期中复习：勾股定理与网格问题、勾股定理与折叠问题专项训练-2026-2027学年北师大版八年级数学上册

期中复习：勾股定理与网格问题、勾股定理与折叠问题专项训练 期中复习：勾股定理与网格问题、勾股定理与折叠问题专项训练 考点目录 勾股定理与网格问题 勾股定理与折叠问题 考点一 勾股定理与网格问题 例1．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，每个小方格的顶点叫做格点．以格点为顶点，分别按下列要求在网格中画出图形并回答问题． (1)在图1中，以线段为一边画一个正方形，所画正方形的面积为_______； (2)在图2中，画一个三边长分别为，，的三角形． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）观察网格，求出正方形面积，从点、点作垂直边，四点顺次连接即为以为边的格点正方形． （2）将无理数边长拆分为网格直角三角形斜边，是直角边、的斜边，是直角边、的斜边，为整数格线段，取公共顶点拼接三边得到目标三角形． 【详解】（1）解：观察网格，点、横向差格，纵向差格，由勾股定理，正方形面积，因此正方形面积为． 从点向下平移格、向右平移格，同理从点作垂直边，四点顺次连接即为以为边的格点正方形． （2）解：，，另为横格线段， 在网格中取格点，距离为； 另取一点使其满足上述三边关系， 即得到三边长为，，的三角形． 例2．（26-27八年级上·山西太原·阶段检测）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为．按要求完成下列作图． (1)在图中，画一条长度为的线段． (2)在图中，画一个面积为的正方形． (3)在图中，画一个（标明顶点，，）使得，， 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用数形结合的思想，结合勾股定理即可作图； （2）利用数形结合的思想，先根据网格特点作出,依次作出,即可求解； （3）利用数形结合的思想，根据勾股定理表示即可求解． 【详解】（1）解：根据勾股定理可知：，线段即为所求； （2）解：根据勾股定理可知：，依次可知, 正方形即为所求； （3）解：根据勾股定理可知,,, 三角形即为所求； ． 例3．（26-27八年级上·福建漳州·阶段检测）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图①，这是著名的“赵爽弦图”、由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简得出结论．这里是用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明热情不减，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和直角三角形按如图②放置，交于点F，其三边长分别为a，b，c，，显然． (1)请用图2验证勾股定理． (2)【方法迁移】 请利用“双求法”解答问题：如图3，小方格都是边长为1的正方形，则中边上的高是______； (3)如图④，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】(1)证明：∵，，， 又∵， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）先表示出三个图形的面积进行加减计算即可证明结论； （2）利用割补法求解即可； （3）运用勾股定理在和中求出，据此列出方程求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：设边上的高为， ∵， ∴． ∴中边上的高是； （3）解：在中，由勾股定理得： ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得． 变式1．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，方格纸中每一个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，用无刻度直尺按下列要求画图，（保留作图痕迹，体现作图过程） (1)在图1中，画出的中线； (2)在图2中，在上确定一点F，使得； (3)已知，直接写出（2）中的长． 【答案】(1)解：画图如下： 则即为所求． (2)解：画图如下： 则点F即为所求． (3) 【分析】（1）首先确定的中点E，连接，解答即可； （2）根据直角三角形的三边分为，于是构造一个三边长也是3,4,5的直角三角形，利用三角形全等的判定和性质，解答即可； （3）根据基本作图，可得．利用勾股定理的逆定理，直角三角形的面积，解答即可． 【详解】（1）解：确定的中点E，连接，画图略；则即为所求． （2）解：根据题意，构造一个三边长也是的直角三角形，画图略， 则两条斜边的交点记作F，则点F即为所求． （3）解：，， ， ， ， 根据作图，得， ， ， ， ． 变式2．（26-27八年级上·四川达州·阶段检测）综合与实践．如图①是“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【知识迁移】 (1)把两个全等的和如图②放置，其三边长分别为a，b，c，，显然，用a，b，c分别表示出四边形、梯形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，验证勾股定理； 【方法运用】 (2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可得，则边上的高为　　； 【拓展延伸】 (3)如图④，在中，是边上的高，，，，设，请直接写出x的值． 【答案】(1)解：， ； ； ， ， ， ； (2) (3) 【分析】（1）先表示出各个图形的面积，进而可得出，化简之后即可证明； （2）先运用勾股定理求出，再用两种求三角形面积的方法求解高即可； （3）根据勾股定理得，分别表示后，建立等式解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图可得，； ， 边上的高为； （3）解：在中，， ， 在中，， ， ， ， ， 解得． 变式3．（26-27八年级上·广东深圳·开学考试）综合探究： “在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”． 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是________； (2)若的三边的长分别为、、，请你利用构图法在图2中，画出符合题意的，并写出它的面积________． (3)已知，均为正实数，且，求的最小值． 小明同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长，通过分析，小明想到了构图法解决此问题，于是构造出图3，将问题转化为求线段的长，如图，，，，，，，则、的长分别表示为，．由于，当、、共线时，取等号，所以只要求出的长，就可以解决问题．请在图3中，求出的长，并说明理由．所以的最小值是________． (4)拓展应用：求代数式：（）的最小值． 【答案】(1) (2)如图，即为所求， ； 3 (3)的长为5，理由如下： 如图，过点C作交的延长线于点， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ，， ，， 在中，， 则的长为5； 5 (4)5 【分析】（1）根据构图法，用正方形的面积减去周围三角形的面积，即可求解； （2）利用构图法及勾股定理，画出，再计算出面积即可； （3）过点C作交的延长线于点，利用勾股定理即可求出的长；从而求出的最小值； （4）根据（3）的思路，构造图形，将代数式的最小值转化为求线段的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图， ， 则的面积是； （2）解：如图，即为所求， ， 则的面积是； （3）解：， 当、、共线时，取得最小值，即的长为5， 的最小值是5； （4）解：如图，，，，，，，则、的长分别表示为，， 则（）的最小值即为的最小值，即的长， 如图，过点C作交的延长线于点， 同（3）可得，，， 在中，， 则（）的最小值为5． 考点二 勾股定理与折叠问题 例1．（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点的位置上． (1)若，求的度数； (2)若，求长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长方形的性质可得，可得，再根据折叠可得，即可求出； （2）设，则，根据勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）解：在长方形中，， ， 根据折叠可得， ； （2）解：在长方形中，， 设，则， 根据折叠可得， 根据勾股定理可得， 即， 解得， 则． 例2．（25-26八年级下·上海松江·阶段检测）已知，四边形为长方形，，，点E由点D向运动，点F由点D向运动．将沿BF折叠，点C恰好落在点E处时，求此时的长； 【答案】 【分析】根据折叠可得，在中利用勾股定理列方程求出，然后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠知，，， 四边形为长方形， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得：， ，解得， ， 在中，由勾股定理得：． 例3．（25-26八年级上·福建漳州·阶段检测）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 变式1．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）在一次手工活动中，小明将长方形纸片进行翻折，使点落在边的点处，折痕为，已知，，请你帮小明求出线段的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，解题的关键是熟练掌握折叠的不变性． 由折叠得到，，然后对运用勾股定理求解，然后设为，即可表示，最后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：由折叠可知：， 因为是长方形， 所以， 在中， 则：，解得（负值舍去） 因为长方形中，， 所以 在中，设为，则为， 由折叠知： 因为， ， 解得 即长为． 变式2．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）“数形结合”是数学上一种重要的数学思想，我们常用图形面积来解释一些公式或完成证明． (1)如图1，通过观察大正方形的面积，可以得到一个乘法公式，直接写出此公式：________； (2)图2是我国古代数学家赵爽的“弦图”，它是由4个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为c，直角三角形的长直角边长为b，短直角边长为a，请通过面积证明：； (3)由（2）可知，在直角边分别为，斜边为c的直角三角形中，有．请你用这个结论解决问题：如图3，在中，，点E在上，将沿折叠，点C的对应点D恰好落在上，求的长． 【答案】(1) (2) 解：根据题意得，大正方形的面积为：， ∵大正方形是由4个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的，直角三角形的长直角边长为 b，短直角边长为a， ∴， ∴； (3) 【分析】题目主要考查完全平方公式与图形的关系，勾股定理解三角形，折叠的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据图形计算面积即可得出相应公式； （2）根据题意利用两种方式计算正方形面积即可得出结果； （3）根据勾股定理得出，再由题意得出，，设，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，大正方形的面积可以表示为：，， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∵将沿折叠，点C的对应点D恰好落在上， ∴，， ∴， 设， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴的长为． 变式3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）阅读材料，回答问题：中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c，三者之间的数量关系是． (1)对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，试说明：． (2)如图3，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长． 【答案】(1) 解：，，，且， 整理得，， ； (2)3 【分析】（1）根据题意，结合图形，根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据翻折变换的特点、结合勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，， 则， 解得，， 则的长为3． 【点睛】本题考查了勾股定理、翻折变换的性质，正确理解勾股定理、灵活运用数形结合思想是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中复习：勾股定理与网格问题、勾股定理与折叠问题专项训练 期中复习：勾股定理与网格问题、勾股定理与折叠问题专项训练 考点目录 勾股定理与网格问题 勾股定理与折叠问题 考点一 勾股定理与网格问题 例1．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，每个小方格的顶点叫做格点．以格点为顶点，分别按下列要求在网格中画出图形并回答问题． (1)在图1中，以线段为一边画一个正方形，所画正方形的面积为_______； (2)在图2中，画一个三边长分别为，，的三角形． 例2．（26-27八年级上·山西太原·阶段检测）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为．按要求完成下列作图． (1)在图中，画一条长度为的线段． (2)在图中，画一个面积为的正方形． (3)在图中，画一个（标明顶点，，）使得，， 例3．（26-27八年级上·福建漳州·阶段检测）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图①，这是著名的“赵爽弦图”、由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简得出结论．这里是用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明热情不减，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和直角三角形按如图②放置，交于点F，其三边长分别为a，b，c，，显然． (1)请用图2验证勾股定理． (2)【方法迁移】 请利用“双求法”解答问题：如图3，小方格都是边长为1的正方形，则中边上的高是______； (3)如图④，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 变式1．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，方格纸中每一个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，用无刻度直尺按下列要求画图，（保留作图痕迹，体现作图过程） (1)在图1中，画出的中线； (2)在图2中，在上确定一点F，使得； (3)已知，直接写出（2）中的长． 变式2．（26-27八年级上·四川达州·阶段检测）综合与实践．如图①是“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【知识迁移】 (1)把两个全等的和如图②放置，其三边长分别为a，b，c，，显然，用a，b，c分别表示出四边形、梯形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，验证勾股定理； 【方法运用】 (2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可得，则边上的高为　　； 【拓展延伸】 (3)如图④，在中，是边上的高，，，，设，请直接写出x的值． 变式3．（26-27八年级上·广东深圳·开学考试）综合探究： “在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”． 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是________； (2)若的三边的长分别为、、，请你利用构图法在图2中，画出符合题意的，并写出它的面积________． (3)已知，均为正实数，且，求的最小值． 小明同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长，通过分析，小明想到了构图法解决此问题，于是构造出图3，将问题转化为求线段的长，如图，，，，，，，则、的长分别表示为，．由于，当、、共线时，取等号，所以只要求出的长，就可以解决问题．请在图3中，求出的长，并说明理由．所以的最小值是________． (4)拓展应用：求代数式：（）的最小值． 考点二 勾股定理与折叠问题 例1．（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点的位置上． (1)若，求的度数； (2)若，求长． 例2．（25-26八年级下·上海松江·阶段检测）已知，四边形为长方形，，，点E由点D向运动，点F由点D向运动．将沿BF折叠，点C恰好落在点E处时，求此时的长； 例3．（25-26八年级上·福建漳州·阶段检测）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 变式1．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）在一次手工活动中，小明将长方形纸片进行翻折，使点落在边的点处，折痕为，已知，，请你帮小明求出线段的长． 变式2．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）“数形结合”是数学上一种重要的数学思想，我们常用图形面积来解释一些公式或完成证明． (1)如图1，通过观察大正方形的面积，可以得到一个乘法公式，直接写出此公式：________； (2)图2是我国古代数学家赵爽的“弦图”，它是由4个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为c，直角三角形的长直角边长为b，短直角边长为a，请通过面积证明：； (3)由（2）可知，在直角边分别为，斜边为c的直角三角形中，有．请你用这个结论解决问题：如图3，在中，，点E在上，将沿折叠，点C的对应点D恰好落在上，求的长． 变式3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）阅读材料，回答问题：中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c，三者之间的数量关系是． (1)对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，试说明：． (2)如图3，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $