精品解析：江苏扬州市江都区大桥高级中学2026-2027学年高三上学期10月学情检测数学试卷

2026~2027学年第一学期10月学情检测 高 三 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 3．本试卷共4页，考试时间为120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，故且， 所以. 2. 已知，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察角的关系：，利用诱导公式转化为，再用余弦二倍角公式代入求值. 【详解】， 由​，可得 故. 3. 曲线在点处的切线方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对函数求导，得到切线斜率，再根据点斜式写方程即可. 【详解】因为，则，所以切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 4. 已知，，则“”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为函数是定义在上的单调递增函数，所以等价于． 选项A、取，满足，但此时， 说明无法推出，充分性不成立，选项A错误； 选项B、取，满足，但此时， 说明无法推出，充分性不成立，选项B错误； 选项C、对数函数的定义域为，且在定义域上单调递增， 若，则，可推出，充分性成立； 若即， 当或时，或无意义，无法推出，必要性不成立， 因此是的充分不必要条件，选项C正确； 选项D、指数函数是定义在上的单调递增函数， 等价于，即等价于， 因此是的充要条件，选项D错误． 5. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在射线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦函数的终边定义求解即可. 【详解】在角的终边上取点，可得. 6. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别分析分段函数两端的单调性，时单调递增，时求导恒成立，求出，再结合分段点处左段函数值不大于右段函数值的衔接条件，解得，取两者交集得到的取值范围. 【详解】由题意可知，在上单调递增， 当时，， 令，则，所以， 要使在上单调递增，则必有， 求解可得，所以的取值范围为. 7. 已知函数在上仅存在极小值，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导后按的符号讨论导函数的零点及其区间两侧符号；当时，利用在上的最小值判断极值情况即可. 【详解】由题意得． 当时，在上严格递增，且时，， 故导函数有且仅有一个零点，且导数值从左到右由负变正，函数仅有极小值； 当时，，函数无极值； 当时，当时，则； 当时，令，则，， 当时，，当时， 则在上递减，在上递增，最小值为 ，且在这两个区间的另一端均趋于． 则当时，，仅在时取等号，函数无极值； 当时，导函数有两个正零点，导数值的符号依次为正、负、正，函数既有极大值又有极小值． 综上，的范围是． 8. 在锐角中，D为边BC的中点，点E在线段AD上，若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用直角三角形斜边中线性质求出中线AD的长度，再通过双三角形余弦定理边角联立得到边长平方关系，结合余弦定理推导出cosA关于边长比值的表达式，利用锐角三角形约束得到边长比值范围，最后结合对勾函数单调性求出cosA的取值范围. 【详解】记的内角，，的对边分别为，，， 由可知，，所以，所以， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 所以，即，而， 所以， 因为为锐角，所以， 所以，即，解得，即， 因为为锐角，所以， 所以，即，解得，即， 所以， 令，设，则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以时取得最小值， 当，， 当，， 所以 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 在区间上单调递减 D. 当，为方程的两个不同的解时，的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图象确定振幅、周期求出，代入最高点求初相得到解析式；利用整体代换求出正弦函数单调区间，判断C；解方程，分析两根差值的最小值判断D. 【详解】对于A，由图可知，且，所以，A选项正确； 对于B，由A选项分析知，将点代入解析式可得， 则，，即， 又，所以，B选项正确； 对于C，由，则时，单调递减， 可得，其中.取，得递减区间为. 所以在区间单调递增，在区间单调递减，C选项错误； 对于D，当，为方程的两个解时，令， 所以或，其中， 可得，即，故的最小值为，D选项正确. 10. 设，均为正数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，直接使用均值不等式进行求解即可；对于B选项，利用“1”的代换结合均值不等式进行求解即可；对于C选项，首先根据对数运算可得：，然后根据均值不等式进行求解即可；对于D选项，由可得：，代入后根据均值不等式进行求解即可. 【详解】对于A，由题意得，当且仅当时取等号，即，A选项正确； 对于B，，当且仅当时取等号，且，故，B选项错误； 对于C，，且，故，C选项正确； 对于D，，当且仅当时取等号，D选项正确. 11. 已知函数，及其导函数，的定义域均为，，，关于点对称，则（　　） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对 A，由 的中心对称性平移得到 的中心对称性，据此确定对称中心处的函数值；对 B，由 求导并结合 推出 的轴对称性，再用赋值法求 ；对 C、D，由中心对称与轴对称关系式推出 、 的周期性，再用整周期分组法求两处和. 【详解】因为函数，及其导函数，的定义域均为， 又，，关于点对称， 所以逐一分析各个选项如下： 对于A：令，则关于点中心对称， 则，即， 则关于中心对称，则，故A正确； 对于B：由，可得， 所以，又， 所以，所以关于中心对称， 则关于轴对称，故，又因为， 令，得，故，故B错误； 对于C：由A可知，关于中心对称，即， 由B可知关于轴对称，即，因此有①， 可推导出②， ②式①式，得，所以是以4为周期的函数．因为， 所以，， ， 故也是以4为周期的函数，则 ， 又，故，又， 因此， 故，故C错误． 对于D：令，则也是以4为周期的函数． 因为关于轴对称，故有， 故由可得， 故有， 因此有． 由B可知，， 由C可知，，则， 故， 因此． 因为为以4为周期的函数，令， 则也是以4为周期的函数． 因为关于轴对称，且，故， 因此 ， ， 所以，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知两单位向量，满足，则，的夹角为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由单位向量，满足，化简得，再结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由单位向量，满足， 可得， 又因为，可得， 设向量与的夹角为，且， 因为，所以. 13. 已知函数，（）满足恒成立，则_________，若锐角满足，则_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据余弦函数的对称轴、三角函数的二倍角余弦公式以及诱导公式计算即可. 【详解】由得，函数的对称轴为. 对于余弦函数在对称轴处取得最值，将代入， ，解得. 因为，所以取得，此时. 若锐角满足，那么， 即，解得. 所以，而， 所以，解得. 因为为锐角，即，所以，所以. 所以. 14. 已知对于，都有，则的取值范围__________． 【答案】 【解析】 【分析】原不等式等价于，然后通过研究，，，单调性可得答案. 【详解】因为，此时，即， 令，设，函数定义域为， 可得，因为函数在上单调递增，又， 所以，即，整理得， 设，函数定义域为，， 当时，，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 所以当时，取极小值也是最小值，最小值，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在梯形中，，，，， （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在三角形中利用余弦定理直接求解； （2）利用余弦定理及正弦定理求解即可. 【小问1详解】 如图， 因为梯形中，， 所以， 由余弦定理可得， 所以. 【小问2详解】 在中，， 又， 在中，， 所以， 又， 由正弦定理可得：，即， 解得. 16. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，与相交于点平面是线段的中点. （1）求证：平面； （2）若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求. 【答案】（1）证明：四边形是菱形，互相平分，且， 则为的中点， 又是线段的中点，连接，， 平面平面，且， 由线面平行的判定定理，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位线定理及线面平行的判定定理可得； （2）建立空间直角坐标系，并设，用向量的方法求面面角的余弦值，进而可得的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形是菱形，互相平分，且. . 由于平面平面，则， 又，所以，故两两垂直. 以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 设，则，. 设平面的一个法向量为，且 则，即， 取，则，. 设平面的一个法向量为，， 则，即， 取，则，. 平面与平面所成锐二面角的余弦值为，且，， 所以，即， ，，即，解得，或（舍去），即. 17. 某项考试按理论考试、实操考试两科目依次进行，只有当理论考试成绩合格时，才可继续实操考试．已知每科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，每次理论考试成绩合格的概率均为，每次实操考试成绩合格的概率均为．假设各次考试成绩合格与否均互不影响． （1）求他可获得证书的概率； （2）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1）； （2）随机变量的分布列为 2 3 4 ． 【解析】 【分析】（1）理论考试和实操考试各有两次机会，分别求出至少一次合格的概率，两者相乘即得获得证书的概率； （2）分析的所有可能取值，逐一列举每种取值对应的所有考试结果组合，利用独立性和互斥性计算概率，最后求期望． 【小问1详解】 设理论考试合格为事件，实操考试合格为事件， 理论考试有两次机会，至少一次合格的概率为：， 实操考试有两次机会，至少一次合格的概率为：， 因为只有理论合格后才能参加实操，所以获得证书的概率为： 【小问2详解】 设“第一次理论考试合格”为事件，“理论考试补考合格”为事件； “第一次实操考试合格”为事件，“实操考试补考合格”为事件； 由已知得，， 注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得 ， ， ， 所以，随机变量的分布列为 2 3 4 参加考试次数的期望值． 18. 已知函数 （1）求函数的对称中心； （2）若方程在上有两个解，求的范围； （3）将函数的图象上所有点向下平移1个单位得到曲线，再将上的各点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若，，不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式对化简，再利用三角函数的图象与性质求解即可； （2）结合在取值，根据有两个解，确定答案； （3）利用给定变换求出及在上的最小值，再利用关于的一次函数列出不等式组求解即得. 【小问1详解】 因为， 所以， 令，，解得，，所以对称中心为，． 【小问2详解】 因为，所以，因为， 当，即时，单调递增， 当，即，单调递减， 当或时，， 当时，， 所以方程在上有两个解，所以． 【小问3详解】 因为函数的图象上所有点向下平移1个单位得到曲线，再将上的各点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，所以， 因为，，不等式成立，所以， 因为，所以， 当，即时，， 当时，令， 所以，即，即， 所以实数的取值范围． 19. 设函数的极小值点组成集合． （1）若，证明：； （2）若，，求实数的取值范围； （3）若定义域为的函数的图象是一条连续曲线，记其导函数为，且在上为严格增函数．求证：若存在，使得对任意恒成立，则必有． 【答案】（1）函数，定义域为， 由，所以函数在上单调递增， 所以函数无极值点，所以． （2） （3）解法一：若，则在上有解，设为， 由于在上为严格增函数，所以当时，， 则为严格减函数， 当时，，为严格增函数，所以为极小值点， 当，则结合在上为严格减函数，即在也为严格减函数， 所以存在，使得，与题意矛盾， 当，由于存在，使得对任意恒成立， 所以存在实数，使得对任意恒成立， 且满足随着从连续减小趋近于负无穷，函数的函数值从逐渐连续减小趋近于0， 所以为的渐近线，则有时，，时，， 由于的定义域为，在上为严格减函数，在上为严格增函数， 所以当时，有， 和，与不等式的传递性矛盾， 所以不存在这样的使得在上有解，故． 解法二：先证明：当在上为严格增函数时，任取，，均有，等号当且仅当时成立， 设，则， 所以当，即时，，即函数在单调递增， 当，即时，，即函数在单调递减， 所以． 即，等号当且仅当时成立； 再证明：， 若，则在上有解，设为， 由于在上为严格增函数，所以当时，，为严格减函数， 当时，，为严格增函数，所以为极小值点， 当，则结合在上为严格减函数， 即在也为严格减函数，所以存在，使得，与题意矛盾， 当，令， 则，由于的任意性，取， 则，故， 再取实数满足且， 有 ， 与“”对任意恒成立矛盾， 所以不存在这样的使得在上有解，故． 【解析】 【分析】（1）根据导函数研究单调性即可； （2）分、、、四种情况研究其单调性； （3）利用反证法，设为的根，得出的单调性，分、两种情况讨论得出矛盾；先证明：当在上为严格增函数时，任取，，均有，等号当且仅当时成立，再利用反证法求证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 由（1）知当时，，即，当时，； ①若，则，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以为的极小值点． ②若，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以为的极小值点． ③若，则与同号，所以， 所以在上单调递增，无极值点，不合题意． ④若，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以为函数的极大值点，不合题意． 综上，实数的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期10月学情检测 高 三 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 3．本试卷共4页，考试时间为120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ）. A. B. C. D. 3. 曲线在点处的切线方程（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则“”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在射线上，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上仅存在极小值，则的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，D为边BC的中点，点E在线段AD上，若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 在区间上单调递减 D. 当，为方程的两个不同的解时，的最小值为 10. 设，均为正数，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，及其导函数，的定义域均为，，，关于点对称，则（　　） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知两单位向量，满足，则，的夹角为______． 13. 已知函数，（）满足恒成立，则_________，若锐角满足，则_________． 14. 已知对于，都有，则的取值范围__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在梯形中，，，，， （1）求的长； （2）求的值． 16. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，与相交于点平面是线段的中点. （1）求证：平面； （2）若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求. 17. 某项考试按理论考试、实操考试两科目依次进行，只有当理论考试成绩合格时，才可继续实操考试．已知每科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，每次理论考试成绩合格的概率均为，每次实操考试成绩合格的概率均为．假设各次考试成绩合格与否均互不影响． （1）求他可获得证书的概率； （2）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的分布列和数学期望． 18. 已知函数 （1）求函数的对称中心； （2）若方程在上有两个解，求的范围； （3）将函数的图象上所有点向下平移1个单位得到曲线，再将上的各点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若，，不等式成立，求实数的取值范围． 19. 设函数的极小值点组成集合． （1）若，证明：； （2）若，，求实数的取值范围； （3）若定义域为的函数的图象是一条连续曲线，记其导函数为，且在上为严格增函数．求证：若存在，使得对任意恒成立，则必有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $