， ， ，即， 解得，， ， ， 故③正确； 如图，过点M作于点N， ，， ， ，即， 解得，， ． 根据勾股定理，得， ，， ． 故④正确． 综上所述，正确的结论有①③④共3个， 故选B． 二、填空题（共4题，每题3分） 13. 多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查“提公因式法和公式法的因式分解综合”，熟悉因式分解的方法是解题关键． 先提取公因式，再对余下的部分应用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】原式==， 故答案为：． 14. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据，得出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， 故答案为： 15. 若a、b分别是关于x的方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，解题关键是掌握若方程的两个实数根分别为、，则，．根据方程的根得到，，再整体代入计算求值即可． 【详解】解：a、b分别是关于x的方程的两个实数根， ，， ， ， 故答案为：． 16. 如图，D、E分别是的边上的点，，若，则______． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，由，易得，，于是，进而得到，从而推出结果． 【详解】解：， ， ，即 ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共12题） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）请在平面直角坐标系中画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在平面直角坐标系中画出； （3）的面积为______． 【答案】（1） 如图所示，即为所作图形． （2） 如图所示，即为所作图形． （3） 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形，画位似图形，坐标与图形，熟练掌握位似的性质，轴对称的性质是解题的关键． （1）在坐标系中分别画出点关于轴对称的点，再顺次连接三点就可得所求三角形； （2）将，坐标乘以得到，再顺次连接三点就可得所求三角形； （3）根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求得的面积． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：的面积为． 18. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，关键是熟练应用运算法则进行计算；根据二次根式的乘除法和加减法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 19. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：， 所以，不等式组的解集为． 20. 解方程： 【答案】, 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，方程运用因式分解法求解即可． 【详解】解： ，， ∴, ． 21. 甲骨文是目前中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，嘉嘉在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同）．现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）嘉嘉从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“自”的概率为______． （2）嘉嘉从中随机抽取一张卡片不放回，琪琪再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，理解题意是解决本题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）通过画树状图，可得共有12种等可能结果，其中，两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词一共有2种，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：一共有文、明、自、由，4张卡片，嘉嘉从中随机抽取一张卡片， ∴抽取卡片上的文字是“自”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词结果有2种， ∴（两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词）． 22. 如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程等，熟练掌握待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点，利用函数图象直接得出不等式的解集，是解答此题的关键． （1）把点分别代入函数和，求出a、b的值即可； （2）根据（1）中两个函数的解析式得出A、B两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论； （3）直接根据两函数图象的交点坐标即可得出结论． 【小问1详解】 解：将点代入， 得，解得， ∴， 将点代入， 得，解得， ∴， ∴这两个函数的解析式分别为和； 【小问2详解】 解：在中，令，得， ∴． 在中，令，得， ∴． ∴； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时，． ∴不等式的解集为：． 23. 如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，点M，N分别为、的中点，连接． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点M，N分别为、的中点， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，掌握这些判定与性质是关键； （1）由平行四边形的性质得，，则有，由即可证明； （2）由得，从而有，则可得，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 某学校为了更好地开展学生体育活动，组织八年级学生进行体育测试（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组，下面给出了部分信息： a．抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下： 组别 成绩/分 人数（频数） A 1 B 5 C m D 16 E 20 b．D组的数据：60，60，61，62，62，63，63，66，67，67，70，70，71，74，75，79 请根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的学生人数； （2）统计表中的___________，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为___________度； （3）抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为___________分； （4）若该校八年级共有800名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数． 【答案】（1）50人 （2）8，144 （3）70 （4）576人 【解析】 【分析】本题考查频数分布表，扇形统计图，求中位数，利用样本估计总体等： （1）用B组人数除以所占百分比即为所求； （2）m等于总人数减去其它各组的人数，E组人数占总人数的比例乘以360度即为对应的圆心角的度数； （3）根据中位数的定义求解； （4）利用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：（人） 即随机抽取的学生人数为50人； 【小问2详解】 解：， 扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为：， 故答案为：8，144； 【小问3详解】 解：将50人成绩从低到高排序，第25和26人的平均分为中位数， ，， 第25和26人在D组，结合 D组数据可得第25和26人成绩均为70分， 抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为70分， 故答案为：70； 【小问4详解】 解：（人） 即估计此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数为576人． 25. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某经销商销售某品牌头盔，进价为30元/个，经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，且从2月份到4月份销售量的月平均增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率； （2）经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元／个，则月销售量将减少10个． ①为使月销售利润达到11250元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ ②若想使月销售利润达到12500元，则这个要求能否实现？请通过计算说明． 【答案】（1） （2）①55元； ②不能实现，理由如下： 由题意得：， 整理得：， ， 方程无实数根， 不能实现利润为12500元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为，根据经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设该品牌头盔的实际售价每个应增长元，则此时售价为元， ①根据使月销售利润达到11250元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； ②根据使月销售利润达到12500元，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价每个应增长元，则此时售价为元， ①由题意得：， 解得：，， 当时，月销售量为个； 当时，月销售量为个， 因需要尽快减少库存，故应选择销售量大的方案，所以，舍去， ， 答：该品牌头盔的实际售价每个应定为55元； ②略 26. 《黑神话：悟空》在全球上线迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，展示了山西深厚的文化底蕴．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，某实践小组欲测量飞红塔的高度．如图，塔前有一棵高4米的小树，发现水平地面上点，树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，之间有一个花圃距离无法测量；在点处放置一平面镜（平面镜的大小忽略不计），沿所在直线后退，退到点处恰好在平面镜中看到树顶的像米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米．已知，，且点在同一水平线上．求飞虹塔的高度． 【答案】飞虹塔的高度为米． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．先证明，求出的长，再证明即可求出答案． 【详解】解：已知，，，点B，D，E，G在同一水平线上，米，米，米， ∴， 由平面镜反射可知，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∵米， ∴（米）， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴飞虹塔的高度为米． 27. 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． （1）“全整根方程”的“最值码”是_____； （2）关于的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”； （3）若关于的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】本题考查定义，一元二次方程根的判别式，正确理解全整根方程、全整根伴侣方程、最值码的定义是解题的关键． （1）根据“最值码”定义求解即可． （2）求出方程的判别式，再根据“全整根方程”得的值是一个完全平方数时，求出的值，从而求得b与c的值，代入中，即可求出最值码． （3）分别求出两方程的最值码，根据，即可得出的值． 【小问1详解】 解：对于方程，可知： ，，， ， ， ， “全整根方程” 的“最值码”是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：对于方程，，，， ， ， ． 方程是“全整根方程”， 是完全平方数， 又，且为整数， ， 完全平方数为36、49、63， 当时，不为整数，不符合， 当时，为整数且，符合， 当时，不为整数，不符合． 只有当时，才是完全平方数， ，， ， ， ， 一元二次方程的“最值码”为． 【小问3详解】 解：对于方程，，，， ， ， ， ． 对于，，，， ， ， ． 是的“全整根伴侣方程”， ， ， ， ， ， ， ， ， 或． 、均为正整数， 不符合题意， ， 故的值为2． 28. 【探索发现】 如图1，是等边三角形，点为边上一个动点，将绕点逆时针旋转得到，连接．小明在探索这个问题时发现四边形是菱形． （1）直接写出线段，，之间的数量关系：______； 【理解运用】 如图2，在中，于点．将绕点逆时针旋转得到，延长与交于点． （2）判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展迁移】 （3）在（2）的前提下，如图3，将沿折叠得到，连接，若，，的长为______． 【答案】（1） （2）四边形是正方形，理由如下： ∵绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （3） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形和全等三角形的性质． （1）先证明、、在同一直线上，根据证明，则，，可得； （2）先根据，证明得四边形是矩形，由邻边相等可得四边形是正方形； （3）根据证明，根据及勾股定理可得结论． 【详解】（1）解：线段之间的数量关系：， 理由是：由旋转得：， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴、、在同一直线上， ∴， 故答案为：； （2） 略 （3）如图3，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵绕点A逆时针旋转，得到， ∴， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $